Դիտել Անկյուն էջի վիքիկոդը

'''Անկյուն''', [[Երկրաչափություն|երկրաչափական]] պատկեր, որը կազմվում է մի կետից (անկյան գագաթ) դուրս եկող երկու [[ճառագայթ (երկրաչափություն)|ճառագայթ]]ներով (անկյան կողմեր)<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |год=1985 |часть=Угол |место=М. |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |том=5}}</ref>։

== Ընդհանուր տեղեկություն ==
[[Պատկեր:Name of angles.svg|180px|thumb|right|Երկու (BA и ВС) ճառագայթներ,ընդհանուր B գագաթից դուրս եկող, հարթության վրա ձևավորում են երկու տիրույթ, որոնք հանդիսանում են երկու հարթ անկյունների ներքին տիրույթները։]]

Անկյան երկու կողմերը պարունակող [[հարթություն]]ը անկյունով բաժանվում է երկու մասերի<ref>{{Cite news |title=Плоскость (математика) |url=http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0) |access-date=2018 թ․ փետրվարի 7 |newspaper=Математика |language=ru}}</ref>։ Այդ մասերից յուրաքանչյուրը, անկյան կողմերի հետ միավորած կոչվում է '''[[#Հարթ անկյուն|հարթ անկյուն]]'''(կամ պարզապես անկյուն, եթե դա տարընթերցում չի առաջացնում)։ Հարթ անկյուններից մեկին ասում են ''ներքին'' (հիմնականում փոքր անկյունը), իսկ մյուսին՝ ''արտաքին''։ Հարթ անկյան կետերը, որոնք չեն պատկանում իր կողմերին, ձևավորում են ''հարթ անկյան ներքին տիրույթը''։

Հարթ անկյան մեկ այլ, հավասարազոր սահմանում է հետևյալը. հարթության մասը, որը հանդիսանում է տրված կետից (անկյան ''գագաթներ'') դուրս եկող ճառագայթների և այդ հարթությունում պառկած ինչ-որ ուղղի (որը կոչվում է տրված հարթ անկյունը ''ձգող'' ուղիղ) հատողների միավորումը։

Հաճախ, հակիրճության համար, անկյուն անվանում են նաև [[#Անկյան չափ|անկյան չափը]], այսինքն անկյան մեծության որոշող թիվը։

Բացի ավելի հաճախ հանդիպող հարթ անկյուններից, որպես անկյուն կարող են դիտարկվեն նաև առավել ընդհանուր օբյեկտներ՝ պատկերներ,առաջացած հատվող աղեղներով, կիսահարթություններով և այլ պատկերներով ինչպես էվկլիդյան, այնպես էլ տարբեր [[Չափականություն|չափի]] [[մետրիկական տարածություն]]ների ուրիշ տիպի երկրաչափությունում։

== Անկյան նշումը ==
[[Պատկեր:Angle Symbol.svg|90px|thumb|right|«∠», անկյան նշանակումը երկրաչափությունում։]]
[[Պատկեր:Isosceles-triangle-tikz.svg|right]]
Անկյան նշանակման համար գոյություն ունի միջազգային <math>\angle </math> սիմվոլը, որը [[1634]] թվականին առաջարկել է [[ֆրանսիա]]ցի մաթեմատիկ [[Պյեր Էրիգոն]]ը։

Մաթեմատիկական արտահայտություններում անկյունները հիմնականում նշանակում են [[Հունարեն|հունարեն տառերով]]՝ α, β, γ, θ, φ և այլն։ Որպես կանոն տվյալ նշանակումը օգտագործվում է նաև գծագրության մեջ, անկյան ներքին տիրույթը հստակեցնելու համար։ Որպեսզի π նշանը օգտագործելուց խնդիրներ չառաջանան [[Պի թիվ|պի]] թվի հետ, ապա անկյուն նշանակելուց π նշանը չեն օգտագործում։ [[Մարմնային անկյունները]] նշանակելու համար (տե՛ս ներքևում) հաճախ օգտագործում են {{math|ω}} և {{math|Ω}} տառերը<ref>{{Cite web |last=Коган |first=И.Ш. |title=Энергодинамическая система физических величин и понятий |url=http://www.physicalsystems.org/index07.02.6.html |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20180219055904/http://www.physicalsystems.org/index07.02.6.html |archive-date=2018 թ․ փետրվարի 19}}</ref>։

Անկյունը նաև նշանակում են 3 կետերի տառերով, օրինակ <math>\angle ABC</math>։ Այսպիսի գրառման մեջ <math>B</math> —ն գագաթն է, իսկ <math>A</math> և <math>C</math> -ն՝ կետեր տարբեր կողմերի վրա։

Ավելի քիչ տարածված է անկյան երկու կողմերով նշանակությունը։ Օրինակ, <math>\angle(bc)</math> այստեղ ենթադրվում է, որ նկատի է ունեցվում <math>\angle BAC</math> եռանկյան {{math|α}} ներքին անկյունը, որը պետք էր նշանակել <math>\angle(bc)</math>։

Այսպիսով, աջ կողմի նկարի վրա {{math|γ}}, <math>\angle ACB</math> և <math>\angle(ba)</math> նշանակումները միևնույն անկյունն են նշանագրում։

Երբեմն, անկյունները նշելու համար օգտագործում են ({{math|''a, b, c,''}} …) լատինական տառերն ու թվերը։

Գծագրությունների վրա անկյունները նշանակվում են երկակի կամ եռակի աղեղիկներով, որոնք անցնում են անկյան ներքին տիրույթվ, անկյան գագաթի կենտրոնով։Անկյունների հավասարությունը կարող է նշանակվել միանման աղեղիկների կրկնությամբ կամ աղեղիկների վրա նույն քանակությամբ շտրիխներով։

== Անկյան չափ ==
Անկյան չափը,որը թույլ է տալիս համեմատել հարթ անկյունները,կարող է ներմուծվել հետևյալ կերպ։ Երկու հարթ անկյուններ կոչվում են ''հավասար'' (կամ ''[[Կոնգրուենտություն (երկրաչափություն)|կոնգրուենտ]]''), եթե նրանք կարող են համատեղվել այնպես, որ համընկնեն իրենց գագաթները և երկու կողմերը։ Հարթության վրա ցանկացած ճառագայթից տրված ուղղությամբ կարելի է տեղադրել միակ անկյուն՝ հավասար տրվածին։ Եթե մի անկյունը ամբողջությամբ կարող է տեղադրվել մեկ այլ անկյան ներսում այնպես, որ այդ անկյունների գագաթները և մի կողմերը համընկնեն, ապա առաջին անկյունը փոքր է երկրորդից։ ''Կից'' անվանենք երկու անկյուն, տեղադրված այնպես, որ մեկի կողմը համընկնում է մյուսի կողմի հետ (իսկ նշանակում է , համընկնում են նաև գագաթները), բայց իրենց ներքին տիրույթները չեն հատվում։ Երկու կից անկյունների չհամընկնող կողմերով կազմված անկյունը անվանենք այդ անկյունների ''գումար''։ Յուրաքանչյուր անկյան կարելի է համապատասխանության մեջ դնել թիվ (անկյան չափ) այնպես, որ 
* հավասար անկյուններին համապատասխանում է հավասար անկյունային չափ,
* փոքր անկյանը համապատասխանում է փոքր անկյունային չափ,
* անկյունը, որի կողմերը համընկնում են (զրոյական անկյուն), անկյունային չափը հավասար է զրոյի (նույնը ճշմարիտ է նաև զուգահեռ ուղիղների միջև անկյան համար),
* յուրաքանչյուր ոչ զրոյական անկյուն ունի զրոյից մեծ որոշակի անկյունային չափ,
* {{anchor|ադիտիվություն}}(ադիտիվություն) անկյան անկյունային չափը հավասար է այն անկյունների գումարին, որոնց նա տրոհվում է իր կողմերի միջով անցնող ցանկացած ճառագայթով։

