Դիտել Արմատ (մաթեմատիկա) էջի վիքիկոդը

{{Այլ կիրառումներ|Արմատ (այլ կիրառումներ)}}
[[Պատկեր:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|մինի]]
'''<math>n</math>-րդ աստիճանի արմատ''' <math>a</math> թվից<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |год=1982 |часть=Корень |место=М. |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |том=3}}</ref> կոչվում է այն <math>b</math> թիվը, որոնց համար գոյություն ունի հետևյալ առնչությունը՝ <math>~b^n=a.</math>, որտեղ <math>n</math>-ը հանդիսանում է ցանկացած [[բնական թիվ]] և անվանվում է աստիճանի ցուցիչ (կամ արմատի աստիճան). այն կարող է ամենաքիչը ընդունել 2 արժեք, քանի որ <math>n=1</math> դեպքում ստացվում է նույն թիվը։

Նշանակում. <math>b=\sqrt[n]{a},</math>, աջ մասի նշանը (արմատի նշան) կոչվում է արմատական։ <math>a</math> թիվը (արմատատակ արտահայտություն) հաճախ կարող է լինել [[Իրական թվեր|իրական]] և [[կոմպլեքս թիվ]]։

Օրինակներ իրական թվերի բազմության վրա.
* <math>\sqrt[2]{9}=\pm 3,</math> որովհետև <math>{(\pm 3)}^2=9.</math>
* <math>\sqrt[3]{\ 64}=4,</math> որովհետև <math>4^3=64.</math>
* <math>\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3},</math> որովհետև <math>\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}.</math>
Ինչպես երևում է առաջին օրինակից, իրական թվով արմատը կարող է ունենալ երկու արդյունք (դրական և բացասական), որը դժվարեցնում է արմատների հետ աշխատանքը։ Որպեսզի ապահովենք թվաբանական արմատի եզակիությունը, ցուցիչը պետք է ընդունի դրական արժեքներ։ Դրա օրինակ է <math>3</math> թիվը։

== Սահմանում և առնչակից հասկացություններ ==
Բացի վերը նշվածից, կարող ենք տալ արմատի սահմանման ևս երկու եղանակ<ref>[[Մարկ Սկանավի]]. Տարրական մաթեմատիկա п.1.11, стр.49.</ref>.
* '''<math>n</math>-րդ աստիճանի արմատը''' <math>a</math> թվից, որոշվում է <math>x</math> հավարման <math>~x^n=a</math> բանաձևով (նշենք, որ լուծումը կարող է լինել մի քանի թիվ)
* '''<math>n</math>-րդ աստիճանի արմատ''' <math>a</math> թվից կարող է լինել <math>x^n-a,</math> բազմանդամի արմատը, այսինքն մի արժեք, որի դեպքում նշված բազմանդամը կնդունի զրո արժեք։
<math>\sqrt[n]{a}</math> հաշվարկման այսպիսի գործողությունը կոչվում է «<math>n</math> աստիճանի հանում» <math>a</math> թվից։ Սա մեկն է այն երկու գործողություններից, որոնք առնչվում են արմատի տեղադրման հետ{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|էջ=64.|name=VYG64 }}, մասնավորապես <math>b</math> թվի և <math>n</math> աստիճանի միջև գոյություն ունի հետևյալ առնչությունը՝ <math>a=b^n</math>: Երկրորդ գործողությունը դա [[լոգարիթմ]]ականն է, որի մեջ մտնում է հայտնի հիմքը և արդյունքը։

Երկրորդ և երրորդ աստիճանի արմատները առավել հաճախ են օգտագործվում և հետևաբար ունեն բնորոշ անուններ<ref name=VYG64/>.
* [[Քառակուսի արմատ]]. <math>\sqrt{a}:</math> Այս դեպքում, եթե արմատանշանի վրա բնական թիվը բացակայում է, հետևաբար դա 2 թիվն է, իսկ «արմատ» տերմինը՝ առանց աստիճանի, պետք է հասկանալ քառակուսային արմատը։ Երկրաչափորեն <math>\sqrt{a}</math> կարող է բնութագրել [[Քառակուսի|քառակուսու]] կողի երկարությունը, որի [[մակերես]]ը հավասար է <math>a</math>:
* [[Խորանարդ արմատ]]. <math>\sqrt[3]{a}:</math> Երկրաչափորեն <math>\sqrt[3]{a}</math> բնութագրում է բազմանիստ [[խորանարդ]]ի կողի երկարությունը, որի [[ծավալ]]ը հավասար է <math>a</math>-ի։

