Դիտել Բարդ տոկոս էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:Compound interest (English).gif|350px|մինի|Արդյունավետ տոկոսադրույք]]
[[Պատկեր:Compound Interest with Varying Frequencies.svg|մինի|Տարեկան 20% տոկոսադրույք վաստակելու էֆեկտը ՝ տարբեր բարդ հաճախականություններով սկզբնական 1000 ԱՄՆ դոլարի ներդրման վրա]]
[[Պատկեր:Euler's formula.svg|մինի|]]

'''Բարդ [[տոկոս]]ը ('''ճշգրիտ եզրույթն է '''բաղադրյալ շահ'''<ref name=":0">{{Cite book |last=Աղաբեկյան |first=Ալեքսանդր |title=Գործարարության և տնտեսագիտության բացատրական բառարան. Անգլերեն-հայերեն-անգլերեն |date=2008 |publisher=Գիտանք |year=2008 |isbn=978-9939810-02-7 |edition=2-րդ հրատ. |trans-title=Dictionary of Business and Economics. English-Armenian-English}}</ref>''')''' շահ'''*''', որը հաշվարկվում է (սովորաբար տոկոսով) և՛ հիմնագումարից, և՛ արդեն կուտակված շահից (այսինքն շահադրույքի չափսով ստացված գումարից): Օրինակ՝ ենթադրենք 1000 դրամ ավանդ է դրվում տարեկան 0.1 (կամ 10%) բաղադրյալ շահադրույքով: Առաջին տարվա վերջին ավելանում է 100 դրամ շահ, երկրորդ տարվա վերջին՝ 110 դրամ, այսինքն 100 դրամ՝ սկզբնական հիմնագումարից և 10 դրամ՝ առաջին տարվա շահից: Բանաձևերն ու հաշվարկը ներկայացված են ստորև: Բաղադրյալ շահը լայն կիրառություն ունի [[ֆինանսներ]]ի և [[Տնտեսագիտություն|տնտեսագիտության]] մեջ։

Բաղադրյալ շահին զուգահեռ կա նաև ''պարզ շահ'' (տարածված սխալ տարբերակն է՝ պարզ տոկոսադրույք): Պարզ շահը հաշվարկվում է ավանդի կամ փոխառության ''միայն հիմնագումարից'': Օրինակ՝ ենթադրենք՝ 1000 դրամ ավանդ է դրվում տարեկան 0.08 (կամ 8%) պարզ շահադրույքով: Յուրաքանչյուր տարվա վերջին ավելանում է 80 դրամ շահ, տասը տարվա ընդհանուր շահը 800 դրամ է:

Շահադրույքի միջոցով հաշվարկված '''պարզ շահը''' = P*r*t , որտեղ 

P - հիմնագումար, 

r - անվանական շահադրույք

t - ժամանակ

Մեր օրինակի հաշվարկը կլինի՝ պարզ շահը = 1000*0.08*10=800 դրամ:

'''*'''Հայաստանում որպես interest-ի հայերեն տարբերակ առայժմ կիրառվում է ռուսերենից պատճենված «տոկոս» եզրը: Սակայն «տոկոսը» ընդամենը «շահը» չափելու եղանակ է, և չի բացահայտում, որ դա ''փողի դիմաց տրվող «շահն» է:'' Բոլորովին էլ պարտադիր չէ, որ այդ շահը լինի դրամային արտահայտմամբ՝ հաշվարկված գումարից՝ տոկոսով: Շահը կարող է արտահայտված լինել ապրանքափոխանակման (Barter Interest), ժամանակային արտոնության (Time Preference), հասարակական (Social Interest), տիրության մասնաբաժնի (Ownership interest), մասնակցությունից օգուտի (Membership Benefits) տեսքով և այլն:

Զարգացած տնտեսություն ունեցող բազմաթիվ երկրների լեզուներում «շահ» տնտեսագիտական հասկացության համար գոյություն ունի առանձին եզր՝ անգլերեն - interest, ֆրանսերեն - intérêt , իտալերեն - interesse, գերմաներեն - zins: Այն, ինչը Հայաստանում այժմ կոչում են «տոկոսադրույք» (և որը պետք է կոչվի «շահադրույք») վերը նշված լեզուներում կոչվում է` interest rate, taux d’ interêt, tasso di interesse, zinssatz, և որևէ կապ չունի «տոկոս»-ի հետ, որի համար բոլոր վերոհիշյալ լեզուներն այլ բառ ունեն<ref name=":0" />: 

