Դիտել Գեորգ Կանտոր էջի վիքիկոդը

{{Ընտրյալ հոդված}}
{{Տարվա հոդված|2020}}
{{Տեղեկաքարտ Գիտնական}}
'''Գեորգ Ֆերդինանդ Լյուդվիգ Ֆիլիպ Կանտոր''' ({{ԱԾ}}), գերմանացի մաթեմատիկոս։ Ստեղծել է [[բազմությունների տեսություն]]ը, որը դարձել է ժամանակակից մաթեմատիկայի հիմնարար տեսությունը։ Կանտորը ցույց է տվել երկու բազմությունների անդամների միջև [[փոխմիարժեք համապատասխանություն|փոխմիարժեք համապատասխանության]] կարևորությունը, սահմանել է [[Անվերջություն (մաթեմատիկա)|անվերջ]] և [[լավ կարգավորված բազմություն]]ները, ապացուցել է, որ իրական թվերը բնական թվերից «ավելի շատ են»։ Սահմանել է [[Բազմության հզորություն|կարդինալ]] և օրդինալ թվերը և դրանց թվաբանությունը։ Կանտորի աշխատանքները մեծ փիլիսոփայական կարևորություն ունեն, ինչի մասին նա տեղյակ էր<ref>Այս հոդվածի հիմնական կենսագրական նյութը վերցվել է [[#Dauben1979|Դուբենի (1979)]] գրքից (անգլերեն)։ [[#Guinness1971|Գրատան-Գինեսի (1971)]] (անգլերեն) և [[#Purkert|Փարկերտ ու Իլգաուդս]] (անգլերեն) գրքերը օգտակար գրականություն են։</ref>։

Կանտորի [[տրանսֆինիտ թվեր]]ի տեսությունը սկզբում համարվում էր ոչ ինտուիտիվ և քննադատվել է բազմաթիվ մաթեմատիկոսների և փիլիսոփաների կողմից, մինչև օրինակ՝ [[Լեոպոլդ Կրոնեկեր]], [[Անրի Պուանկարե]]<ref>[[#Dauben2004|Դուբեն 2004]], էջ 1։</ref>, [[Հերման Վեյլ]], [[Լ․ Է․ Յ․ Բրաուեր]] և [[Լյուդվիգ Վիտգենշթայն]]։ Կանտորը, լինելով նվիրված [[Լյութերականություն|լյութերական]]<ref>{{Cite book |last=Դուբեն |first=Ջոզեֆ Ուորեն |title=Georg Cantor His Mathematics and Philosophy of the Infinite |date=1979 |publisher=Princeton university press |isbn=9780691024479 |pages=introduction |language=en}}</ref>, հավատում էր, որ տեսությունը իրեն փոխանցվել է Աստծո միջոցով<ref name="xdpfir">[[#Dauben2004|Դուբեն 2004]], էջեր 8, 11, 12–13։</ref>։ Որոշ [[Քրիստոնեական աստվածաբանություն|քրիստոնյա աստվածաբաններ]] (հատկապես՝ [[Նեոսխոլաստիկա|նեոսխոլաստիկներ]]) կարծում էին, որ Կանտորի աշխատանքները հակասում են Աստծո էության մեջ բացարձակ անվերջության միակության գաղափարին<ref name="nuozkv">[[#Dauben1977|Դուբեն 1977]], էջ 86; [[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջեր 120, 143։</ref>, և համեմատում էին տրանսֆինիտ թվերի տեսությունը [[պանթեիզմ]]ի հետ<ref name="daub771022">[[#Dauben1977|Դուբեն 1977]], էջ 102։</ref>։

[[Լեոպոլդ Կրոնեկեր]]ը Կանտորին անվանել է «գիտական շառլատան», «դավաճան» և «երիտասարդության շփոթեցնող»<ref>[[#Dauben2004|Դուբեն 2004]], էջ 1; [[#Dauben1977|Դուբեն 1977]], էջ 89 ''15n։''</ref>։ Կրոնեկերը չի ընդունել հանրահաշվական թվերի հաշվելիության և տրանսցենդենտ թվերի անհաշվելիության Կանտորի ապացույցները (այս արդյունքները այժմ մաթեմատիկայի ուսուցման ստանդարտ ծրագրում են)։ Կանտորի մահից տասնամյակներ անց Վիտգենշթայնը բազմությունների տեսության հասկացությունները անվանել է «բացարձակ անհեթեթություն», որը «ծիծաղելի է» և «սխալ»{{sfn|Ռոդիխ|2007}}։ 1884 թվականից մինչև կյանքի վերջ կրկնվող դեպրեսիայի ցնցումների պատճառ են համարվել ժամանակակիցների քննադատությունները<ref name="daub280">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 280։ «․․․Արթուր Մորից Շյոնֆլիսի պատճառով հայտնի է դարձել այն վարկածը, թե Կանտորի կրկնվող դեպրեսիայի ցնցումների պատճառը Կրոնեկերի շարունակական քննադատությունն էր և կոնտինուումի վարկածը ապացուցելու Կանտորի անկարողությունը»</ref>, սակայն որոշ հետազոտողներ կարծում են, որ այն հավաբանար [[Երկբևեռ աֆեկտիվ խանգարում|երկբևեռ աֆեկտիվ խանգարման]] հետևանք է եղել<ref name="bipolar">[[#Dauben2004|Դուբեն 2004]], էջ 1։ Գրքում կա հոգեբույժ Կարլ Պոլիտտից (Կանտորի հոգեբույժը Հալլեում) քաղվածք, որտեղ նա Կանտորի [[հոգեկան հիվանդություններ]]ը բնութագրում է որպես «կրկնվող մինի-դեպրեսիա»։</ref>։

1904 թվականին [[Լոնդոնի թագավորական ընկերություն]]ը Կանտորին արժանացրել է [[Սիլվեստրի մեդալ]]ի, որը մաթեմատիկայի բնագավառում ընկերության ամենահեղինակավոր մրցանակն էր<ref name="daub248" />։ [[Դավիթ Հիլբերտ]]ը պաշտպանել է քննադատներից՝ ասելով. «Ոչ ոք չի կարող վտարել մեզ Կանտորի ստեղծած դրախտից»{{ref+|{{lang-de|«Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.»}}<ref>{{harvtxt|Հիլբերտ|1926|p=170}}</ref>|Ն}}<ref name="encomium">{{Citation |last=Ռիդ |first=Քոնստանս |title=Hilbert |page=177 |year=1996 |place=Նյու Յորք |publisher=Springer-Verlag |language=en |isbn=978-0-387-04999-1}}</ref>։

== Կյանք ==
=== Երիտասարդություն և կրթություն ===
[[Պատկեր:Georg Cantor3.jpg|thumb|left|Կանտորը մոտ 1870 թվականին]]
Գեորգ Կանտորը ծնվել է 1845 թվականին Ռուսաստանի [[Սանկտ Պետերբուրգ]] քաղաքում և ապրել այնտեղ մինչև տասնմեկ տարեկանը։ Կանտորն ընտանիքի վեց երեխաներից ամենամեծն էր և համարվում էր տաղանդավոր ջութակահար։ Պապը՝ Ֆրանս Բոհմը (1788-1846), հայտնի երաժիշտ մենակատար էր [[Ռուսական կայսրություն|Ռուսական կայսրական]] նվագախմբում<ref>[http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_music/924/Бём Музыкальная энциклопедия (Երաժշտական հանրագիտարան, ռուսերեն)]։</ref>։ Կանտորի հայրը Սանկտ Պետերբուգի [[ֆոնդային բորսա]]յի անդամ էր։ Ընտանիքը 1856 թվականին Կանտորի հիվանդության պատճառով տեղափոխվել է [[Գերմանիա]]՝ սկզբում [[Վիսբադեն]], իսկ հետո՝ [[Մայնի Ֆրանկֆուրտ]], քանի որ այս քաղաքները Սանկտ Պետերբուրգից ավելի մեղմ ձմեռներ ունեին։ 1860 թվականին Կանտորն ավարտել է [[Դարմշտադտ]]ի «Ռեալշուլը»<ref group="Ն">Գերմաներեն՝ Realschule ([ʁeˈaːlʃuːlə]), միջնակարգ դպրոցի տեսակ Գերմանիայում, Շվեյցարիայում և Լիխտենշտեյնում։</ref>, որտեղ աչքի է ընկել բարձր առաջադիմությամբ, հատկապես մաթեմատիկայի և [[Եռանկյունաչափություն|եռանկյունաչափության]] բնագավառում։ 1862 թվականին Կանտորը ընդունվել է [[Ցյուրիխի տեխնիկական բարձրագույն դպրոց]]։ 1863 թվականի հունիսին մահացել է Կանտորի հայրը՝ նրան թողնելով նշանակալի ժառանգություն<ref name=":0">{{Cite web |title=Cantor biography |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cantor.html |access-date=2017 թ․ հոկտեմբերի 6 |website=www-history.mcs.st-andrews.ac.uk |language=en}}</ref>, որից հետո նա կրթությունը շարունակել է [[Բեռլինի Հումբոլդտի անվան համալսարան]]ում՝ հաճախելով [[Լեոպոլդ Կրոնեկեր]]ի, [[Կառլ Վայերշտրաս]]ի և [[Էռնստ Էդուարդ Կումմեր]]ի դասախոսություններին։ 1866 թվականի ամառը անցկացրել է [[Գյոթինգենի համալսարան]]ում, որն այդ ժամանակ մաթեմատիկական հետազոտությունների կենտրոն էր։ Կանտորը հիանալի ուսանող էր և դոկտորի աստիճան է ստացել 1867 թվականին<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cite book |last=Բրունո |first=Լեոնարդ |title=Math and mathematicians: the history of math discoveries around the world |last2=Բարկեր |first2=Լոուրենս |publisher=U X L |year=1999 |isbn=978-0787638139 |location=Դետրոյթ |page=54 |language=en |oclc=41497065}}</ref>։

=== Ուսուցում և հետազոտություն ===
Բեռլինի համալսարանում Կանտորի [[դիպլոմային աշխատանք]]ը (1867 թվական) վերաբերում էր [[Թվերի տեսություն|թվերի տեսությանը]]։ Բեռլինի աղջիկների դպրոցում կարճ ժամանակ դասավանդելուց հետո Կանտորը աշխատանքի է անցել [[Հալլեի համալսարան]]ում, որտեղ անցկացրել է իր ամբողջ գործունեությունը։ Իր հաբիլիտացիան նույնպես վերաբերում էր թվերի տեսությանը, որը նա ներկայացրել է 1869 թվականին՝ Հալլեի համալսարանում աշխատանքի անցնելու ժամանակ<ref name=":1" /><ref>{{Cite web |last=Ջոն O'Կոնոր |last2=Էդմունդ Ռոբերտսոն |year=1998 |title=Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cantor.html |publisher=MacTutor History of Mathematics |language=en}}</ref>։

