Դիտել Եռանկյունաչափության պատմություն էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:Եռանկյունաչափության պատմություն.gif|250px|մինի|Երկրաչափական չափումներ ([[XVII դար]]ի նկար)]]
'''Եռանկյունաչափության պատմություն''', տարբեր երկրաչափական պատկերների [[անկյուն]]ների ու կողմերի հարաբերությունների մասին գիտություն, որն ավելի քան երկու հազարամյակի պատմություն ունի։ Նման հարաբերությունների մեծամասնությունը հնարավոր չէ ներկայացնել պարզ [[հանրահաշվական գործողություններ]]ի միջոցով։ Այդ իսկ պատճառով անհրաժեշտություն է առաջացել ներմուծել նոր՝ [[եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]], որոնք սկզբում արտահայտվել են թվային աղյուսակների տեսքով։

Պատմաբանները կարծում են, որ եռանկյունաչափությունը հիմնադրել են հին [[Աստղագիտություն|աստղագետները]] և միայն ավելի ուշ այն սկսել է կիրառվել նաև [[գեոդեզիա]]յի ու [[ճարտարապետություն|ճարտարապետության]] մեջ։ Ժամանակի հետ եռանկյունաչափության կիրառությունը սկսել է տարածվել։ Ներկայումս այն օգտագործվում է գրեթե բոլոր բնագիտական, տեխնիկական ու նմանատիպ այլ գիտություններում<ref name=VYG>{{Ռուսերեն գիրք |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |заглавие=Справочник по элементарной математике |год=1978 |место=М. |издательство=Наука |страницы=266-268.}}</ref>։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հատկապես օգտակար դարձան տատանողական պրոցեսների նկարագրման համար։ Վերջիններիս վրա է հիմնված նաև ֆունկցիաների հարմոնիկ վերլուծությունն ու անալիզի այլ տարրերը։ [[Թոմաս Փեյն]]ն իր «Գիտակցության դար» ([[1794]]) գրքում եռանկյունաչափությունն անվանում է «գիտության հոգի»<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://www.sacred-texts.com/aor/paine/aor/aor13.htm |автор=Paine, Thomas. |заглавие=The Age of Reason |год=2004 |издательство=Dover Publications |страницы=52}}</ref>։

== Սկզբնական շրջան ==
[[Պատկեր:Chinese pythagoras.jpg|250px|մինի|Պյութագորասի թեորեմը նկարագրող հին չինական պատկեր]]
Եռանկյունաչափության տարրեր հնարավոր է գտնել [[հին Եգիպտոս]]ի, [[Բաբելոն]]ի, [[Չինաստան]]ի արձանագրություններում։ Ռինդայի պապիրուսի (մ. թ. ա. 2-րդ հազարամյակ) 56-րդ առաջադրանքում պահանջվում է գտնել այն բուրգի թեքվածքը, որի բարձրությունը 250 կանգուն է, իսկ հիմքի կողմի երկարությունը՝ 360<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Eli Maor. |заглавие=Trigonometric Delights |год=1998 |издательство=Princeton University Press |pages=20 |isbn=0-691-09541-8}}</ref>:

Բաբելոնյան մաթեմատիկայից է գալիս անկյունների չափումը աստիճաններով, րոպեներով ու վայրկյաններով ([[մաթեմատիկա]]յի մեջ այս միավորների ներմուծումը վերագրվում է [[Հիպսիկլ]]ին, մ. թ. ա. 2-րդ դար)։ Հայտնի Բաբելոնյան թեորեմների շարքում կա նաև այսպիսին. ներգծյալ անկյունը, որը հենված է շրջանագծի տրամագծի վրա, ուղիղ անկյուն է {{sfn |Глейзер Г. И.|1982|էջ=95. }}։

Այդ ժամանակաշրջանի կարևորագույն հայտնագործությունը դարձավ ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի միջև եղած օրինաչափությունը, որն ավելի ուշ ստացավ [[Պյութագորասի թեորեմ]] անվանումը։ [[Վան դեր Վարդեն]]ը կարծում էր, որ բաբելոնցիները այն հայտնագործել են մ. թ. ա. 2000-ից 1786 թվականներին<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=https://books.google.am/?id=_vPuAAAAMAAJ&q=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&dq=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&cd=1 |автор=van der Waerden, Bartel Leendert. |заглавие=Geometry and Algebra in Ancient Civilizations |год=1983 |издательство=Springer |isbn=3-540-12159-5}}</ref>։ Միանգամայն հնարավոր է, որ չինացները ևս, մյուսներից անկախ, հայտնագործել են այն։ Դեռևս անհայտ է, թե իմացել են արդյոք հին եգիպտացիները թեորեմի ընդհանուր բանաձևը, բայց պարզ է, որ 3, 4 և 5 կողմերով «[[եգիպտական եռանկյուն]]ը» լայնորեն կիրառվել է տարբեր բնագավառներում։

== Հին Հունաստան ==
Եռանկյունաչափական հարաբերությունների ընդհանուր ու տրամաբանական կապերը ի հայտ եկան հին հունական երկրաչափությունում{{sfn |Глейзер Г. И.|1982|էջ=77. |name=GL77 }}։ Հույն մաթեմատիկոսները եռանկյունաչափությունը չէին համարում առանձին գիտություն, նրանց համար դա [[Աստղագիտություն|աստղագիտության]] մի մասն էր{{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|էջ=124-125. }}։

=== Հարթ եռանկյունաչափություն ===
Եռանկյունաչափական բնույթի շատ թեորեմներ կան [[Էվկլիդես]]ի «Սկզբունքներ» գրքում (մ. թ. ա. [[IV դար]])։ «Սկզբունքների» առաջին գրքի 18 և 19 թեորեմներում ասվում է, որ եռանկյան մեծ կողմի դիմաց գտնվում է մեծ անկյուն, և հակառակը՝ մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ։ 20 և 22 թեորեմները ներկայացնում են «[[եռանկյան անհավասարություն]]ը». երեք հատվածներից կարելի է կառուցել եռանկյուն միայն այն դեպքում, երբ հատվածներից յուրաքանչյուրը փոքր է մյուս երկուսի գումարից։ 32-րդ թեորեմն ապացուցում է, որ եռանկյան անկյունների գումարը 180° է։

«Սկզբունքների» երկրորդ գրքի 12-րդ թեորեմը [[կոսինուսների թեորեմ]]ի բառերով ներկայացված տարբերակն է{{sfn |Глейзер Г. И.|1982|էջ=94-95. |name=GL94 }}։

Դրան հաջորդող 13-րդ թեորեմը կոսինուսների թեորեմն է ուղղանկյուն եռանկյան համար։ [[Սինուսների թեորեմ]]ի անալոգը հույների մոտ սկզբնական շրջանում չի եղել։ Այդ կարևորագույն հայտնագործությունը կատարվել է ավելի ուշ<ref>Գ. Պ. Մատվիևսկի, 2012,  92-96 էջեր</ref>։