Նշանակումների որոշ համակարգերում, եթե անհրաժեշտություն կա տարբերել անկյունը և իր չափը, անկյան համար (երկրաչափական պատկերի) օգտագործվում է <math>\angle ABC </math> նշանակումը, իսկ այդ անկյան չափի մեծության համար՝ <math>\widehat{ ABC}.</math> նշանակումը։

[[Պատկեր:Angle measure.svg|thumb|200 px|{{math|θ}} անկյան չափը ռադիաններով հավասար է իրեն ձգող {{math|''s''}} աղեղի երկարության հարաբերությանը իր {{math|''r''}} շառավղին։]]

Անկյունը չափում են ՝
* [[Աստիճան (երկրաչափություն)|աստիճաններով, րոպեներով, վայրկյաններով]],
* [[Ռադիան (չափման միավոր)|Ռադիաններով]],
* [[Պտույտ(չափման միավոր)|պտույտներով]],
* [[Գրադ (չափման միավոր)|գրադներով, րոպեներով, վայրկյաններով]]։

Առավել տարածված աստճանային չափն է ''[[Աստիճան (երկրաչափություն)|աստիճան, րոպե, վայրկյան]]'', որի մեջ որպես 1° ընդունվում է փռված անկյան 1/180 (տե՛ս [[#փռված անկյուն|ներքևում]]), մեկ րոպեն՝ <math>1'=1^\circ/60</math> , և մեկ վայրկյանը՝ <math>1''=1'/60</math>։ Աստճանային չափը կիրառվում է [[էլեմենտար երկրաչափություն]]ում (գծագրություններում անկյան չափումը [[փոխադիրչ]]ով), [[գեոդեզիա]]յում քարտեզով և տեղանքում(տեղանքում անկյունների չափման համար օգտագործում են բավականին ճշգրիտ սարք՝ ունիվերսալ անկյունաչափոց)<ref>{{Cite web |title=ГЕОДЕЗИЯ                                                                                             {{!}} Энциклопедия Кругосвет |url=http://www.krugosvet.ru/enc/Earth_sciences/geografiya/GEODEZIYA.html |accessdate=2018 թ․ փետրվարի 7 |website=www.krugosvet.ru |language=ru}}</ref>։

[[Պատկեր:Angle radian.svg|thumb|200px|right| 1 ռադիան անկյուն]]
Անկյան [[ռադիան]]ային չափը ձգող աղեղի {{math|''s''}} երկարության հարաբերությունն է իր {{math|''r''}} շառավղին([[Միավորների միջազգային համակարգ|համակարգային]])։ Ռադիանային չափը կիրառվում է [[մաթեմատիկական անալիզ]]ում (օրինակ, որպես [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|եռանկյունաչափական ֆունկցիայի]] թվային արգումենտ և հակադարձ [[Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|արկֆունկցիաների]] թվային արժեքների(աղյուսակային և [[Ֆունկցիայի գրաֆիկ|գրաֆիկական]]) որոշման դեպքում, [[հարթաչափություն]]ում և [[մեխանիկա]]յում (կետի կամ առանցքի շուրջը [[պտույտ]] կատարելիս) և այլն)<ref>{{Cite news |title=Математический анализ |url=http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 |access-date=2018 թ․ փետրվարի 7 |newspaper=Математика |language=ru}}</ref>։ 
''[[Պտույտ (չափի միավոր)|Պտույտ]]'',անկյունը ձգող աղեղի (այսինքն, ամբողջությամբ անկյան ներսում գտնվող անկյան գագաթի կենտրոնով շրջանագծի աղեղի, որի ծայրերը գտնվում են անկյան կողմերի վրա) {{math|''s''}} երկարության հարաբերությունն է շրջանագծի {{math|''L''}} երկարությանը։
Անկյունների չափման ''Գրադային'' չափը օգտագործման համար առաջարկվել է հնուց եկող ժամանակներից, այժմ գրեթե ոչ մի տեղ չի օգտագործվում,քանի որ չկարողացավ դուրս մղել առավել տարածված վաթսունական աստիճանը։ 
Անկյունների չափումը աստճանային չափով գալիս է հին [[Բաբելոն]]ից, որտեղ օգտագործվում էր [[հաշվման վաթսունական համակարգ]]ը, որի հետքերը մեզ մոտ պահպանվել են [[Ժամանակի չափման միավոր|ժամանակի]] և անկյունների բաժանման մեջ<ref>{{Cite news |title=Древний Вавилон |url=http://diletant.media/excursions/32907739/ |access-date=2018 թ․ փետրվարի 7 |newspaper=diletant.media |language=ru}}</ref>։
1 պտույտը = 2{{math|π}} ռադիաններով = 360° = 400 [[Գրադ (չափման միավոր)|գրադներով]]։
[[Միավորների միջազգային համակարգ|ՄՄՀ]]-ում անկյան չափման հիմնական միավորը հանդիսանում է [[ռադիան]]ը։

Ծովային տերմինալոգիայում անկյունները չափվում են [[ծովայի ռումբ]]երով՝ կողմնացույցի հատվածամասերով, 1 ռումբը հավասար է կողմնացույցի ամբողջ շրջանագծի (360 աստիճան) {{frac|1|32}}, այսինքն 11,25 աստիճան, կամ 11°15′։
Աստղագիտության մեջ [[Ուղիղ ծագում|ուղիղ ծագման]] անկյունը և [[Ժամային անկյուն, երկնային կոորդինատական համակարգ|ժամային անկյունը]] [[հասարակածային կոորդինատային համակարգ]]ում չափվում են ժամերով, րոպեներով և վայրկյաններով (կազմելով համապատասխանաբար լրիվ շրջանագծի {{frac|1|24}}, {{frac|1|1440}} և {{frac|1|86400}}), դա կապված է Երկրի առանցքային պտույտի [[անկյունային արագություն]]ից , կազմելով ''մոտավորապես'' 1 պտույտ 24 ժամում<ref group="Ն">В действительности истинный период обращения Земли относительно неподвижных звёзд примерно на 4 минуты короче, чем 24 часа, см. [[звёздное время]].</ref>։ Այսպիսով, մեկ ժամ(րոպե, վայրկյան) ժամանակամիջոցում երկնային սֆերան «պտտվում է» մոտավորապես 1 ժամ(րոպե, վայրկյան) անկյունային չափով։ Մնացած անկյունային մեծությունները աստղագիտության մեջ արտահայտվում են հիմնականում աղեղի աստճաններով, րոպեներով և վայրկյաններով։ Սխալից խուսափելու համար կարելի է նշել, որ ուղիղ ծագման մեկ վայրկյանը (րոպեն) հավասար է աղեղի 15 վայրկյանին (րոպեին)։

