Դիտել Աբել-Պլանայի բանաձև էջի վիքիկոդը

'''Աբել-Պլանայի բանաձևը''' մաթեմատիկայում հայտնի [[Գումարում|գումարման]] բանաձև է, որն իրարից անկախ ստացել են [[Նիլս Հենրիկ Աբել]]ը (1823)<ref>N.H. Abel, ''Solution de quelques problèmes à Ǐaide d'integrales définies'', Euvres Complètes d'Abel, ed. Sylow-Lie, Vol.1, 11 (1823).</ref> և Ջովանի Անտոնիո Ամեդեո Պլանան (1820)<ref>G.A.A. Plana, Mem. della R. Acad. di Torino '''XXV''', 403 (1820).</ref>։ Այդ բանաձևը հետևյալն է՝

: <math>\sum_{k=0}^{\infty }f\left( k\right) =\int_{0}^{\infty }f\left( x\right) dx+
\frac{1}{2}f\left( 0\right) +i\int_{0}^{\infty }\frac{f\left( ix\right)
-f\left( -ix\right) }{e^{2\pi x}-1}dx:</math>

Այն ճիշտ է այնպիսի <math>f\left( z\right)</math> [[Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)|ֆունկցիաների]] համար, որոնք [[Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի բևեռ|հոլոմորֆ]] են <math>\operatorname{Re}(z)\geqslant0</math> տիրույթում և այդ տիրույթում բավարարում են որոշակի աճման պայմանի։

__FORCETOC__
== Ապացույց ==
Աբել-Պլանայի բանաձևի ստացման համար կարելի է օգտվել հետևյալ թեորեմից.<blockquote>'''Թեորեմ.'''<ref>М.А. Евграфов, ''Аналитические функции'' (Наука, Москва, 1991).</ref> Եթե <math>f\left( z\right)</math> ֆունկցիան հոլոմորֆ է <math>a<\operatorname{Re}(z)<b</math> տիրույթում և բավարարում է հետևյալ անհավասարությանը՝

<math>\left\vert f\left( x+iy\right) \right\vert \leqslant Me^{a\left\vert
y\right\vert },a<2\pi,</math>

ապա <math>k\geqslant a+1,n\leqslant b-1,n>k</math> դեպքում և կամայական <math>0<\theta <1</math> համար

<math>\sum_{s=k}^{n}f\left( s\right) =\int_{k+\theta -1}^{n+\theta }f\left(
x\right) dx+\frac{1}{2i}\int_{\theta }^{\theta +i\infty }\left[ f\left(
n+z\right) -f\left( k-1+z\right) \right] \left( \cot \pi z+i\right) dz+\frac{
1}{2i}\int_{\theta }^{\theta -i\infty }\left[ f\left( k-1+z\right) -f\left(
n+z\right) \right] \left( \cot \pi z-i\right) dz:</math>

'''Ապացույց.'''  Հետագա հաշվարկների համար արվում են հետևյալ նշանակումները. <math>C_h</math>-ը <math>k-1+\theta <\operatorname{Re}(z)<n+\theta, \left\vert \operatorname{Im}(z)\right\vert <h</math>[[ուղղանկյուն]]ն է, <math>J</math>-ն <math>f\left( z\right) \cot \pi z</math> ֆունկցիայի ինտեգրալն է <math>C_h</math> կոնտուրով, <math>C_h^+</math>-ը <math>C_h</math> կոնտուրի վերին կեսն է, իսկ <math>C_h^-</math>-ը ստորին կեսը, ընդ որում՝ <math>C_h^+</math>-ը և <math>C_h^-</math>-ը ուղղված են <math>z=k-1+\theta</math> կետից դեպի <math>z=n+\theta</math> կետը։ <math>k</math>-ի և <math>n</math>-ի վրա դրված պայմաններից հետևում է, որ <math>C_h</math>-ը գտնվում է <math>a <\operatorname{Re}(z)<b</math> տիրույթում։ Ըստ [[Մնացք|մնացքների մասին թեորեմի]]՝

<math>J=2\pi i\sum_{s=k}^{n}Res_{z=s}f\left( z\right) \cot \pi
z=2i\sum_{s=k}^{n}f\left( s\right) :</math>

Մյուս կողմից ակնհայտ է, որ

<math>J=\int_{C_{h}^{-}}f\left( z\right) \cot \pi zdz-\int_{C_{h}^{+}}f\left(
z\right) \cot \pi zdz=\int_{C_{h}^{-}}f\left( z\right) \left( \cot \pi
z-i\right) dz+i\int_{C_{h}^{-}}f\left( z\right) dz-\int_{C_{h}^{+}}f\left(
z\right) \left( \cot \pi z+i\right) dz+i\int_{C_{h}^{+}}f\left( z\right) dz:</math>