«Շահը» պետք է նաև չշփոթել «շահույթի» հետ: «Շահը» փողի դիմաց վճարվող գինն է, «շահույթը»՝ տնտեսական գործունեությունից ստացվող եկամտի գերազանցումը ծախսի նկատմամբ: Այսպիսով dividend - շահույթից վճարվող բաժինը պետք է կոչվի շահութաբաժին, այլ ոչ շահաբաժին:

== Բարդացման հաճախականություն ==
Բարդացման հաճախականությունը յուրաքանչյուր տարվա ընթացքում ժամանակաշրջանների քանակն է (հազվադեպ՝ ժամանակի մեկ այլ միավոր), որի ընթացքում պարբերաբար  կուտակված տոկոսագումարները վճարվում են կամ կապիտալացվում (հաշվին փոխանցվում) ։ Հաճախականությունը կարող է լինել տարեկան, կիսամյակային, եռամսյակային, ամսական, շաբաթական, ամեն օր կամ շարունակաբար (կամ ընդհանրապես, մինչև հասունությունը) ։

Օրինակ՝ տարեկան տոկոսադրույքով արտահայտված ամսական կապիտալիզացիան նշանակում է, որ բարդացման հաճախականությունը 12 է, այսինքն ամիսներով չափվող ժամանակահատվածներն են։

Բարդության ազդեցությունը կախված է.

# Կիրառվող անվանական տոկոսադրույքից
# Տոկոսադրույքի բարդացման հաճախականությունից

== Տարեկան տոկոսադրույք ==
Անվանական տոկոսադրույքը չի կարող ուղղակիորեն համեմատվել տարբեր բարդ հաճախականություններով  հաշվարկված վարկերի հետ։ Տոկոսադրույքով հաշվարկվող ֆինանսական գործիքները համեմատելու համար պահանջվում է ինչպես անվանական տոկոսադրույքը, այնպես էլ բարդացման հաճախությունը։

Շատ երկրներ, մանրածախ ֆինանսական արտադրանքը ավելի արդար և հեշտ համեմատելիս գնորդներին օգնելու նպատակով, ֆինանսական հաստատություններից պահանջում են համեմատական հիմունքներով բացահայտել ավանդների կամ կանխավճարների տարեկան բարդ տոկոսադրույքը։ Տարեկան համարժեք հիմքով տոկոսադրույքները կարող են տարբեր շուկաներում տարբեր ձևերով հիշատակվել `տարեկան տոկոսային դրույքաչափ ({{lang-en|APR}}), տարեկան համարժեք տոկոսադրույք ({{lang-en|AER}}), արդյունավետ տոկոսադրույք, արդյունավետ տարեկան  տոկոսադրույք, տարեկան տոկոսային եկամտաբերության և այլ տերմիններով։ Արդյունավետ տարեկան տոկոսադրույք կուտակված ընդհանուր տոկոսն է, որը վճարվելու է մինչև տարվա վերջ, բաժանված հիմնական գումարի։

Սովորաբար այս դրույքաչափերը սահմանող կանոնների երկու կողմ կա.

# Տոկոսադրույքը տարեկան ընդհանուր տոկոսադրույքն է
# Բացի տոկոսներից նաև կարող են լինել այլ ծախսեր։ Վճարների կամ հարկերի էֆեկտը, որը հաճախորդը գանձում է, և որոնք ուղղակիորեն կապված են ապրանքի հետ, կարող են ներառվել։ Թե կոնկրետ որ վճարներն ու հարկերը են ներառվում կամ բացառվում սահմանվում է ըստ երկրների, կարող է համեմատվել կամ չհամեմատվել տարբեր իրավասությունների միջև, քանի որ նման տերմինների օգտագործումը կարող է լինել ոչ հետևողական, և տարբեր լինել ըստ տեղական պրակտիկայի։