1874 թվականին Կանտորը ամուսնացել է Վալլե Գութմանի հետ։ Նրանք ունեցել են վեց երեխա, վերջինը (Ռուդոլֆ) ծնվել է 1886 թվականին։ Չնայած  ակադեմիական համեստ աշխատավարձին՝ Կանտորը կարողացել է բավարարել ընտանիքի պահանջները հոր ժառանգության միջոցով։ [[Հարց|Հարցի լեռներում]] իրենց մեղրամսի ընթացքում Կանտորը ժամանակի մեծ մասն անցկացրել է [[Ռիխարդ Դեդեկինդ]]ի հետ մաթեմատիկական քննարկումերի վրա, որի հետ նա ծանոթացել էր երկու տարի առաջ։ Կանտորը 1872 թվականին դարձել է լրացուցիչ պրոֆեսոր ({{Lang-de|außerordentlicher Professor, ao. Prof.}}) իսկ 1879 թվականին՝ լրիվ պրոֆեսոր<ref name=":0" /><ref name=":1" />։ 34 տարեկանում նման բարձր աստիճանի հասնելը նշանավոր նվաճում էր, բայց Կանտորը ցանկանում էր կոչում ստանալ ավելի հեղինակավոր համալսարանից, մասնավորապես՝ Բեռլինից, որը այդ ժամանակ Գերմանիայի առաջատար համալսարանն էր։ Այնուամենայնիվ, նրա աշխատությունները շատ քննադատություններ ունեցան, որոնք խոչընդոտել են Կանտորի ցանկությանը<ref name="daub163">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 163։</ref>։ Կրոնեկերը, որն այդ ժամանակ Բեռլինի համալսարանի մաթեմատիկայի բաժնի ղեկավարն էր, չէր ցանկանում Կանտորին որպես կոլեգա տեսնել<ref name="daub34">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 34։</ref>՝ նրան ընկալելով որպես «երիտասարդության շփոթեցնող»<ref>[[#Dauben1977|Դուբեն 1977]], էջ 89 ''15n։''</ref>։ Ավելին, Կրոնեկերը, լինելով Կանտորի նախկին դասախոսը և մաթեմատիկական հասարակության մեջ հարգված անձ, հիմնովին մերժում էր Կանտորի աշխատանքները, նույնիսկ դիտավորյալ հետաձգում էր Կանտորի առաջին խոշոր աշխատանքի հրատարակումը 1874 թվականին<ref name=":1" />։ Կրոնեկերը, որն այժմ համարվում է [[կոնստրուկտիվ մաթեմատիկա]]յի հիմնադիրներից մեկը, չէր ընդունում բազմությունների տեսության վերաբերյալ Կանտորի աշխատանքների մեծ մասը, քանի որ դրանք ենթադրում էին որոշակի հատկությունների բավարարող բազմությունների գոյությունը՝ առանց մասնավոր օրինակներ տալու։ Բեռլինի համալսարանի դիմումները միշտ մերժվել են, հիմնականում Կրոնեկերի ազդեցությամբ<ref name=":1" />, ինչի պատճառով Կանտորը սկսեց մտածել, որ Կրոնեկերի դիրքորոշումը անհնար կդարձնի Հալլեից հեռանալը։ Էդուարդ Հեյնի մահվանից հետո 1881 թվականին Հալեի համալսարանում նրա զբաղեցրած պաշտոնը մնացել է թափուր։ Հալլեի համալսարանը ընդունել է Կանտորի առաջարկը, ըստ որի՝ պաշտոնը պետք է առաջարկվեր Դեդեկինդին, Հենրիխ Մ․ Վաբերին և Ֆրանս Մերթենսին համապատասխան հերթականությամբ, սակայն բոլորը մերժել են աշխատանքի հրավերը։ Ի վերջո, թափուր պաշտոնում նշանակվել է Ֆրիդրիխ Վանգերինը, որը երբեք Կանտորի հետ մոտ չի եղել։

1882 թվականին ավարտվել է Կանտորի և Դեդեկինդի նամակագրությունը, ըստ էության՝ Դեդեկինդի պաշտոնազրկման պատճառով<ref>[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջեր 2–3; [[#Guinness1971|Գրատան-Գինես 1971]], էջեր 354–355։</ref>։ Կանտորը նոր կարևոր նամակագրություն է սկսել շվեդ մաթեմատիկոս [[Մագնուս Միտտագ-Լեֆլեր]]ի հետ և շուտով սկսել է տպագրվել Միտտագ-Լեֆլերի ամսագրում՝ ''«Acta Mathematica»''-ում։ Սակայն 1885 թվականին Միտտագ-Լեֆլերը անհանգստացած էր Կանտորի ուղարկած հոդվածի փիլիսոփայական բնույթի և նոր տերմինաբանության պատճառով<ref name="daub138">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 138։</ref>։ Նա Կանտորին խնդրել է հետ վերցնել հոդվածը՝ ասելով, որ այն «․․․մոտավորապես 100 տարի առաջ է»։ Կանտորը համաձայնվել է, սակայն հետագայում խզել է Միտտագ-Լեֆլերի հետ հարաբերությունները և նամակագրությունը։ Երրորդ կողմի հետ նամակագրություններից մեկում Կանտորը գրել է. «․․․Ես պետք է սպասեմ մինչև 1984 թվականը, ինչը ինձ համար մեծ պահանջ է թվում... Բայց իհարկե ես այլևս չեմ ցանկանում լսել ''«Acta Mathematica»''-ի մասին որևէ բան»<ref name="daub139">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 139.</ref>։

Կանտորի առաջին տևական դեպրեսիան եղել է 1884 թվականի մայիսին<ref name=":0" /><ref name="daub282" />։ Իր աշխատանքների քննադատությունը մեծ ազդեցություն է ունեցել Կանտորի վրա․ 1884 թվականի ընթացքում Միտտագ-Լեֆլերին գրած 52 նամակներից բոլորում նա հիշատակել է Կրոնեկերին։ Նամակներից մեկում Կանտորը գրել է.

{{quote|...Ես չգիտեմ՝ երբ կկարողանամ շարունակել իմ գիտական աշխատանքը։ Այս պահին ես բացարձակ ոչինչ չեմ կարող անել դրա հետ և սահմանափակել եմ ինձ իմ դասախոսությունների ամենակարևոր պարտականությամբ․ ինչքան երջանիկ կլինեի ես գիտականորեն ակտիվ լինելու դեպքում, եթե միայն ունենայի անհրաժեշտ մտավոր թարմությունը<ref>[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 136, [[#Guinness1971|Գրատան-Գինես 1971]], էջեր 376–377։ Վերջինը թվագրվում է 1884 թվականի հունիսի 21-ին։</ref>։}}

Այս ճգնաժամի արդյունքում նա սկսել է հաճախել փիլիսոփայության դասախոսությունների։ Նա նաև սկսել է ակտիվ ուսումնասիրել [[Էլիզաբեթյան ժամանակաշրջան]]ի գրականությունը՝ հույս ունենալով, որ կարող է գտնել փաստեր, որոնք կապացուցեն, որ [[Ուիլյամ Շեքսպիր]]ին վերագրվող ստեղծագործությունների հեղինակը  [[Ֆրենսիս Բեկոն]]ն է (տես՝ [[Շեքսպիրի հեղինակության հարց]])։ Արդյունքում 1896 և 1897 թվականներից հրատարակել է երկու բրոշյուր<ref>[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջեր 281–283։</ref>։

Չնայած հետագայում շարունակել է կարևոր ներդրումները մաթեմատիկայում, այդ թվում [[Կանտորի անկյունային արգումենտ]]ը և [[Կանտորի թեորեմ]]ը, սակայն երբեք չի վերականգնել 1874-1884 թվականների ուշագրավ հոդվածների բարձր մակարդակը նույնիսկ Կրոնեկերի մահից հետո (1891 թվականի դեկտեմբերի 29)<ref name=":1" />։ Ի վերջո նա կարողացել է հաշտվել Կրոնեկերի հետ, սակայն փիլիսոփայական անհամաձայնությունները և դժվարությունները շարունակել են բաժանել նրանց։

1889 թվականին Կանտորը նպաստել է [[Գերմանիայի մաթեմատիկական ընկերություն|Գերմանիայի մաթեմատիկական ընկերության]] ստեղծմանը<ref name=":1" /> և ղեկավարել է դրա առաջին հանդիպումը Հալլեում (1891 թվական), որտեղ նա առաջին անգամ ներկայացրել է անկյունային արգումենտը։ Չնայած նրա աշխատությունների հանդեպ Կրոնեկերի ընդդիմությանը՝ նրա հեղինակությունը բավական բարձր էր ընկերության առաջին նախագահ ընտրվելու համար։ Մի կողմ դնելով Կրոնեկերի թշնամանքը՝ Կանտորը նրան հանդիպման է հրավիրել, սակայն Կրոնեկերը չի կարողացել մասնակցել կնոջ առողջական վիճակի պատճառով։ Կանտորը նաև օժանդակել է Մաթեմատիկոսների առաջին միջազգային կոնֆերանսին, որը տեղի է ունեցել 1897 թվականին [[Ցյուրիխ]]ում<ref name=":1" />։

=== Հետագա կյանք և մահ ===
1884 թվականի հոսպիտալացումից հետո մինչև 1899 թվականը ոչ մի հիշատակում չկա, որ նա եղել է որևէ [[Առողջարաններ|առողջարանում]]<ref name="daub282">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 282։</ref>։ Երկրորդ հոսպիտալացումից կարճ ժամանակ անց՝ դեկտեմբերի 16-ին, մահացել է Կանտորի փոքր տղան՝ Ռուդոլֆը (Կանտորը դասախոսություն էր կարդում Բեկոնյան տեսության և [[Ուիլյամ Շեքսպիր]]ի վերաբերյալ իր տեսակետների մասին), որից հետո մարել է մաթեմատիկայի հանդեպ Կանտորի հետաքրքրությունը<ref name="daub283">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 283։</ref>։ Մի քանի տարի անց՝ 1903 թվականին, կրկին հոսպիտալացվել է։ Մեկ տարի անց՝ Մաթեմատիկոսների երրորդ միջազգային կոնֆերանսի ընթացքում, [[Հուլիոս Կյունինգ]]ը ներկայացրել է հոդված, որով փորձում էր ապացուցել, որ տրանսֆինիտ բազմությունների տեսության հիմնական սկզբունքները սխալ են։ Քանի որ հոդվածը կարդացվել էր իր դստեր և կոլեգաների ներկայությամբ, Կանտորը իրեն հանրայնորեն ստորացված էր զգում<ref>Կյունինգի հոդվածի քննարկման համար տես [[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 248–250։ Կանտորի արձագանքի համար տե՛ս [[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջեր 248, 283։</ref>։ Չնայած [[Էռնստ Ցերմելո]]ն դեռ մեկ օր չանցած ցույց է տվել, որ Կյունինգի ապացույցը սխալ է, Կանտորը ցնցված էր<ref name="daub248">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 248։</ref>։ Կանտորը կյանքի մնացած տարիներին տառապել է [[Դեպրեսիա|քրոնիկական դեպրեսիայով]], որի պատճառով բաց է թողել բազմաթիվ դասախոսություններ և հաճախակի այցելել տարբեր առողջարաններ։ 1904 թվականի իրադարձությունները հանգեցրել են երկու կամ երեք տարվա միջակայքերով բազմաթիվ հոսպիտալացումների<ref>[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջեր 283–284։</ref>։ Սակայն նա ամբողջությամբ չի հրաժարվել մաթեմատիկայից․ 1903 թվականի «''Deutsche Mathematiker–Vereinigung''» հանդիպմանը դասախոսություն է կարդացել բազմությունների տեսության պարադոքսների վերաբերյալ ([[Ռասելի պարադոքս]], [[Կանտորի պարադոքս]] և [[Բուրալի-Ֆորտիի պարադոքս]]) և մասնակցել է 1904 թվականի Մաթեմատիկոսների միջազգային կոնֆերանսին ([[Հայդելբերգ]])։

1911 թվականին հրավիրվել է [[Շոտլանդիա]]յի [[Սուրբ Էնդրյուսի համալսարան]]ի հիմնադրման 500-ամյակի տարեդարձին։ Կանտորը ընդունել է հրավերը՝ հույս ունենալով հանդիպել [[Բերտրան Ռասել]]ին, որի նոր լույս տեսած «''[[Principia Mathematica]]''»  աշխատության մեջ բազմաթիվ հղումներ կային Կանտորի աշխատանքներին, սակայն հանդիպումը չի կայացել։ Հաջորդ տարի Սբ. Էնդրյուսի համալսարանը Կանտորին պատվավոր դոկտորի կոչում է շնորհել, բայց հիվանդության պատճառով նա չի կարողացել անձամբ ընդունել այն։

Կանտորը 1913 թվականին թոշակի է անցել՝ ապրելով աղքատության մեջ և [[Առաջին համաշխարհային պատերազմ]]ի տարիներին տառապել է թերսնուցումից<ref name="daub284">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 284։</ref>։ Նրա 70-ամյակի տոնակատարությունները չեղյալ են համարվել պատերազմի պատճառով։ 1917 թվականի հունվարին վերջին անգամ տեղափոխվել է առողջարան, որտեղից նա շարունակաբար խնդրում էր կնոջը իրեն տուն տանել։ Գեորգ Կանտորը մահացել է սրտի կաթվածից 1918 թվականի հունվարի 6-ին առողջարանում, որտեղ անցկացրել էր կյանքի վերջին տարիները<ref name=":0" />։