<math>f\left( z\right)</math> ֆունկցիայի ինտեգրալը կախված է միայն ինտեգրման կոնտուրի ծայրակետերից, ուստի <math>f\left( z\right)</math>-ի ինտեգրալները՝ ըստ <math>C_h^+</math> և <math>C_h^-</math> կոնտուրների, կարելի է փոխարինել ինտեգրալներով՝ ըստ <math>\left( k-1+\theta,n+\theta \right)</math> միջակայքի։ Հետևաբար,

<math>J=2i\int_{k-1+\theta }^{n+\theta }f\left( x\right)
dx+\int_{C_{h}^{-}}f\left( z\right) \left( \cot \pi z-i\right)
dz-\int_{C_{h}^{+}}f\left( z\right) \left( \cot \pi z+i\right) dz:
</math>

Ակնհայտ է, որ

<math>\int_{C_{h}^{+}}f\left( z\right) \left( \cot \pi z+i\right) dz=\int_{\theta
}^{\theta +ih}\left[ f\left( k-1+z\right) -f\left( n+z\right) \right] \left(
\cot \pi z+i\right) dz+\int_{k-1+\theta +ih}^{n+\theta +ih}f\left( z\right)
\left( \cot \pi z+i\right) dz:
</math>

Օգտագործելով հետևյալ անհավասարությունները՝

<math>\left\vert \int_{k-1+\theta +ih}^{n+\theta +ih}f\left( z\right) \left( \cot
\pi z+i\right) dz\right\vert \leqslant \left( n-k+1\right) \max_{k-1+\theta
\leqslant x\leqslant n+\theta }\left\vert f\left( x+ih\right) \right\vert
\cdot \left\vert \cot \pi \left( x+ih\right) +i\right\vert,
</math>

<math>\left\vert \cot \pi \left( x+ih\right) +i\right\vert <\frac{2}{e^{2\pi h}-1}
,h>0,
</math>

ինչպես նաև հաշվի առնելով թեորեմի պայմաններում նշված անհավասարությունը, ստացվում է, որ

<math>\left\vert \int_{k-1+\theta +ih}^{n+\theta +ih}f\left( z\right) \left( \cot
\pi z+i\right) dz\right\vert \leqslant \left( n-k+1\right) Me^{ah}\frac{2}{
e^{2\pi h}-1}\xrightarrow
[h\rightarrow +\infty]{} 0,
</math>

և այստեղից հետևում է, որ

<math>\int_{C_{h}^{+}}f\left( z\right) \left( \cot \pi z+i\right) dz\xrightarrow
[h\rightarrow +\infty]{}
\int_{\theta }^{\theta +i\infty}\left[ f\left( k-1+z\right) -f\left( n+z\right) 
\right] \left( \cot \pi z+i\right) dz :
</math>

Նմանատիպ ձևով կարելի է ցույց տալ, որ

<math>\int_{C_{h}^{-}}f\left( z\right) \left( \cot \pi z-i\right) dz\xrightarrow
[h\rightarrow +\infty]{}\int_{\theta }^{\theta -i\infty }\left[ f\left( k-1+z\right) -f\left(
n+z\right) \right] \left( \cot \pi z-i\right) dz :
</math>

Ուստի

<math>J=2i\int_{k-1+\theta }^{n+\theta }f\left( x\right) dx+\int_{\theta }^{\theta
-i\infty }\left[ f\left( k-1+z\right) -f\left( n+z\right) \right] \left(
\cot \pi z-i\right) dz+\int_{\theta }^{\theta +i\infty }\left[ f\left(
n+z\right) -f\left( k-1+z\right) \right] \left( \cot \pi z+i\right) dz:
</math>

Իրար հավասարեցնելով <math>J</math>-ի համար ստացված երկու արտահայտությունները՝ ստացվում է թեորեմում նշված բանաձևը։ ♦</blockquote>

Դիցուք <math>f\left( z\right)</math> ֆունկցիան հոլոմորֆ է <math>\operatorname{Re}(z)>0</math> կիսահարթությունում և բավարարում է հետևյալ անհավասարությանը՝

<math>\left\vert f\left( x+iy\right) \right\vert <\epsilon\left( x\right)e^{a\left\vert
y\right\vert },0<a<2\pi,</math>