== Օրինակներ ==
* Բրազիլիայի խնայողական հաշվին 1000 [[Բրազիլական ռեալ|բրազիլական իրական]] (BRL) ավանդ է ներդրվում` տարեկան 20% տոկոսադրույքով։ Առաջին տարվա վերջում հաշվին հաշվեգրվում է 1.000 x 20% = 200 BRL տոկոսագումար։ Այնուհետև երկրորդ տարում հաշիվը վաստակում է 1,200 x 20% = 240 BRL:
* Ամսական 1% տոկոսադրույքը համարժեք է պարզ տարեկան տոկոսադրույքին (անվանական տոկոսադրույքին) 12% -ի չափով, բայց բարդացման ազդեցությունը հաշվի առնելու դեպքում տարեկան համարժեք բարդ տոկոսադրույքը կազմում է 12.68% (1.01<sup>12</sup> - 1):
* Կորպորատիվ պարտատոմսերի և պետական պարտատոմսերի տոկոսագումարը սովորաբար վճարվում է տարեկան երկու անգամ։ Վճարված տոկոսների չափը (յուրաքանչյուր վեց ամսվա համար) անուիտետի տոկոսադրույքն է, որը բաժանվում է երկուսի և բազմապատկվում է մայր գումարին։ Տարեկան բարդ տոկոսադրույքն ավելի բարձր է, քան անուիտետի տոկոսադրույքը։
* Կանադական [[վարկ]]երը, ընդհանուր առմամբ, կիսամյակային կտրվածքով բարդացվում են ամսական (կամ ավելի հաճախակի) վճարումներով<ref>http://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#anchorbo-ga:s_6{{Չաշխատող արտաքին հղում|bot=InternetArchiveBot }} Interest Act (Canada), ''Department of Justice''. The Interest Act specifies that interest is not recoverable unless the mortgage loan contains a statement showing the rate of interest chargeable, "calculated yearly or half-yearly, not in advance." In practice, banks use the half-yearly rate.</ref>։  
* ԱՄՆ հիփոթեքային վարկերը օգտագործում են որպես ամորտիզացիոն վարկեր, ոչ թե բարդ տոկոսադրույքներով հաշվարկված վարկեր։ Այս վարկերի դեպքում [[ամորտիզացիա]]յի ժամանակացույցն օգտագործվում է` որոշելու, թե ինչպես կարելի է վճարել մայր գումարը և տոկոսները։ Այս վարկերի գծով առաջացած տոկոսները չեն ավելացվում մայր գումարին, այլ վճարվում են ամսական որպես կիրառվող վճարումներ։
* Երբեմն մաթեմատիկորեն ավելի պարզ է, օրինակ ՝ որոշել [[ածանցյալ]]ների արժեքը ՝ շարունակական բարդ տոկոսը օգտագործելով, որը այն սահմանն է, որի բարդացման ժամանակահատվածը մոտենում է զրոյի։ Շարունական բարդ տոկոսադրույքով այս գործիքների գինը որոշելը Ito հաշվարկի բնական հետևանքն է, որտեղ [[Ածանցյալ գործիքներ|ֆինանսական ածանցյալները]] գնահատվում են անընդհատ աճող հաճախականությամբ, մինչև սահմանը մոտենալուն և ածանցյալը գնահատվում է շարունակական ժամանակում։

== Զեղչի գործիքներ ==
* ԱՄՆ-ի և Կանադայի T-[[մուրհակ]]ները (կառավարության կարճաժամկետ պարտք) ունեն այլ [[կոնվենցիա]]։ Նրանց տոկոսները հաշվարկվում են զեղչի հիմունքներով որպես (100 - P) / Pbnm, <sup>[անհրաժեշտ է պարզաբանում]</sup>, որտեղ P- ն վճարված գինն է։ Այն մեկ տարում նորմալացնելու փոխարեն, տոկոսադրույքը սահմավում է t օրերի քանակով։ (365 / t) 100 ×: (Տե՛ս օրերի հաշվարկի կոնվենցիան)։

