Դիտել Ամբողջ թիվ էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:Latex integers.svg|աջից|մինի|120px|'''Ամբողջ թվերի''' բազմության նշանը]]

'''Ամբողջ թիվ''', զրո ([[0]]), դրական [[բնական թվեր|բնական թիվ]] (1, 2, 3, և այլն) կամ '''բացասական ամբողջ թիվ''' ([[−1]], −2, −3, և այլն)<ref>{{cite book |title=Science and Technology Encyclopedia |date=September 2000 |publisher=University of Chicago Press |isbn=978-0-226-74267-0 |page=280 |url=https://books.google.com/books?id=PZIdcYCCf2kC&dq=integer&pg=PA280 |language=en}}</ref>։ Բացասական թվերը համապատասխան դրական թվերի [[գումարային հակադարձ]]երն են<ref>{{cite web |title=Integers: Introduction to the concept, with activities comparing temperatures and money. {{!}} Unit 1 |url=https://www.oercommons.org/authoring/13198-integers-introduction-to-the-concept-with-activiti/1/view |website=OER Commons |language=en}}</ref>։ Բոլոր ամբողջ թվերի [[բազմություն]]ը հաճախ նշանակվում է {{math|'''Z'''}}-ով կամ {{nobr|<math>\mathbb{Z}</math>-ով<ref name="earliest"/><ref name="Cameron1998">{{cite book |author=Peter Jephson Cameron |title=Introduction to Algebra |url=https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |year=1998 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-850195-4 |page=4 |access-date=2016 թ․ փետրվարի 15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161208142220/https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |archive-date=2016 թ․ դեկտեմբերի 8 |url-status=live }}</ref>}}։

Բնական թվերի <math>\mathbb{N}</math> բազմությունը <math>\mathbb{Z}</math>-ի ենթաբազմություն է, որն իր հերթին բոլոր [[ռացիոնալ թվեր]]ի բազմության՝ <math>\mathbb{Q}</math>-ի, ենթաբազմություն է, որը բոլոր [[իրական թվեր]]ի բազմության՝ <math>\mathbb{R}</math>-ի, ենթաբազմություն է{{efn|More precisely, each system is [[Embedding|embedded]] in the next, isomorphically mapped to a subset.<ref>{{cite book |last1=Partee |first1=Barbara H. |last2=Meulen |first2=Alice ter |last3=Wall |first3=Robert E. |title=Mathematical Methods in Linguistics |date=1990 թ․ ապրիլի 30 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-90-277-2245-4 |pages=78–82 |url=https://books.google.com/books?id=qV7TUuaYcUIC&pg=PA80 |language=en |quote=The natural numbers are not themselves a subset of this set-theoretic representation of the integers. Rather, the set of all integers contains a subset consisting of the positive integers and zero which is isomorphic to the set of natural numbers.}}</ref> The commonly-assumed set-theoretic containment may be obtained by constructing the reals, discarding any earlier constructions, and defining the other sets as subsets of the reals.<ref>{{cite book |last1=Wohlgemuth |first1=Andrew |title=Introduction to Proof in Abstract Mathematics |date=2014 թ․ հունիսի 10 |publisher=Courier Corporation |isbn=978-0-486-14168-8 |page=237 |url=https://books.google.com/books?id=PEP_AwAAQBAJ&pg=PA237 |language=en}}</ref> Such a convention is "a matter of choice", yet not.<ref>{{cite book |last1=Polkinghorne |first1=John |title=Meaning in Mathematics |date=2011 թ․ մայիսի 19 |publisher=OUP Oxford |isbn=978-0-19-162189-5 |page=68 |url=https://books.google.com/books?id=DCqQDwAAQBAJ&pg=PA68 |language=en}}</ref>}}։ Ինչպես բնական թվերը, ամբողջ թվերի <math>\mathbb{Z}</math> բազմությունը նույնպես [[հաշվելի անվերջ]] է։ Ամբողջ թվերն այն իրական թվերն են, որոնք կարելի է գրել առանց կոտորակային բաղադրիչի։ Օրինակ՝ 21, 4, 0 և −2048 թվերը ամբողջ թվեր են, մինչդեռ 9.75, <math>5\frac{1}{2}</math> և <math>\sqrt{2}</math> թվերը ամբողջ չեն<ref>{{cite book |last1=Prep |first1=Kaplan Test |title=GMAT Complete 2020: The Ultimate in Comprehensive Self-Study for GMAT |date=2019 թ․ հունիսի 4 |publisher=Simon and Schuster |isbn=978-1-5062-4844-8 |url=https://books.google.com/books?id=6l_sDwAAQBAJ&pg=PA708 |language=en}}</ref>։