== Մաթեմատիկական աշխատանք ==
Կանտորի 1874-1884 թվականների աշխատանքերը [[Բազմությունների տեսություն|բազմությունների տեսության]] ստեղծման հիմք են դարձել<ref name="Johnson p. 55">{{Citation |last=Ջոնսոն |first=Ֆիլիպ |title=The Genesis and Development of Set Theory |work=The Two-Year College Mathematics Journal |volume=3 |issue=1 |pages=55–62 |year=1972 |language=en |doi=10.2307/3026799 |jstor=3026799}}</ref>։ Նախքան իր աշխատությունները՝ բազմության գաղափարը էլեմենտար բնույթ էր կրում և անուղղակիորեն օգտագործվել էր [[Արիստոտել]]ի ժամանակներից սկսած։ Ոչ ոք չէր մտածում, որ բազմությունների տեսությունը կարող է ոչ տրիվիալ բովանդակություն ունենալ։ Մինչև Կանտորը գոյություն ունեին վերջավոր բազմությունները (որոնք հեշտ է հասկանալ) և «անվերջ բազմությունը» (որը համարվում էր փիլիսոփայական թեմա, ոչ թե մաթեմատիկական)։ Ապացուցելով, որ գոյություն ունեն (անվերջ) [[Բազմության հզորություն|տարբեր չափի]] անվերջ բազմություններ՝ Կանտորը ցույց է տվել, որ բազմությունների տեսությունը տրիվիալ չէ և ուսումնասիրության կարիք ունի։ Բազմությունների տեսությունը այժմ համարվում է ժամանակակից մաթեմատիկայի հիմնային տեսություն, քանի որ այն հնարավորություն է տալիս մաթեմատիկայի տարբեր բաժինների (օրինակ՝ [[Աբստրակտ հանրահաշիվ|հանրահաշիվ]], [[մաթեմատիկական անալիզ]], [[տոպոլոգիա]]) օբյեկտների (օրինակ՝ թվեր, ֆունկցիաներ) վերաբերյալ պնդումները ներկայացնել մեկ տեսության միջոցով{{ref+|«Մի քանի հազվագյուտ բացառություններից բացի, մաթեմատիկայում ուսումնասիրվող օբյեկտները կարող են համարվել որոշակի բազմություններ կամ օբյեկտների դասեր։ ․․․ Արդյունքում, մաթեմատիկայի բնույթի վերաբերյալ շատ հիմնարար հարցեր կարելի է հանգեցնել բազմությունների տեսության մասին հարցի։»{{բք|en|With a few rare exceptions the entities which are studied and analyzed in mathematics may be regarded as certain particular sets or classes of objects.  ... As a consequence, many fundamental questions about the nature of mathematics may be reduced to questions about set theory<ref>{{Citation |last=Սուպես |first=Պատրիկ |title=Axiomatic Set Theory |page=1 |year=1972 |url=https://books.google.com/?id=sxr4LrgJGeAC&pg=PA1 |publisher=Dover |isbn=9780486616308}}</ref>|Ն}}|Ն}}։

Իր առաջին հոդվածներից մեկում Կանտորն ապացուցել է, որ [[իրական թվեր]]ի բազմությունը բնական թվերի բազմությունից «ավելի մեծ» է<ref>{{Harvnb|Կանտոր|1874}}</ref>․ սա պատմության մեջ առաջին անգամ ցույց է տվել, որ գոյություն ունեն տարբեր չափի անվերջություններ։ Նա նաև առաջինն էր, որ գնահատել է [[Փոխմիարժեք համապատասխանություն|փոխմիարժեք համապատասխանության]] կարևորությունը բազմությունների տեսությունում։ Օգտագործելով այս գաղափարը՝ նա բազմությունները բաժանել է վերջավոր և անվերջ խմբերի, վերջինս էլ՝ հաշվելի և անհաշվելի խմբերի։

Կանտորը մշակել է [[տոպոլոգիա]]յի կարևոր հասկացությունները և ցույց է տվել նրանց և [[Բազմության հզորություն|բազմության հզորության]] կապը։ Օրինակ՝ նա ցույց է տվել, որ [[Կանտորի բազմություն]]ը (հայտնաբերել է [[Հենրի Ջոն Սթիվեն Սմիթ]]ը 1875 թվականին<ref>[https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/the-cantor-set-before-cantor-a-mini-primary-source-project-for-analysis-and-topology-students The Cantor Set Before Cantor («Կանտորի բազմությունը մինչև Կանտորը»)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220829183355/https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/the-cantor-set-before-cantor-a-mini-primary-source-project-for-analysis-and-topology-students |date=2022-08-29 }} (անգլերեն), Ամերիկայի մաթեմատիկական ասոցիացիա։</ref>) ոչ մի տեղ խիտ չէ, բայց ունի նույն կարդինալ թիվը ինչ բոլոր իրական թվերի բազմությունը, մինչդեռ [[Ռացիոնալ թիվ|ռացիոնալ]] թվերը բոլոր կետերում խիտ են, բայց հաշվելի են։

Կանտորը ներկայացրել է բազմությունների տեսության հիմնարար հասկացություններ, օրինակ՝ բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը<!--ՍՏՈՒԳԵԼ ԹԱՐԳՄԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ։ power set -> բոլոր ենթաբազմությունների բազմություն, գուցե ավելի կարճ տարբերակ կա՞ -->։ Հետագայում նա ապացուցել է, որ ''A'' բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը ավելի մեծ է, քան ''A'' բազմությունը՝ անգամ եթե ''A'' բազմությունը անվերջ է (տես՝ [[Կանտորի թեորեմ]])<ref>{{Cite encyclopedia |year=1976 |title=Բազմությունների տեսություն |encyclopedia=Հայկական սովետական հանրագիտարան |publisher=Հայկական հանրագիտարան հրատարակչություն |location=Երևան |url=https://hy.wikisource.org/wiki/Էջ:Հայկական_Սովետական_Հանրագիտարան_(Soviet_Armenian_Encyclopedia)_2.djvu/219 |editor-last=Համբարձումյան |editor-first=Վիկտոր |editor-link=Վիկտոր Համբարձումյան |volume=2 |pages=219 |language=հայերեն}}</ref>։ Կանտորը մշակել է կարդինալ և օրդինալ թվերի տեսությունը։ Կարդինալ թվերի համար նա օգտագործում էր եբրայերենի <math>\aleph</math> (ալեֆ) տառը, իսկ օրդինալների համար՝ հունարեն <math>\omega</math> տառը։ Այս նշանակումը մինչև այժմ օգտագործվում է։

''[[Հիլբերտի առաջին խնդիր]]ը'' (կամ [[կոնտինուումի վարկած]]) ներկայացրել է Կանտորը ([[Դավիթ Հիլբերտ]]ը այն ներկայացրել է 1900 թվականին Փարիզում տեղի ունեցած մաթեմատիկական 2-րդ կոնգրեսում)։ 1905 թվականից Կանտորը նամակագրական կապ է սկսել բրիտանացի թարգմանիչ Ֆիլիպ Ջորդանի հետ՝ բազմությունների տեսության պատմության և Կանտորի կրոնական հայացքների մասին։

=== Թվերի տեսություն, եռանկյունաչափական շարքեր և օրդինալներ ===
Կանտորի առաջին տասը հոդվածները վերաբերում էին [[Թվերի տեսություն|թվերի տեսությանը]]։ Հալլեի համալսարանի պրոֆեսոր Էդուարդ Հեյինի առաջարկով Կանտորը սկսել է զբաղվել [[մաթեմատիկական անալիզ]]ով։ Հեյինին Կանտորին առաջարկել է լուծել [[եռանկյունաչափական շարք]]երով ֆունկցիայի ներկայացման միակության խնդիրը, որից խուսափել էին [[Պետեր Գուստավ Լըժյոն Դիրիխլե|Պետեր Դիրիխլեն]], [[Ռուդոլֆ Լիպշից]]ը, [[Բեռնարդ Ռիման]]ը և ինքը Հեյինին։ Կանտորը լուծել է այս խնդիրը 1869 թվականին։ Այս խնդրի լուծման ընթացքում նա հայտնաբերել է տրանսֆինիտ օրդինալները։ Կանտորը գտել է մի եղանակ, որով տրված <math>f(x)</math> եռանկյունաչափական շարքից և <math>S</math> զրոների բազմությունից հնարավոր է ստանալ այլ եռանկյունաչափական շարք՝ <math>S_1</math> զրոների բազմությամբ, որտեղ <math>S_1</math>-ը <math>S</math> բազմության [[սահմանային կետ]]երի բազմությունն է։ Նմանապես, եթե <math>S_{k+1}</math>-ը <math>S_{k}</math> բազմության սահմանային կետերի բազմությունն է, ուրեմն հնարավոր է կառուցել եռանկյունաչափական շարք, որի զրոները բազմությունը <math>S_{k+1}</math>-ն է։ Քանի որ <math>S_{k}</math> բազմությունները փակ են, նրանք պարունակում են իրենց սահմանային կետերը և <math>S, S_1, S_2, ...</math> բազմությունների նվազող հաջորդականության հատումը կազմում է սահմանային բազմություն, որը կանվանենք <math>S_{\omega}</math>։ Կանտորը նկատեց, որ <math>S_{\omega}</math> բազմությունը նույնպես պետք է ունենա <math>S_{\omega+1}</math> սահմանային կետերի բազմություն, և այդպես շարունակ։ Նա ուներ նման բազմաթիվ օրինակներ, ինչի արդյունքում բնականորեն առաջացավ ''ω'', ''ω'' + 1, ''ω'' + 2, ... թվերի անվերջ հաջորդականության գաղափարը<ref>{{Citation |last=Քուկ |first=Ռոջեր |title=Uniqueness of trigonometric series and descriptive set theory, 1870–1985 |work=Archive for History of Exact Sciences |volume=45 |issue=4 |page=281 |year=1993 |postscript=. |language=en |doi=10.1007/BF01886630}}</ref>։

1870-1872 թվականներին Կանտորը հրապարակել է եռանկյունաչափական շարքերի մասին հոդվածներ և մեկ հոդված, որտեղ [[իռացիոնալ թիվ|իռացիոնալ թվերը]] սահմանում է որպես [[ռացիոնալ թվեր]]ի [[Տարամիտություն և զուգամիտություն|զուգամետ հաջորդականություններ]]։ Դեդեկինդը, որի հետ Կանտորը ընկերացրել էր 1872 թվականին, նույն թվականի իր հոդվածում, որտեղ նա սահմանում է իրական թվերը [[Դեդեկինդյան հատույթ]]ների միջոցով, հղում է անում Կանտորի հոդվածին։ Կանտորը դեմ էր [[անվերջ փոքր]]եր տեսությանը՝ համարելով այն «նողկանք» և «մաթեմատիկայի խոլերա բացիլ»<ref name="Infinitesimal">{{Citation |last=Կարին Ուսադին Քարթ և Միխայիլ Քաթ |title=A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography |work=Foundations of Science |volume=17 |issue=1 |pages=51–89 |year=2012 |language=en |arxiv=1104.0375 |doi=10.1007/s10699-011-9223-1}}</ref>։ Կանտորը նաև հրատարակել է անվերջ փոքրերի [[Անհակասականություն|հակասականության]] ապացույց, որը սակայն սխալներ ուներ<ref>{{Citation |last=Էրլիխ Փ․ |title=The rise of non-Archimedean mathematics and the roots of a misconception. I. The emergence of non-Archimedean systems of magnitudes |work=Arch. Hist. Exact Sci. |volume=60 |issue=1 |pages=1–121 |df=mdy-all |year=2006 |url=http://www.ohio.edu/people/ehrlich/AHES.pdf |url-status=dead |language=en |doi=10.1007/s00407-005-0102-4 |archivedate=2013 թ․ փետրվարի 15 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130215061415/http://www.ohio.edu/people/ehrlich/AHES.pdf}}</ref>։

