Դիտել Բրահմագուպտա էջի վիքիկոդը

{{Տեղեկաքարտ Գիտնական
 | բնագիր անուն = ब्रह्मगुप्त
}}

'''Բրահմագուպտա''' ({{lang-sa|ब्रह्मगुप्त}}, {{ԱԾ}}), հնդիկ մաթեմատիկ և աստղագետ։ Ղեկավարել է հնդկական Ուջայն քաղաքի աստղադիտարանը։ Էական ազդեցություն է ունեցել Բյուզանդիայում և իսլամական երկրներում [[աստղագիտություն|աստղագիտության]] զարգացման վրա, աստղագիտական հաշվումների համար կիրառել է հանրահաշվական մեթոդներ, ներմուծել է զրոյի, դրական և բացասական մեծությունների հետ կատարվող գործողությունների կանոնները։ Մինչև մեր ժամանակները պահպանվել է նրա հիմնական երկը՝ «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» կամ «Բրահմայի համակարգի վերանայում»։ Գրվածքների մեծ մասը նվիրված է աստղագիտությանը, երկու գլուխները (12-րդ և 18-րդ)` մաթեմատիկային։

== Կենսագրություն ==
Բրահմագուպտան ծնվել է մոտավորապես 598 թվականին։ Դրա մասին հետևություն կարելի է անել «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքից, որում նա հայտնում է, որ տեքստը գրել է 30 տարեկան հասակում 628 թվականին (Śaka 550){{sfn|Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke|1817|p=xxxv-xxxvi}}<ref name="world_bio">{{Cite web |date=2006 |title=Brahmagupta |url=http://www.encyclopedia.com/topic/Brahmagupta.aspx#1 |accessdate=2013 թ․ օգոստոսի 20 |publisher=Encyclopedia of World Biography}}</ref>։ Բրահմագուպտան ծնվել է Բհիլամալեում (այժմ`Բհինմալ, Հնդկաստանի հյուսիս-արևմուտքում` [[Ռաջաստան]] նահանգում), որն այն ժամանակ Գուրջարա (Gurjara) դինաստիայի իշխանական մայրաքաղաքն էր։ Նրա հայրը եղել է Ջիսնուգուպտան<ref name="brahmagupta">{{Cite web |author=J J O'Connor and E F Robertson |title=Brahmagupta |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Brahmagupta.html |archiveurl=https://www.webcitation.org/6Jeq9449q?url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Brahmagupta.html |archivedate=2013 թ․ սեպտեմբերի 15 |accessdate=2013 թ․ օգոստոսի 20 |publisher=[[Архив по истории математики Мактутор|MacTutor History of Mathematics archive]]}}</ref>։ Հնարավոր է, որ գիտնականն իր կյանքի մեծ մասն ապրել է Բհինմալեում Վյագրամուկհա կառավարչի օրոք (հնարավոր է նաև նրա հովանավորությամբ), այդ պատճառով էլ նրան հաճախ անվանում է Բհիլամակարյա (ուսուցիչ Բհիլամայից){{sfn|Plofker|2007|p=418—419}}<ref name="sci_bio">{{Cite web |title=Brahmagupta |url=http://www.encyclopedia.com/topic/Brahmagupta.aspx#2 |accessdate=2013 թ․ օգոստոսի 20 |publisher=Complete Dictionary of Scientific Biography}}</ref>։ Բրահմագուպտան եղել է Ուջայնի աստղադիտարանի ղեկավարը։ Այդ աստղադիտարանը, որտեղ աշխատել է նաև աստղագետ, մաթեմատիկոս Վարահամիհիրան, եղել է լավագույնը հին Հնդկաստանում<ref name="brahmagupta"/>։