Ամբողջ թվերը կազմում են բնական թվեր պարունակող ամենափոքր [[խումբ (մաթեմատիկա)|խումբն]] ու ամենափոքր [[Օղակ (մաթեմատիկա)|օղակը]]։ [[Աբստրակտ թվերի տեսություն]]ում ամբողջ թվերը երբեմն կոչվում են '''ռացիոնալ ամբող թվերը'''՝ ավելի ընդհանուր [[հանրահաշվական ամբողջ թվեր]]ից տարբերելու համար։

== Պատմություն ==
Պատմականորեն եզրը կիրառվել է 1-ի բազմապատիկ թվերը<ref>{{cite book |last1=Smedley |first1=Edward |last2=Rose |first2=Hugh James |last3=Rose |first3=Henry John |title=Encyclopædia Metropolitana |date=1845 |publisher=B. Fellowes |page=537 |url=https://books.google.com/books?id=ZVI_AQAAMAAJ&pg=PA537 |language=en|quote=An integer is a multiple of unity}}</ref><ref>{{harvnb|Encyclopaedia Britannica|1771|p=[https://books.google.com/books?id=d50qAQAAMAAJ&pg=PA367 367]}}</ref> կամ [[Կոտորակ (մաթեմատիկա)|կոտորակի]] ամբողջ մասը նշելու համար<ref>{{cite book| title = Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano in year Mccij | type=Manuscript | trans-title=The Book of Calculation | last1 = Pisano | first1 = Leonardo  | author1-link=Fibonacci | publisher = Museo Galileo | date = 1202 | url = https://bibdig.museogalileo.it/tecanew/opera?bid=1072400&seq=30 |lang=la|last2=Boncompagni|first2=Baldassarre (transliteration)|translator-last = Sigler |translator-first = Laurence E.|page=30|quote=Nam rupti uel fracti semper ponendi sunt post integra, quamuis prius integra quam rupti pronuntiari debeant.|trans-quote=And the fractions are always put after the whole, thus first the integer is written, and then the fraction}}</ref><ref>{{harvnb|Encyclopaedia Britannica|1771|p=[https://books.google.com/books?id=d50qAQAAMAAJ&pg=PA83 83]}}</ref>։ Սկզբնապես դիտարկվում էին միայն դրական ամբողջ թվերը, ինչի հետևանքով ամբողջ թիվ և բնական թիվ եզրերը հոմանիշներն էին։ Ամբողջ թվի սահմանումը ընդլայնվել է բացասական թվերի կարևորությունը գիտակցելուց հետո<ref name="negmath"/>։ Օրինակ՝ [[Լեոնարդ Էյլեր]]ը իր 1765 թվականի «Հանրահաշվի տարրեր» գրքում ամբողջ թվերը սահմանել է այնպես, որ դրանք ներառեն և՛ դրական, և՛ բացասական թվերը<ref>{{cite book |last1=Euler |first1=Leonhard |title=Vollstandige Anleitung Zur Algebra|lang=de|trans-title=Complete Introduction to Algebra|volume=1|date=1771 |url=https://archive.org/details/1770LEULERVollstandigeAnleitungZurAlgebraVol1/page/n31/mode/2up|page=10|quote=Alle diese Zahlen, so wohl positive als negative, führen den bekannten Nahmen der gantzen Zahlen, welche also entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt dieselbe gantze Zahlen, um sie von den gebrochenen, und noch vielerley andern Zahlen, wovon unten gehandelt werden wird, zu unterscheiden.|trans-quote=All these numbers, both positive and negative, are called whole numbers, which are either greater or lesser than nothing. We call them whole numbers, to distinguish them from fractions, and from several other kinds of numbers of which we shall hereafter speak.}}</ref>։ Սակայն, եվրոպացի մաթեմատիկոսները հիմնականում չեն ընդունել բացասական թվերի հասկացությունը մինչև 19-րդ դարի կեսեր<ref name="negmath">{{cite book|last=Martinez|first=Alberto|title=Negative Math|pages=80–109|date=2014|publisher=Princeton University Press}}</ref>։