=== Բազմությունների տեսություն ===
[[Պատկեր:Diagonal_argument_2.svg|աջից|մինի|250x250փքս|[[Կանտորի անկյունային արգումենտ]]ի պատկերում։ Ներքևի հաջորդականությունը չի կարող անվերջ ցանկում լինել։]]
[[Բազմությունների տեսություն|Բազմությունների տեսության]] վերաբերյալ Կանտորի առաջին հոդվածը (1874 թվական)՝ «Բոլոր իրական հանրահաշվական թվերի հավաքածուի հատկության վերաբերյալ», ({{Lang-de|Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen}})<ref>{{Harvnb|Կանտոր|1874}}, անգլերեն թարգմանությունը՝ [[#Ewald|Էվալդ 1996]], էջեր 840–843։</ref>,  հաճախ համարվում է բազմությունների տեսության սկզիբ<ref name="Johnson p. 55" />։ Այս հոդվածում Կանտորը առաջին անգամ ապացուցել է, որ գոյություն ունեն տարբեր տեսակի անվերջություններ։ Նախկինում համարվում էր, որ բոլոր անվերջ բազմությունները «նույն քանակությամբ» տարրեր ունեն{{ref+|Օրինակ՝ [[Գալիլեո Գալիլեյ]]ի և [[Յոհաննես Դունս Սկոտ]]ի առաջ քաշած երկրաչափական խնդիրներից կարելի է եզրակացնել, որ անվերջ բազմությունները «հավասարաչափ» են<ref>{{Citation |last=Մուր |first=Ա․Ու․ |title=A brief history of infinity |date=1995 թ․ ապրիլ |work=Scientific American |volume=272 |issue=4 |pages=112–116 (114) |url=http://math123.net/hchs/MathDept/MathTalks/2012-13/b-h-inf.pdf |url-status=dead |language=en |bibcode=1995SciAm.272d.112M |doi=10.1038/scientificamerican0495-112 |accessdate=2019 թ․ հունիսի 22 |archivedate=2021 թ․ փետրվարի 24 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210224221821/http://math123.net/hchs/MathDept/MathTalks/2012-13/b-h-inf.pdf}}</ref>։|Ն}}։ Կանտորը ապացուցել է, որ [[իրական թվեր]]ի բազմությունը և [[Ամբողջ թիվ|ամբողջ թվերի]] բազմությունը [[Բազմության հզորություն|հավասարազոր]] չեն։ Այլ կերպ ասած՝ իրական թվերը [[Հաշվելի անվերջություն|հաշվելի]] չեն։ Այս հոդվածում ներկայացված ապացույցը տարբերվում էր 1891 թվականին իր կողմից ներկայացված անկյունային արգումենտից<ref>Այս և բազմությունների տեսության վերաբերյալ Կանտորի աշխատանքների կարևորության մասին հավելյալ տեղեկությունների համար տե՛ս [[#Suppes|Սուպես 1972]]։</ref>։ Կանտորի հոդվածը նաև պարունակում էր [[տրանսցենդենտ թվեր]]ի կառուցման նոր մեթոդ։ Տրանսցենդենտ թվերը առաջին անգամ կառուցել է [[Ժոզեֆ Լուիվիլ]]ը 1844 թվականին<ref>Լուիվիլ, Ժոզեֆ (մայիս 13, 1844). [http://bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/propos-de-lexistence-des-nombres-transcendants A propos de l'existence des nombres transcendants].</ref>։

Այս արդյուքները ապացուցելու համար Կանտորը սկզբում ցույց տվեց, որ [[Հանրահաշվական թիվ|հանրահաշվական թվերը]] հնարավոր է ներկայացնել [[Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)|հաջորդականության]] տեսքով, այսինքն՝ հանրահաշվական թվերի բազմությունը հաշվելի է{{ref+|Իրական հանրահաշվական թվերը այն թվերն են, որոնք որևէ ամբողջ գործակիցներով բազմանդամի արմատ են։|Ն}}։ Հաջորդ քայլում Կանտորը ցույց է տվել, որ իրական թվերի կամայական հաջորդականության համար հնարավոր է կառուցել իրական թիվ, որը այդ հաջորդականության անդամ չէ։ Քանի որ իրական թվերի կամայական հաջորդականության համար հնարավոր է կառուցել իրական թիվ, որը հաջորդականության անդամ չէ, հետևաբար իրական թվերը հնարավոր չէ ներկայացնել հաջորդականության տեսքով (այլ կերպ ասած՝ իրական թվերը հաշվելի չեն)։ Այս մեթոդը իրական հանրահաշվական թվերի հաջորդականության վրա կիրառելով Կանտորը ստացավ տրանսցենդենտ թիվ։ Այս կառուցումները նաև Լուիվիլի թեորեմի (իրական թվերի կամայական միջակայքում գոյություն ունեն անվերջ քանակությամբ տրանսցենդենտ թվեր) նոր ապացույց էին<ref>Կանտորի հոդվածի մանրամասների համար տես՝ {{Citation |last=Գրեյ |first=Ռոբերտ |title=Georg Cantor and Transcendental Numbers |work=[[American Mathematical Monthly]] |volume=101 |issue=9 |pages=819–832 |year=1994 |url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf |language=en |doi=10.2307/2975129 |jstor=2975129 |access-date=2019-06-22 |archive-date=2022-01-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220121155859/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf |url-status=dead }}։ Գրեյը (էջեր 821–822) նկարագրում է համակարգչային ծրագիրը, որը օգտվելով Կանտորի կառուցումից ստանում է տրանսցենդենտ թվեր։</ref>։ Կանտորը իր հաջորդ հոդվածում ապացուցում է, որ տրանսցենդենտ թվերի բազմությունը և իրական թվերի բազմությունը նույն [[Բազմության հզորություն|հզորությունն]] ունեն<ref group="Ն">Կանտորը սկսում է տրանսցենդենտ թվերի <math>T</math> բազմությունից և դրանից հեռացնում է հաշվելի [[ենթաբազմություն]] <math>\{t_n\}</math> (օրինակ՝ <math>t_n = \frac{e}{n}</math>)։ Նշանակենք այս բազմությունը <math>T_0</math>-ով։ Հետևբար, <math>T = T_0 \cup \{t_n\} = T_0 \cup \{t_{2n-1}\} \cup \{t_{2n}\}</math>։ Իրական թվերի բազմությունը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝ <math>\mathbb{R} = T \cup a_n = T_0 \cup \{t_n\} \cup \{a_n\}</math>, որտեղ <math>a_n</math>-ը հանրահաշվական թվերի հաջորդականությունն է։ Այսպիսով, <math>T</math> և <math>\mathbb{R}</math> բազմությունները երեք զույգ-զույգ անջատ բազմությունների միավորում են․ <math>T_0</math> և երկու հաշվելի բազմությունների։ Հետևաբար, <math>T</math> և <math>\mathbb{R}</math> բազմությունների միջև փոխմիարժեք համապատասխանություն հնարավոր է ստանալ հետևյալ ֆունկցիայով <math>f(t) = t</math>, եթե <math>t \in T_0</math>, <math>f(t_{2n-1}) = t_n</math> և <math>f(t_{2n}) = a_n</math>։ Կանտորը իրական կիրառել է իր կառուցումը իռացիոնալ թվերի վրա, ոչ թե տրանսցենդենտ, բայց նա գիտեր, որ այն կիրառելի է ցանկացած բազմության վրա, որը ստացվել է իրական թվերի բազմությունից հաշվելի քանակությաբ թվերի հեռացնելով ({{harvnb|Կանտոր|1879|p=4}})։</ref>։

1879-1884 թվականների ընթացքում Կանտորը «''[[Mathematische Annalen]]''» ամսագրում հրատարակել է վեց հոդված, որոնք կազմում են իր բազմությունների տեսության հիմունքները։ Միևնույն ժամանակ աճում էր Կանտորի գաղափարների հանդեպ ընդդիմությունը։ Ընդդիմադիրների շարքում էր [[Լեոպոլդ Կրոնեկեր]]ը, որը ընդունում էր մաթեմատիկական հասկացությունները միայն այն դեպքում, երբ դրանք հնարավոր էր կառուցել վերջավոր քայլերի միջոցով։ Կրոնեկերի համար Կանտորի անվերջությունների հիերարխիան անընդունելի էր, քանի որ [[Ակտուալ անվերջություն|ակտուալ անվերջության]] գաղափարի ընդունումը կհանգեցներ [[պարադոքս]]ների, որոնք մարտահրավեր կլինեին մաթեմատիկայի վավերության համար<ref name="popeleo">[[#Dauben1977|Դուբեն 1977]], էջ 89։</ref>։ Կանտորը այդ շրջանում նաև ներկայացրել է [[Կանտորի բազմություն]]ը։

Այս շարքի հինգերորդ հոդվածը («Ագրեգատների ընդհանուր տեսության հիմունքներ», {{Lang-de|Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre}}), տպագրված 1883 թվականին<ref>{{harvnb|Կանտոր|1883}}.</ref>, նաև տպագրվել է որպես առանձին [[մենագրություն]]։ Հոդվածում Կանտորը պատասխանում է քննադատներին և ցույց է տալիս, որ տանսֆինիտ թվերը բնական թվերի համակարգային ընդլայնումն են։ Սկզբում սահմանում է լավ կարգավորված բազմությունները։ Օրդինալ թվերը հետագայում ներմուծվում են որպես լավ կարգավորված բազմությունների կարգավորված տիպեր։ Կանտորը հետո սահմանում է կարդինալ և օրդինալ թվերի գումարումը և բազմապատկումը։ 1885 թվականին Կանտորը ընդլայնում է կարգային տիպերի տեսությունը, այնպես, որ օրդինալ թվերը դառնում են կարգային տիպերի մասնավոր դեպք։

1891 թվականին տպագրված հոդվածում Կանտորը ներկայացում է անհաշվելի բազմությունների գոյության մասին իր հայտնի անկյունային արգումենտը։ Նույն գաղափարների միջոցով նա նաև ապացուցում է Կանտորի թեորեմը․ այն է՝ կամայական <math>A</math> բազմության հզորությունը ավելի փոքր է իր բոլոր ենթաբազմությունների բազմության հզորությունից։ Այս արգումենտը կարևոր նշանակություն է ունեցել [[Դադարի խնդիր|դադարի խնդրի]] լուծման և [[Գյոդելի առաջին թեորեմ]]ի ապացուցման համար։ 1894 թվականին Կանտորը նաև գրել է [[Գալդբախի խնդիր|Գալդբախի խնդրի]] մասին։
[[Պատկեր:Passage_with_the_set_definition_of_Georg_Cantor.png|մինի|Հատված Կանտորի հոդվածից, որտեղ նա սահմանում է բազմությունը։]]
1895-1897 թվականներին Կանտորը «''[[Mathematische Annalen]]''» ամսագրում, որի խմբագիրը [[Ֆելիքս Կլայն]]ն էր, հրատարակել է երկու մասանոց հոդված, որոնք իր վերջին նշանակալի հոդվածներին էին բազմությունների տեսության վերաբերյալ<ref>{{harvtxt|Կանտոր|1895}}, {{harvtxt|Կանտոր|1897}}։ Անգլերեն թարգմանությունը՝ [[#Cantor1955|Կանտոր 1955]]։</ref>։ Առաջին հոդվածը սկսում է բազմության, ենթաբազմության և այլն սահմանումներով, որոնք այժմ նույնպես ընդունելի են։ Կարդինալների և օրդինալների թվաբանությունը վերանայվել է։ Կանտորը ցանկանում էր երկրորդ հոդվածում ներառել կոնտինուումի վարկածի ապացույցը, սակայն ստիպված էր մշակել լավ կարգավորված բազմությունների և օրդինալ թվերի տեսությունը։ Կանտորը փորձել է ապացուցել, որ եթե <math>A</math>-ն և <math>B</math>-ն բազմություններ են այնպես, որ <math>A</math>-ն համարժեք է <math>B</math>-ի ինչ-որ ենթաբազմության և <math>B</math>-ն համարժեք է <math>A</math>-ի ինչ-որ ենթաբազմության, ուրեմն <math>A</math> և <math>B</math> բազմությունները համարժեք են։ Ավելի վաղ Էրնստ Շրյոդերը ձևակերպել էր այս թեորեմը, սակայն իր, ինչպես և Կանտորի ապացույցը սխալ էր։ 1898 թվականին Ֆելիքս Բեռնշտայնը ապացուցել է թեորեմը, որը այժմ կոչվում է [[Կանտոր-Շրյոդեր-Բեռնշտայն թեորեմ]]։

==== Փոխմիարժեք համապատասխանություն ====
{{Main|Փոխմիարժեք համապատասխանություն}}
[[Պատկեր:Bijection.svg|thumb|Փոխմիարժեք ֆունկցիա]]