[[Պատկեր:Aristarchus-Moon-Earth-Sun.png|250px|մինի|Արիստարքոսի եռանկյունը՝ Արեգակի, Երկրի ու Լուսնի փոխդասավորությունը քառակուսացման ժամանակ]]
Եռանկյունաչափության հետագա զարգացումը կապված է [[Արիստարքոս Սամոսացի|Արիստարքոս Սամոսացու]] անվան հետ (մ. թ. ա. 3-րդ դար)։ Նրա «Արեգակի ու Լուսնի չափերն ու հեռավորությունները» տրակտատում խնդիր էր դրվում որոշել մինչև երկնային տարբեր մարմիններ եղած հեռավորությունը։ Այդ խնդիրը պահանջում էր հաշվել ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերությունը ունենալով միայն սուր անկյուններից մեկի աստիճանային չափը։ Արիստարքոսը քառակուսացման ժամանակ Արեգակի, Լուսնի ու Երկրի դասավորությունը դիտարկում էր որպես ուղանկուն եռանկյուն։ Նրանից պահանջվում էր գտնել ներքնաձիգի երկարությունը (Արեգակի ու Երկրի հեռավորությունը) էջով (Երկրի ու Լուսնի հեռավորությունը), այն դեպքում, երբ անկյունը հայտնի է՝ 87°: Դա համարժեք է <math>~\sin 3^\circ</math>-ը հաշվելուն։ Արիստարքոսի գնահատականով այդ հեռավորությունն ընկած է 1/20-ից 1/18 միջակայքում, ինչը նշանակում է, որ Արեգակի հեռավորությունը Երկրից 20 անգամ ավելի մեծ է քան Լուսնի հեռավորությունը Երկրից{{sfn |Цейтен Г. Г.|1932|էջ=153-154. }}։ Իրականում Արեգակը երկրից 400 անգամ ավելի հեռու է քան Լուսինը, իսկ այդ սխալն առաջացել էր անկյան աստիճանային չափը սխալ հաշվելու պատճառով։ Միաժամանակ, Արիստարքոսը ապացուցել է մի անհավասարություն, որը այժմյան տերմինների օգտագործմամբ արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով՝
:::: <math>\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} < \frac{\alpha}{\beta}<\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta}.</math>
Այս նույն բանաձևը կա նաև [[Արքիմեդ]]ի «Ավազահատիկների հաշվարկ»-ում{{sfn |Веселовский|1961|էջ=38. }}։ Արքիմեդի աշխատություններում (մ. թ. ա. 3-րդ դար) կա լարի բաժանման թեորեմ, որը նման է կես անկյան սինուսի թեորեմին {{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=15. }}<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Boyer, Carl B. |заглавие=A History of Mathematics |год=1991 |издание=Second ed. |издательство=John Wiley & Sons, Inc. |pages=158–159. |isbn=0-471-54397-7}}</ref>։
:::: <math>\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 - \cos\alpha}{2} }.</math>

Անտիկ գիտության զարգացման ժամանակաշրջանում եռանկյունաչափությունն ամենաշատը կիրառվել է աստղագիտության մեջ։ Բացի երկնային մարմինների հեռավորությունների հաշվարկման խնդիրները, եռանկյունաչափության հետագա զարգացումը պահանջում էր էպիցիկլերի և/կամ էկսցենտրերի պարամետրերի մի համակարգ, որը կներկայացներ լույսի տարածումը տարածության մեջ։ Համաձայն լայնորեն տարածված կարծիքի՝ այդ խնդիրն առաջին անգամ առաջադրել ու լուծել է [[Հիպարքոս]]ը (մ. թ. ա. 2-րդ դարի կեսեր), [[Արեգակ]]ի ու [[Լուսին|Լուսնի]] ուղեծրերի հաշվարկման միջոցով։ Հնարավոր է, որ այդ խնդիրը աստղագիտության մեջ առաջ է քաշվել ավելի վաղ։ Հիպարքոսին է վերագրվում նաև առաջին եռանկյունաչափական աղյուսակների ստեղծումը, որոնք մեզ չեն հասել{{sfn |Toomer|1973}}։ Կա վարկած, որ առաջին եռանկյունաչափական աղյուսակները գոյություն են ունեցել արդեն մեր թվարկությունից առաջ 3-րդ դարում և ստեղծվել են Ապոլլոն Պերգացու կողմից։{{sfn |Van der Waerden|1988 }}

[[Պատկեր:Corda de fita igual al doble del sinus de la meitat de fita.svg|մինի|250 px|right|<center>θ/2 անկյան սինուսը հավասար է միավոր շրջանագծի լարի կեսին</center>]]
Ժամանակակից ֆունկցիաների փոխարեն Հիպարքոսն ու մյուս հույն մաթեմատիկոսները դիտարկում էին շրջանագծի տրված կենտրոնական անկյան լարի ու կենտրոնական անկյան կախվածությունը։ Ժամանակից տերմնաբանությամբ միավոր շրջանագծի θ աստիճանային չափ ունեցող աղեղի լարի երկարությունը հավասար է θ/2 կենտրոնական անկյան սինուսի կրկնապատիկին։ Այդ հարաբերությունը ճշմարիտ է յուրաքանչյուր անկյան համար. 0° < θ < 360°: Լարերի լեզվի միջոցով էլ հենց հին հույնները ստացան եռանկյունաչափական բանաձևերը<ref name=VYG/>։ Օրինակ, հետևյալ ժամանակակից բանաձևը՝
: <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1</math>
համապատասխանում է հետևյալ հունական բանաձևին{{sfn |Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.|1978|էջ=77. }}՝
: <math>(chord_{\alpha})^2 + (chord_{180^\circ - \alpha})^2 = d^2,</math>
որտեղ <math>chord_{\alpha}</math>՝ <math>\alpha</math>-ը կենտրոնական անկյան լարն է, <math>d</math>-ը՝ շրջանագծի տրամագիծը։

Ընդ որում, այն ժամանակ միավոր շրջանագիծ չէին վերցնում, ինչպես հիմա։ Օրինակ՝ Հիպարքոսի մոտ շրջանի շառավիղը ''R=''3438 միավոր էր չափողականության այս պայմաններում շրջանի աղեղի երկարությունը հավասար էր լինում աղեղի անկյունային չափին՝ արտահայտված րոպեներով <math>~\frac{360\cdot 60}{2\pi}\approx 3438</math>, որը հետշացնում էր հաշվարկները։ Պտղոմեոսի մոտ՝ ''R=''60 միավոր։ Ժամանակակից վերակառուցվածքների համաձայն{{sfn |Toomer|1973}}{{sfn |Thurston|1994}}՝ [[Հիպարքոս]]ի մոտ լարերի երկարությունը հաշվարկվում էին 7°30' միջակայքով։ Հնարավոր է, որ Հիպարքոսի աղյուսակի հիմքում ընկած է [[Արքիմեդ]]ի կողմից հայտնագործված մեթոդը, որը առաջարկվել էր նաև Արիստարքոսի կողմից{{sfn|Duke|2011|}}։

[[Պատկեր:Ptolemy Theorem.svg|thumb|250 px|right|<math>AB \cdot CD + BC \cdot AD =</math><br /><math> AC \cdot BD</math> ([[Պտղոմեոսի թեորեմ]])]]
Ավելի ուշ [[2-րդ դար]]ի աստղագետ [[Կլավդիոս Պտղոմեոս]]ը «Ամահեսթում» լրացնում է Հիպարքոսի ստացած արդյունքները։ «Ալմահեսթի» տասներեք գրքերը անտիկ գիտության մեծագույն եռանկյունաչափական աշխատություններն են։ Մասնավորապես, «Ալմահեսթը» պարունակում է աղեղների հսկայական հնգամակարդակ աղյուսակներ ինչպես սուր, այնպես էլ բութ անկյունների համար՝ 30 րոպեին հավասար քայլերով<ref name=VYG/>։ Լարերը հաշվելու համար Պտղոմեոսը գրքի X գլխում օգտագործում էր [[Պտղոմեոսի թեորեմ]]ը (որը հայտնի էր դեռ [[Արքիմեդ]]ին), որը պնդում է հետևյալը. 
{{քաղվածք|Շրջանագծին ներգծված ուռուցիկ բազմանկյան հանդիպակաց կողմերի երկարությունների արտադրյալներրի գումարը հավասար է այդ բազմանկյան անկյունագծեր արտադրյալին։|}}
Այս թեորեմից դժվար չէ ստանալ երկու բանաձևեր՝ գումարային անկյան սինուսն ու կոսինուսը, ու ևս երկու բանաձևեր՝ տարբերություն անկյան սինուսն ու կոսինուսը։ Սակայն հույների մոտ բանաձևային տեսքերը բացակայում էին{{sfn |Хрестоматия по истории математики|1976|էջ=195-197. |name=CU195 }}։