[[Հրետանի|Հրետանագիտության]] և զենքային գործի մեջ կիրառվում են նաև [[Հազարերրորդական (անկյուն)|հազարերրորդականները]] և [[ռազմական անկյունաչափի բաժանումները]]։

Որոշ համատեքստերում, այնպիսիք ինչպես [[Բևեռային կոորդինատային համակարգ|բևեռային կոորդինատներում]] կետի նույնականացումը կամ օբյեկտի կողմնորոշման նկարագրելը երկու չափումներում իր բազային կողմնորոշվածության նկատմամբ, ամբողջ թվով պտույտներով տարբերվող անկյունները, փաստորոն հանդիսանում են էկվիվալենտ<ref>{{Cite web |title=Полярная система координат: основные понятия и примеры |url=https://function-x.ru/geometry_coordinates_polar.html |accessdate=2018 թ․ փետրվարի 7 |website=function-x.ru}}</ref>։ Օրինակ, այդպիսի դեպքերում կարելի է էկվիվալենտ համարել 15° և 360015° {{nobr|({{=}} 15° + 360°×1000)}} անկյունները։ Ուրիշ համատեքստերում, այնպիսիք ինչպես կետի նույնականացումը զսպանակաձև կորի վրա կամ օբյեկտի ամբողջական պտույտների նկարագրությունը երկու չափումներում իր բազային կողմնորոշվածության նկատմամբ, ոչ զրոյական ամբողջ թվով ամբողջ պտույտներով տարբերվող անկյունները էկվիվալենտ չեն։

Որոշ հարթ անկյուններ ունեն հատուկ անուններ։ Բացի վերը նշված չափման միավորներից (ռադիան, ռումբ, աստիճան և այլն), իրենց թվին են դասվում.
* [[հարթության կվադրանտ|կվադրանտներ]] (ուղիղ անկյուն, շրջանագծի {{frac|1|4}} մասը),
* [[սեկտանտ]] (շրջանագծի {{frac|1|6}} մասը),
* [[օկտնտ]] (շրջանագծի {{frac|1|8}} մասը, բացի այդ, [[տարածաչափություն]]ում օկտանտ է կոչվում երեք, փոխադարձ ուղղահայաց հարթություններով կազմված եռանիստ անկյունը։

[[Պատկեր:Ten percent slope.svg|180px|thumb|right|Անկյան նշանակումը ճանապարհի թեքության ճանապարհային նշանի վրա։]]

Երբեմն անկյունները (օրինակ, մակերևույթի [[Թեքություն (գեոդեզիա)|թեքության]] անկյունը) չափում են ոչ հենց անկյունային չափով, այլ իր [[տանգենս]]ով (կամ [[սինուսով]]), այսինքն թեք հարթության բարձրության հարաբերությամբ իր անցած ճանապարհի հորիզոնական պրոյեկցիային(կամ հենց այդ ճանապարհին)։ Փոքր անկյուններով թեքության սովորական դեպքի համար այդ հարաբերությունը մոտավորապես հավասար է [[ռադիան]]ներով արտահայտված անկյան({{math|tg α ≈ sin α ≈ α}}, {{math|α < 0,1}} դեպքում տարբերությունը այդ մեծությունների միջև 1% է)։ Այդ դեպքում հարաբերությունը հիմնականում արտահայտվում է [[տոկոս]]ներով կամ [[պրոմիլ]]ներով։ Օրինակ, ճանապարհի 10 % թեքությունը նշանակում է, որ ճանապարհի յուրաքանչյուր 100 մետրում (հորիզոնական պրոյեկցիան) ճանապարհը բարձրանում է 10մ, հորիզոնի նկատմամբ անկյունը հավասար է [[Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|arctg]](10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 ռադիան։ Անկյունների նմանատիպ չափումը խիստ ասած չի հանդիսանում անկյունային չափ, քանի որ օժտված չի ադիտիվությոան հատկություններով(տե՛ս [[#ադիտիվություն|վերևում]])։
Տե՛ս նաև՝ {{нп5|մոտարկում փոքր անկյունների համար|||Small-angle approximation}}.

=== Անկյունների հաշման ուղղություն ===
[[Պատկեր:Azimut principe.png|thumb|right|300px|Սլաքով ցուց է տրված անկյունների հաշվման ուղությունը]]
[[Մաթեմատիկա]]յում և [[ֆիզիկա]]յում սովորաբար անկյունների հաշվման դրական ուղղություն է համարվում [[Ժամսլաքին հակառակ ուղղություն|ժամսլաքին հակառակ]] ուղղությունը։ Սովորաբար անկյունը սկսում են չափել այն ճառագայթից, որի սկիզբը համընկնում է [[կոորդինատական համակարգ]]ի (ԿՀ) կենտրոնի հետ, իսկ ուղղությունը համընկնում է [[աբցիս]]ների առանցքի դրական ուղղության հետ ( [[Բևեռային կոորդինատական համակարգ|բևեռային]] ԿՀ-ում,[[Գլանային կոորդինատային համակարգ|գլանային]] ԿՀ-ում, [[Գնդաձև կոորդինատական համակարգ|գնդաձև]] ԿՀ-ում, [[Միավոր շրջանագիծ|եռանկյունաչափական շրջանագծի]] ԿՀ-ում և այլնում)։
[[Աշխարհագրություն]]ում և [[գեոդեզիա]]յում անկյունների հաշվման սկիզբ ըստ [[ազիմուտ]]ի ընդունված է «դեպի ''[[հյուսիս]]''» ուղղությունը, անկյունը հաշվվում է [[Ժամսլաքի ուղղություն|ժամսլաքի ուղղությամբ]]։
Այսպիսով, «դեպի ''արևելք''» ուղղությունը համապատասխանում է ազիմուտյան 90° անկյանը, «դեպի ''հարավ''» — 180°, «դեպի ''արևմուտք''» — 270°։ [[Հրետանի|Հրետանագիտության]] մեջ նախընտրում են [[Բևեռային կոորդինատական համակարգ|բևեռային առանցքի]] ուղղույունը «на ''հարավ''» և համապատասխան [[Բևեռային կոորդինատային համակարգ|բևեռային]] անկյունը նույնպես ազիմուտ են անվանում («դեպի ''արևմուտք ուղղությունը''» համապատասխանում է ազիմուտյան 90° անկյանը)։

{{Տես նաև|Եռանկյունաչափական շրջանագիծ}}

== Անկյունների տեսակներ ==
<gallery mode="packed">
Պատկեր:Angle acute.svg|Սուր անկյուն
Պատկեր:Angle obtuse.svg|Բութ անկյուն
Պատկեր:Reflex angle.svg|Ոչ ուռուցիկ անկյուն
Պատկեր:Right angle.svg|ուղիղ անկյուն
Պատկեր:Angle straight.png|Փռված անկյուն
Պատկեր:Full angle.svg|Ամբողջ անկյուն
</gallery>