որտեղ <math>\epsilon\left( x\right)\rightarrow0</math>, երբ <math>x\rightarrow+\infty</math>: Հաշվի առնելով, որ կամայական <math>0<\theta<1</math> համար

<math>\left\vert \int_{\theta }^{\theta \pm i\infty }f\left( n+z\right) \left(
\cot \pi z\pm i\right) dz\right\vert \leqslant \epsilon \left( n+\theta
\right) \int_{0}^{\infty }Me^{-\left( 2\pi -a\right) y}dy\xrightarrow
[n\rightarrow \infty]{}0,</math>

վերը նշված թեորեմից անմիջապես հետևում է, որ

<math>\lim_{n\rightarrow \infty }\left\{ \sum_{s=1}^{n}f\left( s\right)
-\int_{\theta }^{n+\theta }f\left( x\right) dx\right\} =\frac{1}{2i}
\int_{\theta }^{\theta -i\infty }f\left( z\right) \left( \cot \pi z-i\right)
dz-\frac{1}{2i}\int_{\theta }^{\theta +i\infty }f\left( z\right) \left( \cot
\pi z+i\right) dz:</math>

Այս բանաձևը նույնպես կոչվում է Աբել-Պլանայի բանաձև։ Այստեղ կարելի է անցում կատարել <math>\theta\rightarrow0</math> սահմանին։ Հաշվի առնելով, որ <math>z=0</math> կետը հանդիսանում է [[Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի բևեռ|բևեռ]] այդ բանաձևի աջ մասի ենթաինտեգրալային արտահայտությունների համար և, հետևաբար, շրջանցելով այն փոքր <math>\rho</math> [[Շառավիղ|շառավղով]] <math>C_\rho</math> [[Շրջանագիծ|շրջանագծի]] աղեղներով և ձգտեցնելով <math>\rho \rightarrow 0</math>, ստացվում է

<math>\sum_{k=0}^{\infty }f\left( k\right) =\int_{0}^{\infty }dxf\left( x\right) +
\frac{1}{2}f\left( 0\right) +i\int_{0}^{\infty }dx\frac{f\left( ix\right)
-f\left( -ix\right) }{e^{2\pi x}-1}:</math>

Սա Աբել-Պլանայի բանաձևն է՝ գրված ստանդարտ տեսքով։

== Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձև==
Արամ Սահարյանի<ref name=":0">A. A. Saharian, The Generalized Abel–Plana Formula with Applications to Bessel Functions and Casimir Effect (Yerevan State University Publishing House, Yerevan, 2008), Report No. ICTP/2007/082, arXiv:0708.1187.</ref> կողմից ստացվել է '''Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևը'''՝

:<math>\lim_{b\rightarrow \infty }\left\{ p.v.\int_{a}^{b}dxf\left( x\right) -R
\left[ f\left( z\right),g\left( z\right) \right] \right\} =\frac{1}{2}
\int_{a-i\infty }^{a+i\infty }dz\left[ g\left( z\right) +\sigma \left(
z\right) f\left( z\right) \right], </math>

որտեղ

:<math>\sigma \left( z\right) \equiv sgn\left( \operatorname{Im}(z) \right) </math>,
:<math>R\left[ f\left( z\right),g\left( z\right) \right] \equiv \pi i\left[
\sum_{k}Res_{z=z_{g,k}}g\left( z\right) +\sum_{k}\sigma \left(
z_{f,k}\right) Res_{z=z_{f,k}}f\left( z\right) \right], </math>

որում գումարումը կատարվում է ըստ <math>z_{f,k}</math> և <math>z_{g,k}</math> բևեռների, որոնք դասավորված են աճման կարգով՝ <math>\operatorname{Re}(z_{j,k}) \leqslant \operatorname{Re}(z_{j,k+1}), j=f,g </math>:

Ընդ որում, <math>f \left( z \right)</math>-ը և <math>g \left( z \right)</math>-ը [[մերոմորֆ ֆունկցիաներ]] են [[Կոմպլեքս հարթություն|կոմպլեքս <math>z=x+iy</math> հարթության]] <math>a \leqslant x \leqslant b</math> տիրույթում, իսկ <math>z_{f,k}</math> և <math>z_{g,k}</math> կետերը, համապատասխանաբար,  <math>f \left( z \right)</math>-ի և <math>g \left( z \right)</math>-ի բևեռներն են <math>a < x < b</math> տիրույթում (ենթադրվում է, որ <math>\operatorname{Im}(z_{f,k}) \neq 0 </math>), և <math>f \left( z \right)</math> ու <math>g \left( z \right)</math> ֆունկցիաները բավարարում են հետևյալ պայմաններին՝