Անտիկ եռանկյունաչափական տեսության հիմնական հայտնագործությունը այսպես կոչված «եռանկան լուծումն» էր, այսինքն, եռանկյան անհայտ տարրերը գտնելը՝ օգտվելով երեք տրված տարրերից (որոնցից գոնե մեկը կողմ է)<ref name=GL77/>։ Արդյունքում, այդ խնդիրն ու դրա ընդհանրացումը դարձան եռանյունաչափության հիմքը<ref name=VYG/>. տրված են եռանկյան որոշ (սովորաբար երեք) հայտնի տարրեր, պահանջվում է օգտվելով այս տվյալներից գտնել մյուսները։ Ի սկզբանե եռանկյան տարրերի (հայտնի կամ անհայտ) ցանկում էին միայն նրա կողմերն ու գագաթի անկյունները, ավելի ուշ դրանց ավելացվեցին նաև բարձրությունները, կիսորդները, միջնագծերը, ներգծված ու արտագծված շրջանագծերի շառավիղները, ծանրության կենտրոնը և այլն։ Կիրառական եռանկյունաչափական խնդիրները տարբեր են. կարող են տրված լինել ոչ անմիջական տվյալներ (օրինակ՝ անկյունների գումար կամ կողմերի հարաբերություն)։

== Սֆերիկ եռանկյունաչափություն ==
Հարթ եռանկյունաչափության հետ զուգահեռ հույները աստղագիտության ազդեցությամբ, լայնորեն զարգացրեցին սֆերիկ եռանկյունաչափությունը։ Էվկլիդեսի «Սկզբունքներում» սֆերիկ եռանկյունաչափությանն առնչվող միայն մի քանի թեորեմ կա, որոնք նվիրված են տարբեր տրամագծերով գնդերի ծավալների հարաբերություններին։ [[Աստղագիտություն|աստղագիտության]] ու [[Քարտեզագրություն|քարտեզագրության]] մեջխիստ պահանջված լինելու շնորհիվ այս բնագավառն սկսեց արագորեն զարգանալ։ Սֆերիկ եռանկյունաչափությունը կիրառվում է նաև երկնային կոորդինատների, քարտեզագրական պրոյեկցիաների մեջ (մասնավորապես՝ աստրոլաբիա{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=25-27. }})։

Պատմաբաններն այդպես էլ ընդհանուր հայտարարի չեկան անտիկ հույների [[երկնոլորտ]]ի ուսումնասիրությունների զարգացման մակարդակի վերաբերյալ։ Որոշ հետազոտողներ եզրակացնում են, որ հասարակածային ու խավարման կոորդինատային համակարգերը օգտագործվել են աստղագիտական հետազոտությունների ամփոփման համար ու հայտնագործվել են առնվազն [[Հիպարքոս]]ի ժամանակներում{{sfn |Duke|2002}}։ Հնարավոր է, որ այն ժամանակ արդեն հայտնի են եղել սֆերիկ եռանկյունաչափության որոշ թեորեմներ, որոնք անհրաժեշտ էին գեոդեզիայում և աստղային կատալոգների{{sfn |Sidoli|2004}} ստեղծման համար համար։

«Սֆերիկայի» (ասինքն, սֆերիկ երկրաչափություն) թեմայով մեզ հայտնի առաջին գիտական աշխատությունները գրել են{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=27-33.|name=GPM27 }}՝
* Աուտոլիկուսը Պետեից և [[Եվկլիդես]]ը («Ֆենոմեններ») (մ. թ. ա. 4-րդ դար)։
* [[Թեոդոսիոս]]ը և [[Հիփսիկլես]]ը (մ. թ. ա. II դար)

Այս ժողովածուներում բազմիցս հանդիպում են եռանկյունաչափական արտահայտություններ, սակայն մակերեսային ուսումնասիրության պատճառով հեղինակները լուրջ եզրահանգումների չեն գալիս։ Օրինակ՝ «գտնել լրիվ արևածագը (մայրամուտը) կենդանակերպի համաստեղության» խնդիրը Հիպսիկլեսը լուծել է բազմանկյուն թվերի օգնությամբ<ref name=GPM27/>։

[[Պատկեր:Spherical triangle 3d.png|300px|մինի|Գնդոլորտային եռանկյուն]]
Տեսության զարգացման վճռական փուլը [[Մենելայոս Ալեքսանդրիացի|Մենելայոս Ալեքսանդրիացու]] «Սֆերիկա» մոնոգրաֆիան (մոտավորապես մեր թվարկության [[100]] թվական) էր։ Առաջին գրքում նա նկարագրում է սֆերիկ եռանկյուների մասին թեորեմները, Եվկլիդեսի անալոգային թեորեմները՝ հարթ եռանկյուների մասին։ Պատմաբանները կարծում են, որ Մենելայոսի մոտեցումը շատ առումներով հիմնվում է Թեոդոսիոսի աշխատության վրա, սակայն Մենելայոսը առավել խորացված է ներկայացրել եզրակացություններն ու ավելացրել նորերը։ Համաձայն [[Պապուս Ալեքսանդրիացի|Պապուս Ալեքսանդրիացու]] հաղորդագրության՝ Մենելայոսն առաջինն էր, ով սֆերիկ եռանկյունը դիտարկեց որպես առանձին մարմին, այն ներկայացնելով գնդի հատվածների միջոցով{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=33-36.|name=GPM33 }}։ Մենելայոսն ապացուցել է մի թեորեմ, որի վերաբերյալ [[Եվկլիդես]]ը չունի հարթ անալոգ. երկու սֆերիկ եռանկյուններ համատեղելի են, եթե համապատասխան անկյունները հավասար են։ Մեկ այլ թեորեմում նա պնդում է, որ սֆերիկ եռանկյան անկյունների գումարը միշտ մեծ է 180°<ref name=GPM33/>:

«Սֆերիկայի» երկրորդ գիրքը ներկայացնում է սֆերիկ երկրաչափության կիրառությունը [[աստղագիտություն|աստղագիտության]] մեջ։ Երրորդ գիրքը պարունակում է կիրառական աստղագիտության կարևորագույն թեորեմներից մեկը՝ Մենելայոսի թեորեմը, որն այլ կերպ հայտնի է «վեց բարձրությունների կանոն»{{sfn |История математики, том I|1970|էջ=141-142. }} անվանումով։ Մենելայոսի մյուս երկու հայտնագործությունները, որոնք ևս հիմնարար բնույթ ունեն, հետագայում անվանվեցին «չորս բարձրությունների կանոն» և «տանգենսների կանոն»<ref name=GPM33/>։

Մի քանի տասնամյակ անց [[Կլավդիոս Պտղոմեոս]]ն իր «Երկրաչափություն», «Անալեմա» և «Պլանիսֆերաներ» աշխատույթուններում տալիս է եռանկյունաչափական արտահայտությունների հստակ կիրառությունը [[Քարտեզագրություն|քարտեզագրության]], [[Աստղագիտություն|աստղագիտության]] ու [[մեխանիկա]]յի մեջ։ Այդ ամենի հետ մեկտեղ, գրքում նկարագրված է ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիան ու բացատրված՝ մի քանի կոնկրետ առաջադրանք. գտնել երկնային լուսատուի բարձրությունն ու ազիմուտը՝ կախված նրա թեքումից ու ժամային անկյունից։ Եռանկյունաչափության տեսանկյունից դա նշանակում է, որ պետք է գտնել սֆերիկ եռանկյան կողմը, ըստ մյուս երկու կողմերի ու հանդիպակաց անկյան{{sfn |Цейтен Г. Г.|1932|էջ=158-162. }}։