Կախված անկյան մեծությունից կոչվում են հետևյալ կերպ
* Զրոյական անկյուն (0°), զրոյական անկյան կողմերը համընկնում են, նրա ներքին տիրույթը [[Դատարկ բազմություն|դատարկ բազմությունն է]]։ 
* Սուր անկյուն (0°-ից մինչև 90°, չներառած սահմանային արժեքները)։
* [[Ուղիղ անկյուն]] (90°),ուղիղ անկյան կողմերը միմյանց փոխուղղահայաց են։
* Բութ անկյուն (90°-ից մինչև 180°, չներառած սահմանային արժեքները)։
* Շեղ անկյուն (ցանկացած 0°, 90°, 180° կամ 270° ոչ հավասար անկյուն)։
* Փռված անկյուն (180°), փռված անկյան կողմերը հանդիսանում են մեկ ուղու երկու [[կիսաուղիղ]]ներ, այսինքն կա երկու ճառագայթ՝ ուղղված հակառակ ուղղություններով։ 
* Ուռուցիկ անկյուն(0°-ից մինչև 180° ներառյալ)։
* Ոչ ուռուցիկ անկյուն (180°-ից մինչև 360°, չներառած սահմանային արժեքները)։
* Լրիվ կամ ամբողջ անկյուն (360°) — տես [[պտույտ (չափման միավոր)]].

{{տես նաև|Կենտրոնական անկյուն}}

== Կիսորդ ==
Անկյան [[կիսորդ]] ({{lang-la|bi-}} «երկակի» և {{lang-la2|sectio}} «կտրում» բառերից) կոչվում է անկյան գագաթից դուրս եկող և իր ներքին տիրույթով անցնող ճառագայթը, որը իր կողմերի հետ ձևավորում է երկու հավասար անկյուն<ref>{{Cite web |title=Биссектриса. Подробная теория с примерами. |url=https://youclever.org/book/bissektrisa-2 |accessdate=2018 թ․ փետրվարի 7 |website=youclever.org |language=en}}</ref>։ Կիսորդի ցանկացած կետի հեռավորությունը անկյան կողմերից միևնույնն է(և հակառակը, անկյան ներքին տիրույթի ցանկացած կետ, որը հավասարահեռ է անկյան կողմերից, ընկած է կիսորդի վրա)։

== Հարթ անկյուններ ==
''Հարթ անկյուն'' տերմինը օգտագործվում է որպես ''անկյուն''(սահմանվել է հոդվածի սկզբում) տերմիմինի հոմանիշ, [[#հարթ անկյուն|հարթ անկյուն]] օգտագործվելիք տերմինից տարբերելու համար (այդ թվում երկնիստ, եռանիստ կամ բազմանիստ անկյունների համար)։
Հարթ անկյունների հատկությունների տակ ոչ հաճախ հասկանում են անկյունների մեծությունների հարաբերություն(կից,լրացնող,հարակից,հակադիր - տես ներքևում) այն դեպքում, երբ անկյունները ընկած են մի հարթության մեջ ( հարթաչափության համար դա ինքնին ենթադրվում է, սակայն տարածաչափության համար ճշտումն անհրաժեշտ է, այլապես սկզբում թվարկված հարաբերությունները տեղի չունեն, իսկ իրենք՝ անկյունները, եթե չեն պատկանում միևնյուն հարթությանը, չեն կոչվում կից կամ հարակից (հակադիրները ավտոմատ կերպով միշտ են ընկած մի հարթության մեջ))։

=== Հակադիր և հարակից անկյուններ ===
<gallery mode="packed">
Պատկեր:Vertical Angles.svg|Հակադիր անկյուններ: Երկու զույգ՝ (A и B, C и D) անկյունները զույգ առ զույգ հավասար են
Պատկեր:Consecutive angles.svg|Հարակից անկյուններ: Անկյունների արտաքին (ոչ ընդհանուր) կողմերով կազմված անկյան մեծությունը հավասար է հենց իրենց մեծությունների (α + β) գումարին 
Պատկեր:Complement angle.svg| <var>a</var> և <var>b</var> [[Լրացնող անկյունները]] (փոխադարձ լրացնում են մեկը մյուսին միչև ուղիղ անկյուն): Երկու լրացնող անկյուններն էլ հանդիսանում են սուր անկյուններ
Պատկեր:Supplementary angles.png|Կից անկյուններ: Այս նկարում  (α) սուր և (β) բութ անկյունները ձևավորում են  (α + β) փռված անկյունը
Պատկեր:Explementary angles.png|Փոխադարձաբար կապված անկունները կազմում են լրիվ (360°) անկյուն: Այս նկարի վրա մասնավոր դեպք է. 150° + 210° = 360°
</gallery>
* ''[[Հակադիր անկյունները]]'' երկու անկյուններ են, որոնք ձևավորվում են երկու ուղիղների հատումից, այդ անկյունները չունեն ընդհանուր կողմեր։Այլ խոսքերով, երկու անկյուններ կոչվում են հակադիր, եթե մի անկյան կողմերը հանդիսանում են մյուս անկյան կողմերի շարունակությունները։ Իրենց հիմնական հատկությունն այն է, որ ''հակադիր անկյունները հավասար են''։
* ''Հարակից անկյունները'' երկու անկյուններ են, որոնք ունեն ընդհանուր կողմ և գագաթ, բայց մի հարթության վրա ընկած երկու չհատվող ներքին տիրույթներ։ Հարակից անկյունների արտաքին (ոչ ընդհանուր) կողմերով կազմված անկյան մեծությունը հավասար է հենց հարակից անկյունների մեծությունների գումարին (նկարի մեջ α + β)։

Հարակից անկյունների մասնավոր դեպքեր։

:* Եթե հարակից անկյունները հավասար են, ապա նրանց ընդհանուր կողմը [[#Կիսորդ|կիսորդն]] է։

:* ''[[Լրացնող անկյունները]]''  ընդհանուր գագաթով երկու անկյուններ են, որոնց կողմերից մեկը ընդհանուր է, իսկ մյուս երկու կողմերը կազմում են ուղիղ անկյուն։ Լրացնող անկյունների գումարը հավասար է 90°։ Անկյան [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|սինուսը]], [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|տանգենսը]] և [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|սեկանսը]] համապատասխանաբար հավասար են լրացնող անկյան [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|կոսինուսին]], [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|կոտանգեսին]] և [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|կոսեկանսին]]։

:* ''[[Կից անկյունները]]''  ընդհանուր գագաթով երկու անկյուններ են, որոնց մի կողմը ընդհանուր է, իսկ մյուս կողմերը ընկած են մի ուղղի վրա (չեն համընկնում)։ Կից անկյունների գումարը հավասար է 180°։

:* ''Փոխադարձաբար կապված անկյունները'' երկու անկյուններ են, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ և երկու կողմեր, բայց տարբերվող ընդհանուր տիրույթներ. այդպիսի անկյունների միավորումը իրենից ներկայացնում է ամբողջ հարթությունը, իսկ որպես հարակից անկյուններ նրանք իրար հետ կազմում են լրիվ անկյուն, նրանց մեծությունների գումարը 360°։

=== (Հակա)զուգահեռ կողմերով հարթ անկյուններ ===
[[Պատկեր:Angles with parallel lines.png|280px|thumb|right|Զուգահեռ կողմերով անկյուններ։]]