== Արմատներ իրական թվից ==
<math>n</math>-րդ աստիճանի արմատը <math>a</math> իրական թվի, հակում ունի ընդունելու [[Զույգ և կենտ թվեր|զույգ]] արժեքներ, իսկ <math>a</math> թիվը ընդունում է 0-ից 2 իրական արժեքները։
=== Ընդհանուր հատկություններ ===
* Կենտ աստիճանի արմատը դրական թվից՝ դրական թիվ է, և հստակ սահմանվում է այսպես։
<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a} = b</math>,{{nbsp|3}}որտեղ{{nbsp|3}}<math>a, b > 0, \ n \in \mathbb{N},</math>{{nbsp|3}}<math>n</math> - կենտ
|}</center>
: Օրինակ, <math>\sqrt[3]{125} = 5, \ \sqrt[5]{32} = 2, \ \sqrt[15]{1} = 1</math>

* Կենտ աստիճանի արմատը բացասական թվից՝ բացասական թիվ է, և հստակ սահմանվում է այսպես։
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a} = b</math>,{{nbsp|3}}որտեղ{{nbsp|3}}<math>a, b < 0,\ n \in \mathbb{N},</math>{{nbsp|3}}<math>n</math> - կենտ
|}
: Օրինակ, <math>\sqrt[3]{-8} = -2, \ \sqrt[5]{-243} = -3, \ \sqrt[7]{-1} = -1</math>

* Զույգ աստիճանի արմատը դրական թվից ունի երկու արժեք՝ տարբեր նշաններով, սակայն [[մոդուլ]]ով հավասար։
<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a} = \pm b</math>,{{nbsp|3}}որտեղ{{nbsp|3}}<math>a, b > 0,\ n \in \mathbb{N},</math>{{nbsp|3}}<math>n</math> - զույգ
|}</center>
: Օրինակ, <math>\sqrt{4} = \pm 2, \ \ \sqrt[4]{81} = \pm 3, \ \ \sqrt[10]{1024} = \pm 2</math>

* Իրական թվերի բազմության վրա զույգ աստիճանի արմատ բացասական թվից գոյություն չունի, քանի որ և՛ բացասական, և՛ դրական թվերի արտադրյալը դրական թիվ է։ Այդպիսի բան կարող է տեղի ունենալ միայն կոմպլեքս թվերի դեպքում։
<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a}</math>{{nbsp|3}}գոյություն չունի, եթե{{nbsp|3}}<math>a < 0,\ n \in \mathbb{N},</math>{{nbsp|3}}<math>n</math> - զույգ
|}</center>

* Ցանկացած բնական աստիճանի արմատը զրո թվից՝ [[զրո]] է։
<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{0} = 0,</math>{{nbsp|3}}որտեղ{{nbsp|3}}<math>n \in \mathbb{N}</math>
|}</center>

[[Պատկեր:Fonction racine carrée - tangente en 0.svg|մինի|280px|Թվաբանական քառակուսային արմատի ֆունկցիայի գրաֆիկը]]

=== Թվաբանական արմատ ===
Զույգ աստիճանի արմատները, այսպես ասած միանշանակ չեն, և դա խնդիր է ստեղծում արմատները օգտագործման ժամանակ։ Հետևաբար գոյություն ունի այս հասկացության կարևոր սահմանափակում<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |год=1982 |часть=Арифметический корень |место=М. |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |том=1}}</ref>։

<math>n</math>-րդ աստիճանի թվաբանական արմատը ոչ բացասական, իրական <math>a</math> թվից, դա այն ոչ բացասական <math>b</math> թիվն է, որի դեպքում տեղի ունի <math>~b^n=a.</math> առնչությունը։ Ի դեպ թվաբանական արմատը ունի գրության նույն նշանը։

Այսպիսով [[Թվաբանություն|թվաբանական]] արմատը ի տարբերություն նախորդի (''հանրահաշվական''<ref>Алгебраический (многозначный) корень в источниках часто называют просто корнем.</ref>), հանդես է գալիս ոչ բացասական իրական թվերի համար և այն միշտ գոյություն ունի՝ միարժեք{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Т. I, С. 35-36.}} և ոչ բացասական։ Օրինակ, <math>4</math> թվի քառակուսի արմատը ունի երկու արժեք՝ <math>2</math> և <math>-2</math>, մինչդեռ թվաբանականի արժեքը հանդիսանում է առաջինը։
: ''Քանի որ թվաբանական և հանրահաշվական ունեն գրության նույն ձևը, ապա այս հոդվածում թվաբանական արմատը կնշվի կապույտ, իսկ հանրահաշվականը՝ սև:''

