Դիտել Բացարձակ կեղծ թիվ էջի վիքիկոդը

{| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;"
|-
|{{math|...}} (նշված<br>միջակայքը կրկնվում է անվերջ)
|-
|{{math|1=''i''<sup>−3</sup> = ''i''}}
|-
|{{math|1=''i''<sup>−2</sup> = −1}}
|-
|{{math|1=''i''<sup>−1</sup> = −''i''}}
|-
|style="background:#cedff2;" | {{math|1=''i''<sup>0</sup> = 1}}
|-
|style="background:#cedff2;" | {{math|1=''i''<sup>1</sup> = ''i''}}
|-
|style="background:#cedff2;" | {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}
|-
|style="background:#cedff2;" | {{math|1=''i''<sup>3</sup> = −''i''}}
|-
|{{math|1=''i''<sup>4</sup> = 1}}
|-
|{{math|1=''i''<sup>5</sup> = ''i''}}
|-
|{{math|1=''i''<sup>6</sup> = −1}}
|-
|{{math|1=''i''<sup>''n''</sup> = ''i''<sup>''m'' </sup> որտեղ m ≡ n [[Сравнение по модулю|mod]] 4 }}
|}
'''Բացարձակ կեղծ թիվ'''-[[Կոմպլեքս թիվ]] է [[0 (թիվ)|0-ական]] [[Կոմպլեքս թիվ|իրական մասով]]։ Երբեմն միայն այդպիսի թվերն են կոչվում կեղծ թվեր, բայց այս տերմինը օգտագործվում է նաև զրոյական կեղծ մասով կամայական կոմպլեքս թվեր նշելու համար։
<ref>{{Ռուսերեն գիրք |заглавие=«[[Մաթեմատիկական հանրագիտարան]]» |ответственный=Գլխավոր խմբագիր Ի.Մ.Վինոգրադով |год=1982 |часть=Կոմպլեքս թիվ |место={{comment|Մ.|Մոսկվա}} |издательство=«Սովետական հանրագիտարան» |том=3 |страницы=708 |страниц=1183 |серия=51[03] М34}}</ref>
«Կեղծ թիվ» տերմինը առաջադրվել է 17-րդ դարի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս [[Ռենե Դեկարտ]]ի կողմից<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=https://books.google.com/books?id=Z6q4EDRMC2UC |автор=Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe |заглавие=Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes |год=2004 |язык=en |издание=illustrated |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer Science & Business Media]] |страницы=121 |isbn=978-0-8176-4337-9}} [https://books.google.com/books?id=Z6q4EDRMC2UC&pg=PA121 Extract of page 121]</ref>, սկզբում այս տերմինի նշանակությունը նվաստացուցիչ էր, քանի որ այդպիսի թվերը համարվել են մտացածին կամ անօգուտ, և միայն [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի և [[Կառլ Գաուս]]ի աշխատանքներից հետո այս գաղափարը ճանաչում է ստացել գիտական աշխարհում։

== Սահմանումներ ==
Թող <math>z=x+iy</math>- կոմպլեքս թիվ է,որտեղ <math>x</math> և <math>y</math>- [[իրական թվեր]] են։ <math>x = \Re(z)</math> կամ <math>\operatorname{Re} ~z</math> և <math>y = \Im(z)</math> կամ <math>\operatorname{Im} ~z</math> թվերը անվանում են համապատասխանաբար '''իրական''' և '''կեղծ'''(հանգունորեն {{lang-en|real, imaginary}}) <math>z</math> մասերով։
* Եթե <math>x=0</math>, ապա <math>z</math> կոչվում է '''բացարձակ կեղծ''' թիվ։
* Եթե <math>y=0</math>, ապա <math>z</math> հանդիսանում է [[Իրական թվեր|իրական թիվ]].