Բրահմագուպտայի ուսումնասիրությունների վրա մեծ ազդեցություն են թողել նրա կրոնական հայացքները։ Լինելով ուղղափառ հինդուիստ` նա քննադատել է իր որոշ ժամանակակիցների, մասնավորապես` Արիաբհաթայի տիեզերագիտական հայացքները, ով պնդում էր, որ Երկիրը պտտվող գունդ է<ref name="britannica">{{Cite web |author=Takao Hayashi |title=Brahmagupta |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/77073/Brahmagupta |archiveurl=https://www.webcitation.org/6JfLfTQnZ?url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/77073/Brahmagupta |archivedate=2013 թ․ սեպտեմբերի 16 |accessdate=2013 թ․ օգոստոսի 20 |publisher=Энциклопедия Британника}}</ref><ref name="ReferenceA">''Еремеева А. И., Цицин Ф. А.'' История астрономии. Указ. соч., стр. 111.</ref>։ Բրահմագուպտան բանավիճում էր Արիաբհաթայի հետ [[արևի խավարում]]ների հարցի շուրջ.
[[Պատկեր:BritishmuseumRahu.JPG|200px|մինի|Ռահու աստծու գլուխը։ Ցանկանալով վրեժ առնել Արևից ու Լուսնից` նա երբեմն կուլ է տվել նրանց` այդպիսով առաջացնելով Արևի ու Լուսնի խավարումներ։]]

{{քաղվածք|Կան այնպիսի մարդիկ, ովքեր կարծում են, որ խավարումները Ռահու վիշապով չեն պայմանավորված։ Այդ տեսակետը սին է, քանի որ նա է առաջացնում խավարումներ, և աշխարհի բնակչության մեծ մասն ասում է, որ հենց նա է խավարումների պատճառը։ [[Վեդաներ]]ում, որտեղ ներկայացված է Աստծո խոսքը, Բրահմայի շրթունքներից լսվում է, որ Գլուխն [Ռահու վիշապ] է առաջացնում խավարումներ։ Դրան հակառակ` Արիաբհաթան, հակառակվելով բոլորին, ի հեճուկս արդեն հիշատակված սրբազան խոսքերի, պնդում է, որ խավարումը պայմանավորված չէ Գլխով, այլ միայն Լուսնով ու Երկրով... Այս հեղինակները պետք է ենթակվեն մեծամասնությանը, քանի որ ինչ կա Վեդաներում, սրբազան է<ref name="ReferenceA">''Еремеева А. И., Цицин Ф. А.'' История астрономии. Указ. соч., стр. 111.</ref>։|}}

Չնայած Բրահմագուպտան ծանոթ է եղել Արիաբհաթայի աշխատանքներին, հայտնի չէ սակայն, թե արդյոք նա ծանոթ է եղել նաև հնդիկ մաթեմատիկոս, աստղագետ Բհասկարայի գործերին։ Բրահմագուպտայի աշխատանքները պարունակում են բազմաթիվ քննադատություններ` ուղղված իր ժամանակի աստղագետներին, իսկ «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքի բովանդակությունը վկայում է ժամանակի հնդիկ գիտնականների մեջ եղած տարակարծությունների մասին։ Տարաձայնությունները հիմնականում պայմանավորված են եղել աստղագիտական պարամետրերի ու տեսությունների ընտրությամբ։ Բրահմագուպտայի տեսության հակառակորդների տեսակետների քննադատությունը ներկայացված է գրքի առաջին տասներկու գլուխներում և բացակայում է տասներեքերորդ և տասնութերորդ գլուխներում։

Արաբ գիտնական [[Ալ-Բիրունի]]ն իր «Կիտաբ այ Հինդ» գրքում (ոտ 1035 թվական) վերլուծել ու նկարագրել է հնդիկ աստղագետների գաղափարները։ Իր աշխատանքում նա հենվում է Բրահմագուպտայի տեսությունների վրա` որպես ամենահեղինակավորի<ref name="unesco"/>։

== Հիմնական երկեր ==
Հայտնի է Բրահմագուպտայի երկու աշխատանք` ''Brahmasphutasiddhanta''` ''Բրահմա-սպհուտա-սիդհանտա'' («Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում»), որը գրվել է 628 թվականին և Khandakhadyaka (Կհանդակհադյակա). գրվել է 665 թվականին<ref>{{Cite web |title=Брахмагупта |url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/71003/Брахмагупта |accessdate=2013 թ․ օգոստոսի 20 |publisher=Большая советская энциклопедия}}</ref>։