=== Հանրահաշվական հատկություններ ===
* Արմատի և [[աստիճան]]ի<ref>Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов, под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2002, С. 209.</ref> կապը՝ կենտ <math>n</math> թվերի դեպքում. {{nbsp|3}}<math>~\sqrt[n]{a^n} = a</math>, զույգերի դեպքում <math>n</math>: {{nbsp|3}}<math>~{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^n}}} = |a|</math>
* Եթե <math>a<b</math>, ապա <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} < {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}</math>
Արմատը տարբեր արմատների [[Գործողություններ|արտադրյալի]] արդյունք է.
* <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{ab}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}</math>
Բաժանման դեպքում նույնպես.
* <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{\frac {a} {b}}}} = \frac{{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black} {a}}}} {{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}},\; b\ne 0 </math>
Այս հավասարումը սահմանում է [[կոտորակ]]ային աստիճանը{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|էջ=183.|name=VYG183 }}։
* <math>a^{m/n} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}} = \left({\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m</math>
Արմատի արժեքը չի փոխվում, եթե ցուցիչը և աստիճանը բաժանվում են իրենց ընդհանուր բաժանարարի վրա.
* * <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a^{mk}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}}, \; n,k \in \mathbb N.</math> Օրինակ։ <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}6}] {\color{black}{64}}}={\color{blue}\sqrt[{\color{black}{2\cdot 3}}] {\color{black}{4^3}}} = {\color{blue}\sqrt {\color{black}{4}}} = 2</math>
* * <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{blue}\sqrt[{\color{black}k}] {\color{black} {a}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a}}}, \; n,k \in \mathbb N</math>
Կենտ արմատների համար նշենք մեկ այլ լրացուցիչ հատկություն.
* <math>\sqrt[n]{-a} = - \sqrt[n]{a}</math>

=== Արմատի և կոտորակային արմատի բարձրացում ===
Արմատի բարձրացման հիմնական գործողութոյւնը բնական թվերի միմյանցով բազմապատկումն է. <math>~m^n={\color{Gray}\underbrace{\color{Black}m\cdot m\cdot\dots\cdot m}_{\color{Black}n}}</math>: Հաջորդ քայլը ընդգրկում է լայն սահմաններ, այդ թվում նաև բացասական թվեր. <math>~m^{-n}=\frac{1}{m^n}:</math>

Հանրահաշվական արմատը կարող ենք առանձնացնել ցանկացած տեսքի կոտորակային արմատների<ref name=VYG183/>.
: <math>a^{\frac{m}{n}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}},</math> {{nbsp|3}} <math>a>0</math>
<math>\frac{m}{n}</math> կոտորակի <math>m</math> համարիչը կարող է լինել մեկ նշան։ Այս հատկութոյւնները օգտագործվում են միայն բնական աստիճանի դեպքում։

Այս սահմանումը նշանակում է, որ արմատը և դրա հակադիրը ունեն նույն [[Հանրահաշիվ|հանրահաշվական]] էությունը։ Մասնավորապես.
: <math>~{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} = a^{\frac{1}{n}}</math>
Բացասական թվերով [[Ռացիոնալ թիվ|ռացիոնալ]] արմատը կարող է հանգեցնել սխալների, քանի որ հանրահաշվական արմատը երկարժեք է, իսկ այն սահմանափակվում է ոչ բացասական թվերով։ Հնարավոր սխալի օրինակ.
: <math>-1 = (-1)^{2\ \cdot\ \frac{1}{2}} = \left({(-1)^2}\right)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}={\color{blue}\sqrt{\color{black}1}}= 1</math>

=== Արմատային ֆունկցիա ===
<gallery caption="Արմատային ֆունկցիայի գրաֆիկը" widths=300 heights=290>
Պատկեր:Función raíz 1.png|Արմատային ֆունկցիայի գրաֆիկը որոշված է <math>[0; \ 1]</math> միջակայքի վրա
Պատկեր:Función raíz 2.png|Արմատային ֆունկցիա.<br>- հանրահաշվական, զույգ աստիճաններ 2,&nbsp;4,&nbsp;6<br>- ընդհանուր, կենտ աստիճաններ 3,&nbsp;5,&nbsp;7
</gallery>
Եթե հաշվի առնենք, որ արմատային արտահայտությունը ունի փոփոխական, ապա մենք կստանանք <math>n</math>-й степени: <math>y=\sqrt[n] x</math> աստիճանի արմատով ֆունկցիա։ Այս [[ֆունկցիա]]ն մտնում է հանրահաշվական ֆունկցիաների շարքը։ Ցանկացած արմատային [[ֆունկցիայի գրաֆիկ]] սկսվում է կոորդինատային համակարգի սկզբնակետից և անցնում է <math>(1; \ 1)</math> կետով։

Ինչպես վերը նշվեց զույգ աստիճանի արմատի դեպքում արմատը թվաբանական է և հետևաբար <math>x</math> արգումենտը ոչ բացասական է։ Արմատային ֆունկցիան կենտ աստիճանների դեպքում միարժեք է և այն գոյություն ունի իրական թվերի բազմության վրա։