== Պատմություն ==
[[Պատկեր:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|Կեղծ թվերի դասավորությունը կոմպլեքս հարթությունում:Կեղծ թվերը դասավորված են ուղղահայաց առանցքին:]]
Առաջին անգամ կեղծ թվերը հիշատակվել են հին հույն մաթեմատիկոսի և ինժեներ [[Հերոն Ալեքսանդրիիսկի]]ի կողմից<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ref=Hargittai |ссылка=https://books.google.com/books?id=-Tt37ajV5ZgC&pg=PA153 |автор=Hargittai, István |заглавие=Fivefold symmetry |год=1992 |язык=und |издание=2nd |издательство=[[World Scientific]] |страницы=153 |isbn=981-02-0600-3}}</ref><ref>{{Ռուսերեն գիրք |ref=Roy |ссылка=https://books.google.com/books?id=J-2BRbFa5IkC |автор=Roy, Stephen Campbell |заглавие=Complex numbers: lattice simulation and zeta function applications |год=2007 |язык=en |издательство=Horwood |страницы=1 |isbn=1-904275-25-7}}</ref>,,բայց թվաբանական գործողություններ կատարելու կանոնները (մասնավորապես ՝ [[բազմապատկում]]ը) դրանցով [[1572]] թվականին [[Ռաֆայել Բոմբելլի]]ն է մտցրել։
Բոմբելիի հայեցակարգը հայտնվեց [[Ջերոլամո Կարդանո]]յի նմանատիպ գործերից առաջ։ XVI—XVII դարերում կեղծ թվերը գիտական աշխարհի մեծամասնության կողմից համարվում էին մտացածին կամ անօգուտ (նման է այն բանի, թե ինչպես [[0 (թիվ)|զրոյի]] գաղափարը ընկալվում էր մի ժամանակ)։ Մասնավորապես, Ռենե Դեկարտը, իր «[[Երկրաչափություն (Դեկարտ)|Երկրաչափություն]]» հիմնարար աշխատության մեջ կեղծ թվերին վկայակոչելով, օգտագործեց «կեղծ» տերմինը ստորացուցիչ իմաստով<ref>René Descartes, ''Discourse de la Méthode'' … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), մեջբերված գիրքը։ ''Երկրաչափություն'', книга 3, p. 380. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f464.item.zoom From page 380:] ''«Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c’est a dire qu’on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu’on imagine, comme encore qu’on en puisse imaginer trois en celle cy, x<sup>3</sup> — 6xx + 13x — 10 = 0, il n’y en a toutefois qu’une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu’on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d’expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu’imaginaires.»'' («Ավելին, որպես իրական արմատներ, ինչպես նաև կեղծ [արմատներ] ոչ միշտ են իրական,բայց երբեմն ունեն միայն կեղծ  [թվեր]; այսինքն յուրաքանչյուր հավասարում կարելի է ներկայացնել այնքան,որքան ես ասացի, բայց երբեմն չկա այնպիսի մեծություն, որը կհամապատասխանում այն թվին, որը կարելի է պատկերացնել, ճիշտ այնպես, ինչպես այս  [հավասարման], x<sup>3</sup> — 6xx + 13x — 10 = 0, որտեղ միայն մեկ արմատն է իրական  և հավասար 2, իսկ մյուս երկուսի նկատմամբ, թեկուզ մեկը մեծացնենք, կամ փոքրացնենք, կամ բաժանենք այնպես,ինչպես նոր բացատրվեց, ոչ ոք չի կարող դրանց տարբերակել կեղծ [մեծությունից].»)</ref><ref name="Martinez">{{Citation |last=Martinez |first=Albert A. |title=Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent |year=2006 |location=Princeton |publisher=Princeton University Press |isbn=0-691-12309-8}}.</ref>. Կեղծ թվերի օգտագործումը շատ տարածված չէր մինչև [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի (1707—1783) և [[Կառլ Գաուս]]ի (1777—1855) աշխատանքների ստեղծումը։ Կեղծ թվերի երկրաչափական նշանակությունը որպես հարթության կետեր առաջին անագամ նկարագրվել է [[Կասպար Վեսսել]]ի կողմից (1745—1818)<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ref=Rozenfeld |ссылка=https://books.google.com/books?id=DRLpAFZM7uwC&pg=PA382 |автор=Rozenfeld, Boris Abramovich |заглавие=A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space |год=1988 |часть=Chapter 10 |язык=en |издательство=Springer |страницы=382 |isbn=0-387-96458-4}}
</ref>.
[[1843]] իռլանդացի մաթեմատիկ [[Ուիլյամ Համիլտոն]]ը ընդլայնեց գաղափարը կեղծ թվերի առանցքների տարածությունը մինչև քառաչափ [[Քվատերնիոններ]] տարածության, որտեղ երեք հարթությունները նման են կեղծ թվերին կոմպլեքս դաշտում։
[[Ֆակտորօղակ]] թեորյայի զարգացումով [[բազմանդամների օղակ]]ի գաղափարը կեղծ թիվը դարձրեց ավելի  բովանդակալից և ստացավ հետագա զարգացումներ j — {{iw|Բիկոմպլեքս թիվ|բիկոմպլեքս թվերում|en|Bicomplex number}}, որտեղ քառակուսի  հավասար է +1:Այս գաղափարը հայտնվեց անգլիացի մաթեմատիկ 
{{iw|Կոկոլ, Ջեյմս |Ջեյմս  Կոկոլի|en|James Cockle}} 1848 թվի<ref>Cockle, James (1848) «On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra», London-Dublin-Edinburgh [[Philosophical Magazine]], series 3, 33:435-9 and Cockle (1849) «On a New Imaginary in Algebra», Philosophical Magazine 34:37-47</ref> հոդվածում։