=== «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» ===
«Բրահմա-սպհուտա-սիդհանտա» («Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» կամ «Բրահմայի համակարգի վերանայում») գիրքը Բրահմագուպտայի ամենահայտնի երկն է, որը նվիրված է [[մաթեմատիկա]]յին ու [[աստղագիտություն|աստղագիտությանը]]։ Տրակտատը գրված է բանաստեղծությունների ձևով և պարունակում է միայն եզրակացություններ` առանց ապացույցների։ Աշխատանքը բաղկացած է 25 գլուխներից (որոշ աղբյուրներում նշվում է 24 գլուխ և ցանկի ու աղյուսակների հավելված)<ref name="brahmagupta"/><ref name="sci_bio"/>։

Առաջին տասը գլուխները, որոնք ժամանակի աստղագիտության ոգուն բնորոշ տեքստ են ներկայացնում, հաճախ դիտարկվում են առանձին` որպես աշխատության առաջին տարբերակ, քանի որ կան ձեռագրեր, որոնք պարունակում են միայն այս գլուխները։ Այս տեքստն անվանված է ''Daśādhyāyī''<ref name="sci_bio"/>։ Այն մասնավորապես պարունակում է միջին ու ճշգրիտ երկայնության հաշվարկներ, օրական պտույտի, [[Արևի խավարում|Արևի]] և [[Լուսնի խավարում|Լուսնի խավարման]] հաշվարկներ, երկնային մարմինների դիրքի փոփոխությունների հաշվարկման մեթոդներ ([[էֆիմերտե]]), նրանց ծագումն ու մայրամուտը, միավորումները (մոլորակների շքերթ)<ref name="brahmagupta"/>։

Հաջորդ 15 գլուխները պարունակում են առաջին գլուխների զգալի լրացումներ և ճշգրտումներ, ինչպես նաև մաթեմատիկային վերաբերող բաժիններ<ref name="brahmagupta"/>։ Մաթեմատիկային վերաբերող գլուխները պատկերացում են տալիս հնդիկ մաթեմատիկոսների մոտեցման երկու հիմնական եղանակների մասին` «գործողությունների մաթեմատիկա» կամ ալգորիթմներ և մաթեմատիկական հավասարումներ։ Գրքի 12-րդ գլուխը կրում է «Մաթեմատիկա» անվանումը. այն նվիրված է մաթեմատիկական պարզագույն գործողություններին, համաչափություններին, բազմապատկման առաջադրանքներին, որը կազմել է Բարհմագուպտայի ժամանակների գործնական մաթեմատիկայի հիմնական մասը։ 18-րդ գլուխը` «Ցրում», ուղիղ կապ ունի հանրահաշվի հետ, քանի որ այդպիսի եզր դեռևս գոյություն չուներ. այն անվանված է գլխում դիտարկված առաջին վարժությունը հաշվի առնելով<ref name="britannica"/>։

[[8-րդ դար]]ի երկրորդ կեսին, երբ [[Բաղդադ]]ի` [[Աբբասյաններ]]ի արքայատոհմի խալիֆ  Աբդուլահ Մամունը (Աբու ալ Աբաս Աբդ Ալլահ ալ Մամուն, 712-775) առաքելությամբ եղել է [[Հնդկաստան]]ում, Բաղդադ է հրավիրել Ուջայնի գիտնականներից մեկին` Կանկահին, ով ուսուցանել է աստղագիտության հնդկական համակարգը` հենվելով  «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքի վրա։ Խալիֆը պատվիրել է գրքի թարգմանությունը [[արաբերեն]]ով, որն իրականացրել է մաթեմատիկոս, փիլիսոփա Իբրահիմ ալ Ֆազարին 771 թվականին<ref name="world_bio"/>։ Թարգմանությունը, որը կատարվել է աղյուսակների` զիջերի տեսքով` անհրաժեշտ մեկնաբանություններով ու ցուցումներով, ստացել է «Մեծ Սինդհինդ» անվանումը։ Հայտնի է, որ այս աշխատանքից է օգտվել [[Ալ-Խորեզմի]]ն աստղագիտության («Զիջ Ալ-Խորեզմի») և թվաբանության մասին («Աշխատություն հնդկական հաշվի մասին») իր աշխատությունները գրելիս։ Կա կարծիք, որ վերջինիս թարգմանությունը [[11-րդ դար]]ում [[լատիներեն]]ով արմատական դեր է ունեցել հաշվարկման այս համակարգի տարածման գործում։

«Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» աշխատությունը [[չինարեն]] է թարգմանվել 7-9-րդ դարերի մաթեմատիկոսների կողմից (հայտնի է չորս թարգմանություն)` դրանով նպաստելով չինացի գիտնականների շրջանում հաշվարկման տասական համակարգի տարածմանը։ 1817 թվականին մաթեմատիկային վերաբերող երկու գլուխներ թարգմանվել են անգլիացի արևելագետ Հենրի Թոմաս Կոլբրուկի կողմից<ref name="sci_bio"/>։

860 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս Փրթուդակասվամին (Prthudakasvami) գրել է աշխատությանը նվիրված մեկնություններ, որը կոչվում է «Vāsanābhāṣya»։  Դրանից պահպանվել են միայն մի քանի ձեռագրեր։ Հայտնի են նաև ամբողջական աշխատության ու նրա առաջին տասը գլուխներին նվիրված մի քանի անանուն մեկնաբանություններ։ Հնդկաստանում Բրահմագուպտայի աշխատանքները հրատարակվել են 1902, 1966 թվականներին<ref name="sci_bio"/>։

=== Կհանդակհադյակա ===
Բրահմագուպտայի երկրորդ գործը «Կհանդակհադյակա» աշխատությունն է (A Piece Eatable), որը գրվել է 665 թվականին<ref name="britannica"/>։ Այն բաղկացած է 8 գլուխներից։ Աշխատության մեջ Բրահմագուպտան ճշգրտել ու պարզեցրել է աստղագիտական մի շարք հաշվարկներ` հիմնականում օգտվելով Արիաբհաթայի առաջարկած համակարգից<ref name="unesco"/>։ Բացի այդ, այն ներառում է սինուսների հաշվարկման միջարկման բանաձև<ref name="brahmagupta"/>։ [[8-րդ դար]]ում «Կհանդակհադյական» թարգմանվել է արաբերեն «Արկանդ» անվանումով<ref name="unesco">{{Ռուսերեն գիրք |ref=UNESCO |ссылка=https://books.google.ca/books?id=https://books.google.ca/books?id=xMhb5HRbTG4C&source=gbs_navlinks_s |автор=Katz V. J., Imhausen A. |заглавие=История человечества |год=2003 |издательство=Издательский дом Магистр-Пресс |том=IV. VII-XVI века |pages=410-412 |allpages=796 |Mathematics in India |Edited by M. A. Al-Bakhit, L. Bazin and S. M. Cissoko}} {{ref-ru}}
</ref>։

Գրքի մեկնաբանություններ են գրվել 864, 966, 1040, 1180 թվականներին. դրանցից մի քանիսը չեն պահպանվել։ Գիրքը տպագրվել է [[Կալկաթա]]յում 1925 և 1941 թվականներին։ Անգլերեն թարգմանությունն իրականացրել է Սենգուպտան (Prabodh Chandra Sengupta) 1934 թվականին<ref name="sci_bio"/>։

== Ներդրում մաթեմատիկայի ասպարեզում ==
Իր «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» աշխատության մեջ Բրահմագուպտան տվել է [[0 (թիվ)|զրոյի]] սահմանումը` որպես թվից այդ նույն թիվը հանելու արդյունք։ Նա առաջիններից մեկն էր, ով սահմանել է դրական, բացասական թվերի և զրոյի հանրահաշվական գործողություններ` ընդ որում դրական թվերը դիտարկելով որպես ունեցվածք, իսկ բացասական թվերը` պարտք։ Այնուհետև Բրահմագուպտան փորձել է ընդարձակել հանրահաշիվը` տալով զրոյի բաժանման բնորոշումը<ref name="brahmagupta"/>։ Բրահմագուպտայի տեսակետի համաձայն<ref name="brahmagupta"/>{{sfn|Plofker|2007|p=428—434}}.
* Զրոյի վրա բաժանելիս արդյունքում ստացվում է զրո։
* Դրական կամ բացասական թվերի բաժանումը զրոյի վրա կոտորակ է, որի հայտարարը զրո է։
* Զրոն դրական կամ բացասական թվի բաժանելիս ստացվում է զրո։