Անկյունները, որոնց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են և համուղված (կամ զույգ առ զույգ զուգահեռ են և հակուղված են), միմյանց հավասար են։ Անկյունների զույգը, որոնց կողմերի մի զույգը զուգահեռ են և համուղված միմյանց, իսկ կողմերի երկրորդ զույգը զուգահեռ են և հակուղված,մեծությամբ գումարով կազմում են փռված անկյուն, այն է՝ 180° (տես նկարը), քանի որ զուգահեռ տեղափոխմամբ իրենց կարող ենք վերածել կից անկյունների (համուղված կողմերը «սոսնձելով»)։

=== Փոխադարձ ուղղահայաց կողմերով անկյուններ ===
* Փոխադարձ ուղղահայաց կողմերով երկու անկյուններ հավասար են, եթե նրանք երկուսն էլ սուր են կամ բութ։

=== Եռանկյան արտաքին անկյուն ===
{{main|Թեորեմ եռանկյան արտաքին անկյան մասին}}
* '''Թեորեմ եռանկյան արտաքին անկյան մասին'''։ Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է եռանկյան արտաքին անկյանը ոչ կից մյուս երկու անկյունների գումարին։

=== Բազմանկյան անկյուններ ===
{{main|Թեորեմ բազմանկյան անկյունների գումարի մասին}}

Կամայական {{math|''n''}}-անկյուն բազմանկյան առանց ինքնահատման {{math|α<sub>''i''</sub>}} ներքին անկյունների գումարը հավասար է <math>\sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} :</math>

Այսպիսով,
* [[Եռանկյուն|եռանկյան]] ներքին անկյունների գումարը հավասար է 180°,
* քառանկյանը՝ 360°,
* հնգանկյանը՝ 540° և այլն։

==== Հետևություն ====
''Ներքին'' անկյուն անվանենք {{math|β<sub>''i''</sub>}} (ուշադրություն, սա արտաքին անկյան '''ոչ''' սովորական սահմանումն է) անկյունը, որը ներքին {{math|α<sub>''i''</sub>}} անկյունը լրացնում է մինչև լրիվ անկյուն. {{math|β<sub>''i''</sub> {{=}} 360° − α<sub>''i''</sub>}}։

Կամայական {{math|''n''}}-անկյուն բազմանկյան առանց ինքնահատման արտաքին անկյունների գումարը հավասար է <math>\sum_{i=1}^n \beta_i = n\cdot 360^{\circ} - \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n+2)\cdot 180^{\circ} :</math>

== Կենտրոնական և ներգծյալ անկյուն ==
Շրջանագծի ցանկացած կոնկրետ աղեղի կարելի է համադրել միակ կենտրոնական և անսահման բազմությամբ ներգծյալ անկյուններ։ 
<gallery mode="packed">
Պատկեր:Angle central1.svg|Կենտրոնական անկյուն
Պատկեր:Angle inscribed1.svg|Ներգծյալ անկյուն
</gallery>
* ''[[Կենտրոնական անկյուն]]ը'' [[Շրջանագիծ|շրջանագծի]] կենտոնով գագաթով անկյուն է։ Կենտրոնական անկյան մեծությունը հավասար է այդ անկյան կողմերի մեջ պարփակված աղեղի աստճանային չափին։
* ''[[Ներգծյալ անկյուն]]ը'' անկյուն է, որի գագաթը ընկած է շրջանագծի վրա, իսկ կողմերը հատում են այդ շրջանագիծը։ Ներգծյալ անկյան մեծությունը հավասար է իր կողմերով սահմանափակված աղեղի աստճանանային չափի կեսին։ Միևնույն աղեղի վրա հենված բոլոր ներգծյալ անկյունները հավասար են։
[[Պատկեր:Inscribed angle theorem.svg|thumb|right|200px| ''θ'' ''ներգծյալ անկյունը'' հավասար է նույն աղեղի (վարդագույն գույնի) վրա հենված ''կետտրոնական անկյան'' 2''θ'' մեծության կեսին։ Այսինքն ''θ'' անկյունը շրջանագծի վրա վերցրած (կանաչ և կապույտ անկյունները)գագաթից գագաթ չի փոխում իր մեծությունը։ Շրջանագծի մյուս կողմից ներգծած անկյան ''արտաքին անկյունը'' ունի միևնույն ''θ'' մեծությունը (շականակագույն)]]
''Ներգծյալ անկյան'' մեծությունը հավասար է շրջանագծի նույն աղեղի վրա հենված ''կենտրոնական անկյան'' կեսին(տե՛ս նկարը)։

== Տարբերակներ և ընդհանրացումներ ==
<math>AB</math> և <math>CD</math> ուղիղների միջև (նշանակենք։ <math>\angle(AB,CD)</math>) կողմնորոշված անկյան մեծություն անվանում են այն անկյան մեծությունը, որի վրա պետք է ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ պտտել <math>AB</math> ուղիղն այպես, որ նա դառնա զուգահեռ <math>CD</math> ուղղին։ Դրա հետ մեկտեղ, {{math|''n''}}·180° ({{math|''n''}} — ամբողջ թիվ) վրա տարբերվող անկյունները համարվում են հավասար։ Հարկավոր է նշել,որ <math>CD</math> և <math>AB</math> ուղիղների միջև կողմնորոշված անկյունը հավասար չէ <math>AB</math> և <math>CD</math> ուղիղների միջև կողմնորոշված անկյանը(նրանք գումարային կազմում են 180°, որը ըստ մեր պայմանավորվածության նույնն է թե 0°)։ Կողմնորոշված անկյունները օժտված են հետևյալ հատկություններով.
ա) <math>\angle(AB,BC)=-\angle(BC,AB),</math>

բ) <math>\angle(AB,CD)+\angle(CD,EF)=\angle(AB,EF),</math>

գ)<math>A,B,C,D,</math> մի ուղղի վար չնկած, միևնույն շրջանագծին պատկանող կետեր են միայն այն դեպքում, երբ <math>\angle(AB,BC)=\angle(AD,DC):</math>

Պրակտիկ խնդիրների շարքը բերում է անկյունների նպատակահարմար դիտարկումը որպես պատկեր, որը ստացվում է О կետի (որից դուրս է գալիս ճառագայթը) շուրջը մինչև տրված դիրք ֆիքսված ճառագայթի պտտումից։ Այդ դեպքում անկյունը հանդիսանում է ճառագայթի պտույտի չափը։ Նման սահմանումը թույլ է տալիս ընդհանրացնել անկյան հասկացությունը, ընդլայնելով իր սահմանումը ամբողջ <math>(-\infty ; +\infty)</math> թվային ուղղի վրա, ներմուծվում են 360° մեծ անկյուններ։ Կախված պտույտի ուղղությունից տարբերում են [[Ուղղորդված անկյուն|դրական և բացասական անկյուններ]]։ [[Եռանկյունաչափություն|Եռանկյունաչափության]] մեջ նման դիտարկումը թույլ է տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ուսումնասիրել արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում։

Անկյան հասկացությունը ընդհանրացվում է [[տարածաչափություն]]ում [[մարմնային անկյուն]]ը դիտարկելիս։