Պտղոմեոսը սֆերիկ երկրաչափությանն է նվիրել նաև առաջին գրքի՝ «Ալմեհեսթի» XIII գլուխը, ի տարբերություն Մենելայոսի, Պտղոմեոսը չի ներկայացրել իր պնդումների մեծ մասի ապացույցները, բայց մեծ ուշադրություն է դարձրել ալգորիթմերին, ինչը շատ անհրաժեշտ է աստղագիտության մեջ։ Որպես հիմնական կառուցվածք, լարերի փոխարեն «Ալմահեսթում» ծառայում է «Մենելայոսի քառանկյունը»։ Ուղղանկյուն սֆերիկ եռանկյան «լուծման» համար, այսինք եռանկյան բնութագրիչների որոշման համար, Պտղոմեոսը տվել է չորս թեորեմ։ Ժամանակաից տերմինալոգիայով դրանք ունեն հետևյալ տեսքը (<math>C</math> անկյունն ուղիղ է){{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=36-39.|name=GPM36 }}.
:: <math>\sin a = \sin c \cdot \sin A</math> ([[Սինուսների թեորեմ]]ի մասնավոր դեպք)
:: <math>\operatorname{tg} a = \sin b \cdot \operatorname{tg} A</math>
:: <math>\cos c = \cos a \cdot \cos b</math> ([[կոսինուսների թեորեմ]]ի մասնավոր դեպք)
:: <math>\operatorname{tg} b = \operatorname{tg} c \cdot \cos A</math>
Պարզաբանենք, որ սֆերիկ երկրաչափությունում եռանկյան կողմերն ընդունված է չափել ոչ թե գծային միավորներով, այլ նրա վրա հենված կենտրանական անկյան աստիճանային չափով։ Ժամանակակից սֆերիկ երկրաչափությունում կիրառում են ևս երկու հայտնի հարաբերակցույթուններ
: <math>\cos A = \cos a \cdot \sin B</math> (ևս հետևում է սֆերիկ երկրաչափության [[կոսինուսների թեորեմ]]ից)
: <math>\cos c = \operatorname{ctg} A \cdot \operatorname{ctg} B</math>
Պտղոմեոսի մոտ սրանք բացակայում են, քանի որ չեն հետևում Մենելեյի տեսությունից<ref name=GPM36/>.

== Միջնադար ==
=== Հնդկաստան ===
4-րդ դարում անտիկ գիտության վախճանից հետո մաթեմատիկայի զարգացման կենտրոնը տեղափոխվեց [[Հնդկաստան]]։ Հնդիկ մաթեմատիկոսների աշխատությունները՝ սիդհանթերը, ցույց են տալիս, որ նրանք քաջատեղյակ են եղել հույն երկրաբանների ու աստղագետների աշխատություններին{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=40-44.|name=GPM40 }}։ Հնդիկները քիչ էին հետաքրքրվում զուտ [[երկրաչափություն|երկրաչափությամբ]], բայց նրանց ներդրումը կիրառական [[աստղագիտություն|աստղագիտության]] ու եռանկյունաչափության հաշվարկման բնագավառների մեջ անփոխարինելի է։
[[Պատկեր:Old-trigonom.gif|250 px|thumb|Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշումը միջնադարյան մաթեմատիկայում]]
Առաջին հերթին հնդիկները փոխեցին եռանկյունաչափության բազմաթիվ հայեցակարգեր՝ այն մոտեցնելով ժամանակակից եռանկյունաչափությանը։ Նրանք անտիկ լարերի փոխարեն ուղղանկյուն եռանկյուններում ներմուծեցին սինուսները («սինուս» բառը [[սանսկրիտ]]ում ծագել է «աղեղնլարից»{{sfn |История математики в Средние века|1961|էջ=156-158.|name=KU156 }})։ Դրանով հնդիկներն սկսեցին եռանկյունաչափությունը դիտարկել որպես առանձին գիտություն, չնայած, ի տարբերություն հունական լարերի, հնդկական մոտեցումը վերաբերում էր միայն [[սուր անկյուն]]ներով ֆունկցիաներին{{sfn |Глейзер Г. И.|1982|էջ=81-82. }}։

Հնդիկները սինուսն այլ կերպ էին ընկալում, քան ժամանակակից մաթեմատիկայում (տե՛ս, նկար աջից)։ Սինուսի տակ ընկալվում էր AD հատվածի երկարությունը, որը հենված է R=3438 շառավղով (ինչպես [[Հիպարքոս]]ի մոտ) շրջանագծի AC լարի վրա։ Այդ կերպ անկյան «հնդկական սինուսը» 3438 անգամ մեծ էր ժամանակակից սինուսի արժեքից ու երկարության չափողականություն ուներ<ref name=KU156/>։ Այդ կանոնից կային, օրինակ՝ Բրահմագուտը անհայտ մեթոդներով գտել էր 3270 միավորի հավասար ռադիուս{{sfn |Scott J. F.|1958|էջ=50.|name=SC50 }}։

Հնդիկներն առաջինն էին, որ օգտագործեցին [[կոսինուս]]ը։ Կիրառվում էր նաև, այսպես կոչված, հակադարձ սինուսը, կամ [[սինուս-վերզուս]]ը, որը աջ մասի նկարում հավասար է DC հատվածի երկարությանը{{sfn |Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.|1978|էջ=79.|name=SM79 }}։

Ինչպես հույների, այնպես էլ հնդիկների մոտ եռանկյունաչափությունը զարգանում էր աստղագիտության, մոլորակների շարժման ու երկնային ոլորտի ուսումնասիրությունների համար։ Դա վկայում է այն մասին, որ նրանք լավ տեղյակ էին «Ալմահեսթ» և «Անալեմա» աշխատություններում նկարագրված սֆերիկ երկրաչափությանը, սակայն նրանք չէին գրել աշխատություններ եռանկյունաչափության վերաբերյալ{{sfn |Scott J. F.|1958|էջ=52.|name=SC52 }}։ Այնուամենայնիվ, աստղագիտական խնդրների լուծման բնագավառում հնդիկները ահռելի հաջողությունների են հասել<ref name=GPM40/>։ Օրինակ՝ Վարահամիհիրի ([[7-րդ դար]]) «Պանչա-սիդհանթիկայում» տրվում է Պտղոմեոսի կողմից նկարագրված աստղագիտական խնդրի յուրօրինակ լուծում. գտնել Արևի բարձրությունը հորիզոնից, եթե հայտնի է տեղանքի լայնությունը, [[Արեգակ]]ի թեքումն ու ժամային անկյունը։ Լուծման համար հեղինակը կիրառում է կոսինուսների թեորեմի անալոգը<ref>История математики, том I, 1970, с. 199-201.</ref>։ Հենց նա է առաջին անգամ ստացել կես անկյան սինուսի բանաձևը{{sfn |История математики в Средние века|1961|էջ=157.|name=KU157 }}։

[[Պատկեր:2064 aryabhata-crp.jpg|200 px|right|thumb|<center>Արիբհատոսի արձանը։ Աստղագիտության ու աստղաֆիզիկայի հնդկական միջհամալսաևային կենտրոն (IUCAA)</center>]]
[[Աստղագիտություն|Աստղագիտական]] հաշվարկների համար ստեղծվեցին եռանկյունաչափական աղյուսակներ։ Սինուսների առաջին (քառարժեք) աղյուսակները ստեղծել է Արիաբհատոսը՝ «Սուրիա-սիդահարթ» («Արիաբհատիա», [[5-րդ դար]])։ Արիաբհատոսի աղյուսակները պարունակում էին սինուսների ու սինուս-վերզուսների 24 արժեք, 3°45' միջակայքերով (սրա մի մասը արդեն կար [[Հիպարքոս]]ի աղյուսակում)։

Եռանկյունաչափության մեջ մեծ ներդրում ունեցավ Բրահմապուտրան ([[7-րդ դար]]), ով հայտնագործեց մի քանի եռանկյունաչափական հարաբերություններ, այդ թվում նաև նրանք, որոնք ժամանակակից տերմինալոգիայում ունեն հետևյալ տեսքը{{sfn |История математики, том I|1970|էջ=199-201.|name=U1-199 }}՝
:: <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1</math>
:: <math>\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)</math>