== Երկրաչափական մեկնաբանություն ==
[[Պատկեր:Rotations on the complex plane.svg|thumb|Կոմպլեքս հարթությունում 90 աստիճանով շրջապտույտ]]
[[Կոմպլեքս հարթություն|Կոմպլեքս թվերի]] հարթության վրա կեղծ թվերը գտնվում են ուղղահայաց առանցքին, որը ուղղահայաց է [[Իրական թվեր]]ի առանցքին։ 
Կեղծ թվերի երկրաչափական մեկնաբանության ձևերից է- դիտարկել ստանդարտ թվային առանցքը, որտեղ դրական թվերը գտնվում են աջ մասում, իսկ բացասականները` ձախում։ 0 կետից x առանցքին կարող է անցնել y առանցք «դրական» ուղղությամբ, վերև գնացող, «դրական» կեղծ թվերը մեծանում են ըստ մեծության դեպի վերև, իսկ «բացասական» կեղծ թվերը մեծանում են ըստ մեծության դեպի ներքև:Այս ուղղահայաց առանցքը հաճախ անվանում են «կեղծ առանցք» և նշանակում է {{math|''i''ℝ}},<math>\scriptstyle\mathbb{I}</math>, կամ {{math|ℑ}}.
Այս մեկնաբանությունով բաժանումը {{math|–1}}-ի համապատասխանում է 180 աստիճանով շրջադարձի կոորդինատների սկզբնակետից:Բաժանումը {{mvar|i}}-ի համապատասխանում է 90 աստիճանով շրջադարձի «դրական» ուղղությամբ (այսինքն` ժամսլաքին հակառակ), իսկ {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}} հավասարումը խոսում է այն մասին, որ եթե մենք իրականացնենք 90 աստիճանով երկու շրջադարձ կոորդինատների սկզբնակետից, արդյունքը կլինի մեկ շրջադարձ 180 աստիճաննով:Այդ դեպքում 90 աստիճանով շրջադարձի «բացասական» ուղղությամբ (այսինքն` ժամսլաքին ուղղությամբ) նույնպես կբավականացնի այդ մեկնաբանությունը։ Սա արտացոլում է այն փաստը, որ {{math|−''i''}} նույնպես հանդիսանում է {{math|1=''x''<sup>2</sup> = −1}} հավասարման լուծումը։ Սովորաբար, բազմապատկումը կոմպլեքս թվերով նման է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ շրջապտույտ կատարելուն {{iw|Аргумент (կոմպլեքս անալիզ)|արգումենտ|en|Argument (complex analysis)}} կոմպլեքս թվերով հետագա մասշտաբային  մեծությամբ։
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/Rotations_on_the_complex_plane.svg