Ամբողջ թվերի բազմությունը Z տառով նշանակման ավանդույթը կապված է գերմաներեն [[wikt:Zahlen|Zahlen]] (թիվ) բառի հետ<ref name="earliest">{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/nth.html |title=Earliest Uses of Symbols of Number Theory |access-date=2010 թ․ սեպտեմբերի 20 |date=2010 թ․ օգոստոսի 29 |first=Jeff |last=Miller |archive-url=https://web.archive.org/web/20100131022510/http://jeff560.tripod.com/nth.html |archive-date=2010 թ․ հունվարի 31 |url-status=dead }}</ref><ref name="Cameron1998">{{cite book |author=Peter Jephson Cameron |title=Introduction to Algebra |url=https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |year=1998 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-850195-4 |page=4 |access-date=2016 թ․ փետրվարի 15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161208142220/https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |archive-date=2016 թ․ դեկտեմբերի 8 |url-status=live }}</ref> և վերագրվել է [[Դավիթ Հիլբերտ]]ին<ref>{{cite book |title=The University of Leeds Review |date=1989 |publisher=University of Leeds. |page=46 |url=https://books.google.com/books?id=Z-7kAAAAMAAJ|language=en|volume=31-32|quote=Incidentally, Z comes from "Zahl": the notation was created by Hilbert.}}</ref>։ Այս նշանակման հայտնի ամենավաղ օրինակ կա [[Նիկոլա Բուրբակի]] խմբի Մաթեմատիկայի տարրեր (''Éléments de mathématique'') դասագրքում (1947 թվական)<ref name="earliest"/><ref>{{cite book |last1=Bourbaki |first1=Nicolas |title=Algèbre, Chapter 1 |date=1951|edition=2nd |publisher=Hermann|location=Paris |page=27|language=fr|url=https://archive.org/details/algebrebour00bour/page/26/mode/2up|quote=Le symétrisé de '''N''' se note '''Z'''; ses éléments sont appelés entiers rationnels.|trans-quote=The group of differences of '''N''' is denoted by '''Z'''; its elements are called the rational integers.}}</ref>։ Սակայն նշանակումը անմիջապես չի ընդունվել, օրինակ մեկ այլ դասագրքում կիրառվել է J տառը<ref>{{cite book |last1=Birkhoff |first1=Garrett |title=Lattice Theory |date=1948 |publisher=American Mathematical Society |page=63 |edition=Revised |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.166886/page/n63/mode/2up|quote=the set ''J'' of all integers}}</ref>, իսկ 1960 թվականին տպարված հոդվածներից մեկում Z-ը օգտագործվել է ոչ բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար<ref>{{cite book |last1=Society |first1=Canadian Mathematical |title=Canadian Journal of Mathematics |date=1960 |publisher=Canadian Mathematical Society |page=374 |url=https://books.google.com/books?id=uMAXOmLTCGsC&dq=integer%20set%20Z&pg=PA374 |language=en|quote=Consider the set ''Z'' of non-negative integers}}</ref>։ Սակայն, 1967 թվականից Z-ը լայնորեն կիրառվում էր դրական և բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար<ref>{{cite book |last1=Bezuszka |first1=Stanley |title=Contemporary Progress in Mathematics: Teacher Supplement [to] Part 1 and Part 2 |date=1961 |publisher=Boston College |page=69 |url=https://books.google.com/books?id=dhJPAQAAMAAJ&q=integer+set+Z |language=en|quote=Modern Algebra texts generally designate the set of integers by the capital letter Z.}}</ref>։

Հաճախ <math>\mathbb{Z}</math> սիմվոլի վերտողում կամ ենթատողում ավելացնում են տարբեր նշաններ այլ բազմություններ նշելու համար։ Օրինակ՝ <math>\mathbb{Z}^+</math>,<math>\mathbb{Z}_+</math> կամ <math>\mathbb{Z}^{>}</math> սիմվոլները կիրառվում են դրական ամբողջ թվերը նշելու համար, <math>\mathbb{Z}^{0+}</math> կամ <math>\mathbb{Z}^{\geq}</math> սինվոլները կիրառվում են ոչ բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար, իսկ <math>\mathbb{Z}^{\neq}</math>-ով նշանակում են զրոյից տարբեր ամբողջ թվերը։ Որոշ հեղինակները կիարռում են <math>\mathbb{Z}^{*}</math>-ը զրոյից տարբեր ամբողջ թվերը նշանակելու համար, մինչդեռ այլ հեղինակներ օգտագործում են այն ոչ բացասական ամբողջ թվերի կամ {{math|{–1, 1}{{void}}}} բազմության համար։ Բացի դա, <math>\mathbb{Z}_{p}</math>-ով հաճախ նշանակվում է [[Մոդուլար հանրահաշիվ|մոդուլ {{math|''p''}} ամբողջ թվերի]], կամ {{math|''p''}}-ադիկ ամբողջ թվերի նշանակման համար<ref name=edexcelc1>Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008</ref><ref>LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.</ref>։

== Հանրահաշվական հատկություններ ==
[[Պատկեր:Number-line.svg|right|thumb|300px|Ամբողջ թվերը կարելի է պատկերել որպես անվերջ երկարություն ունեցող [[թվային առանցք]]ի վրա դիսկրետ, իրարից հավասարահեռ կետեր։ Վերևի օրինակում ոչ բացասական թվերը կապույտ են, դրականները՝ կարմիր։]]