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Արմատային ֆունկցիայի տեսակ !! Սահման !! Արժեքների սահման !! Այլ հատկություններ
|-
| Զույգ արմատ || <math>[0; \ +\infty )</math> || <math>[0; \ +\infty )</math> || Ուռուցիկ ֆունկցիա՝ ողջ տիրույթի վրա
|-
| Կենտ արմատ || <math>(-\infty; +\infty)</math> || <math>(-\infty; +\infty)</math> || Կենտ ֆունկցիա
|}

Ցանկացած արմատային ֆունկցիա իր ամբողջ տիրույթի վրա աճում է։ Դրա [[դիֆֆերենցիալ]]ը անսահմանափակ է, բացի կոորդինատների սկզբնակետից, որտեղ [[ածանցյալ]]ը դառնում է անվերջ{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Т. I, С. 194, 198. }} {{sfn |Мордкович А. Г.|2003|էջ=236-238.|ref=MO236 }}: Ածանցյալը սահմանվում է հետևյալ բանաձևով{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Т. I, С. 215. }}.
: <math>\frac {d}{dx} \sqrt[n]{x} = \frac {1} {n\sqrt[n]{x^{n-1}}}</math>{{nbsp|3}}: Մասնավորապես,{{nbsp|3}}<math>\frac {d}{dx} \sqrt{x} = \frac {1} {2\sqrt{x}}</math>:
Ֆունկցիան անսահմանորեն ինտեգրվում է թվային ողջ տրիույթի վրա։ Անորոշ [[ինտեգրալ]]ը որոշվում է հետևյալ բանաձևով.
: <math>\int \sqrt[n]{x} \;dx =  \frac{\sqrt[n]{x^{n+1}}}{1+\frac{1}{n}} + C</math>{{nbsp|3}}: Մասնավորապես,{{nbsp|3}}<math>\int \sqrt{x} \;dx = \frac{2 \sqrt{x^3}}{3} + C</math>{{nbsp|3}}, որտեղ{{nbsp|3}}<math>C</math> - կամայական հաստատուն է։

{{Hidden begin|title = Ֆունկցիայի ինտեգրալ և դիֆերենցիալ|Рамка = |titlestyle=}}
* <math>k</math>-րդ կարգի ածանցյալի բանաձև{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Т. I, С. 233, частный случай для <math>\mu=\frac{1}{n}.</math>.}}. ֆունկցիա <math>\sqrt[n]{x}</math>.

{| class="wikitable"
|-
| {{nbsp|7}}<math>\frac {d^k}{dx^k} \sqrt[n]{x} = (-1)^{k} \frac {\prod^{k-1}_{m=0}(mn-1)}{{n^k}{\sqrt[n]{x^{kn-1}}}}</math>{{nbsp|7}}
|-
| որտեղ <math>\ k, n \in \mathbb {N}, \ x \ne 0</math>
|}

* <math>k</math>-րդ կարգի ինտեգրալի բանաձև.

{| class="wikitable"
|-
| {{nbsp|7}}<math>\underbrace {\int\cdots\int}_{k} \sqrt[n]{x} \ \underbrace {dx\cdots dx}_{k} = \frac {{n^k}{\sqrt[n]{x^{kn+1}}}}{\prod^{k}_{m=1}(1+mn)} + C</math>{{nbsp|7}}
|-
| որտեղ <math>k, n \in \mathbb {N}, \ C=const</math>
|}
{{hidden end}}

=== Սահմանային հարաբերություններ ===
Այստեղ մի քանի օգտակար սահմանափակումներ պարունակող [[արմատ]]ներ են{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том I, стр. 67, 131-132, 164, 166-167. }}։
: <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\ln n} = 1</math>
: <math>\lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right) = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)= \ln x</math>
: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{(x+1)^m}-1}{x} = \frac{m}{n}</math>

: <math>\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\sqrt[n]a+\sqrt[n]b}{2}\right)^n = \sqrt{ab}</math>

=== Արմատի գործնական հաշվարկներ ===
[[Քառակուսային հավասարում|Քառակուսային]] և խորանարդային արմատները կիրառվում են տարբեր հաշվիչ սարքերում. օրինակ, [[Windows]] օպերացիոն համակարգի հաշվիչը ունի «շինարարական» ռեժիմի կոճակ։ Ձեռքով հաշվարկների ժամանակ մենք կարող ենք օգտվել ավելի արագ մեթոդից՝ «n-րդ աստիճանի արմատը գտնելու ալգորիթմ»-ից։