Բացի այդ, հնդիկները գիտեին բազմապատիկ անկյունների սինուսներ՝ <math>\sin n\varphi</math>, <math>\cos n\varphi</math>, <math>n = 2, 3, 4, 5</math> համար։ «Սուրիա-սիդահարթ»-ում օգտագործվում է սինուսների թեորեմի սֆերիկ տարբերակը, այդ թեորեմի վերջնական տեսքը սակայն հնդիկներին այդպես էլ չհաջողվեց տալ{{sfn |История математики в Средние века|1961|էջ=160.|name=KU160 }}։ Պատմաբանները հնդիկների մոտ հայտնաբերել են տանգենսի մասնակի օգտագործման դեպքեր, բայց այդ հասկացության կարևորությունը հասկացվեց ավելի ուշ իսլամական երկրների մաթեմատիկոսների կողմից<ref name=GPM40/>

Մեկ այլ հայտնի գիտնականի՝ Բհասկարա II-ի աշխատություններում ([[12-րդ դար]]), տրվում են անկյունների գումարների ու տարբերությունների սինուսների ու կոսինուսների տարբերությունների բանաձևերը.
:: <math>\sin (\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta,</math>
ինչպես նաև.
:: <math>\sin \alpha - \sin \beta \approx (\alpha - \beta)\cos \beta </math>
(<math>\alpha \approx \beta</math> դեպքում) որը համապատասխանում է սինուսի դիֆերենցման արտահայտությանը։ Հենվելով սինուսի գումարման բանաձևի վրա՝ Բհասկարան հարապարակեց Արիաբհատոսի եռանկյունաչափական աղյուսակի ավելի ճշգրիտ ու մանրամասն տարբերակը, 1° միջակայքով{{sfn |История математики в Средние века|1961|էջ=159. }}։

[[11-րդ դար]]ում մուսուլմանները (Մահմուդ Գազնեվի) գրավեցին ու ավերեցին Հյուսիսային Հնդկաստանը։ Մշակութային կենտրոնները տեղափոխվեցին Հարավային Հնդկաստան, որտեղ ձևավորվում էր այսպես կոչված «Կերալի դպրոցը» (Հնդկաստանի հարավում գտնվող Կերալի նահանգի անունից)<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Бахмутская Э. Я. |заглавие=Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV-XVIII вв. |год=1960 |издание=[[Историко-математические исследования]] |место=М. |издательство=Физматгиз |страницы=325-335. |номер=13}}</ref>։ 15-16-րդ դարերում Կերալի մաթեմատիկոսները աստղագիտական հետազոտությունների ժամանակ մեծ հաջողությունների հասան թվային շարքերի հետ առնչվող հաշվարկներում, այդ թվում նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաներում<ref name=KU160/>։ Անանուն «Կարանապադհատի» («Հաշվարկների տեխնիկա») տրակտատում տրված են սինուսներն ու կոսնուսները, անվերջ թվով շարքերի բաժանելու բանաձևեր<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Roy, Ranjan. |заглавие=Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory, and Nilakantha |год=1990 |издание=Mathematics Magazine |страницы=291–306 |автор издания=Math. Assoc. Amer. |выпуск=63 (5)}}</ref>, որոնք ամենայն հավանականությամբ դուրս են բերվել, դպրոցի Մեդհավ ([[15-րդ դար]]ի առաջին կես{{sfn |Plofker|2009}}) անունով գիտնականի ու նրա հետևորդ՝ Նիլականտի աշխատություններից։ Այդ բանաձևերից հեշտությամբ հնարավոր է ստանալ արկտանգենսը և անվերջ թվով շարքերի բաժանելու բանաձևերը։ Եվրոպայում նման արդյունքի են հասել միայն 17-18-րդ դարերում։ Այդ նույն ձևով [[Իսահակ Նյուտոն]]ը մոտավորապես [[1666]] թվականին կիրառում էր սինուսների ու կոսինուսների շարքերը, արկտանգենսը հայտնաբերեց Գրեգորին [[1671]] և Լեյբնիցը [[1673]] թվականին{{sfn |История математики, том I|1970|էջ=203. }}։

=== Իսլամական երկրներ ===
8-րդ դարում [[Մերձավոր Արևելք|Մերձավոր]] ու [[Միջին Արևելք|Միջին արևելք]]ի երկրներ հասան հին հունական ու հնդկական մաթեմատիկոսների ու աստղաբանների աշխատություններին։ Այդ աշխատությունները արաբերեն թարգմանելու գործով զբաղվել են 8-րդ դարի լեգենդար գիտնականներ [[Իբրահիմ Ալ-Ֆազարի]]ն և [[Յակուբ իբն Տարիկ]]ը։ Հետագայում նրանք ու նրանց սերունդնեը սկսեցին լայնորեն զբաղվել այդ տեսությունների մեկնաբանությամբ ու զարգացմամբ։ Ինչպես հնդիների, այնպես էլ իսլամական գիտնականների համար հետազոտման հիմնական կառուցվածքը եռանկյան սինուսն էր, կամ որ նույնն է՝ լարի կեսը շրջանագծի մեջ<ref name=SC52/>։

Նրանց աստղագիտական տրակտատները, հնդկական սիդհաների օրինակով, կոչվում էին «զիջեր». տիպիկ զիջն իրենից ներկայացնում էր աստղագիտական ու եռանկյունաչափական աղյուսակների հավաքածու, որտեղ աղյուսակները դասավորված էին օգտագործելիության{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=51-55.|name=GPM51 }}։ 8-13-րդ դարերի զիջերի ուսումնասիրությունները ցույց են տալիս, որ այդ ժամանակ եռանկյունաչափության վերաբերյալ գիտելիքներն արագորեն համալրվում էին։ Իսլամական գիտնականների համար առավել հետաքրքիր էր սֆերիկ եռանկյունաչափությունը, որի միջոցով հնարավոր էր իրականացնել աստղագիտական ու գեոդեզիական հաշվարկներ{{sfn |Хрестоматия по истории математики|1976|էջ=204-205 }}։ Լուծման ենթակա խնդիրների շարքում էին նաև{{sfn |История математики, том I|1970|էջ=236-238.|name=U1-236 }}<ref name=GPM51/>՝
::- Օրվա տևողության ստույգ որոշում։
::- Երկնային մարմինների հետագա դիրքերի հաշվարկները, դրանց ծագման ու մայր մտնելու ժամանակների որոշումը, 
::- [[Արևի խավարում|Արեգակի]] ու [[Լուսնի խավարում]]ները
::- Տվյալ վայրի աշխարհագրական կոորդինատների որոշումը
::- Քաղաքների ու տրված կոորդինատների միջև հեռավորությունների որոշումը
::- Մեկկուի դիրքի որոշումը սահմանված դիրքից։

[[Պատկեր:Old-tangens.gif|thumb|right|180px|Միջնադարյան արաբական մաթեմատիկայում տանգենսի, կոտանգենսի, սեկանսի ու կոսեկանսի որոշումը։ AD-ն գնոմոնն է (ուղղաձիգ՝ վերևում, հորիզոնական՝ ներքևում), OD հատվածը նրա ստվերն է]]
Պահպանված ամենահին աշխատություններից են [[Ալ-Խորեզմի]]ի ու Ալ Մարվազի (9-րդ դար) տեսությունները, ովքեր դեռևս հնդիկներին հայտնի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների՝ սինուսին ու կոսինուսին զուգահեռ ներմուծեցին նոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝ տանգենս, կոտանգենս, սեկանս, կոսեկանս<ref name=SM79/>։ Սկզբնապես այս ֆունկցիաներն այլ կերպ էին ընկալվում։ Այսպես, կոտանգենսի տակ ընկալվում էր ուղղաձիգ 12 (երբեմն 7) միավոր բարձրությամբ գնոմոնի ստվերի երկարությունը։ Սկզբում այս հաշվարկներն օգտագործվում էին արևային ժամացույցների հաշվարկների համար։ Տանգենս էր կոչվում հորիզոնական գնոմոնի ստվերը։ Սեկանս ու կոսեկանս էին կոչվում գնոմոնից ու նրա ստվերից առաջացած ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգերը (աջ մասի նկարում AO հատվածը){{sfn |История математики, том I|1970|էջ=234-235. }}։ Միայն [[10-րդ դար]]ում փիլիսոփա ու մաթեմատիկոս Ալ Ֆարաբին իր «Ալմահեսթի» մեկնաբանություններում նոմոնիկայից անջատ տվել է այդ հասկացությունների սահմանումները՝ դրանք որոշելով պտղոմեոսյան եռանկյունաչափական ռադիուսի սինուսներով ու կոսինուսներով (60 միավոր)։ Այս վեց ֆունկցիաների կապերը նույն հարյուրամյակում տվել է Ալ Բատանին։ Այս ամենն ընդհանրացրեց Աբու-ալ-Վաֆան 10-րդ դարի կեսերին։ Նա առաջինն էր, ով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հաշվարկների ժամանակ օգտագործեց միավոր շրջանագիծը, ինչպես ժամանակակից մաթեմատիկայում է։