1874 թվականին Կանտորը ''Crelle'' ամսագրում հրատարակել է հոդված, որտեղ առաջին անգամ ներկայացվում էր փոխմիարժեք համապատասխանության գաղափարը, չնայած նա չի օգտագործել այդ արտահատությունը։ Նա փորձում էր փոխմիարժեք համապատասխանություն գտնել [[Միավոր քառակուսի|միավոր քառակուսու]] կետերի և միավոր [[հատված]]ի կետերի մեջ։ 1877 թվականին Ռիխարդ Դեդեկինդին ուղղված նամակում Կանտորը ապացուցել է ավելի ուժեղ պնդում․ կամայական բնական <math>n</math> թվի համար գոյություն ունի փոխմիարժեք համապատասխանություն միավոր հատվածի և <math>n</math> չափանի տարածության բոլորի կետերի միջև։ Այս բացահայտման մասին Կանտորը գրել է՝ «{{lang|fr|Je le vois, mais je ne le crois pas!}}» («Ես տեսնում եմ, բայց չեմ հավատում դրան»։)<ref>{{Citation |last=Ուոլաս |first=Դավիթ Ֆոսթեր |title=Everything and More: A Compact History of Infinity |page=259 |year=2003 |place=New York |publisher=W. W. Norton and Company |language=en |isbn=978-0-393-00338-3}}</ref>։ Այս արդյունքը կարևոր հետևանքներ ունի երկրաչափության և [[Չափականություն|չափականության]] գաղափարի համար։

1878 թվականին Crelle ամսագրին ուղարկեց մեկ այլ հոդված, որտեղ նա սահմանում էր փոխմիարժեք համապատասխանությունը և ներկայացնում էր բազմության հզորության (տերմինը վերցրել էր Յակոբ Շտերներից) կամ համարժեքության գաղափարը, այն է՝ երկու բազմություններ համարժեք են (ունեն նույն հզորությունը), եթե նրանց մինչև գոյություն ունի փոխմիարժեք համապատասխանություն։ Ըստ Կանտորի սահմանման՝ [[հաշվելի բազմություն]]ները այն բազմություններն են, որոնք փոխմիարժեք համապատասխանություն ունեն բնական թվերի հետ։ Ապացուցել է, որ ռացիոնալ թվերը հաշվելի են։ Նա նաև ապացուցել է, որ <math>n</math> չափանի Էվկլիդեսյան <math>\mathbb{R}^n</math> տարածությունները ունեն նույն հզորությունը, ինչ իրական թվերի բազմությունը, ինչպես նաև <math>\mathbb{R}</math>-ի հաշվելի քանակությամբ դեկարդյան արտադրյալը։ Չնայած հաշվելի բազմության հասկացության լայնորեն օգտագործմանը՝ նա չի օգտագործել «հաշվելի» անվանումը մինչև 1883 թվականը։ Կանտորը նաև քննարկել է չափականության վերաբերյալ իր հայացքները՝ շեշտելով, որ միավոր հատվածի և միավոր քառակուսու միջև փոխմիարժեք արտապատկերումը [[Անընդհատ արտապատկերում|անընդհատ]] չէ։

Կրոնեկերին դուր չի եկել այս հոդվածը, ինչի պատճառով Կանտորը ցանկացել է հետ վերցնել այն, սակայն Դեդեկինդի և Կառլ Վայերշտրասի աջակցության շնորհիվ հոդվածը հրատարակվել է{{ref+|Հոդվածը ուղարկվել է 1877 թվականի հուլիսին։ Դեդեկինդը աջակցել է հոդվածին, սակայն ուշացրել է հրատարակությունը Կրոնեկերի ընդդիմության պատճառով։ Վայերշտրասը ակտիվորեն աջակցել է հոդվածին<ref>[[Գեորգ Կանտոր#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջեր 69, 324 ''63n''</ref>։|Ն}}։ Այնուամենայնիվ, Կանտորը այլևս հոդված չի ուղարկել ''Crelle'' ամսագրին։

==== Կոնտինուումի վարկած ====
{{Main|Կոնտինուումի վարկած}}
Կանտորը առաջինն է ձևակերպել [[Հիլբերտի առաջին խնդիր]]ը (Կոնտինուումի վարկածը), ըստ որի՝ գոյություն չունի բազմություն, որի [[Բազմության հզորություն|հզորությունը]] մեծ է բնական թվերի բազմության հզորությունից և փոքր իրական թվերի բազմության հզորությունից (համարժեքորեն՝ իրական թվերի հզորությունը ճիշտ <math>\aleph_1</math> է, ոչ թե առնվազն <math>\aleph_1</math>)։ Կանտորը հավատում էր, որ Կոնտինուումի վարկածը ճիշտ է և տարիներ շարունակ փորձել է ապացուցել այն<ref name="daub280" />։

Հատագայում [[Կուրտ Գյոդել]]ի և [[Պոլ Քոհեն]]ի աշխատանքները (համապատասխանաբար 1940 և 1963 թվականներին) ցույց են տվել, որ կոնտինուումի վարկածը հնարավոր չէ ո՛չ ապացուցել, ո՛չ ժխտել օգտվելով բազմությունների ստանդարտ տեսությունից{{ref+|Որոշ մաթեմատիկոսներ համարում են, որ այս արդյունքները լուծել են խնդիրը և, առավելագույնը, ընդունում են, որ կարելի է հետազոտել կոնտինուումի վարկածի, կոնտինուումի վարկածի ժխտման կամ դրանց հանգող աքսիոմների ֆորմալ հետևանքները։ Որոշներն էլ շարունակում են փնտրել «բնական» կամ «ճշմարիտ» աքսիոմներ, որոնք կապացուցեն կամ կժխտեն կոնտինուումի վարկածը (այս մաթեմատիկոսների թվում է Ու․ Հյուջ Վուդինը)։ Գյոդելը իր վերջին հոդվածներից մեկում պնդում է, որ կոնտինուումի վարկածը սխալ է և կոնտինուումի կարդինալ թիվը Ալեֆ-2 է։|Ն}}։

==== Բացարձակ անվերջություն, լավ կարգավորության թեորեմ և պարադոքսներ ====
<!-- ստուգել well-ordering-ի հայերեն թարգմանությունը, բառացի լավ կարգավորություն տարբերակը գուցե չի համապատասխանում հայերեն գրականությունում ընդունված տարբերակին-->
1883 թվականին Կանտորը բաժանեց անվերջությունը տրանսֆինիտ և [[Բացարձակ անվերջություն|բացարձակ]] մասերի<ref>{{harvnb|Կանտոր|1883|pp=587–588}}, անգլերեն թարգմանությունը՝ [[#Ewald|Էվալդ 1996]], էջեր 916–917։</ref>։

Ի տարբերություն բացարձակի՝ տրանսֆինիտը կարող էր «մեծանալ»։ Օրինակ՝ α օրդինալը տրանսֆինիտ է, քանի որ այն հնարավոր է մեծացնել α + 1-ի։ Բայց, օրդինալները կազմում են բացարձակ անվերջ հաջորդականություն է, որը հնարավոր չէ մեծացնել, քանի որ գոյություն չունեն այլ օրդինալներ, որոնք հնարավոր է ավելացնել դրան<ref>[[#Hallett|Հալեթ 1986]], էջեր 41–42։</ref>։ 1883 թվականին Կանտորը ներկայացրել է լավ կարգավորության սկզբունքը, ըստ որի՝ «կամայական բազմություն հնարավոր է լավ կարգավորել» և նշել, որ այդ սկզբունքը «մտքի օրենք է»<ref>[[#Moore1982|Մուր 1982]], էջ 42։</ref>։

Կանտորը օգտագործել է բացարձակ անվերջության գաղափարը այլ ապացույցներում ևս։ Մոտ 1895 թվականին նա սկսում է դիտարկել լավ կարգավորության սկզբունքը որպես թեորեմ և փորձում է ապացուցել այն։ 1899 թվականին նա Դեդեկինդին ուղարկում է համարժեք ալեֆի թեորեմի (կամայական անվերջ բազմության հզորությունը [[ալեֆ թիվ|ալեֆ]] է) ապացույց{{ref+|Համարժեքության ապացույց։ Եթե բազմությունը լավ կարգավորված է, ուրեմն դրա կարդինալ թիվը ալեֆ է, քանի որ ալեֆները լավ կարգավորված բազմությունների կարդինալներն են։ Եթե բազմության կարդինալ թիվը ալեֆ է, ուրեմն այն հնարավոր է լավ կարգավորել, քանի որ այդ բազմության և դրան համապատասխանող ալեֆիը սահմանող լավ կարգավորված բազմության միջև փոխմիարժեք համապատասխանություն գոյություն ունի<ref>[[#Moore1982|Մուր 1982]], էջ 51։</ref>։|Ն}}։ Սկզբում նա սահմանում է երկու պատիկություններ․ անհակասական պատիկություններ (բազմություններ) և հակասական պատիկություններ (բացարձակ անվերջ պատիկություններ)։ Հետո ենթադրելով, որ օրդինալները բազմություն են կազմում՝ հանգել է հակասության, ինչից հետևում է, որ օրդինալները հակասական պատիկություն են։ Նա օգտագործել է հակասական պատիկությունը ալեֆի թեորեմը ապացուցելու համար<ref>[[#Hallett|Հալեթ 1986]], էջեր 166–169։</ref>։ 1932 թվականին Ցերմելոն քննադատել է Կանտորի ապացույցը{{ref+|Կանտորը ապացուցել է հակասությամբ։ Ենթադրենք գոյություն ունի որևէ <math>S</math> բազմություն, որի կարդինալ թիվը ալեֆ չէ։ Օրդինալներից դեպի <math>S</math> ֆունկցիա հնարավոր է կառուցել <math>S</math>-ից հաջորդաբար ընտրելով տարբեր՝ բոլոր օրդինալների համար։ Եթե այս կառուցման ինչ-որ փուլում «էլ տար չկա», ուրեմն ֆունկցիան <math>S</math> բազմությ
ունը լավ կարգավորում է։ Սա նշանակում է, որ <math>S</math>-ի կարդինալ թիվը ալեֆ է, որը հնարավոր չէ ըստ ենթադրության։ Հետևբար, ֆունկցիան բոլոր օրդինալները փոխմիարժեք պատկերում է <math>S</math>-ի վրա։ Ֆունկցիայի պատկերը հակասական ենթապատիկություն է <math>S</math>-ի մեջ, հետևաբար <math>S</math> բազմությունը հակասական պատիկություն է, ինչը հակասություն է։ Ցերմելոն քննադատել է Կանտորի կառուցումը, ասելով՝ «ժամանակի ինտուիցիան կիրառվել է այստեղ մի գործընթացի վրա, որը դուրս է ցանկացած ինտուիցիայից և ինչ-որ երևակայական էություն ներդրվել, որը ենթադրվում է, որ կարող է ''հաջորդաբար'' կամայական ընտրություն անել»<ref>[[#Hallett|Հալեթ 1986]], էջեր 169–170։)</ref>|Ն}}։

Կանտորը խուսափել է պարադոքսներից՝ նկատելով, որ գոյություն ունի երկու տեսակի պատիկություն։ Իր բազմությունների տեսությունում բոլոր օրդինալները բազմություն դիտարկելու արդյունքում ստացված հակասությունները պարզապես նշանակում էին, որ օրդինալները հակասական պատիկություն են։ Մինչդեռ [[Բերտրան Ռասել]]ը բոլոր հավաքածուները դիտարկում էր որպես բազմություններ, որը հանգեցնում էր պարադոքսների։ Ռասելի բազմությունների տեսությունում օրդինալները բազմություն էին, հետևաբար ստացված հակասությունը նշանակում էին, որ տեսությունը [[Անհակասականություն|հակասական]] է։ 1901-1903 թվականների ընթացքում Ռասելը գտավ երեք պարադոքս, ինչը նշանակում էր, որ տեսությունը հակասական է ([[Ռասելի պարադոքս]], [[Կանտորի պարադոքս]] և [[Բուրալի-Ֆորտիի պարադոքս]])<ref>[[#Moore1988|Մուր 1988]], էջեր 52–53; [[#Moore1981|Մուր և Գարսիադիեգո 1981]], էջեր 330–331։</ref>։ Ռասելը պարադոքսները անվանել է Կանտորի և Բուրալի-Ֆորտիի պատվին, չնայած նրանք չէին հավատում, որ պարադոքս են գտել<ref>[[#Moore1981|Մուր և Գարսիադիեգո 1981]], էջեր 331, 343; [[#Purkert1989|Փարկերտ 1989]], էջ 56։</ref>։