== Հաշվարկ ==
=== Պարբերական բարդացում ===

Կուտակված ընդհանուր արժեքը, ներառյալ <math>P</math> հիմնական գումարին գումարած <math>I</math> բարդ տոկոսը, տրվում է հետևյալ բանաձևով․<ref>{{Cite web |title=Compound Interest Formula |url=https://qrc.depaul.edu/StudyGuide2009/Notes/Savings%20Accounts/Compound%20Interest.htm |access-date=2018 թ․ դեկտեմբերի 5 |website=qrc.depaul.edu}}</ref><ref>{{Cite web |last=Staff |first=Investopedia |date=2003 թ․ նոյեմբերի 19 |title=Continuous Compounding |url=https://www.investopedia.com/terms/c/continuouscompounding.asp |access-date=2018 թ․ դեկտեմբերի 5 |website=Investopedia |language=en}}</ref>։

<math>P' = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}</math>

:''P''  սկզբնական հիմնական գումարն է
:''P'''  նոր հիմնական գումարն է
:''r''  անվանական տարեկան տոկոսադրույքն է
:''n''  բարդացման հաճախականությունն է
:''t''  տոկոսի կիրառման ընդհանուր երկարությունն է (արտահայտվում է օգտագործելով նույն ժամանակային միավորները, ինչպես ''r'', սովորաբար տարիները)։

Ընդհանուր բարդ տոկոսադրույքը ստացվում է վերջնական արժեքից հանած մայր գումար.<ref>{{Cite web |title=Compound Interest Formula - Explained |url=https://www.thecalculatorsite.com/articles/finance/compound-interest-formula.php |access-date=2018 թ․ դեկտեմբերի 5 |website=www.thecalculatorsite.com}}</ref>

:<math>I = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} - P</math>

==== Օրինակ 1 ====
Ենթադրենք, 1.500 ԱՄՆ դոլար մայր գումարն ավանդ է դրվել բանկում` տարեկան  4,3% տոկոսադրույքով, եռամսյակային վճարումներով։
Այնուհետև 6 տարի անց մնացորդը որոշվում է վերը նշված բանաձևի միջոցով՝ ''P'' = 1500, ''r'' = 0.043 (4.3%), ''n'' = 4, and ''t'' = 6:

:<math>P' =1\,500\times \left(1 + \frac{0.043}{4}\right)^{4 \times 6}\approx 1\,938.84</math>

Այսպիսով նոր մայր գումարը <math>P'</math> 6 տարի անց մոտավորապես հավասար կլինի 1,938.84 ԱՄՆ դոլարի.

Ստացված տոկոսների չափը կարող է հաշվարկվել՝ ստացված նոր մայր գումարից հանելով սկզբնական գումարը։

<math>1\,938.84 - 1\,500 = 438.84</math>

==== Օրինակ 2 ====
Ենթադրենք, որ 1,500 ԱՄՆ դոլարի նույն գումարը երկամյա բարդացվում է (յուրաքանչյուր 2 տարին մեկ)։ (Գործնականում դա շատ անսովոր է)։ Այնուհետև 6 տարի անց մնացորդը որոշվում է վերը նշված բանաձևի միջոցով՝ ''P'' = 1500, ''r'' = 0.043 (4.3%), ''n'' = 1/2 (տոկոսադրույքն ավելացվում է երկու տարին մեկ), and ''t'' = 6 :

:<math>P' = 1\,500\times \left(1 + (0.043\times 2)\right)^{\frac 6 2}\approx 1\,921.24</math>

Այսպիսով, 6 տարի անց մնացորդը կկազմի մոտավորապես 1,921,24 դոլար։

Ստացված տոկոսների չափը կարող է հաշվարկվել `այդ գումարից մայր գումարը հանելով ։

:<math>1\,921.24 - 1\,500 = 421.24</math>

Նախորդ դեպքի հետ համեմատած տոկոսադրույքը ավելի քիչ է , բարդացման ցածր հաճախության արդյունքում։

=== Կուտակման գործառույթ ===
Քանի որ հիմնական ''P''-ն պարզապես գործակից է, այն հաճախ հանվում է պարզության համար, և փոխարենը օգտագործվում է կուտակման գործառույթը։ Կուտակման գործառույթը ցույց է տալիս, թե ինչպես է աճում 1 ԱՄՆ դոլարը ցանկացած ժամանակահատվածից հետո։ Կուտակման գործառույթները պարզ և բարդ տոկոսադրույքների համար հետևյալն են.