[[Սաբիտ իբն Կուրա]]ն (9-րդ դար) և [[Ալ-Բատանի]]ն (10-րդ դար) առաջինը բացահայտեցին սինուսների հիմնական թեորեմը մասնավոր ուղղանկյուն սֆերիկ եռանկյան համար։ Սֆերիկ եռանկյան թեորեմի ապացույցը տվեցին (տարբեր եղանակներով, և, հավանաբար, միմյանցից անկախ) [[Աբու-յ-Վաֆա]]ն, [[ալ-Հուջանի]]ն ու [[իբն Իրաքի]]ն 10-րդ դարի վերջում{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=92-96. |name=MATV92 }}։ Իր մեկ այլ տրակտատում իբն Իրաքը ձևակերպել ու ապացուցել է սինուսների թեորեմը հարթ եռանկյան համար{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=111. }}։

Կոսինուսների թեորեմը իսլամական երկրներում սֆերիկ եռանկյան թեորեմը ձևակերված ու ապացուցված չէր, բայց Սաբիտ իբն Կուրայի, ալ-Բատանիի ու մյուս աստղաբանների աշխատանքներում կան դրան համարժեք պնդումներ։ [[Ռեգիոմոնտան]]ը, ով առաջինը տվեց այդ կարևորագույն կապվախության ձևակերպումը (15-րդ դար), դրան տվեց «Ալբատենիայի թեորեմ» (այն ժամանակ [[Եվրոպա]]յում այդպես էին անվանում ալ-Բատանիին){{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=96-98. }}։

[[Իբն Յունիս]]ը (10-րդ դար) բացահայտեց եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բազմապատկման{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=69. }} բանաձևերը, օրինակ.
:: <math>\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},</math>

Բազմապատկման բանաձևերը հնարավորություն տվեցին խուսափել արտադրիչների վերլուծման ժամանակատար հաշվարկներից։ Եվրոպայում այդ բանաձևերն օգտագործվեցին հակառակ նպատակով. գումարման ու հանման գործողությունները փոխարինում էին բազմապատկմամբ, որպեսզի արդյունքը գրանցեն [[լոգարիթմական աղյուսակ]]ում<ref>Хрестоматия по истории математики, 1976, с. 195-198,</ref>

Այդ ժամանակների գիտության կարևորագույն խնդիրներից էր հնարավորինս փոքր քայլով եռանկյունաչափական աղյուսակների ստեղծումը։ 9-րդ դարում Ալ-Խորեզմին ստեղծեց սինուսների աղյուսակ '''1°'''-ի հավասար քայլով։ Նրա ժամանակակից Խաբաշ ալ-Հասիբը (ալ-Մարվազի) դրան ավելացրեց տանգենսների, կոտանգենսների, կոսինուսների առաջին աղյուսակները (նույն քայլով)<ref name=SM79/>։ 10-րդ դարի սկզբում ալ-Բատանին հրապարակեց 30' աստիճանային չափի հավասար քայլով աղյուսակներ։ Նույն հարյուրամյակի վերջում Իբն Յունիսը կազմեց 1' քայլով աղյուսակներ{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|էջ=71-78. }}։ Աղյուսակներ կազմելու ժամանակ կարևորը <math>\sin 1^\circ</math>-ի արժեքի որոշումն էր։ Դրա մեծությունը չափելու մեթոդներն առաջարկել են Իբն Յունիսը, Աբու-լ-Վաֆան, ալ-Բիրունին։ 15-րդ դարում լավագույն արդյունքին հասավ ալ-Կաշին. իր աշխատություններից մեկում նա հաշվել է, որ <math>~\sin 1^\circ \approx 0{,}017452406437283571</math> (բոլոր նիշերը ճիշտ են)։ [[Սամարղանդ]]յան [[Ուլուգբեկի աստղադիտարան]]ում նրա մասնակցությամբ «Աստղագիտական աղյուսակները» կազմիելիս սինուսի արժեքը հաշվարկվել է վեց վեցական միավորներով{{sfn |Хрестоматия по истории математики|1976|էջ=195-198, }}, '''1'''' քայլով։ Ուգուլբեկ սուլթանը անձամբ է մասնակցել այդ գործին. նա հատուկ տրակտատ է գրել 1°-ի անկյան սինուսի հաշվման մասին։

[[Պատկեր:Nasir al-Din al-Tusi at observatory.jpg|250px|մինի|ձախից|[[Նասրեդին Թուսի]]]]
Եռանկյունաչափական առաջին մասնագիտացված աշխատությունը միջինասիացի գիտնական ալ-Բիրունիի (10-11-րդ դար) «Ատղագիտական գիտությունների բանալիների գիրք» (995-996 թվականներ) աշխատությունն է։ Եռանկյունաչափության ամբողջ կուրսը պարունակում էր ալ-Բիրունիի գլխավոր աշխատությունը՝ «Կանոն Մասուդա» (գիրք III)։ Բացի սինուսների աղյուսակից (15' քայլով) Ալ-Բիրունին տվել է նաև տանգենսների աղյուսակը (1° քայլով)։ Գաղափարապես Բիրունիի աշխատությունները մոտ են պտղոմեոսյաններին. աղեղների լեզվով նա ձևակերպում է կրկնակի ու կես սինուսների, անկյունների գումարի ու տարբերության սինուսների մասին թեորեմները{{sfn |Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.|1978|էջ=82. }}։ Ալ-Բիրունի գիրքը ցույց է տալիս նաև կանոնավոր ներգծյալ իննանկյան կառուցումն ու դրա կողմի երկարության մոտավոր որոշումը. այդ ալգորիթմը նա օգտագործում է <math>~\sin 1^\circ</math> ստացման համար։ Մեկ այլ աշխատությունում՝ «Գեոդեզիայում», Բիրունին հաղորդում է երկրային զենիթի սեփական հաշվումների արդյունքները, որոնք մոտ էին իրականին (մետրական համակարգով Բիրունին ստացել էր 6340 կմ){{sfn |Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.|1978|էջ=88. }}։

Եռանկյունաչափության, որպես առանձին գիտության հիմնարար հասկացությունները (ինչպես հարթաչափական, այնպես էլ սֆերիկ) տվել է պարսիկ մաթեմատիկոս ու աստղաբան [[Նասրեդին Թուսի]]ն [[1260]] թվականին<ref>''Туси Насирэддин''. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.</ref>։ Նրա «Աշխատություն ուռուցիկ քառանկյան մասին» աշխատությունը պարունակում է տիպիկ խնդիրների՝ այդ թվում բարդ վարժությունների պրակտիկ լուծումներ, որոնք լուծել է հենց աթ-Թուսին, օրինակ՝ սֆերիկ եռանկյան կառուցումն ըստ տրված երեք անկյունների{{sfn |Рыбников К. А.|1960|էջ=105. }}։ Ձևակերպված է տանգենսների թեորեմը սֆերիկ եռանկյունների համար, նկարագրված է կարևոր բևեռային եռանկյուններ հասկացությունը (առաջին անգամ օգտագործել են 11-րդ դարում Իբն Իրաքին ու ալ-Ջայանին)։ Աթ-թուսիի աշխատությունները լայնորեն հայտնի են եղել Եվրոպայում ու խստորեն ազդել են եռանկյունաչափության հետագա զարգացման վրա։