Եթե աստիճանը մեծ է երեքից, աապ կարող ենք օգտագործել հետևյալ լոգարիթմական նույնությունը.
: <math>\log_a \sqrt[n]{x} = \frac {\log_a (x)} n \, </math>
Սրանից հետևում է, որ արմատը գտնելու համար, պետք է գտնենք արմատատակ արտահայտության լոգարիթմը, առանձնացնենք աստիճանը արմատից և գտնենք դրա [[հակալոգարիթմ]]ը։

== Արմատ կոմպլեքս թվից ==
Կոմպեքս թվերի հետ արմատային գործողությունները պատմաբանները «նույնականացրել» են բացասական թվից քառակուսի արմատ հանելուն։ Քանի որ հետագայում պարզ դարձավ, որ կոմպեքս թվերը ունեն հանրահաշվական և անալիտիկ հատկություններ. չնայած, որ արմատ հանելու գործողությունը միշտ հնարավոր է՝ թեև միանշանակ։
=== Գտնելու մեթոդներ ===
Գրենք <math>z</math> կոմպլեքս թիվը տրիգոնոմետրիկ տեսքով.
:<math>z = r \left(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}\right)</math>.
<math>n</math>-րդ աստիճանի արմատը <math>z</math> թվից հաշվվում է Մուավրի բանաձևով (տրիգոնոմետրիկ տեսք){{sfn |Корн Г., Корн Т. Справочник по математике|1973|էջ=36-37. }}։

<math>\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}\left(\cos{\frac{\varphi+2\pi k}{n}} + i\sin{\frac{\varphi+2\pi k}{n}}\right),\;k = 0, 1, \dots, n-1</math>
[[Պատկեր:Kreis3 6Teilung.svg|thumb|Երկրորդ և երրորդ միավորների արմատները]]
կամ [[Ցուցչային ֆունկցիա|ցուցչային]] տեսքով.
:<math>z = r e^{i\varphi}</math>
:<math>\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}e^{\left(i\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)},\;k = 0, 1, \dots, n-1</math>
{|
|-
|{{Hidden begin|title = Նշանակումներ|Рамка = |titlestyle=}}

<math>z = x + iy, \ z \in \mathbb{C}</math> (կոմպլեքս թիվ),<br />
<math>x = \operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}</math> (կոմպլեքս թվի իրական մաս),<br />
<math>y = \operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R}</math> (կոմպլեքս թվի կեղծ մաս),<br />
<math>i</math> - [[կեղծ միավոր]],<br />
<math>r=|z|={\color{blue}\sqrt{\color{black}{x^2+y^2}}}</math> (կոմպլեքս թվի բացարձակ արժեք),<br />
<math>\varphi=\operatorname{arg}z= \operatorname{arctg}\frac{y}{x}</math> (կոմպլեքս թվի արգումենտ),<br />
<math>e</math> - [[E թիվ|Բնական լոգարիթմի հիմք]]։
|}
{{hidden end}}
<math>n</math> աստիճանի արմատը ունի մի շարք ոչ զրոյական արժեքներ, որոնք միմյանցից տարբեր են։ Արմատի արժեքը, որը ստացվում է <math>k=0</math> դեպքում, կոչվում է գլխավոր։

Արմատի բոլոր <math>n</math> արժեքները գտնվում են միևնույն [[շրջան]]ային հարթության վրա՝ <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}</math> շառավղով։ Արմատները այս շրջանի վրա բաժանվում են <math>n</math> հավասար մասերի։

=== Օրինակներ ===
Գտնենք <math>\sqrt{-4}</math>: Հետո <math>-4 = 4 (\cos{\pi} + i\sin{\pi}),</math> բանաձևով ստացվում է.
:<math>\sqrt{-4} = 2 \left( \cos{\frac{\pi+2\pi k}{2}} + i\sin{\frac{\pi+2\pi k}{2}}\right),\;k = 0, 1</math>
<math>k=0</math> դեպքում ստացվում է առաջին արմատը՝ <math>2 i</math>, <math>k=1</math> դեպքում ստացվում է երկրորդ արմատը՝ <math>(-2 i).</math>

Այլ օրինակ. գտնենք <math>\sqrt[4]{-16}</math>: Ներկայացվող արմատական արտահայտությունը տրիգոնոմետրիկ ձևով.
: <math>-16 = 16\ (\cos(\pi + 2k\pi) + i \sin(\pi + 2k\pi) )</math>
[[Մուավրի բանաձև]]ով ստացվում է.
: <math>z_k = \sqrt[4]{-16} = \sqrt[4]{16} \left( \cos\frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin\frac{\pi + 2k\pi}{4} \right)</math>
Արդյունքում ստացվում է չորս արմատ<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |год=1976 |издание=издание третье, стереотипное |место=М. |издательство=Наука |страницы=68 |страниц=591}}</ref>.
: <math>z_0=2 \left( \cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (1+i)</math>
: <math>z_1=2 \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (-1+i)</math>
: <math>z_2=2 \left( \cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4} \right) = -\sqrt{2}\ (1+i)</math>
: <math>z_3=2 \left( \cos\frac{7\pi}{4} + i \sin\frac{7\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (1-i)</math>
Պատասխանը կարող ենք գրել համախմբված տեսքով. <math>~\sqrt[4]{-16} = \sqrt{2}\ (\pm 1 \pm i)</math>