:<math>\lim_{h\rightarrow \infty }\int_{a\pm ih}^{b\pm ih}dz\left[ g\left( z\right)
\pm f\left( z\right) \right] =0, </math>
:<math>\lim_{b\rightarrow \infty }\int_{b}^{b\pm i\infty }dz\left[ g\left( z\right)
\pm f\left( z\right) \right] =0: </math>

'''Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևից''', մասնավորապես,  <math>b=n+a,0<a<1 </math> և <math>g\left( z\right) =-if\left( z\right) \cot \pi z </math> դեպքում, երբ <math>f \left( z \right)</math>-ը անալիտիկ ֆունկցիա է, ստացվում է '''Աբել-Պլանայի բանաձևը'''։

== Կիրառությունները ֆիզիկայում ==
Ֆիզիկայի որոշ խնդիրներում դիտարկվում են սահմանների առկայությամբ այնպիսի մոդելներ, որոնց սահմաններին դինամիկ [[Փոփոխական մեծություն|փոփոխականները]] բավարարում են որոշակի պայմանների։ [[Դաշտի քվանտային տեսություն]]ում այդ սահմանային պայմանները ձևափոխում են [[Դաշտ (ֆիզիկա)|դաշտերի]] քվանտային ֆլուկտուացիաների [[սպեկտր]]ը, իսկ դրա հետևանքով փոխվում են ֆիզիկական մեծությունների միջին արժեքները։ Սա հայտնի [[Կազիմիրի էֆեկտ]]ն է, որը [[Վակուում|ֆիզիկական վակուումի]] ոչ տրիվիալ հատկությունների միակ մակրոսկոպական դրսևորումն է։ Կան այս երևույթի տեսական ուսումնասիրության տարբեր եղանակներ՝ մոդաների գումարման մեթոդ, [[Գրինի ֆունկցիա]]յի ֆորմալիզմ, [[Ռիմանի զետա ֆունկցիա|զետա-ֆունկցիայի]] ռեգուլյարիզացիայի մեթոդ և այլն։ Այստեղ գլխավորը ի հայտ եկող [[Տարամիտություն և զուգամիտություն|տարամիտություններն]] առանձնացնելն ու հեռացնելն է։ Մոդաների գումարման մեթոդով ֆիզիկական մեծությունների (օրինակ՝ [[էներգիա-իմպուլսի թենզոր]]ի) վակուումային միջինները հաշվելիս հաճախ կարիք է լինում ստանալ որոշակի ֆունկցիայի գումարը՝ ըստ [[Ամբողջ թիվ|ամբողջ թվերի]], այնուհետև այդ գումարից հանել համապատասխան մեծությունը սահմանների բացակայությամբ տարածության դեպքում։ Հանվող մեծությունը հաճախ ներկայացվում է ինտեգրալի տեսքով։ Այդ գումարը և ինտեգրալը, առանձին վերցրած, տարամիտող են և դրանց վերջավոր տարբերությունը հարմար է ստանալ '''Աբել-Պլանայի բանաձևի''' միջոցով։ Այս տեսանկյունից Աբել-Պլանայի բանաձևը կիրառելի է այն դեպքերում, երբ սեփական մոդաները պարզ կախվածություն ունեն [[քվանտային թվեր]]ից և բացահայտ կերպով տրված են։ Ավելի բարդ դեպքերում, երբ սեփական մոդաները որոշված չեն բացահայտ կերպով և հանդիսանում են որոշակի [[Տրանսցենդենտ ֆունկցիաներ|տրանսցենդենտ հավասարման]] լուծումներ, հարմար է օգտվել '''Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևից'''։ Սահմանների առկայությամբ կոր ֆոնային [[տարածաժամանակ]]ների համար Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևի կիրառումը վակուումային միջիններից առանձնացնում է այն մասերը, որոնք համապատասխանում են [[Վակուումի բևեռացում|վակուումի բևեռացմանը]] այն դեպքում, երբ սահմաններ չկան։ Արդյունքում սահմաններով պայմանավորված մասերը ներկայացվում են այնպիսի ինտեգրալների տեսքով, որոնք զուգամիտում են սահմաններից հեռու կետերի համար։ Այսպիսով՝ Աբել-Պլանայի բանաձևի ընդհանրացումն էապես ընդլայնում է դրա կիրառությունների տիրույթը։

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ]]