:<math>a(t)=1+t r\,</math>
:<math>a(t) = \left(1 + \frac {r} {n}\right) ^ {nt} </math>

=== Շարունակական բարդացում ===
Քանի որ ''n''-ը՝ յուրաքանչյուր տարվա բարդացվող ժամանակահատվածների քանակը, ավելանում է առանց սահմանների, ինչը հայտնի է որպես շարունակական բարդացում, որի դեպքում արդյունավետ տարեկան տոկոսադրույքը մոտենում է {{math|e<sup>''r''</sup>&nbsp;−&nbsp;1}}-ի վերին սահմանին, որտեղ [[e (mathematical constant)|{{mvar|e}}]]-ն մաթեմատիկական հաստատուն է, որը [[լոգարիթմ]]ի հիմքն է։

Շարունակական բարդացման ժամանակ բարդացման ժամանակահատվածը անսահմանորեն փոքր է, քանի որ ''n''-ը ձգտում է անսահմանության։ Տե՛ս այս սահմանի էքսպոտենցիալ ֆունկցիայի մաթեմատիկական ապացույցի սահմանումները։ Շարունակական միացման ''t'' ժամանակահատվածներից հետո գումարը կարող է արտահայտվել նախնական գումարի չափով՝ որպես ''P''<sub>0</sub>

:<math>P(t)=P_0 e ^ {rt}.</math>

=== Տոկոսադրույքի ուժը ===
Քանի որ բարդացման ժամանակաշրջանների քանակը <math>n</math> ձգտում է անսահմանության շարունակական բարդացման ժամանակ, շարունակական բարդ տոկոսադրույքը կոչվում է <math>\delta</math> տոկոսադրույքի ուժը։

Մաթեմատիկայում կուտակման գործառույթները հաճախ արտահայտվում են ''[[E (mathematical constant)|e]]''՝ բնական լոգարիթմի հիմքով։ Սա հեշտացնում է հաշվարկի օգտագործումը `շահեկան բանաձևը շահարկելու համար։

Անընդհատ տարբերակիչ կուտակման ''a(t)'' գործառույթի համար տոկոսադրույքի ուժը կամ, առհասարակ, [[Շահույթ|լոգարիթմական կամ անընդհատ բարդացված շահույթը]] ժամանակի գործառույթ է, որը սահմանված է հետևյալ կերպ.

:<math>\delta_{t}=\frac{a'(t)}{a(t)}=\frac{d}{dt} \ln a(t)</math>

Սա կուտակման գործառույթի լոգարիթմական ածանցյալն է։

Հակառակը.

:<math>a(t)=e^{\int_0^t \delta_s\, ds}\ ,</math> (since <math>a(0) = 1</math>; սա կարելի է դիտարկել որպես [[ինտեգրալ]]ի հատուկ դեպք)։

Երբ վերը նշված բանաձևը գրվում է դիֆերենցիալ հավասարման ձևաչափով, ապա տոկոսադրույքի ուժը պարզապես փոփոխության գումարի գործակիցն է.

:<math>da(t)=\delta_{t}a(t)\,dt\,</math>

Տարեկան կայուն ''r'' տոկոսադրույքով բարդ տոկոսադրույքի դեպքում տոկոսադրույքների ուժը կայուն է, իսկ տոկոսադրույքի ուժի տեսանկյունից բարդ տոկոսի կուտակման գործառույթը ''e''-ի պարզ ուժ է.

:<math>\delta=\ln(1+r)\,</math> or
:<math>a(t)=e^{t\delta}\,</math>

Տոկոսադրույքների ուժը պակաս է տարեկան արդյունավետ տոկոսադրույքից, բայց ավելին ՝ քան տարեկան արդյունավետ զեղչի դրույքաչափը։ Այն  ժամանակի ''[[E (mathematical constant)|e]]'' կրկնապատման ժամանակի համարժեքն է։

Գնաճի ուժը մոդելավորելու ձևը Stoodleys բանաձևով է. &nbsp;<math>\delta_t = p + {s \over {1+rse^{st}}}</math>, որտեղ ''p'', ''r'' and ''s'' որոշվում են։

=== Բարդացման հիմքը ===
Տոկոսադրույքը մեկ բարդացվող հիմքից այլ բարդացնող հիմքի վերափոխելու համար օգտագործում ենք հետևյալը.