=== Մարմնային անկյուն ===
Հարթ անկյան ընդհանրացումը տարածաչափության մեջ հանդիսանում է մարմնային անկյունը՝ տարածության մաս, որը հանդիսանում է մի կետից դուրս եկող (անկյան ''գագաթներ'')և ինչ-որ մակերևույթ (որը կոչվում է տվյալ հարթ անկյունը ''ձգող'' մակերևույթ)հատող բոլոր ճառագայթների միավորումը։

Մարմնային անկյունները չափվում են [[ստեռադիան]]ներով(ՄՀ-ում հիմնական միավորներից մեկը), ինչպես նաև ոչ համակարգային միավորներով՝ ամբողջական գնդի մասերով(այսինքն 4{{math|π}} ստեռադիան կազմող ամբողջական հարթ անկյամբ)։

Մարմնային անկյուններ մասնավորապես հանդիսանում են հետևյալ երկրաչափական մարմինները.
*[[Երկնիստ անկյուն]]՝ երկու հատվող հարթություններով սահմանափակված տարածության չափ,
*[[Եռանիստ անկյուն]]՝ երեք հատվող հարթություններով սահմանափակված տարածության չափ,
*[[Բազմանիստ անկյուն]]՝ մի կետում հատվող մի քանի հարթություններով սահմանափակված տարածության մաս։

Երկնիստ անկյունը կարող է բնութագրվել ինչպես գծային անկյուն (իրեն ձևավորող հարթությունների միջև անկյուն), այնպես էլ մարմնային անկյուն(որպես գագաթ կարող է ընտրված լինել իր ''կողի''՝ իր նիստերի հատման ուղղի, վրա գտնվող ցանկացած կետ)։Եթե երկնիստ անկյան գծային անկյունը (ռադիաններով) հավասար է {{math|φ}}, ապա իր մարմնական անկյունը(ստեռադիաններով) հավասար է 2{{math|φ}}։

=== Կորերի միջև անկյուն ===
[[Պատկեր:Curve angles.svg|thumb|right|200px|Կորերի միջև Р կետում անկյունը որոշվում է որպես Р կետում հատվող А и В շոշոփողների միջև անկյուն։]]

Ինչպես հարթաչափությունում, այնպես էլ տարածաչափությունում, ինչպես նաև ուրիշ երկրաչափությունների շարքում կարելի է սահմանել [[Կոր|հարթ կորերի]] միջև անկյուն հատման կետում. ըստ սահմանման իր մեծությունը հավասար է կորերի հատման կետում [[Շոշափող|շոշոփողների]] կազմած անկյան մեծությանը։

== Անկյուն և սկալյար արտադրյալ ==
Անկյան հասկացությունը կարելի է սահմանել կամայական բնույթի [[գծային տարածություն]]ների համար(այդ թվում նաև կամայական անսահման չափողականությամբ), որոնց վրա աքսիոմատիկորեն ներմուծված է տարածության <math>x</math> և <math>y</math> երկու էլեմենտների դրական սահմանված <math>(x,y)</math> [[սկալյար արտադրյալ]]ը։ Սկալյար արտադրյալը թույլ է տալիս սահմանել նաև այսպես կոչված տարրի [[Վեկտորի նորմ|նորմը]] (երկարությունը) ինչպես տարրի ինքն իր հետ արտադրյալից քառակուսի արմատ <math>||x||=\sqrt{(x,x)}:</math> Սկալյար արտադրյալի աքսիոմներից հետևում է [[Կոշի-Բունյակովսկու անհավասարություն]]ը (Կոշի-Շվարցի) սկալյար արտադրյալի համար՝ <math>|(x,y)|\leqslant ||x||\cdot||y||,</math> որտեղից հետևում է, որ <math>\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}</math> մեծությունը ընդունում է -1 -ից մինչև 1 արժեքներ, ընդ որում սահմանային արժեքները ընդունում են այն և միայն այն դեպքում, երբ տարրերը [[Կոլենյարություն|կոլենյար]] համեմատական են միմյանց (երկրաչափորեն ասած՝ նրանց [[Վեկտորի ուղղություն|ուղղությունները]] համընկնում են կամ հակուղված են)<ref>{{Cite news |title=Неравенство Коши-Буняковского и его доказательство |url=http://ru.solverbook.com/spravochnik/reshenie-neravenstv/neravenstvo-koshi-bunyakovskogo/ |access-date=2018 թ․ փետրվարի 7 |newspaper=SolverBook |language=ru-RU |archive-date=2018-02-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180208113509/http://ru.solverbook.com/spravochnik/reshenie-neravenstv/neravenstvo-koshi-bunyakovskogo/ |url-status=dead }}</ref>։ Դա թույլ է տալիս <math>\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}</math> հարաբերությունը բացատրել ինչպես <math>x</math> и <math>y</math> տարրերի միջև անկյան [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|կոսինուս]]։ Մասնավորապես, տարրերը կոչվում են [[Օրթոգոնալություն|օրթոգոնալ]], եթե արտադրյալը (կամ անկյան կոսինուսը) հավասար է զրոյի։

Մասնավորապես, կարելի է ներմուծել որոշակի <math>[a,b]</math> ինտերվալի վրա [[Անընդհատ ֆունկցիա|անընդհատ]] ֆունկցիաների միջև անկյան գաղափարը, եթե ներմուծենք <math>(f,g) =\int^b_a f(x) g(x) dx</math> սկալյար արտադրյալը,այդ դեպքում ֆունկցիաների նորմերը որոշվում են ինչպես <math>||f||^2=\int^b_a f^2(x)dx:</math> Այդ դեպքում անկյան կոսինուսը որոշվում է ստանդարտ ձևով՝ որպես ֆունկցիաների սկալյար արտադրյալի հարաբերությունը իրենց նորմերին։ Ֆունկցիաները կարելի է անվանել նաև [[Օրթոգոնալ ֆունկցիաներ|օրթոգոնալ]], եթե նրանց սկալյար արտադրյալը (իրենց արտադրյալի ինտեգրալը) հավասար է զրոյի։

[[Ռիմանյան երկրաչափություն]]ում կարելի է անալոգ ձևով <math>g_{ij}</math> [[մետրիկական թենզոր]]ի օգնությամբ սահմանել [[շոշոփող վեկտոր]]ների միջև անկյունը։ <math>u</math> և <math>v</math> շոշափող վեկտորների սկալյար արտադրյալը [[թենզոր]]ային գրառմամբ ունի հետևյալ տեսքը՝ <math>(u,v)=g_{ij}u^iv^j,</math> համապատասխանաբար վեկտորների նորմերը՝ <math>||u||=\sqrt{|g_{ij}u^iu^j|}</math> և <math>||v||=\sqrt{|g_{ij}v^iv^j|}:</math> Այդ պատճառով անկյան կոսինուսը կորոշվի նշված սկալյար արտադրյալի հարաբերությամբ վեկտորների նորմերին ստանդարտ բանաձևով՝ <math>\cos \theta = \frac {(u,v)} {||u||\cdot ||v||} = \frac {g_{ij}u^iv^j} { \sqrt{|g_{ij}u^iu^j|\cdot |g_{ij}v^iv^j|} }:</math>

== Անկյուն մետրիկական տարածությունում ==
Գոյություն ունի նաև աշխատանքների շարք, որոնցում ներմուծվում է մետրիկական տարածության տարրերի միջև անկյան գաղափարը։