1908 թվականին Ցերմելոն հրատարակել է բազմությունների տեսության աքսիոմատիկ համակարգը։ Աքսիոմատիկ համակարգի մշակման հիմնական դրդապատճառները պարադոքսների լուծումն էր և լավ կարգավորության թեորեմի ապացույցը{{ref+|Մուրը պնդում էր, որ վերջինը իր հիմնական մոտիվացիան է եղել<ref>[[#Moore1982|Մուր 1982]], էջեր 158–160։</ref>|Ն}}։ Ցերմելոն ապացուցել էր այս թեորեմը դեռ 1904 թվականին՝ օգտվելով [[ընտրության աքսիոմ]]ից, բայց այդ ապացույցը քննադատվել էր բազմաթիվ պատճառներով{{ref+|Մուրը այս քննադատություններին նվիրել է մի ամբողջ բաժին․ «Zermelo and His Critics (1904–1908)»<ref>[[#Moore1982|Մուր 1982]], էջեր 85–141։</ref>։|Ն}}: Այս աքսիոմները հիմք հանդիսացան նոր ապացույցի համար և լուծեցին պարադոքսները՝ խստացնելով բազմության սահմանումը<ref>[[#Moore1982|Մուր 1982]], էջեր 158–160։ [[#Zermelo1908|Ցերմելո 1908]], էջեր 263–264, անգլերեն թարգմանությունը՝ [[#Heijenoort|վան Հիջենոորտ 1967]], էջ 202։</ref>։ <!-- ստուգել այս պարբերությունը։ Ինչքան հիշում եմ՝ լավ կարգավորության թեորեմը համարժեք էր ընտրության աքսիոմին (հետևաբար այս մասը սխալ է), բայց անգլերենում աղբյուր կա։/ -->

1923 թվականին [[Ջոն ֆոն Նոյման]]ը մշակեց աքսիոմատիկ համակարգ, որը լուծում էր պարադոքսները՝ օգտագործելով Կանտորի մոտեցմանը նման մոտեցում։ Մասնավորապես՝ որոշ հավաքածուներ բազմություններից անջատ դիտարկելը։ Ըստ ֆոն Նոյմանի՝ [[Դաս (բազմությունների տեսություն)|դասը]] չափազանց մեծ է բազմություն լինելու համար, եթե հնարավոր է նրա և բոլոր բազմությունների դասի միջև փոխմիարժեք համապատասխանություն գտնել։ Նա բազմությունը սահմանել է որպես ինչ-որ դասի անդամ դաս․ ըստ աքսոմի՝ դասը բազմություն չէ այն և միայն այն դեպքում, երբ դասի և բոլոր բազմությունների դասի միջև փոխմիարժեք համապատասխանություն գոյություն ունի։ Այս աքսիոմը նշանակում է, որ նման մեծ դասերը բազմություններ չեն, հետևաբար պարադոքսները վերանում են, քանի որ դրանք չեն կարող որևէ դասի անդամ լինել{{ref+|Կանտորը նշել է, որ հակասական պատիկությունները բախվում են նույն սահմանափակմանը․ նրանք չեն կարող այլ պատիկության անդամ լինել<ref>[[#Hallett|Հալեթ 1986]], էջեր 288, 290–291</ref><ref>[[#Hallett|Հալեթ 1986]], էջ 286)։</ref>|Ն}}։ Ֆոն Նոյմանը օգտագործել է այս աքսիոմը լավ կարգավորության թեորեմը ապացուցելու համար․ ինչպես և Կանտորը, նա ենթադրել է, որ օրդինալները կազմում են բազմություն։ Առաջացած հակասությունը նշանակում է, որ բոլոր օրդինալների դասը բազմություն չէ։ Օգտվելով աքսոմից՝ նա կառուցել է փոխմիարժեք համապատասխանություն այս դասի և բոլոր բազմությունների դասի միջև։ Այս համապատասխանությունը լավ կարգավորում է բոլոր բազմությունների դասը, ինչը համապատասխանում է լավ կարգավորության թեորեմին<ref>[[#Hallett|Հալեթ 1986]], էջեր 291–292.</ref>։ 1930 թվականին Ցերմելոն սահմանել է բազմությունների տեսության մոդել, որը բավարարում էր ֆոն Նոյմանի աքսիոմին<ref>[[#Zermelo1930|Ցերմելո 1930]], անգլերեն թարգմանությունը՝ [[#Ewald|Էվալդ 1996]], էջեր 1208–1233։</ref>։

== Փիլիսոփայություն, կրոն, գրականություն և Կանտորի մաթեմատիկա ==
[[Ակտուալ անվերջություն|Ակտուալ անվերջության]] գոյության գաղափարը կարևոր խնդիր է [[մաթեմատիկա]]յի, [[Փիլիսոփայություն|փիլիսոփայության]] և [[կրոն]]ի համար։ Կրոնի և մաթեմատիկայի կապի ուղղափառության պահպանման հարցը երկար ժամանակ անհանգստացնում էր Կանտորին, չնայած ոչ այնպես, ինչպես իր քննադատներին<ref name="daub295">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 295։</ref>։ Այս խնդիրների մասին նա գրել է իր «''Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre''» հոդվածի ներածությունում, որտեղ շեշտում է անվերջության վերաբերյալ իր և փիլիսոփայական տեսակետների կապը<ref>[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 120։</ref>։ Կանտորի համար իր մաթեմատիկական հայացքները ներքուստ կապված էին իրենց փիլիսոփայական և աստվածաբանական հետևություններին․ նա բացարձակ անվերջությունը նույնացնում էր [[Աստված|Աստծո]] հետ<ref>[[#Hallett|Հալեթ 1986]], էջ 13։</ref>, և համարում էր, որ տրանսֆինիտ թվերի վերաբերյալ իր աշխատանքները Աստծո հետ ուղղակի շփում են եղել, և որ Աստված ընտրել է Կանտորին այդ գաղափարները աշխարհի առաջ բացահայտելու համար<ref name="xdpfir" />։

Որոշ մաթեմատիկոսներ անվերջությունը դիտարկում էին որպես աբստրակտ հասկացություն, որը մաթեմատիկորեն օրինական չէր և մերժում էին դրա գոյությունը<ref name="daub225">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 225։</ref>։ Երեք խոշոր դպրոցների մաթեմատիկոսները ([[կոնստրուկտիվիզմ]], [[ինտուիցիոնիզմ]] և [[ֆինիտիզմ]]) այս հարցում ընդդիմացել են Կանտորի տեսություններին։ Կոնստրուկտիվիստների համար, ինչպես օրինակ Կրոնեկերը, ակտուալ անվերջության գաղափարը անընդունելի էր, քանի որ նրանք սկզբունքորեն չէին ընդունում ոչ կոնստրուկտիվ ապացույցները, ինչպես օրինակ Կանտորի անկյունային արգումենտը։ Ինտուիցոնիստները նույնպես մերժում են ակտուալ անվերջության գոյության գաղափարը, սակայն նրանք այդ եզրակացությանը հանգում են այլ ճանապարհով։ Նախ և առաջ, Կանտորը ապացուցում էր տրանսֆինիտ թվերի գոյությունը որպես մաթեմատիկական օբյեկտներ օգտվելով մաթեմատիկական տրամաբանությունից, մինչդեռ ինտուիցոնիստները կարծում էին, որ մաթեմատիկական օբյեկտները չեն կարող վերածվել տրամաբանական ասույթների, այլ պետք է ստեղծվեն ինտուիցիայից ելնելով<ref name="daub266">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 266։</ref>։ Երկրորդը, անվերջության գաղափարը անընդունելի է ինտուիցոնիստների համար, քանի որ մարդու միտքը չի կարող ինտուիտիվորեն կառուցել անվերջ բազմություններ<ref>{{Citation |last=Սնապեր |first=Էրնստ |title=The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism |work=Mathematics Magazine |volume=524 |issue=4 |pages=207–216 |df=mdy-all |year=1979 |url=http://www2.gsu.edu/~matgtc/three%20crises%20in%20mathematics.pdf |access-date=2013 թ․ ապրիլի 2 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120815055019/http://www2.gsu.edu/~matgtc/three%20crises%20in%20mathematics.pdf# |url-status=dead |language=en |doi=10.1080/0025570X.1979.11976784 |archivedate=2012 թ․ օգոստոսի 15}}</ref>։ Մաթեմատիկոսներ [[Լ․ Է․ Յ․ Բրաուեր]]ը և [[Անրի Պուանկարե]]ն քննարդատել են Կանտորի աշխատանքները ինտուիցիոնիզմի տեսանկյունից։ [[Լյուդվիգ Վիտգենշթայն]]ի քննադատությունները ֆինիտիզմի տեսանկյունից էին{{sfn|Ռոդիխ|2007}}։ Որոշ [[Քրիստոնեական աստվածաբանություն|քրիստոնյա աստվածաբաններ]] (հատկապես՝ [[Նեոսխոլաստիկա|նեոսխոլաստիկներ]]) կարծում էին, որ Կանտորի աշխատանքները հակասում են Աստծո էության մեջ բացարձակ անվերջության միակության գաղափարին<ref name="nuozkv" /><ref>{{Citation |last=Դավենպորտ |first=Աննա |title=The Catholics, the Cathars, and the Concept of Infinity in the Thirteenth Century |work=Isis |volume=88 |issue=2 |pages=263–295 |year=1997 |language=en |doi=10.1086/383692 |jstor=236574}}</ref>։ Կանտորը մտածում էր, որ այս տեսակետը անվերջության թյուրըմբռնման արդյունք է, և հավատացած էր, որ բազմությունների տեսությունը կարող է լուծել այս խնդիրը<ref name="daub7785">[[#Dauben1977|Դուբեն 1977]], էջ 85։</ref><ref>{{Harvnb|Cantor|1932|p=404}}, անգլերեն թարգմանության համար՝ [[#Dauben1977|Դուբեն 1977]], էջ 95։</ref>։

Կանտորը նաև հավատացած էր, որ տրանսֆինիտ թվերի իր տեսությունը դեմ է [[մատերիալիզմ]]ին և [[դետերմինիզմ]]ին, և զարմացած էր, որ Հալլեի համալսարանում ինքը միակն էր, որ դետերմինիզմի հետևորդ չէր<ref name="daub296">[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 296։</ref>։

1888 թվականին Կանտորը հրապարակեց որոշ փիլիսոփաների հետ իր նամակագրությունը, որոնք բազմությունների տեսության փիլիսոփայական հետևանքների մասին էին։ Կանտորը նամակագրական կապի մեջ էր քրիստոնյա փիլիսոփաների, ինչպես օրինակ՝ Թիլման Պեշի և Յոզեֆ Հոնթայմի<ref>[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 144։</ref>, աստվածաբանների այդ թվում Ջոհան Բատիստ Ֆրանզելինի հետ, որը մի անգամ տրանսֆինիտ թվերի տեսությունը համեմատել է [[պանթեիզմ]]ի հետ<ref name="daub771022" />։ Կանտորը նույնիսկ նամակ է գրել Հռոմի Պապ Լևոն XIII-ին<ref name="daub7785" />։

Թվերի բնույթի վերաբերյալ Կանտորի փիլիսոփայությունը թույլ է տվել նրան առաջ քաշել և ապացուցել հասկացություններ, որոնք հեռու են ֆիզիկական երևույթների հիմքից։ Այս [[մետաֆիզիկա]]կան համակարգի միակ սահմանափակումը այն էր, որ բոլոր մաթեմատիկական հասկացությունները պետք է չունենան ներքին հակասություն և պետք է բխեն գոյություն ունեցող սահմանումներից, աքսիոմներից և թեորեմներից։ Ըստ Կանտորի՝ «մաթեմատիկայի էությունը իր ազատությունն է»<ref>[[#Dauben1977|Դուբեն 1977]], էջեր 91–93։</ref>։ Այս գաղափարները համապատասխանում էին [[Էդմունդ Հուսերլ]]ի գաղափարների հետ, որի հետ Կանտորը հանդիպել էր Հալլեում<ref>Կանտորի, Հուսերլի և [[Գոտլոբ Ֆրեգե]] մասին տե՛ս Հիլ և Ռոսադո Հադոկ (2000)։</ref>։

Միևնույն ժամանակ Կանտորը դեմ էր [[անվերջ փոքր]]երի գաղափարին՝ այն համարելով «նողկանք» և «մաթեմատիկայի խոլերա բացիլ»<ref name="Infinitesimal" />։