Բրահմագուպտան առաջարկել է բազմանիշ թվերի աղյուսակային բաժանման երեք եղանակ (մեկը` հիմնական և երկուսը` պարզեցված), որոնք մոտ են այն համակարգին, որը կիրառվում է ներկայումս։ Հիմնական մեթոդը Բրահմագուպտան անվանել է «gomutrika», որը թարգմանաբար նշանակում է «կովի մեզի հետագիծ» ({{lang-en|"like the trajectory of cow's urine"}})<ref name="brahmagupta"/>։

Բրահմագուպտան առաջարկել է նաև քառակուսի արմատի հաշվարկման մոտավոր բանաձև, որը նման է Նյուտոնի ինտերացիոն բանաձևին (Newton-Raphson), ax²+c=y² տեսքի որոշ քառակուսի հավասարումների լուծման եղանակ, ax+c=by տեսքի գծային հավասարումների լուծման եղանակ` կիրառելով հաջորդական կոտորակների եղանակը։

Բրահմագուպտան սահմանել է առաջին n թվերի քառակուսիների ու խորանարդների գումարը` պնդելով, որ քառակուսիների գումարը թվերի գումարն է բազմապատկած քայլերի թվի կրկնապատիկով, մեծացրած մեկ միավորով և բաժանած երեքի։ Խորանարդների գումարը մեկից մինչև տվյալ թվի գումարի քառակուսին է{{sfn|Plofker|2007|p=428-434}}{{sfn|Plofker|2007|p=428-434}}։ Բանաձևերը, որոնք կարելի է գրանցել որպես ..., բերվում են առանց ապացույցների<ref name="brahmagupta"/>։

«Կհանդակհադյական» աշխատության մեջ Բրահմագուպտան առաջարկել է երկրորդ կարգի ներածման բանաձևը, որը 1.000 տարի անց դուրսբերված Նյուտոն - Ստիրլինգի բանաձևի մասնավոր դրսևորում է։ Նա օգտագործել է այն իր կազմած եռանկյունաչափական աղյուսակներում սինուսի նշանակության արտածման համար<ref>{{Cite book |last=Joseph |first=George G. |url=https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose |title=The Crest of the Peacock |publisher=Princeton University Press |year=2000 |isbn=0-691-00659-8 |location=Princeton, NJ |page=[https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose/page/285 285]-286 |ref=joseph-2000}}.</ref>։ Բանաձևը տալիս է  {{math|''f''}} ֆունկցիայի նշանակության արժեքը, նրա արգումենտի {{math|''a'' + ''xh''}} արժեքի դեպքում, երբ նրա մեծությունն արդեն հայտնի է {{math|''a'' − ''h''}}, {{math|''a''}} և {{math|''a'' + ''h''}} կետերում։ Այն բնորոշվում է հետևյալ կերպ. <math>f( a + x h ) \approx f(a) + x \left(\frac{\Delta f(a) + \Delta f(a-h)}{2}\right) + \frac{x^2 \Delta^2 f(a-h)}{2!},</math>, որտեղ {{math|Δ}}-ն առաջին կարգի [[Վերջավոր տարբերությունների հաշիվ|վերջավոր տարբերությունների հաշվի]] գործարկիչն է, այսինքն` <math> \Delta f(a) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ f(a+h) - f(a):</math>։

Ընդ որում, Բրահմագուպտան չի մատնանշել, որ բանաձևը ճիշտ է միայն քառանկյան համար, որը կարելի է ներգծել շրջանին, այդ պատճառով էլ որոշ տեսաբաններ այստեղ ենթադրում են Բրահմագուպտայի սխալը<ref name="brahmagupta"/>։