== Քառակուսի արմատներ բացասական թվերով ==
Պետք է զգուշություն ցուցաբերել կեղծ թվերով աշխատելու ժամանակ, որոնք հանդիսանում են {{iw|Գլխավոր նշանակություն(կոմպլեքս անալիզ)|գլխավոր նշանակություն| en|Principal value}} [[քառակուսի արմատ]]ների, [[Բացասական թիվ|բացասական թվերի]]. Օրինակ, այսպիսի [[Մաթեմատիկական սոփեստություն]]։
<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=https://books.google.com/books?id=PflwJdPhBlEC |автор=Nahin, Paul J. |заглавие=An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one] |год=2010 |язык=en |издательство=[[Princeton University Press]] |страницы=12 |isbn=978-1-4008-3029-9}} [https://books.google.com/books?id=PflwJdPhBlEC&pg=PA12 Extract of page 12]</ref>
: <math>6=\sqrt{36}=\sqrt{(-4)(-9)} \ne \sqrt{-4}\sqrt{-9} = (2i)(3i) = 6 i^2 = -6.</math>
Երբեմն սա գրվում է այսպես.
: <math>-1 = i^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} \stackrel{\text{ (софизм) }}{=} \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1.</math>

Նմանատիպ մաթեմատիկական սոփեստությունը առաջանում է, եթե այս <math>\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}</math> հավասարությունում փոփոխականները չունեն համապատասխան սահմանափակումներ:Այս դեպքում հավասարությունը չի կատարվում, քանի որ երկու թվերն էլ բացասական են:Սա կարելի է ցույց տալ այսպես
: <math>\sqrt{-x}\sqrt{-y} = i \sqrt{x} \ i \sqrt{y} = i^2 \sqrt{x} \sqrt{y} = -\sqrt{xy} \neq \sqrt{xy},</math>
որտեղ и ''x'' и ''y'' — ոչ բացասական իրական թվեր են։

== Դիտել նաև ==
* [[Իրական թվեր]]
* [[Կեղծ միավոր]]
* [[Մուավրի բանաձև]]

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

== Գրականություն ==
* {{Ռուսերեն գիրք |автор=Ֆիխտենգոլց Գ.Մ. |заглавие=Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի դասընթաց |год=2003 |место=М. |издательство=Ֆիզմատլիտ |էջ=810 |հատոր=2}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Nahin |ссылка=https://archive.org/details/imaginarytales00nahi |автор=Nahin, Paul |заглавие=An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1 |год=1998 |язык=en |место=Princeton |издательство=[[Princeton University Press]] |isbn=0-691-02795-1}}

== Արտաքին հղումներ ==
* [http://www.math.toronto.edu/mathnet/answers/imagexist.html How can one show that imaginary numbers really do exist?]{{ref-en}}
* [http://www.bbc.co.uk/programmes/b00tt6b2 In our time: Imaginary numbers]{{ref-en}}
* [http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers4.shtml 5Numbers programme 4]{{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20190825172656/http://www2.dsu.nodak.edu/users/mberg/Imaginary/imaginary.htm Why Use Imaginary Numbers?]{{ref-en}}

{{Մաթեմատիկա–ներքև}}

[[Կատեգորիա:Թվեր]]
[[Կատեգորիա:Թվերի տեսություն]]
[[Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզ]]
[[Կատեգորիա:Կոմպլեքս թվեր]]
[[Կատեգորիա:Հանրահաշիվ]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]