[[Բնական թվեր]]ի նման <math>\mathbb{Z}</math>-ը նույնպես փակ է ըստ գումարման և բազմապատկման գործողությունների, այսինքն՝ կամայական երկու ամբողջ թվի [[Գումար (մաթեմատիկա)|գումարը]] կամ [[Արտադրյալ|արտադրյալը]] ամբողջ թիվ է։ Սակայն, զրոյի և բացասական թվերի ներմուծման շնորհիվ <math>\mathbb{Z}</math> ամբողջ թվերը փակ են նաև ըստ [[Հանում|հանման]]<ref>{{Cite web|title=Integer {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/integer|access-date=2020 թ․ օգոստոսի 11|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref>։

Ամբողջ թվերը կազմում են [[միավորով օղակ]], որն ամենապարզն է հետևյալ իմաստով․ կամայական միավորով օղակի համար գոյություն ունի եզակի օղակային հոմոմորֆիզմ ամբողջ թվերից դեպի այդ օղակ։ Այս [[ընդհանրացված հատկություն]]ը, մասնավորապես [[օղակների կատեգորիա]]յում նախնական օբյեկտ լինելը, բնութագրում է <math>\mathbb{Z}</math> խումբը։

<math>\mathbb{Z}</math>-ը փակ չէ ըստ [[Բաժանում (մաթեմատիկա)|բաժանման]], քանի որ երկու ամբողջ թվերի քանորդը կարող է ամբողջ թիվ չլինել (օրինակ 1-ը բաժանած 2-ի)։ Ի տարբերություն բնական թվերի, ամբողջ թվերը փակ չեն ըստ [[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճանի]] բարձրացման, քանի որ արդյունքը կարող է լինել կոտորակ, երբ ցուցիչը բացասական է։

Հետևյալ աղյուսկում կան կամայական {{math|''a''}}, {{math|''b''}} և {{math|''c''}} ամբողջ թվերի բազմապատկման և գումարման որոշ հատկություններ․
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Ամբողջ թվերի գումարման և բազմապատկման հատկություններ
!
!scope="col" |Գումարում
!scope="col" |Բազմապատկում
|-
!scope="row" |[[Փակույթ (մաթեմատիկա)|Փակույթ]]
|{{math|''a'' + ''b''}}-ը ամբողջ թիվ է
|{{math|''a'' × ''b''}}-ը ամբողջ թիվ է
|-
!scope="row"|[[Զուգորդականություն]]
|{{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}}
|{{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}
|-
!scope="row" |[[Տեղափոխականություն]]։
|{{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}}
|{{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}
|-
!scope="row" |Չեզոք տարրի գոյություն
|{{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}}
|{{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}
|-
!scope="row" |Հակադիր տարրի գոյություն
|{{math|''a'' + (−''a'') {{=}} 0}}
|Միայն միավոր տարրերը ունեն հակադիր ({{math|−1}} և {{math|1}}):
|-
!scope="row" |[[Բաշխականություն]]։
|colspan=2 align=center |{{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}{{pad|1em}}and{{pad|1em}}{{math|(''a'' + ''b'') × ''c'' {{=}} (''a'' × ''c'') + (''b'' × ''c'')}}
|-
!scope="row" |Զրոյի բաժանարարներ
| || | Եթե {{math|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, ապա {{math|''a'' {{=}} 0}} կամ {{math|''b'' {{=}} 0}} (կամ երկուսն էլ)
|}

Գումարման համար նշված առաջին հինգ հատկությունից հետևում է, որ <math>\mathbb{Z}</math>-ը ըստ գումարման [[աբելյան խումբ]] է։ Այն նաև [[ցիկլային խումբ]] է, քանի որ զրոյից տարբեր զուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել {{nowrap|1 + 1 + ... + 1}} կամ {{nowrap|(−1) + (−1) + ... + (−1)}} վերջավոր գումարի տեսքով։ Ընդ որում, ըստ գումարման <math>\mathbb{Z}</math>-ը ''միակ'' անսահման ցիկլային խումբն է, քանի որ յուրաքանչյուր այլ անսահման ցուկլային խումբ [[Իզոմորֆություն (մաթեմատիկա)|իզոմորֆ]] է <math>\mathbb{Z}</math>-ին։

Բազմապատկման համար նշված առաջին չորս հատկություններից հետևում է, որ <math>\mathbb{Z}</math> ըստ բազմապատկման [[կոմուտատիվ մոնոիդ]] է։ Սակայն, ոչ բոլոր ամբողջ թվերը ունեն բազմապատկային հակադիր (օրինակ՝ 2-ը), որից հետևում է, որ <math>\mathbb{Z}</math>-ը ըստ բազմապատկման խումբ չէ։

== Նշումներ ==
{{նցանկ}}

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

{{Արտաքին հղումներ}}

[[Կատեգորիա:Ամբողջ թվեր| ]]
[[Կատեգորիա:Տարրական մաթեմատիկա]]