:<math>r_2=\left[\left(1+\frac{r_1}{n_1}\right)^\frac{n_1}{n_2}-1\right]{n_2},</math>

որտեղ,

''r''<sub>1</sub>-ը ''n''<sub>1</sub> բարդացման հաճախականությամբ տոկոսադրույքն է, և 
''r''<sub>2</sub>-ը ''n''<sub>2</sub> բարդացման հաճախականությամբ տոկոսադրույքն է։

Երբ տոկոսադրույքը [[#շարունակական բարդացում|շարունակաբար բարդանում է]] օգտագործում ենք հետևյալը.

:<math>\delta=n\ln{\left(1+\frac{r}{n}\right)},</math>

որտեղ,

''<math>\delta</math>'' շարունակաբար բարդացվող հիմքով տոկոսադրույքն է, և 
''r'' նշված տոկոսադրույքն է ''n'' բարդացման հաճախականությամբ։

=== Ամսական ամորտիզացված վարկի կամ հիփոթեքային վարկի վճարումներ ===
Ամորտիզացված վարկերի և հիփոթեքային վարկերի տոկոսադրույքները սահուն ամսավճար ունեն մինչև վարկի մարումը, այն հաճախ ամսական բարդանում է։ Վճարների բանաձևը կարելի է գտնել հետևյալ փաստարկից։

==== Ամսական վճարման ճշգրիտ բանաձև ====
Ամսական վճարման ճշգրիտ բանաձևն է.

:<math>
c= \frac{Pr}{1-\frac{1}{(1+r)^n}}
</math>

կամ համարժեք

:<math>
c= \frac{Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}
</math>

որտեղ,

: <math>c</math> = ամսական վճարումը
: <math>P</math> = հիմնական գումարը
: <math>r</math> = ամսական տոկոսադրույքը
: <math>n</math> = վճարման ժամանակահատվածների քանակը

Դա կարող է ածանցվել` հաշվի առնելով, թե որքան է մնացել մարել յուրաքանչյուր ամսվա ավարտից հետո։

Առաջին ամսվանից հետո մնում է հետևյալ հիմնական գումարը.

:<math>
P_1=(1+r)P - c,</math>

այսինքն, նախնական գումարը գումարած տոկոսը վճարումից պակաս է։

Եթե ամբողջ վարկը մարվում է մեկ ամիս հետո, ապա

:<math>P_1=0</math>, այսպիսով <math>P=\frac{c}{1+r}</math>

Երկու ամիս հետո <math>P_2=(1+r) P_1 - c</math> մնում է,

:<math>P_2=(1+r)((1+r)P-c)-c</math>

Եթե երկու ամիս անց ամբողջ վարկը մարվի,

:<math>P_2=0</math>, այսպիսով  <math>P = \frac{c}{1+r}+\frac{c}{(1+r)^2}</math>

Այս հավասարումը ընդհանրացնում է n ամիս ժամկետով, <math> P = c \sum_{j=1}^n \frac{1}{(1+r)^j} </math>:  Սա [[երկրաչափական պրոգրեսիա]] է, որի գումարն է.

:<math>P=\frac{c}{r}\left(1-\frac{1}{(1+r)^n}\right)</math>,

որը կարող է վերադասավորվել հետևյալ կերպ.

:<math>
c= \frac{Pr}{1-\frac{1}{(1+r)^n}}=\frac{Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}
</math>

'''Աղյուսակի բանաձև'''

Աղյուսակներում օգտագործվում է '''PMT()''' գործառույթը։ Շարահյուսությունն է.

:''PMT( interest_rate, number_payments, present_value, future_value,[Type] )''

Տե՛ս  [https://support.office.com/en-us/article/PMT-function-0214da64-9a63-4996-bc20-214433fa6441 Excel], 
[https://www.apple.com/ca/mac/numbers/compatibility/functions.html#financial Mac Numbers], [https://help.libreoffice.org/Calc/Financial_Functions_Part_Two#PMT LibreOffice], [https://wiki.openoffice.org/wiki/Documentation/How_Tos/Calc:_PMT_function Open Office], [https://support.google.com/docs/answer/3093185 Google Sheets] լրացուցիչ մանրամասների համար։

Օրինակ, 6% տոկոսադրույքով (0.06 / 12), 25 տարի * 12 p.a., PV- ն ՝ $ 150,000, FV- ն ՝ 0-ով, 0-ի տեսակը տալիս է.