=== Կոմպլեքս արմատի ֆունկցիան ===
Քառակուսի աստիճանի արմատը կոմպլեքս թվից տրվում է <math>w=\sqrt[n]{z}</math> նույնությամբ։
<gallery widths=290 heights=290>
Պատկեր:Riemann sqrt.svg|Կոմպլեքս քառակուսային արմատի մակերևույթի մակերեսը
Պատկեր:Riemann surface 4th root.jpg|Կոմպլեքս քառակուսային արմատի մակերեսը՝ 4 հարկանի
</gallery>

== Տարբերակներ և ընդհանրացումներ ==
<math>n</math>-րդ աստիճանի արմատը <math>a</math> թվից սահմանվում է <math>~x^n=a</math> [[հավասարում]]ով, և այն միշտ կարող ենք օգտագործել, որտեղ այս հավասարումը իմաստ ունի։ Շատ հաճախ դրանք համարում են հանրահաշվական օղակների ընդհանրացումներ։ Առավել լավ ուսումնասիրված են քառակուսային արմատները։

Եթե օղակը ունի անբաժանելի տիրույթ, այդ դեպքում քառակուսի արմատի արժեքները կարող են լինել կա՛մ երկու հատ, կա՛մ մեկ։ Ամեն դեպքում եթե ունի երկու <math>a, b</math> արմատներ, հետևաբար <math>~a^2=b^2</math>, որտեղից էլ <math>~(a-b)(a+b)=0</math>, այսինքն զրո բաժանարարի բացակայության արդյունք, <math>~a=\pm b</math>: Ամեն դեպքում, եթե օղակը ունի զրո կամ նա փոխարինվող է, ապա արմատը կարող է ունենալ ցանկացած արժեք։

[[Հիպերկոմպլեքս]] թվերի համար կան նմանություններ կոմպլեքս թվերի հետ, բայց կան նաև զգալի տարբերություններ։ Հիպերկոմպլեքս թվերը սովորաբար ունենում են երկու արժեք, բայց եթե արմատատակ արտահայտությունը բացասական, իրական թիվ է՝ ունի անսահման արժեքներ։ Օրինակ, <math>-1</math> թվի քառակուսի արմատը առաջացնում է եռաչափ ոլորտ և սահմանվում է հետևյալ բանաձևով<ref>''Porteous, Ian R.'' Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.</ref>.
: <math>\{ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\} \,:</math>

Քառակուսային մատրիցի օղակի համար ապացուցված է, որ եթե մատրիցը դրական է, ապա դրանից գոյություն ունի քառակուսի արմատ և դա միակն է։ Արմատի այլ տիպի [[մատրից]]ները կարող են ունենալ անթիվ արժեքներ (այդ թվում մեկ)։

Քառակուսի արմատները գրառվում են նաև ֆունկցիաների<ref>См., например: ''Ершов Л. В., Райхмист Р. Б.'' Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, или: ''Каплан И. А.'' Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.</ref>, օպերատորների<ref>См., например: ''Хатсон В., Пим Дж.'' Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, или: [[Халмош, Пол Ричард|''Халмош П.'']] Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.</ref> և այլ մաթեմատիկական օբյեկտների տեսքով։