Կանտորի 1883 թվականի հոդվածը ցույց է տվել, որ նա տեղյակ էր իր գաղափարների նկատմամբ ընդդիմադիր կարծիքներից<ref name="daub96">"[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 96։</ref>։ Այսպիսով Կանտորը երկար ժամանակ է հատկացնում իր նախկին աշխատությունները հիմնավորելուն՝ նշելով, որ մաթեմատիկական հասկացությունները կարող են ազատորեն ներկայացվել, քանի դեռ հակասության չեն հանգում և սահմանված են նախկինում հաստատված հասկացությունների միջոցով։ Նա նաև հղում է արել անվերջության վերաբերյալ [[Արիստոտել]]ի, [[Ռենե Դեկարտ]]ի, [[Ջորջ Բերկլի]]ի, [[Գոթֆրիդ Լայբնից]]ի և [[Բերնարդ Բոլցանո]]յի գաղափարներին։

== Նախնիներ ==
[[Պատկեր:Blackboard_Georg_Cantor_(11-line_V_O_building_24).jpg|մինի|Հուշատախտակ Սանկտ Պետերբուրգում՝ Վասիլևսկի կղզում (ռուսերեն)․ «Այս շենքում 1845-1854 թվականներին ծնվել և ապրել է մեծ մաթեմատիկոս և բազմությունների տեսության ստեղծող Գեորգ Կանտորը»։]]
Կանտորի հայրական կողմից տատը և պապը եղել են [[Կոպենհագեն]]ից, բայց [[Նապոլեոնյան պատերազմներ]]ի պատճառով փախել են Ռուսաստան։ Կանտորի տատիկի և պապիկի մասին շատ քիչ տեղեկություն է պահպանվել{{ref+|''Օրինակ'', պապիկի մահվան մասին Գրատան-Գինեսի ունեցակ միակ վկայությունը այն էր, որ նա թղթեր է ստորագրել իր որդու նշանադրությանը։|Ն}}։ Կանտորը իր կյանքի ընթացքում հաճախ համարվել է հրեա{{ref+|Օրինակ՝ [[Jewish Encyclopedia]], հոդված «Cantor, Georg», [[Jewish Year Book]] 1896–1897, "List of Jewish Celebrities of the Nineteenth Century" (19-րդ դարի հրեա հայտնի մարդկանց ցանկ), էջ 119, այս ցանկում կիսով չափ հրեա անձանց անվան դիմաց աստղ կա, բայց Կանտորի անվան դիմաց չկա։|Ն}}, բայց նրան նաև կոչել են ռուս, գերմանացի և դանիացի։

Յակոբ Կանտորը՝ Կանտորի պապիկը, իր երեխաներին տվել է քրիստոնեական [[սրբեր]]ի անունները։ Բացի դա, տատիկի բարեկամներից ոմանք Ցարական քաղաքացիական ծառայությունում էին, որը չէր ընդունում հրեաներին, եթե նրանք քրիստոնյա չդառնային։ Կանտորի հայրը՝ Գեորգ Վալդեմար Կանտորը, [[Լյութերականություն|լյութերական]] էր, իսկ նրա և որդու նամակագրությունը ցույց էր տալիս, որ երկուսն էլ նվիրված լյութերական են։ Գեորգ Վալդեմարի ծագման կամ կրթության մասին շատ քիչ է հայտնի<ref name="pi87">[[#Purkert|Փարկերտ և Իլգաուդս 1985]], էջ 15։</ref>։ Նրա մայրը՝ Մարիա Աննա Բոհմը, ավստրոհունգարացի էր՝ ծնված Սանկտ Պետերբուգում։ Նա մկրտված [[Կաթոլիկ եկեղեցի|կաթոլիկ]] էր, բայց ամուսնությունից հետո դարձել էր [[Բողոքականություն|բողոքական]]։ Կանտորի եղբայրը՝ Լուիսը, մորն ուղղված նամակներից մեկում գրում է. 
{{քաղվածքի սկիզբ}}
Նույնիսկ եթե մենք ծագում ենք հրեաներից ավելի քան 10 սերունդ, և նույնիսկ եթե ես սկզբունքորեն կողմ եմ հրեաների հավասար իրավունքներին, սոցիալական կյանքում ես նախընտրում եմ քրիստոնեական․․․
{{oq|de|Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen lieber ...<ref name="pi87" />}}
{{քաղվածքի վերջ}}
Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ նա հրեական նախնիներ ունի<ref>Ավելի մանրամասն տեղեկությունների համար տե՛ս [[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 1 և նշումներ; [[#Guinness1971|Գրատան-Գինես 1971]], էջեր 350–352 և նշումներ; [[#Purkert|Փարկերտ և Իլգաուդս 1985]], նամակի համար տե՛ս {{harvnb|Aczel|2000|pp=93–94}}, Լուիսի 1863 թվականի Չիկագո ճանապարհորդությունից։</ref>։

1930-ական թվականների փաստաթղթերը կասկածի տակ են առնում նրա հրեական ծագումը․{{quote|Շատ հաճախ [մոտ ծագումից ավելի հաճախ] քննարկվել է՝ արդյոք Գեորգ Կանտորը հրեական ծագում ունի։ Այս թեմայով Կոպենհագենում Դանիական ծագումանաբանության ինստիտուտը 1937 թվականին նրա հոր մասին գրում է․ «Սույնով վկայվում է, որ Գերոգ Վոլդեմար Կանտորը՝ ծնված 1809 կամ 1814 թվականին, չկա որևէ հրեական համայնքային գրանցամատյանում և նա անկասկած հրեա չէ․․․»<ref name="pi87" />}}
Էրիկ Թեմփլ Բելլը իր «Մաթեմատիկայի մարդիկ» գրքում Կանտորին ներկայացնում է որպես «երկու կողմից մաքուր հրեա», չնայած երկու ծնողներն էլ մկրտված են։ 1971 թվականին բրիտանացի պատմաբան Գրատան-Գինեսը իր հոդվածներից մեկում ({{Lang-en|Towards a Biography of Georg Cantor}}) գրում է, որ չի կարողանում Կանտորի հրեական ծագման համար փաստեր գտնել (նա նաև նշել է, որ Կանտորի կինը հրեա է)։

1896 թվականին Փոլ Թաներին ուղղված նամակում Կանտորը նշում է, որ հայրական տատիկը և պապիկը Կոպենհագենի սաֆարդյան հրեաների համայնքի անդամ են եղել<ref>Թաների, Փոլ (1934) ''Memoires Scientifique 13 Correspondance'', Gauthier-Villars, Փարիզ, էջ 306։</ref>։

Բացի դա, Կանտորի մայրական հարազատներից մեկը<ref>[[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 274։</ref>՝ հունգարացի ջութակահար Յոզեֆ Բոհմը, հրեա էր<ref>Մենդելսոն, Էզրա (ed.) (1993) [http://trove.nla.gov.au/work/11440061?versionId=13425381 ''Modern Jews and their musical agendas''], Oxford University Press, էջ 9։</ref>, ինչը նշանակում է, որ Կանտորի մայրը առնվազն կիսով չափ հրեա էր<ref>''Ismerjük''oket?: zsidó származású nevezetes magyarok arcképcsarnoka'', István Reményi Gyenes Ex Libris, (Budapest 1997), էջեր 132–133''</ref>։

Բերնարդ Ռասելին ուղղված նամակներից մեկում Կանտորը իր նախնիներին նկարագրում է հետևյալ կերպ՝{{quote|Ո՛չ իմ հայրը, ո՛չ իմ մայրը գերմանական արյուն չունեն․ առաջինը դանիացի է՝ ծնված Կոպենհագենում, մայրս ավստրոհունգարական ծագում ուներ։ Դուք պետք է իմանաք, պարոն, որ ես պարզապես սովորական գերմանացի չեմ, ես ծնվել եմ 1845 թվականի մարտի 3-ին Սանկտ Պետերբուրգում, Ռուսաստանի մայրաքաղաքում, բայց ես հորս և մորս և եղբայրներիս և քրոջս հետ մեկնել եմ Գերմանիա՝ տասնմեկ տարեկանում՝ 1856 թվականին<ref>Ռասել, Բերնարդ. ''Autobiography'', հ. I, էջ 229։</ref>։}}

== Կենսագրության մասին ==
Մինչև 1970-ական թվականները Կանտորի կենսագրության վերաբերյալ հիմնական ակադեմիական հրատարակությունները երկու կարճ մենագրություններ էին՝ Արթուր Մորից Շյոնֆլիսի (1927, հիմնականում Միտտագ-Լեֆլերի հետ համակագրությունը) և Ֆրաենկելի (1930)։ Երկուսն էլ երկրորդ կամ երրորդ ձեռքից էին և նրա անձնական կյանքի վերաբերյալ առանձնապես տեղեկություններ չէին պարունակում։ Բացը հիմնականում լրացրել է Էրիկ Թեմփլ Բելլի «Մաթեմատիկայի մարդիկ» (1937) գիրքը, որը Կանտորի ժամանակակից կենսագիրները անվանել են «[[Մաթեմատիկայի պատմություն|Մաթեմատիկայի պատմության]] վերաբերյալ հավանաբար ամենաընթերցված ժամանակակից գիրքը» և «ամենավատերից մեկը»<ref>[[#Guinness1971|Գրատան-Գինես 1971]], էջ 350։</ref>։ Բելլը Կանտորի և իր հոր հարաբերությունները ներկայացնում է որպես [[Էդիպյան բարդույթ]], Կանտորի և Կրոնեկերի տարբերությունները որպես երկու հրեաների վեճ։ Ըստ Գրատան-Գինեսի (1971)՝ այս պնդումներից ոչ մեկը պատմական հիմք չունի, բայց դրանք կարելի է գտնել այդ ժամանակաշրջանի շատ գրքերի մեջ։ Լեգենդներից մեկի համաձայն էլ (Բելլից անկախ) Կանտորի հայրը գտնված երեխա է, որին Սանկտ Պետերբուրգ են բերել անհայտ ծնողներ{{ref+|Բելլի հակահրեական կարծրատիպերը կարծես թե հեռացվել են հետպատերազմյան հրատարակություններից</ref> Բելլի գրքի քննադատություն կա նաև [[Ջոզեֆ Դուբեն]]ի կենսագրական գրքում<ref>[[#Guinness1971|Գրատան-Գինես 1971]] (քաղվածք 350 էջից), [[#Dauben1979|Դուբեն 1979]], էջ 1 և նշումներ։</ref>|Ն}}։

== Որոշ օբյեկտներ՝ անվանված ի պատիվ Կանտորի ==
* [[Կանտոր (լուսնային խառնարան)|Կանտոր]]. հարվածային խառնարան Լուսնի հակառակ կողմում։
* [[Կանտորի բազմություն]]. [[Բազմության հզորություն|կոնտինուալ]] բազմություն զրոյական չափման հատվածի վրա
* [[Կանտորի մեդալ]]. մաթեմատիկական մրցանակ, որը շնորհվում է Գերմանական մաթեմատիկական ընկերության կողմից
* [[Կանտորի թեորեմ]]. [[բազմությունների տեսություն|բազմությունների տեսության]] դասական հաստատում
* [[Կանտորի ֆունկցիա]] (Կանտորի սանդուղք)