Այդ կերպ, 13-րդ դարի վերջում արդեն հայտնաբերվեցին եռանկյունաչափության հիմնական բովանդակությունը կազմող հիմանարար տեսությունները։
: - Եռանկյունաչափական կամայական ֆունկցիայի ներկայացումը ցանկացած այլ ֆունկցիայի տեսքով։
: - Սինուսների ու կոսինուսների բազմապատիկ ու կես անկյունների բանաձևերի, նաև անկյունների գումարի ու տարբերության սինուների ու կոսինուների բանաձևերի արտածումը։
: - Սինուսների ու կոսինուսների թեորեմները։
: - Հարթաչափական ու սֆերիկ եռանկյունների հաշվումը։
Հանրահաշվական սիմվոլիկայի բացակայության պատճառով այս բոլոր թերորեմները ներկայացվել են բառերով, չեն ունեցել բանաձևային արտահայտություն։ Մյուս առումներով դրանք լիովին համապատասխանում են ժամանակակից տարբերակներին։

=== Եվրոպա ===
[[Պատկեր:Johannes Regiomontanus2.jpg|300px|մինի|Ռեգիոմոնտանուս]]
Երբ [[12-րդ-րդ դար|12]]-[[13-րդ դար]]երում արաբական տրակտատները հասան լատինական երկրներ հնդիկ ու պարսիկ մաթեմատիկոսների բազմաթիվ գաղափարներ դարձան եվրոպական գիտության հաջողությունները։ Ամենայն հավանականությամբ եվրոպացիների առաջին ծանոթությունը եռանկյունաչափության հետ տեղի ունեցավ [[Ալ-Խորեզմի]]ի զիջու շնորհիվ, որի երկու թարգմանությունները կատարվել են [[12-րդ դար]]ում։ Սկզբնական շրջանում [[Եռանկյունաչափություն|եռանկյունաչափության]] վերաբերյալ վկայությունները (նրա օգտագործման կանոններ, որոշ [[եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]ի աղյուսակներ) հայտնվել են [[Աստղագիտություն|աստղագիտության]] վերաբերյալ աշխատություններում, սակայն [[Ֆիբոնաչի]]ի «Երկրաչափության կիրառություն» աշխատությունում, որը գրվել է [[1220]] թվականին, եռանկյունաչափությունը ներկայացված է, որպես [[Երկրաչափություն|երկրաչափության]] բաժին։ Առաջին եվրոպական աշխատությունը, որն ամբողջությամբ նվիրված է եռանկյունաչափությանը, հաճախ անվանում են «Չորս տրակտատ ուղիղների ու լարերի հարաբերությունների մասին»։ Այն գրել է անգլիացի աստղաբան Ռիչարդ Ուոլլինգֆորդը (մոտավորապես [[1320]] թվական)։ Գիրքը պարունակում է եռանկյունաչափական նույնությունների ապացուցների շարք և սինուսների հաշվման յուրօրինակ մեթոդներ։ Մոտավորապես նույն թվականներին է գրվել նաև հրեա մաթեմատիկոս [[Լևի բեն Գերշոմ]]ի (Գերսոնիդես) «Սինուսների, լարերի ու աղեղների մասին» աշխատությունը, որը լատիներեն թարգմանվել է 1342 թվականին<ref group="Ն">Այդ տրակտատը ներառված էր «Աստղագիտության» կազմում, «Աստծո պատերազմներ» թեոլոգափիլիսոփագիտական տրակտատի վեց ֆունդամենտալ մասերից մեկն է։ Գերսոնիդեսն այդ աշխատությանն է նվիրել իր ողջ կյանքը</ref>։ Գիրքը պարունակում է [[սինուսների թեորեմ]]ի ապացույցն ու սինուսների հնգանիշ աղյուսակներ<ref>''Rabinovich, Nachum L.'' Рабби Леви бен Гершом и происхождение метода математической индукции. = Rabbi Levi ben Gershom and the origins of mathematical induction // Archive for History of Exact Sciences. - 1970. - В. 6. - С. 237-248.</ref>։ Եռանկյունաչափությունը շոշափվում է նաև անգլիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Բրադվարդինի «Տեսական երկրաչափություն» աշխատությունում (գրվել է [[14-րդ դար]]ի առաջին կեսում, հրապարակվել է [[1495]] թվականին)։ Եռանկյունաչափական աղյուսակները, որոնք առավել հաճախ թարգմանվում էին արաբերենից, իսկ երբեմն էլ օրիգինալ, պարունակվում էին նաև [[14-րդ դար|14]]-[[15-րդ դար]]երի այլ հեղինակների աշխատություններում։ Հենց այդ ժամանակ էլ եռանկյունաչափությունը մտավ կրթական համակարգ։

Խոշոր ձեռքբերում էր Ռեգիոմոնտանի «Հինգ գիրք բոլոր տեսակների եռանկյունների ամսին» մենագրությունը (հրատարակված՝ [[1462]]-[[1464]]), որում ներկայացված էին այդ ժամանակ հայտնի հարթաչափական ու գնդային [[եռանկյուն]]երի մասին տեսություններն ու եռանկյունաչափական բանաձևերը, նաև սինուսների (1' քայլով) ու տանգենսների (1° քայլով) յոթանիշ աղյուսակներտը։ Պակաս կարևոր չէ նաև այն, որ Ռեգիոմոնտանի աղյուսակներում աստղագիտական ավանդույթի խախտմամբ առաջին անգամ օգտագործվել է տասական համակարգը։ Եռանկյունաչափական շրջանի շառավիղը Ռեգիոմոնտանն ընդունել է <math>10^7</math>-ին հավասար, որպեսզի աղյուսակաին տվյալները ամբողջ թվեր լինին (տասնորդական կոտորակներն ավելի ուշ ի հայտ եկան, ընդ որում դրանց ներմուծման հիմնական դրդապատճառը [[Եռանկյունաչափական նույնություններ|եռանկյունաչափական բանաձևեր]]ն էին{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|էջ=14, 30-31. }})։

Աթ-Թուսիի աշխատության կհամեմատ Ռեգիոմոնտանի աշխատութունն ավելի ընդհանրացված էր, պարունակում էր նոր վարժությունների ցանկ, որոնք լուծվել են յուրօրինակ մեթոդներով։ Օրինակ, ցուցադրվում է, թե ինչպես կառուցել եռանկյունը, եթե հայտնի է նրա մի կողմը, նրան տարված բարձրությունն ու հանդիպակաց անկյունը{{sfn |Цейтен Г. Г.|1932|էջ=223-224.|name=ZGG223 }}։

== Նոր ժամանակներ ==
=== 16-17-րդ դարեր ===
[[Պատկեր:Ferdinand Bol - Portret van een mathematicus.jpg|300px|մինի|ձախից|[[Ֆերդինանդ Բոլ]], Մաթեմատիկոսի դիմանկարը ([[1658]]): Պատի դիագրամը ցույց է տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, որոնք որոշվել են միավոր շրջանագծով ]]
Նոր ժամանակներում եռանկյունաչափության զարգացումը չափազանց կարևոր էր ոչ միայն աստղաբանության ու աստղագիտության զարգացման համար, այլ նաև այլ ոլորտների համար, այդ թվում հրետանու, օպտիկայի, ծովային հեռավոր ճանապարհորդությունների կազմակերպման համար։ Այդ իսկ պատճառով [[16-րդ դար]]ում այդ թեմայով սկսեցին զբաղվել այնպիսի մեծանուն գիտնականներ, ինչպիսիք են [[Նիկոլայ Կոպեռնիկոս]]ը, [[Յոհան Կեպլեր]]ը, [[Ֆրանսուա Վիետ]]ը։ Կոպեռնիկոսը եռանկյունաչափությանն է նվիրել իր «Երկնայի գնդերի պտույտի մասին» ([[1543]]) տրակտատի երկու գլուխներ։ Շուտով ([[1551]]) հայտնվեցին [[Կոպեռնիկոս]]ի աշակերտի՝ Ռետիկի տասնհինգանիշ եռանկյունաչափական աղյուսակները՝ 10" քայլով{{sfn |История математики, том I|1970|էջ=320. }}։ [[1604]] թվականին [[Կեպլեր]]ը հրապարակում է «Աստղագիտության օպտիկական մաս» աշխատությունը։