[[Պատկեր:Brahmaguptas formula.svg|250px|մինի|ձախից|Բրահմագուպտայի բանաձևը քառանկյան համար]]
Հայտնի է Բրահմագուպտայի ևս մեկ բանաձև կամայական եռանկյան նշյալ շրջանագծի շառավղի համար. <math>R=\frac{ab}{2h_c}=\frac{bc}{2h_a}=\frac{ac}{2h_b},</math>, որտեղ եռանկյան կողմերն են` {{math|''h<sub>a</sub>'', ''h<sub>b</sub>''}}, իսկ նրա բարձրությունը` {{math|''h<sub>c</sub>''}}։

Բրահմագուպտան առաջարկել է շրջանի մեջ ներգծված քառանկյան մակերեսի հաշվարկումը<ref name="brahmagupta"/>։ Բրահմագուպտայի բանաձևը եռանկյան մակերեսի հաշվարկման [[Հերոնի բանաձև]]ի ընդհանրացումն է։ Այսպես, շրջանին ներգծված քառանկյան {{math|''S''}} մակերեսը` {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}} կողմերով և {{math|''p''}} տրամագծի կեսով, հավասար է <math>S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}:</math>

=== Բրահմագուպտայի նույնություն ===
Բրահմագուպտայի նույնությունը պնդում է, որ երկու քառակուսիների գումարի արտադրյալը երկու քառակուսիների գումարն է, ընդ որում դա արտահայտվում է հետևյալ կերպ.
<math>(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2:</math>

Օրինակ`
: <math>(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.</math>

=== Բրահմագուպտայի թեորեմ ===
[[Պատկեր:Brahmaguptra's theorem.svg|280px|մինի|աջից|Բրահմագուպտայի թեորեմը պնդում է, որ AF= FD]]
Դիցուք` ունենք ներգծված քառանկյուն, որի տրամագծերը փոխուղղահայաց են։ Նրանց հատման կետից ուղղահայաց տանենք կողմերից մեկին։ Եթե տրամագծերի հատման կետից շարունակենք ուղղահայացը, ապա այն քառանկյան հակառակ կողմը կբաժանի երկու հավասար մասերի։

=== Բրահմագուպտայի խնդիր ===
'''Բրահմագուպտայի խնդիր''' - [[Կառուցում կարկինի և քանոնի օգնությամբ|Կարկինի և քանոնի օգնությամբ կառուցել]] քառանկյուն իր չորս կողմերով<ref>В. В. Прасолов, Задачи по планиметрии</ref>. Լուծումներից մեկն օգտագործում է Ապոլլոնի շրջանագիծը։

== Ներդրում աստղագիտության ոլորտում ==
Բրահմագուպտան կարծում էր, որ Երկիրն անշարժ է. չի պտտվում իր առանցքի շուրջ։ Իր «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» աշխատության մեջ նա ենթադրում էր, որ տարվա տևողությունը 365 օր, 6 ժամ, 5 րոպե և 19 վայրկյան է։ Հնարավոր է, որ այս բնորոշումը նա վերցրել է Արիաբհաթայից։

Բրահմագուպտայի աստղագիտական պատկերացումները, որոնք շարադրված են «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքում, վկայում են նրա հետազոտական ու գիտական կանխատեսման բարձր մակարդակի մասին։ Այսպես, աշխատության յոթերորդ գլխում, որը կոչվում է «Լուսնի խավարման մասին», Բրահմագուպտան մերժում է պատկերացումն այն մասին, որ [[Լուսին]]ը [[Արև]]ից ավելի հեռու է գտնվում, քան [[Երկիր]]ը{{sfn|Plofker|2007|p=419—420}}։

{{քաղվածք|7.1. Եթե Լուսինն Արևից բարձր լիներ, ապա Արևին մոտակա նրա կեսը միշտ լուսավորված կլիներ։
7.2. Համապատասխանաբար, Լուսնի` Արևի կողմից լուսավորված կողմը միշտ տեսանելի կլիներ, իսկ չլուսավորված կողմը երբեք չէր երևա։