Թող <math>(X,\rho)</math>  լինի [[մետրիկական տարածություն]], իսկ <math>x,y,z</math>՝ այդ տարածության տարրեր։

Կ.Մենգերը ներմուծել է ''<math>y</math> և <math>z</math> գագաթների միջև <math>x</math> կետում գագաթով անկայն'' հասկացությունը որպես ոչ բացասական <math>\widehat{yxz}</math> թիվ, որը բավարարում է երեք աքսիոմների.
* <math>\widehat{yxz}=\widehat{zxy}</math>
* <math>\widehat{yxz}=0</math> ''այն և միայն այն դեպքում, երբ'' <math>\rho(y,z)=|\rho(x,y)-\rho(x,z)|</math>
* <math>\widehat{yxz}=\pi</math> ''այն և միայն այն դեպքում, երբ'' <math>\rho(y,z)=\rho(x,y)+\rho(x,z)</math>

[[1932 թվական]]ին Վիլսոնը որպես անկյուն դիտարկեց

<math>\widehat{yxz}_w = \arccos \frac{\rho^2(x,y)+\rho^2(x,z)-\rho^2(y,z)}{2\rho(x,y)\rho(x,z)}</math>

Դժվար չէ տեսնել, որ ներմուծված արտահայտությունը միշտ իմաստ ունի և բավարարում է Մենգերի երեք աքսիոմներին։

Բացի այդ, Վիլսոնի անկյունը օժտված է այն հատկությամբ, որ [[էվկլիդյան տարածություն]]ում էվկլիդյան տարածության իմաստով նա էկվիվալենտ է <math>y-x</math> և <math>z-x</math> միջև անկյանը։

== Անկյան չափում ==
{{main|Անկյունների չափման միջոցներ}}
Անկյունների կառուցման և չափման ամենից շատ տարածված գործիքներից մեկը հանդիսանում է [[փոխադրիչ]]ը (ինչպես նաև [[քանոն]]ը, տես ներքևում), որպես կանոն, այն օգտագործվում է որոշակի մեծության անկյան կառուցման համար։ Անկյունների շատ թե քիչ ճշգրիտ չափման համար մշակված են շատ գործիքներ. 
* [[Անկյունաչափ]],
* [[Գոնիմետր]]՝ անկյունների լաբորատոր չափման գործիք, 
* [[Կիպրեգել]]՝ գեոդեզիական անկյունաչափական սարք։

Երկու օբյեկտների միջև ''անկյունային հեռավորւթյուն'' (կամ պարզապես անկյուն) դիտողի համար կոչվում է անկյան չափը, որի գագաթում գտնվում է դիտողը, իսկ օբյեկտները ընկած են կողքերում։ Երկու հեռավոր առարկաների միջև անկյան կոպիտ գնահատականի համար կարելի է օգտագործել ձեռքի դաստակը։ 1 աստիճան (1°) անկյունային հեռավորությամբ բացած ձեռքի հեռավորությանը համապատասխանում է ճկույթի լայնությունը (ներքևում տես նաև միջնամատի անկյունային լայնությունը բացված ձեռքի հեռավորության վրա կազմում է մոտավորապես 2°), 10 աստիճան անկյանը՝ հորիզոնական դիրքում սեխմած բռունցքի լայնությունը(կամ ափի լայնությունը), 20 աստիճան անկյանը (կամ մոտավորապես 15°÷17°÷20°)՝ բացած բութ մատի և ցուցամատի ծայրերի միջև հեռավորությունը ([[թիզ]]), իսկ ճկույթի ծայրից մինչև բութ մատի ծայրը անկյունային հեռավորությունը հավասար է մոտավորապես [[Ուղիղ անկյուն|ուղիղ անկյան]] քառորդին։ Սա միջինացված տվյալներ են։ Խորհուրդ է տրվում դրանք ճշգրտել ձեր սեփական ձեռքի համար։

Անկյունների չափման համար տարբեր մեթոդներն ու գործիքները բնութագրվում են [[Անկյունային թույլտվություն|անկյունային թույլտվությամբ]],այսինքն մինիմալ անկյունով, որը կարող է չափվել տվյալ մեթոդի օգնությամբ։ Ամենալավ անկյունային թույլտվությամբ օժտված են տարբեր [[Ինտերֆերոմետրիա|ինտերֆերոմետրիկական]] մեթոդներ, որոնք թույլ են տալիս [[Ռադիոինտերֆերոմետրիա անչափ երկար բազայով|որոշ դեպքերում]] չափել անկյուններ աղեղի մի քանի միկրովայրկյաններով (~10<sup>−11</sup> ռադիան)։

=== Պրակտիկ [[Եռանկյունաչափություն|եռանկյունաչափական]] չափումների օրինակներ ===
; Խնդիրների լուծում պարզ մեթոդով
''Ինչպե՞ս չափել անկյուն (օրինակ, [[Տեղագրական քարտեզներ|քարտեզի]] վրա) եռանկյունների կողմերի օգնությամբ (օրինակ, ինժեներական/եռանկյունաչափական հաշվիչի բացակայության ժամանակ (և [http://ru.onlinemschool.com/math/formula/trigonometry_table/ աղյուսակների]) և համակարգչի բացակայությամբ ([[Microsoft Excel]]) cos չափման համար) և ձեռքի տակ գտնվող միջոցներով՝ միլիմետրային բաժանումով քանոնով։''
Անկյան կողմերի վրա առանձնացրեք 60 մմ հատվածներ և ծայրակետերը միացրեք ուղիղ գծով։ Այդ գծի երկարությունը միլիմետրերով ցույց անկյան մոտավոր մեծությունը աստիճաններով։ Այդ եղանակով կարելի է բավականին ճշգրտությամբ չափել մինչև 60° սուր անկյուններ։ Եթե անկյունը մեծ է 60°-ից, չափում են իր լրացումը մինչև 90°, 180, 270° կամ 360°։ Մինչև 90° կամ 270° իր լրացումը չափելու համար անկյան գագաթից եռանկյան միջոցով կառուցվում է ''ուղղահայաց'' իր կողմերից մեկին (հավասարակողմ եռանկյան մեջ՝ [[Եռանկայն միջնագիծ|միջնագիծը]] [[Եռանկայն կիսորդ|կիսորդ]] է և [[Եռանկայն բարձրություն|բարձրություն]])։

''Ինչպե՞ս չափել անկյունը քանոնով (տեղանքում վիզուալ կողմնորոշման դեպքում... և անկյունը համեմատել քարտեզով,տես 1 կետ)։ Միլիմետրային բաժանումներով քանոնը տեղավորեք ձեր առջև՝ աչքերից 57 սմ հեռավորության վրա ('''60 սմ-ից ոչ ավել''')։ Այդ դեպքում 1 սմ-ի հավասար բաժանումը կհամապատասխանի 1° անկյան սևեռացումը։ Այդ մեթոդի ճշգրտության մեջ դուք հեշտությամբ կհամոզվեք, եթե հիշում եք [[Կենտրոնական անկյուն|կենտրոնական անկյան]] [[Շրջանագծի աղեղ|աղեղը]] 1° -ում կազմում է մոտավորապես շառավղի 1/57 մասը։ Անկյունների չափման ճշգրտությունը քանոնի օգնությամբ(ինչպես նաև մատերի օգնությամբ, տե՛ս ներքևում) կախված է աչքերից անհրաժեշտ հեռավորության վրա քանոնի (կամ մատների) դիրքի ճիշտ ընտրությունից։ Դրանում կարելի է հեշտությամբ վարժվել թելի օգնությամբ, որի երկարությունը համապատասխանում է աչքերից մինչև բացված ձեռքի մատներ։ ''