:= PMT( 0.06/12, 25 * 12, -150000, 0, 0 )
:= $966.45

==== Ամսական վճարման մոտավոր բանաձև ====
Մի քանի տոկոսի չափով ճշգրիտ բանաձև կարելի է գտնել ՝ նշելով, որ ԱՄՆ – ի պարտատոմսերի տիպային դրույքաչափերի համար (<math>I<8\%</math> և ժամկետները ՝ <math>T</math>=10–30 տարիներ), ամսական պարտատոմսերի տոկոսադրույքը փոքր է 1-ից։ <math>r<<1</math>, այսպիսով <math>\ln(1+r)\approx r</math>, ինչը պարզեցում է տալիս, որպեսզի այն

:<math>c\approx \frac{Pr}{1-e^{-nr}}= \frac{P}{n}\frac{nr}{1-e^{-nr}}</math>

որն առաջարկում է սահմանել օժանդակ փոփոխականներ

:<math>Y\equiv n r = IT</math>

:<math>c_0\equiv \frac{P}{n} </math>.

Այստեղ <math>c_0</math> ամսական վճարն է, որը պահանջվում է վճարված զրոյական տոկոսադրույքով վարկի համար <math>n</math> հատ վճարումներով։ Այս փոփոխականների առումով հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

:<math>c\approx c_0 \frac{Y}{1-e^{-Y}},</math>

Այս ֆունկցիան <math>f(Y)\equiv \frac{Y}{1-e^{-Y}}-\frac{Y}{2}</math> հավասար է։

:<math>f(Y)=f(-Y)</math>

ենթադրելով, որ այն կարող է ընդլայնվել նույնիսկ <math>Y</math>-ի լիազորությունների դեպքում։

Անմիջապես հետևում է, որ <math>\frac{Y}{1-e^{-Y}}</math> հնարավոր է ընդլայնել նույնիսկ  <math>Y</math>-ի լիազորությունների դեպքում գումարած <math>Y/2 .</math>:

Դրանից հետո հարմար կլինի որոշել.

:<math>X=\frac{1}{2}Y = \frac{1}{2}IT</math>

այնպես որ,

:<math>c\approx c_0 \frac{2X}{1-e^{-2X}}</math>,

որը կարող է ընդլայնվել,

:<math>
c\approx c_0 \left(1 + X + \frac{X^2}{3} - \frac{1}{45} X^4 + ...\right)
</math>

որտեղ էլլիպներում նշվում են տերմիններ, որոնք ավելի բարձր կարգի են `նույնիսկ <math>X</math>- ի լիազորություններում։ Ընդարձակումը հետևյալն է.

:<math>
P\approx P_0 \left(1 + X + \frac{X^2}{3}\right)
</math>

ճիշտ է 1% -ից ավելի տրամադրվածի դեպքում <math>X\le 1 </math>:

==== Հիփոթեքային վարկի վճարման օրինակ ====
30 տարի ժամկետով և տարեկան վճարվող 4,5% տոկոսադրույքով 10000 ԱՄՆ դոլարի հիփոթեքային վարկի համար մենք որոշում ենք.

:<math>T=30</math>

:<math>I=0.045</math>

որը տալիս է,

:<math>X=\frac{1}{2}IT=.675</math>

այնպես որ

:<math>
P\approx P_0 \left(1 + X + \frac{1}{3}X^2 \right)=\$333.33 (1+.675+.675^2/3)=\$608.96
</math>
 
Ճշգրիտ վճարման գումարը կազմում է <math>P=\$608.02</math>, այնպես որ մոտարկումը գերագնահատում է մոտավորապես վեց տոկոսի չափով։

== Պատմություն ==
Բարդ տոկոսը ժամանակին համարվում էր [[վաշխառություն|վաշխառության]] ամենավատ տեսակը և խստորեն դատապարտվում էր հռոմեական օրենքով և շատ այլ երկրների ընդհանուր օրենքներով։