7.3. Պայծառությունը [Լուսնի լուսավորված մասի] ավելանում է Արևի ուղղության հետ։ Լիալուսնի վերջում կեսը լուսավորված է, իսկ մյուս կեսը` մութ։ Այդպիսով, կիսալուսնի եղջյուրի բարձրությունը կարելի է հաշվարկել։|}}

Բրահմագուպտան մեկնաբանում է, որ քանի որ Լուսինն ավելի մոտ է Երկրին, քան Արևը, Լուսնի լուսավորվածության աստիճանը կախված է Արևի ու Լուսնի փոխադարձ դիրքից, և այն կարելի է հաշվարկել` ելնելով երկնային այս երկու մարմինների անկյան մեծությունից։

Աստղագիտության մեջ Բրահմագուպտայի կարևոր ներդրումներից է ժամանակի ընթացքում երկնային մարմինների դիրքի, նրանց ծագման ու մայրամուտի, մոլորակների շքերթների, ինչպես նաև Արևի ու Լուսնի խավարումների հաշվարկման եղանակները ([[էֆիմերտե]])։ Բրահմագուպտան քննադատության է ենթարկում [[պուրաններ]]ի տիեզերագիտական հայացքներն այն մասին, որ Երկրիը հարթ է և կիսատ։ Նա պնդում է, որ Երկիրն ու երկինքն ունեն գնդի ձև, և որ Երկիրը շարժվում է։ 1030 թվականին աստղագետ [[Ալ-Բիրունի|Աբու ալ Ռայհան ալ Բիրունին]] իր «Թարիհ ալ Հինդ» աշխատության մեջ մեկնաբանել է Բրահմագուպտայի աշխատությունը։ Բիրունին նշել է, որ Երկրի` գնդաձև լինելու տեսակետի հակառակորդներին Բրահմագուպտան պատասխանել է.
{{քաղվածք|Ընդհակառակը, եթե այդպես լիներ, Երկիրը չէր կարող իր ձևը նույնիսկ մեկ րոպե պահել [...]: Բոլոր ծանր մարմինները ձգվում են երկրի կենտրոն [...]: Երկիրը նույնն է բոլոր կողմերից։ Բոլոր մարդիկ Երկրի վրա կանգնում են, և բոլոր ծանր իրերը ընկնում են գետին բնության օրենքով, այդպես է Երկրի բնույթը, որ ձգի ու պահի իրերը, ինչպես որ ջրի բնույթը հոսելն է, կրակինը` վառվելը, քամունը` շարժման մեջ գտնվելը... Երկիրը միակ ցածր առարկան է. բոլոր իրերը միշտ վերադառնում են նրա մոտ ցանկացած ուղղությունից, որտեղ էլ որ նրանց գցեն, և երբեք վերև չեն բարձրանա։|Բրահմագուպտա, «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում», (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica}}

Երկրի ձգողական ուժի մասին Բրահմագուպտան ասել է.
{{քաղվածք|Մարմիններն ընկնում են գետնին, քանի որ Երկրի բնույթն է ձգել դրանց, ինչպես որ ջրի բնույթը հոսելն է։| Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2.}}

== Երկեր ==
Բրահմագուպտայի հիմնական աշխատությունը «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գիրքն է (628), որ բաղկացած է 25 բաժիններից (որոշ աղբյուրներում նշվում է 24 գլուխ և ցանկի ու աղյուսակների հավելված)<ref>Брахмагупта // Большой Энциклопедический словарь. 2000</ref>։