== Պատմություն ==
=== Զարգացման հասկացություններ ===
[[Պատկեր:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|300px|<center>Բաբելոնական աղյուսակ (մոտավորապես մ. թ. ա. [[1800]]-[[1600]] թվականներ) հաշվարկման օրինակ <math>\sqrt{2} \approx 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3</math><br /> <math>= 1{,}41421296\dots</math></center>]]
Առաջին անգամ քառակուսի արմատը հիշատակվել է [[բաբելոն]]ական մաթեմատիկայի մեջ ([[հին Եգիպտոս]]ում այս մասին ձեռքբերումներ հայտնի չէին)։ Այդ խնդիրներից էր{{sfn |История математики|1970-1972|loc=Том I, С. 42-46. }}.
* [[Պյութագորասի թեորեմ]]ի միջոցով կարողացել են գտնել ուղղակնյուն [[Եռանկյուն|եռանկյան]] մյուս կողմը, եթե հայտնի են մնացած երկուսը։
* Գտնելով քառակուսու կողմի երկարությունը կարողանում էին որոշել նրա զբաղեցրած մակերեսը։
* Քառակուսային հավասարումների լուծումը։
Բաբելոնցի մաթեմատիկոսները (մ. թ. ա. 2-րդ հազարամյակ) մշակել են քառակուսի արմատ հանելու հատուկ եղանակ։ <math>~\sqrt{a}</math> գտնելու համար կատարում էին նախնական մոտարկում մինչև նրան ամենամոտ <math>n</math> բնական թիվը (ներքևի սահմանից)։ Ներկայացվում է արմատական արտահայտությունը.
<math>a=n^2+r</math>, ստացվում է <math>~x_0=n+\frac{r}{2n}</math>, ապա կիրառվում է Նյուտոնի մեթոդը{{sfn |История математики|1970-1972|loc=Том I, С. 47. }}.
: <math>x_{n+1}=\frac{1}{2}~(x_n + \frac{a}{x_n})\ </math>
Այս մեթոդով հաշվարկները բավականին արագ են ստացվում։ Օրնակ, <math>\sqrt{5}</math>-ի համար, <math>~a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_0=\frac{9}{4} = 2{,}25,</math> և մենք ստանում ենք մոտավորապես հաջորդականությունը.
: <math> x_1=\frac{161}{72} = 2{,}23611;\; x_2=\frac{51841}{23184} = 2{,}2360679779</math>
Բոլոր արժեքբերը ճիշտ են, բացի վերջինից։

Անալոգիական խնդիրներ և մեթոդներ հանդիպում ենք հին չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքերի մեջ»{{sfn |История математики|1970-1972|loc=Том I, С. 169-171. }}։ Հին հույները կատարել են կարևոր հայտնագործություն. <math>\sqrt{2}</math>-ը [[Իռացիոնալ թիվ|իռացիոնալ]] թիվ է։ Մանրամասն ուսումնասիրություններ է իրականացրել [[Տետետ Աթենացի]]ն (մ .թ. ա. 4-րդ դար) և բացահայտել է, որ եթե արմատը բնական թվից դուրս չի գալիս ամբողջությամբ, ապա դրա արժեքը իռացիոնալ է<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Башмакова И. Г. |заглавие=Становление алгебры (из истории математических идей) |год=1979 |место=М. |издательство=Знание |страницы=23. |серия=Новое в жизни, науке, технике. Математика, кибернетика, № 9}}</ref>։

Հույները ձևակերպել են խորանարդի կրկնապատկման խնդիրը, որի համար պետք է օգտագործել ընդամենը [[քանոն]] և [[կարկին]]։ Սակայն խնդիրը չէր լուծվում։ Թվաբանական ալգորիթմների առանձնացումը քառակուսի արմատից հրապարակել են [[Հերոն]]ը («Մատրիկա» թեզի մեջ, մ. թ. ա. 1-ին դարում) և հնդկացի մաթեմատիկոս [[Արիաբխատա առաջին]]ը (5-րդ դար)<ref>{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://cs.okstate.edu/~parakh/okstate_page/Aryabhatas_Root_Extraction_Methods_IJHS.pdf |автор=Abhishek Parakh. |заглавие=Ariabhata's root extraction methods |год=2007 |издание=Indian Journal of History of Science |выпуск=42.2 |страницы=149-161 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100609142233/http://cs.okstate.edu/%7Eparakh/okstate_page/Aryabhatas_Root_Extraction_Methods_IJHS.pdf |archivedate=2010-06-09}}</ref>։

Ցանկացած աստիճանի արմատի հանման գործողության ալգորիթմը ցանկացած թվից զարգացրել են հնդկացի և իսլամիստ մաթեմատիկոսները, որոնք դրանք բարելավել են միջնադարյան [[Եվրոպա]]յում։ [[Նիկոլայ Օրեմ]]ը ([[14-րդ դար]]) առաջինն է մեկնաբանել{{sfn |История математики|1970-1972|loc=Том I, С. 275-276. }} <math>n</math>-րդ աստիճանի արմատի տեղադրումը <math>\frac{1}{n}</math> տեսքով։

[[Կարդանոյի բանաձև]]ի բացահայտումից հետո (15-րդ դար), մաթեմատիկայի ասպարեզում հայտնաբերվեցին ոչ իրական թվերը, որոնք օգտագործվում էին բացասական թվերից քառակուսի արմատ հանելու ժամանակ{{sfn |История математики|1970-1972|loc=Том I, С. 296-298. }}։ Բարդ թվերի հետ աշխատելու հիմնական տեխնիկան [[16-րդ դար]]ում հայտնաբերել է [[Ռաֆայել Բոմբելի]]ն, որը նույնպես շարունակեց արմատների հաշվման օրիգինալ տարբերակը (շղթայական կոտորակների միջոցով)։ Մուավրի բանաձևի բացահայտումը հայտնաբերեց, որ ցանկացած աստիճանի արմատը կոմպլեքս թվիցմիշտ գոյություն ունի և այն չի հանգեցնում նոր թվերի տեսակի առաջացման{{sfn |История математики|1970-1972|loc=Том III, С. 56-59. }}։