''Ինչպե՞ս կարելի է չափել և առանց անկյունաչափային գործիքների կիրառմամբ տեղանքում տեղադրել անկյուններ ։''
Հնարավորինս պարզ դա կարելի է անել չափելիք անկյունը համեմատելով ուղղի հետ։ Ուղիղ անկյուն դուք կարող եք տեղադրել ձեռքերի ուղղություններով, որոնցից մեկը բացած է ուսի ուղղությամբ, իսկ երկրորդը բարձրացրած բութ մատով ուղղված է այնպես, որ աջ ձեռքի մատը լինի աջ աչքի առաջ(համապատասխանաբար ձախ ձեռքի մատը՝ ձախ աչքի առաջ)։ Ուղիղ անկյունը կարելի է աչքաչափով բաժանել երկու կամ երեք հավասար մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրը կհամապատասխանի 45° կամ 30° աստիճանի։<br>
Անկյունների փոքր մեծությունները տեղանքում կարելի է տեղադրել կամ չափել հետևյալ ձևով։ Առաջին հերթին քանոնով չափեք ձեր ձեռքի երեք կպցրած մատների լայնությունը՝ ցուցամատի, միջնամատի և մատանեմատի։ Եթե այն ձեր մոտ հավասար կլինի 6 սմ, ապա 60 սմ ձգած ձեռքի դեպքում նրանց վրա սևեռացված անկյունը մոտավորապես կկազմի 6°։ Հետևաբար յուրաքանչյուր այդ երեք մատի վրա սևեռված անկյուն հավասար կլինի 2°։ Իսկ, եթե այդ մատների հաստությունը ձեր մոտ կստացվի օրինակ 5սմ, ապա որպեսզի սևեռացվող անկյունները լինեն հենց այդպիսին, ձեռքը պետք է բացել 50 սմ։

''Ձգած ձեռքի դեպքում ուղիղ անկյան տակ բացած բութ մատի և ցուցամատի սևեռած անկյունը մոտավորապես կազմում է 15°։ Ինչպե՞ս դա ստուգել և ճշտել։ ''
Նախ և առաջ տեղանքում նկատեք կողմնորոշիչ և նրանից տեղադրեք 90° անկյուն։ Դա կարելի է անել նախորդ խնդրում նկարագրված ձևով։ Հետո կողմնորոշչից տեղադրել վեց 15° անկյուն՝ ուղիղ անկյան տակ բացած բութ մատի և ցուցամատի սևեռած անկյուն։ Վերջին անկյան տեղադրումը պետք է կազմի տեղանքում ուղիղ անկյուն։ Եթե դա ճշգրիտ չի ստացվել, պետք է տեղադրումը կրկնել ձգած ձեռքը աչքերից փոքր-ինչ մոտ կամ հեռու պահելով (60 սմ կարգի)։ Հենց դրանով դուք կորոշեք հեռավորությունը, որի վրա պետք է ձգել ձեռքը 15° անկյուն տեղադրելու համար<ref>''Куприн А. М''. На местности и по карте. — М. Недра, 1982. — 112 с.</ref>։

Անկյունները կարելի է հաշվել նաև տարբեր հաշվողական սարքերի և հարմարանքների օգնությամբ՝ [[Եռանկյունաչափություն|եռանկյունաչափության]] միջոցով [[Լոգարիթմական քանոն|հաշվարկային քանոնի]] վրա, [[ինժեներական հաշվիչ]]ով(այդ թվում [[(Windows) հաշվիչ]]), [[Microsoft Excel]] աղյուսակի ֆունցիաների օգնությամբ (1) [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|cos]], (2) այնուհետև [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|arccos]], և (3) ''ֆունկցիաներով'' փոխարինել նաև [[Ռադիան (չափման միավոր)|ռադիանները]] [[Աստիճան (երկրաչափություն)|աստիճանների]] (°) (ԱՀ-ի առկայության դեպքում, գոյություն ունի տրված կողմերով եռանկյունների անկյունների on-line հաշվում)։ Գոյություն ունի հատուկ եռանկյունաչափական աղյուսակներ՝ sin, cos, ինչպես նաև arccos, arcsin, ընդ որում վերջինները կարող են լինել (այդ թվում և ամենից հաճախ) աստիճանների վերահաշվարկով։

[[Անալիտիկ երկրաչափություն]]ում [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|կոորդինատային հարթությունում]] ուղիղների միջև անկյունը տրվում է օրինակ հետևյալ հավասարումով.
: <math>\alpha = \mathrm{arctg}\,\left | \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right |</math> (տե՛ս [[գծային ֆունկցիա]]ներ,տե՛ս նաև՝ [[#Անկյուն և սկալյար արտադրյալ|Անկյուն և սկալյար արտադրյալ]])։

== Նշումներ ==
{{ծանցանկ|group="Ն"}}

== Տես նաև ==
* [[Եռանիստ անկյուն]]
* [[Մարմնային անկյուն]]
* [[Ազիմուտ]]
* [[Ոսկե հատում]]
* [[Անկյունային արագություն]] 
* [[Անկյունային հաճախություն]]
* [[Եռանկյունների լուծում]]
* [[Ուղղանկյունություն]]
* [[Եռանկյունաչափություն]]
* [[Թեքում (աստղագիտություն)]]

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

== Գրականություն ==
* {{Ռուսերեն գիրք |ссылка=https://books.google.am/books?id=iz-rAAAACAAJ&dq=Погорелов+А.В.+Геометрия&hl=ru&sa=X&ei=Xn9fT8-uN4Kh4gTb2aD2Bw&ved=0CDMQ6AEwAA |автор=Погорелов А. В. |заглавие=Геометрия: учебник для 7—11 классов средней школы |год=1992 |место=М. |издательство=[[Просвещение]] |страниц=383 |isbn=9785090038546}}
* {{MathWorld|title=Line Bisector|urlname=LineBisector}}
* {{MathWorld|title=Angle|urlname=Angle}}
* {{MathWorld|title=Polygon|urlname=Polygon}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор={{nobr|K. Menger}} |заглавие=New Fondations of Euclidean Geometry |год=1931 |язык=en |издание=THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53 |тип=журнал |страницы=721‒745}}
* {{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://www.ams.org/journals/bull/1932-38-08/S0002-9904-1932-05463-5/S0002-9904-1932-05463-5.pdf |автор=W. A. Wilson |заглавие=On angles in certain metric spaces |год=1932 |язык=en |издание=Bulletin of American Mathematical Society 39 |страницы=580‒588}}
{{Արտաքին հղումներ}}
{{ՀՍՀ|հատոր=1|էջ=421}}

[[Կատեգորիա:Անկյուններ]]
[[Կատեգորիա:Երկրաչափական պատկերներ]]