# Երկրագնդի դիրքի, երկնքի ու երկրի ձևերի մասին։
# Լուսատուների պտույտի և ժամանակի բնորոշման մասին. այն մասին, թե ինչպես որոշել լուսատուների դիրքի միջինը. աղեղի սինուսի բնորոշումը։
# Լուսատուների աղյուսակի կազմման մասին։
# Երեք խնդիրների մասին, մասնավորապես` ստվերի, օրվա ավարտված մասի և հորոսկոպի, ինչպես նաև այն մասին` ինչպես կարելի է դրանցից մեկից հետևություն անել մյուսի մասին։
# Այն մասին, թե ինչպես են լուսատուները երևում Արևի ճառագայթներից և ինչպես են թաքնվում դրանց հետևում։
# Այն մասին, թե ինչպես է երևում լուսնի մահիկը և նրա երկու եղջյուրների մասին։
# Լուսնի խավարման մասին։
# Արևի խավարման մասին։
# Լուսնի ստվերի մասին։
# Լուսատուների միավորման ու հակադրության մասին։
# Լուսատուների լայնության մասին։
# Քննադատություն այն բանի մասին, ինչը պարունակում են գրքերն ու աղյուսակները, ճիշտը սխալից տարբերելու մասին։
# Հանրահաշվի և հեռավորությունների հաշվարկում և այլ դեպքերում նրա կիրառման մասին։
# Լուսատուների միջին դիրքի ճշգրտման մասին։
# Լուսատուների աղյուսակի ուղղման մասին։
# Երեք խնդիրների ճշգրիտ հետազոտման մասին։
# Խավարումների շեղումների մասին։
# Լուսնի մահիկի ու նրա երկու եղջյուրների ի հայտ գալու ճշգրիտ բնորոշման մասին։
# «Կուտակա» մեթոդի մասին։
# Բանաստեղծական չափերի ու չափումների հաշվարկներ։
# Շրջակայքի ու իրերի մասին։
# Ժամանակի չափման չորս չափանիշների մասին` Արևով, մայրամուտով, Լուսնով ու լուսնային փուլերով։
# Թվերի նշանների մասին այդ առարկայի գրական ստեղծագործություններում։
# Մաթեմատիկան չօգտագործած ապացույցների մասին։

Բրահմագուպտայի երկրորդ աշխատությունը` «Կհանդակհադյական» (655), նույնպես արմատական աշխատություն է աստղագիտությունից։

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

== Տես նաև ==
* [[Բրահմագուպտայի բանաձև]] 
* [[Եռանկյունների լուծում]]

== Գրականություն ==
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke |ссылка=https://books.google.ca/books?id=ebZIAAAAcAAJ&source=gbs_navlinks_s |автор=Brahmagupta, Bhaskara, Colebrooke H.-T. |заглавие=Algebra, with arithmetic and mensuration, from Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara |год=1817 |издательство=John Murray |allpages=378}} {{ref-en}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Plofker |ссылка=https://books.google.ca/books?id=3ullzl036UEC&source=gbs_navlinks_s |автор=Plofker K. |заглавие=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A sourcebook |ответственный=Editor Katz V. J. |год=2007 |часть=Mathematics in India |издательство=Princeton University Press |allpages=685 |Mathematics in India |Plofker K.}} {{ref-en}}

* ''Ван дер Варден Б. Л.'' Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. ''Успехи математических наук'', 31, вып. 5(191), 1976, с. 57-70.
* ''Володарский А. И.'' Очерки истории средневековой индийской математики. — М.։ Наука, 1977.
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Юшкевич |автор=Юшкевич А. П. |заглавие=История математики в средние века |год=1961 |место=М. |издательство=Физматгиз}}
* Gupta R. C. Brahmagupta’s formulas for the area and diagonals of a cyclic quadrilateral. ''The Mathematics Education'', 8, 1974, p.&nbsp;33-36.
* Sarasvati Amma T. A. ''Geometry in ancient and medieval India.'' Delhi։ Motilal Banarsidass, 1979.
* История математики, т.1, М., 1970.
* ''Еремеева А. И., Цицин Ф. А.'' История астрономии (основные этапы развития астрономической картины мира). Изд. МГУ, 1989.

{{Արտաքին հղումներ}}

[[Կատեգորիա:Աստղագետներ]]
[[Կատեգորիա:Հնդիկ գիտնականներ]]
[[Կատեգորիա:Հնդիկ մաթեմատիկոսներ]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկան VI դարում]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկոսներ այբբենական կարգով]]
[[Կատեգորիա:Միջնադարի մաթեմատիկոսներ]]