== Նշումներ ==
{{ծանցանկ|group="Ն"}}

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|2}}

== Գրականություն ==
* {{Citation |last=Joseph Dauben |first=Joseph W. |title=Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite |work=Journal of the History of Ideas |volume=38 |issue=1 |pages=85–108 |year=1977 |doi=10.2307/2708842 |jstor=2708842 |ref=Dauben1977}}.
* {{Citation |last=Dauben |first=Joseph W. |title=Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite |year=1979 |place=Boston |publisher=Harvard University Press |isbn=978-0-691-02447-9 |ref=Dauben1979}}.
* {{Citation |last=Dauben |first=Joseph |title=Proceedings of the 9th ACMS Conference (Westmont College, Santa Barbara, CA) |pages=1–22 |year=2004 |chapter=Georg Cantor and the Battle for Transfinite Set Theory |chapter-url=http://heavysideindustries.com/wp-content/uploads/2011/08/Dauben-Cantor.pdf |ref=Dauben2004 |origyear=1993}}. Internet version published in Journal of the ACMS 2004.
* {{Citation |title=From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics |year=1996 |editor-last=Ewald |editor-first=William B. |place=New York |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-853271-2 |ref=Ewald}}.
* {{Citation |last=Grattan-Guinness |first=Ivor |title=Towards a Biography of Georg Cantor |work=Annals of Science |volume=27 |issue=4 |pages=345–391 |year=1971 |doi=10.1080/00033797100203837 |ref=Guinness1971}}.
* {{Citation |last=Grattan-Guinness |first=Ivor |title=The Search for Mathematical Roots: 1870–1940 |year=2000 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-05858-0 |ref=Guinness2000}}.
* {{Citation |last=Hallett |first=Michael |title=Cantorian Set Theory and Limitation of Size |year=1986 |place=New York |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-853283-5 |ref=Hallett}}.
* {{Citation |last=Moore |first=Gregory H. |title=Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development & Influence |year=1982 |publisher=Springer |isbn=978-1-4613-9480-8 |ref=Moore1982}}.
* {{Citation |last=Moore |first=Gregory H. |title=The Roots of Russell's Paradox |work=Russell |volume=8 |pages=46–56 |year=1988 |url=https://escarpmentpress.org/russelljournal/article/viewFile/1732/1758 |doi=10.15173/russell.v8i1.1732 |ref=Moore1988 |access-date=2019-06-22 |archive-date=2018-01-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180101094333/https://escarpmentpress.org/russelljournal/article/viewFile/1732/1758 |url-status=dead }}.
* {{Citation |last=Moore |first=Gregory H. |title=Burali-Forti's Paradox: A Reappraisal of Its Origins |work=Historia Mathematica |volume=8 |issue=3 |pages=319–350 |year=1981 |url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086081900707 |doi=10.1016/0315-0860(81)90070-7 |ref=Moore1981 |last2=Garciadiego |first2=Alejandro}}.
* {{Citation |last=Purkert |first=Walter |title=The History of Modern Mathematics, Volume 1 |pages=49–65 |year=1989 |editor-last=Rowe |editor-first=David E. |editor-last2=McCleary |editor-first2=John |chapter=Cantor's Views on the Foundations of Mathematics |publisher=Academic Press |isbn=978-0-12-599662-4 |ref=Purkert1989}}.
* {{Citation |last=Purkert |first=Walter |title=Georg Cantor: 1845–1918 |year=1985 |publisher=Birkhäuser Verlag |isbn=978-0-8176-1770-7 |ref=Purkert |last2=Ilgauds |first2=Hans Joachim}}.
*{{Citation |last=Suppes |first=Patrick |title=Axiomatic Set Theory |year=1972 |place=New York |publisher=Dover |isbn=978-0-486-61630-8 |ref=Suppes |origyear=1960}}. Although the presentation is axiomatic rather than naive, Suppes proves and discusses many of Cantor's results, which demonstrates Cantor's continued importance for the edifice of foundational mathematics.
* {{Citation |last=Zermelo |first=Ernst |title=Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I |work=Mathematische Annalen |volume=65 |issue=2 |pages=261–281 |year=1908 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0065&DMDID=DMDLOG_0018 |doi=10.1007/bf01449999 |ref=Zermelo1908}}. 
* {{Citation |last=Zermelo |first=Ernst |title=Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre |work=Fundamenta Mathematicae |volume=16 |pages=29–47 |year=1930 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm1615.pdf |doi=10.4064/fm-16-1-29-47 |ref=Zermelo1930}}. 
* {{Citation |last=van&nbsp;Heijenoort |first=Jean |title=From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 |year=1967 |publisher=Harvard University Press |isbn=978-0-674-32449-7 |ref=Heijenoort}}.

== Մատենագրություն ==
:''Կանտորի կյանքի վերաբերյալ հին աղբյուրներին պետք է վերաբերվել զգուշությամբ։ Տես՝ [[#Կենսագրություն|Կենսագրություն]]''

=== Առաջնային գրականությունը անգլերեն ===
* {{Citation |last=Cantor |first=Georg |title=Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers |year=1955 |editor-last=Philip Jourdain |url=https://archive.org/details/contributionstot003626mbp |place=New York |publisher=Dover |isbn=978-0-486-60045-1 |ref=Cantor1955 |origyear=1915}}.

=== Առաջնային գրականությունը գերմաներեն ===
* {{Citation |last=Cantor |first=Georg |title=Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen |work=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik |volume=77 |issue=77 |pages=258–262 |year=1874 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/download/PPN243919689_0077/PPN243919689_0077___LOG_0014.pdf |doi=10.1515/crll.1874.77.258}}
* {{Citation |last=Cantor |first=Georg |title=Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre |work=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik |volume=84 |issue=84 |pages=242–258 |year=1878 |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002156806 |doi=10.1515/crll.1878.84.242}}.
* {{Cite journal |last=Georg Cantor |year=1879 |title=Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (1) |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0015&DMDID=DMDLOG_0004 |journal=Mathematische Annalen |volume=15 |issue=1 |pages=1–7 |doi=10.1007/bf01444101}}
* {{Cite journal |last=Georg Cantor |year=1880 |title=Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (2) |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0017&DMDID=DMDLOG_0043 |journal=Mathematische Annalen |volume=17 |issue=3 |pages=355–358 |doi=10.1007/bf01446232}}
* {{Cite journal |last=Georg Cantor |year=1882 |title=Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (3) |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0015 |journal=Mathematische Annalen |volume=20 |issue=1 |pages=113–121 |doi=10.1007/bf01443330}}
* {{Cite journal |last=Georg Cantor |year=1883 |title=Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (4) |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0021&DMDID=DMDLOG_0008 |journal=Mathematische Annalen |volume=21 |issue=1 |pages=51–58 |doi=10.1007/bf01442612}}
* {{Cite journal |last=Georg Cantor |year=1883 |title=Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (5) |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0021&DMDID=DMDLOG_0051 |journal=Mathematische Annalen |volume=21 |issue=4 |pages=545–591 |doi=10.1007/bf01446819}} Published separately as: ''Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre''.
* {{Cite journal |last=Georg Cantor |year=1891 |title=Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/pdfcache/PPN37721857X_0001/PPN37721857X_0001___LOG_0029.pdf |journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |volume=1 |pages=75–78}}
* {{Cite journal |year=1895 |title=Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1) |url=http://gdz-lucene.tc.sub.uni-goettingen.de/gcs/gcs?&&action=pdf&metsFile=PPN235181684_0046&divID=LOG_0044&pagesize=original&pdfTitlePage=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/pdftitle/?metsFile=PPN235181684_0046%7C&targetFileName=PPN235181684_0046_LOG_0044.pdf& |url-status=dead |journal=Mathematische Annalen |volume=46 |issue=4 |pages=481–512 |doi=10.1007/bf02124929 |archivedate=2014 թ․ ապրիլի 23 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140423224341/http://gdz-lucene.tc.sub.uni-goettingen.de/gcs/gcs?&&action=pdf&metsFile=PPN235181684_0046&divID=LOG_0044&pagesize=original&pdfTitlePage=http%3A%2F%2Fgdz.sub.uni-goettingen.de%2Fdms%2Fload%2Fpdftitle%2F%3FmetsFile%3DPPN235181684_0046%7C&targetFileName=PPN235181684_0046_LOG_0044.pdf& |given=Georg |surname=Cantor}}
* {{Cite journal |year=1897 |title=Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2) |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0049&DMDID=DMDLOG_0024&L=1 |journal=Mathematische Annalen |volume=49 |issue=2 |pages=207–246 |doi=10.1007/bf01444205 |given=Georg |surname=Cantor}}
* {{Citation |last=Cantor |first=Georg |title=Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts |df=mdy-all |year=1932 |editor-last=Ernst Zermelo |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0001&L=1 |url-status=dead |place=Berlin |publisher=Springer |archivedate=2014 թ․ փետրվարի 3 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140203234213/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0001&L=1}}. Almost everything that Cantor wrote. Includes excerpts of his correspondence with Dedekind (p.&nbsp;443–451) and Fraenkel's Cantor biography (p.&nbsp;452–483) in the appendix.

=== Երկրորդական գրականություն ===
* {{Citation |last=Aczel |first=Amir D. |title=The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbala, and the Search for Infinity |year=2000 |place=New York |publisher=Four Walls Eight Windows Publishing}}. {{isbn|0-7607-7778-0}}. A popular treatment of infinity, in which Cantor is frequently mentioned.
* {{Citation |last=Dauben |first=Joseph W. |title=Georg Cantor and the Origins of Transfinite Set Theory |date=1983 թ․ հունիս |work=Scientific American |volume=248 |issue=6 |pages=122–131 |bibcode=1983SciAm.248f.122D |doi=10.1038/scientificamerican0683-122}}
* {{Citation |last=Ferreirós |first=José |title=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought |year=2007 |place=Basel, Switzerland |publisher=Birkhäuser}}. {{isbn|3-7643-8349-6}} Contains a detailed treatment of both Cantor's and Dedekind's contributions to set theory.
* {{Citation |last=Paul Halmos |first=Paul |title=Naive Set Theory |year=1998 |place=New York & Berlin |publisher=Springer |origyear=1960}}. {{isbn|3-540-90092-6}}
* {{Cite journal |last=Հիլբերտ |first=Դավիթ |author-link=Դավիթ Հիլբերտ |year=1926 |title=Über das Unendliche |url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002270641 |journal=Mathematische Annalen |volume=95 |pages=161–190 |doi=10.1007/BF01206605}}
* {{Citation |last=Hill |first=C. O. |title=Husserl or Frege? Meaning, Objectivity, and Mathematics |year=2000 |place=Chicago |publisher=Open Court |last2=Rosado Haddock |first2=G. E.}}. {{isbn|0-8126-9538-0}} Three chapters and 18 index entries on Cantor.
* {{Citation |last=Meschkowski |first=Herbert |title=Georg Cantor, Leben, Werk und Wirkung (Georg Cantor, Life, Work and Influence, in German) |year=1983 |publisher=Vieweg, Braunschweig}}
* {{Citation |last=Penrose |first=Roger |title=The Road to Reality |year=2004 |publisher=Alfred A. Knopf}}. {{isbn|0-679-77631-1}} Chapter 16 illustrates how Cantorian thinking intrigues a leading contemporary theoretical physicist.
* {{Citation |last=Rucker |first=Rudy |title=Infinity and the Mind |year=2005 |publisher=Princeton University Press |origyear=1982}}. {{isbn|0-553-25531-2}} Deals with similar topics to Aczel, but in more depth.
* {{Citation |last=Ռոդիխ |first=Վիկտոր |title=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |year=2007 |editor-last=Էդվարդ Ն․ Զալթա |chapter=Wittgenstein's Philosophy of Mathematics |chapter-url=http://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/}}.

{{Արտաքին հղումներ}}
{{Շաբաթվա հոդված նախագծի մասնակից|2019|[[Կաղապար:Շաբաթվա հոդված/Շաբաթ 37, 2019 թ.|37-րդ]]}}
{{Ընտրյալ հոդված/Կատեգորիա}}
{{Տարվա հոդված/Կատեգորիա|2020}}
{{ՀՍՀ|հատոր=5|էջ=243}}

{{DEFAULTSORT:Կանտոր, Գեորգ}}
[[Կատեգորիա:19-րդ դարի գերմանացի մաթեմատիկոսներ]]
[[Կատեգորիա:19-րդ դարի գերմանացի տղամարդ գրողներ]]
[[Կատեգորիա:19-րդ դարի մաթեմատիկոսներ]]
[[Կատեգորիա:19-րդ դարի փիլիսոփաներ]]
[[Կատեգորիա:20-րդ դարի գերմանացի մաթեմատիկոսներ]]
[[Կատեգորիա:20-րդ դարի մաթեմատիկոսներ]]
[[Կատեգորիա:20-րդ դարի փիլիսոփաներ]]
[[Կատեգորիա:Բազմությունների տեսության մասնագետներ]]
[[Կատեգորիա:Գերմանացի մաթեմատիկոսներ]]
[[Կատեգորիա:Գերմանացի փիլիսոփաներ]]
[[Կատեգորիա:Գյոթինգենի համալսարանի շրջանավարտներ]]
[[Կատեգորիա:Հումբոլդտի համալսարանի շրջանավարտներ]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկոսներ այբբենական կարգով]]
[[Կատեգորիա:Ռուսաստանի հրեաներ]]
[[Կատեգորիա:Փիլիսոփայական գիտությունների դոկտորներ]]