Ֆլորենտացի վաճառական Ֆրանչեսկո Բալդուչի Պեգոլոտին ներկայացնում էր [http://www.medievalacademy.org/resource/resmgr/maa_books_online/evans_0024.htm#hd_ma0024_head_755 առանձնահատուկ հետաքրքրություն ներկայացնող աղյուսակ] իր «Pratica della mercatura» գրքում 1340-ական թվականններին։ Այն տոկոսադրույքը տալիս է 100 լարիի դիմաց, տոկոսադրույքները 1%-ից մինչև 8%, մինչև 20 տարի ժամկետով<ref>{{Cite book |last=Evans |first=Allan |title=Francesco Balducci Pegolotti, La Pratica della Mercatura |year=1936 |place=Cambridge, Massachusetts |pages=301–2}}</ref>։ Լուչա Պակիոլիի «Թվաբանության սումմա» գիրքը (1494) տալիս է 72-ի կանոն ՝ նշելով, որ կրկնապատկվող բարդ տոկոսադրույքով ներդրման տարիների թիվը գտնելու համար պետք է տոկոսադրույքը բաժանել 72-ի։

Ռիչարդ Ուիթի «Արիթմետիկ հարցեր» գիրքը, որը լույս է տեսել 1613 թվականին, կարևոր նշանակություն ունեցավ բարդ տոկոսադրույքի պատմության մեջ։ Այն ամբողջովին նվիրված էր թեմային (նախկինում կոչվում էր '''[https://en.wiktionary.org/wiki/anatocism#Etymology անատոկիզմ]'''), մինչդեռ նախորդ գրողները սովորաբար բարդ տոկոսադրույքին անդրադառնում էին մաթեմատիկական դասագրքի ընդամենը մեկ գլխում։ Ուիթի գրքում տրվել են աղյուսակներ ՝ հիմնվելով 10% -ի (վարկերի համար թույլատրելի տոկոսի առավելագույն տոկոսադրույքը) և տարբեր նպատակներով այլ դրույքաչափեր, ինչպիսիք են գույքի վարձակալության գնահատումը։ Ուիթը լոնդոնյան մաթեմատիկական պրակտիկայով զբաղվող մասնագետ էր, և նրա գիրքը աչքի է ընկնում իր արտահայտման հստակությամբ, խորաթափանցության խորությամբ և հաշվարկման ճշգրտությամբ, 124 աշխատած օրինակներով<ref>{{Cite journal |last=Lewin |first=C G |year=1970 |title=An Early Book on Compound Interest - Richard Witt's Arithmeticall Questions |journal=Journal of the Institute of Actuaries |volume=96 |issue=1 |pages=121–132}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Lewin |first=C G |year=1981 |title=Compound Interest in the Seventeenth Century |journal=Journal of the Institute of Actuaries |volume=108 |issue=3 |pages=423–442}}</ref>։

Ջեյքոբ Բեռնուլին հայտնաբերեց հաստատուն [[e (mathematical constant)#Compound interest|<math>e</math>]] 1683 թվականին ՝ ուսումնասիրելով բարդ տոկոսադրույքի հարցը։

19-րդ դարում և, հավանաբար, ավելի վաղ, պարսկական առևտրականները օգտագործում էին ամսական վճարման բանաձևի Թեյլորի մի փոքր փոփոխված, գծային, մոտարկումը, որը կարելի էր հեշտությամբ հաշվարկել իրենց գլխում<ref>{{Cite journal |last=Milanfar |first=Peyman |year=1996 |title=A Persian Folk Method of Figuring Interest |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1996-12_69_5/page/376 |journal=Mathematics Magazine |volume=69 |issue=5 |pages=376}}</ref>։

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

== Արտաքին հղումներ ==
* [https://apricotcapital.am/education-article/part6_compound_interest/ Բարդ տոկոս - Էփրիքոթի հետ ներդրողի բառարան]
* [https://simpleinvestmentguide.com/tools/interest-calculator/ Compound interest web app]
{{Արտաքին հղումներ}}

[[Կատեգորիա:Ֆինանսական մաթեմատիկա]]
[[Կատեգորիա:Բանկային գործ]]