Կոմպլեքս արմատները ցանկացած թվից հիմնովին ուսումնասիրվել է 19-րդ դարում՝ [[Կարլ Գաուս]]ի կողմից, չնայած նրան, որ առաջին քայլերը վերագրվում են [[Լեոնարդ Էյլեր]]ին{{sfn |История математики|1970-1972|loc=Том III, С. 62. }}։ Սա շատ կարևոր ապացույցն է այն բանի, որ ոչ բոլոր մաթեմատիկական թվերն են ստացվում չորս գործողությունների և արմատահանման գործողության միջոցով<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). |заглавие=Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей |год=1978 |место=М. |издательство=Наука |том=I |страницы=58-66.}}</ref>։

=== Ստուգաբանություն և ծագման խորհրդանիշներ ===
''Արմատ'' տերմինը ունեցել է բավականին երկար և բարդ պատմություն։ Քառակուսի արմատ հասկացությունը հին հույները մտածել են խիստ երկրաչափորեն. ինչպես գտնել քառակուսու կողմը եթե հայտնի է մակերեսը։ «Ճանապարհ» հունական բառը սանսկրիտ լեզվով թարգմանումից վերածվեց «ջորի» բառին։ «Ջորի» բառը ուներ նաև «արմատ» բառի նշանակությունը, որը հնդկերենից արաբերեն թարգմանելիս ստացվում էր «ջիզր» տերմինը, որը նշանակում է բույսի արմատ։ Հետագայում «radix» բառը թարգմանվեց լատիներենից արաբերեն, իսկ հետո անցավ ռուսական տերմինաբանության մեջ («արմատ», «ռադիկալ»){{sfn |История математики|1970-1972|loc=Том I, С. 185. }}։

Հետագայում որոշ մաթեմատիկոսներ (օրինակ [[Ջերոլամո Կարդանո]]ն) քառակուսային արմատը<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Никифоровский В. А. |заглавие=Из истории алгебры XVI-XVII вв |год=1979 |место=М. |издательство=Наука |страницы=81 |страниц=208 |серия=История науки и техники}}</ref> նշանակել են R<sub>x</sub> նշանակումով, «radix» բառի կրճատումից։ Արմատի ներկայիս նշանը առաջին անգամ առաջարկել է գերմանացի մաթեմատիկոս [[Քրիստոֆ Ռուդոլֆ]]ը` դպրոցում, [[1525]] թվականին<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |заглавие=Математическая энциклопедия |год=1982 |часть=Знаки математические |место=М. |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |том=2}}</ref>։ Դա ունի «radix» բառի առաջին տառի խորհրդանիշը։ Բայց սկզբում առաջին արմատատակ արտահայտությունը բացակայում էր. այմ հետագայում ներկայացրեց [[Ռենե Դեկարտ]]ը, այլ նպատակների համար, բայց այդ հատկությունը շուտով միացվեց արմատի նշանին։

Աստիճանի ցուցիչը արմատի նշանի վրա առաջարկել է [[Ջոն Վալլիս]]ը և [[Իսահակ Նյուտոն]]ը իր «Ընդհանուր թվաբանություն» գրքում (18-րդ դար)<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Александрова Н. В. |заглавие=История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е |год=2008 |место=СПб. |издательство=ЛКИ |страницы=82 |страниц=248 |isbn=978-5-382-00839-4}}</ref>

== Տես նաև ==
* [[Լոգարիթմ]]
* [[Ցուցչային ֆունկցիա]]
* [[Քառակուսային արմատ]]

== Գրականություն ==
* Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - изд. 25-е. - М.: Наука, 1978. - ISBN 5-17-009554-6.
* История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970-1972.
* Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: Наука, 1973. - 720 с.
* Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов, часть 1. - изд. 4-е. - М.: Мнемозина, 2003. - 376 с.
* Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. - М.: Наука, 1967. - 304 с.
* Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - изд. 6-е. - М.: Наука, 1966. - 680 с.

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանտուփ}}
{{Արտաքին հղումներ}}
{{ՀՍՀ|հատոր=2|էջ=92}}
{{Օրվա հոդված նախագծի մասնակից}}

[[Կատեգորիա:Տարրական հանրահաշիվ]]
[[Կատեգորիա:Տարրական ֆունկցիաներ]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական գործողություններ]]