Բարդ եռանկյունաչափական հաշվարկների անհրաժեշտություն առաջացավ [[17-րդ դար]]ի սկզբում, լոգարիթմների հայտնաբերմամբ։ Ընդ որում, [[Ջոն Նեպեր]]ի առաջին լոգարիթմական աղյուսակները պարունակում էին միայն [[եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]ի [[լոգարիթմ]]ներ։ Նեպերի այլ հայնտագործությունների ցանկում կարևոր էին սֆերական եռանկյունների լուծման նպատակահարմար մեթոդները, որոնք ստացել են «Նեպերի անալոգիայի բանաձևեր» անվանումը<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Степанов Н. Н. |заглавие=Сферическая тригонометрия |год=1948 |часть=§42. Формулы «аналогии Непера» |место=М.-Л. |издательство=[[ОГИЗ]] |страницы=87-90 |страниц=154}}</ref>։

«Եռանկյունաչափություն» տերմինը, որպես մաթեմատիկական դիսցիպլինա ներմուծել է գերմանացի մաթեմատիկոս Պիտիսկուսը, իր [[1595]] թվականին հրապարակված «Եռանկյունաչափություն, կամ համառոտ ու պարզ աշխատություն եռանկյունների լուծման մասին» ({{lang-lat|Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus}}) գրքում։ 17-րդ դարի վերջում ի հայտ եկան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակակից անվանումները։ «Սինուս» եզրույթն առաջին անգամ, մոտավորապես 1145 թվականին օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկոս ու արաբագետ Ռոբերտ Չեստերսկին<ref name=KU156/>։ Ռեգիոմոնտանն իր աշխատությունում կոսինուսն անվանել է «լրացման սինուս» ({{lang-lat|sinus complementi}}), քանի որ <math>~\cos x = \sin(90^\circ - x)</math>; նրա հետևորդները 17-րդ դարում այդ անվանումը կրճատեցոին ու դարձրին ''co-sinus'' (Էդմունդ Հունթեր){{sfn |Глейзер Г. И.|1982|էջ=79, 84. |name=GL79 }}, իսկ ավելի ուշ՝ ''cos'' (Ուիլիամ Օտրեդ)։ Տանգենսի ու սեկանսի անվանումները [[1583]] թվականին առաջարկել է դանիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Ֆինկը ({{lang-en|Thomas Fincke}})<ref name=GL79/>, իսկ վերոնշյալ Էդմունդ Գունտերը ներմուծեց կոտանգենսի ու կոսեկանսի անվանումները։ «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ» եզրույթն առաջին անգամ օգտագործել է Գեորդ Սիմոն Կլյուգելը{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|էջ=341-343.|name=WIL341 }} իր «Անալիտիկ եռանկյունաչափություն» ([[1770]]) աշխատությունում։

[[Պատկեր:Triangle (1).png|thumb|250px|right|<center>Եռանկյան ստանդարտ նշանակումները</center>]]
Թոմաս Ֆինկն առաջարկել է գեոդեզիական խնդիրների յուրօրինակ լուծում՝ գտնել եռանկյան անկյունները, եթե հայտնի է նրանց գումարը՝ <math>\alpha+\beta</math> և հանդիպակաց կողմերի հարաբերությունը՝ <math>a:b</math>: Լուծման համար Ֆինկն օպգտագործել է Ռեգիոմոնտանի բանաձևը (տես նկարը){{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|էջ=126-127. }}։
: <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}} {\operatorname{tg}\frac{\alpha-\beta}{2}}</math>

Վիետն իր «Մաթեմատիկական կանոնի» (1579) առաջին մասում ներառել է տարբեր աղյուսակներ, այդ թվում նաև եռանկյունաչափականներ, իսկ երկրորդ մասում տվել է հարթաչափական ու սֆերիկ եռանկյունաչափական հասկացությունների կապերի բանաձևեր, սակայն առանց ապացույցների։ 1593 թվականին Վիետը պատրաստեց այդ աշխատության ընդլայնված, ավարտուն տեսքը։ 
{{քաղվածք|Կասկած չկա, որ նրա հետաքրքրությունը հանրահաշվի բնագավառում պայմանավորված էր աստղագիտության ու եռանկյունաչափության մեջ դրա լայն կիրառությամբ{{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|էջ=129.|name=ZGG129 }}|}}

Վիետի հաջորդ կարևորագույն ներդրումը եռանկյունաչափության մեջ հանրահաշվական սիմվոլիկայի ներմուծումն էր. եթե նախկինում առաջադրանքի լուծումը երկրաչափական գծագրի կառուցումն էր, ապա այժմ, սկսած Վիետի աշխատությունից լուծումը սկսում է ձեռք բերել նաև հանրահաշվական տեսք{{sfn |Александрова Н. В.|2008|էջ=189.|name=AL189 }}։ Սիմվոլիկայի ներմուծումը հնարավորություն տվեց կոմպակտ ձևով ներկայացնել [[եռանկյունաչափական նույնություններ]]ը, օրինակ բազմապատիկ անկյան բանաձևերը{{sfn |Рыбников К. А.|1960|էջ=125. }}՝
: <math>\cos m\alpha = \cos ^{m} \alpha - \frac{m(m-1)}{1\cdot 2}\cos ^{m-2} \alpha \cdot \sin ^2 \alpha + \dots</math>
: <math>\sin m\alpha = m \cos ^{m-1} \alpha \cdot \sin \alpha - \frac{m(m-1)(m-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cos ^{m-3} \alpha \cdot \sin ^3 \alpha + \dots</math>

Պետք է նշենք, որ հենց ինքը Վիետը այս բանաձևերը սկզբնական շրջանում մասամբ բառային տեսքով է տվել, բայց դրա հետ մեկտեղ պարզորեն ցույց է տվել կապը բանաձևերի գործակիցների ու բինոմալ գործակիցների միջև։ Նա նաև տվել է աղյուսակ <math>m</math>-ի ոչ մեծ արժեքների համար<ref name=ZGG129/>։

Վիետի այլ ձեռքբերումներից{{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|էջ=130-132. }}. «Լրացումներ երկրաչափությանը» աշխատությունում Վիետն առաջարկել է խորանարդական հավասարման եռանկյունաչափական նոր լուծում։ Վիետը տվել է պատմության մեջ առաջին անվերջ հավասարումը՝
: <math>\frac{2}{\pi} = \cos \frac{90^\circ}{2} \cdot \cos \frac{90^\circ}{4} \cdot \cos \frac{90^\circ}{8} \dots</math>

[[Պատկեր:Mountain height by triangulation.svg|thumb|250px|right|<center>Բարձրության չափումը</center>]]

Բացի հրետանուց ու տեղորոշումից, եռանկյունաչափությունը արագորեն տարածվել է նաև գեոդեզիայում։ Տանգենսների լայն կիրառությունը բացատրվում է նրանով, որ դրանցով հեշտ է լեռների կամ շենքների բարձրությունների որոշումը (տե՛ս նկարը)՝
: <math> h = \frac{\operatorname{tg}\alpha\ \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha} \,l</math>

[[1615]] թվականին Սնելիուսը գտավ «Սնելիուսի-Պոնտոյի առաջադրանքի» լուծումը. գտնել կետը, որից տրված (հարթ) եռանկյան կողմերը երևում են տրված անկյան տակ։ Նա նաև բացահայտել է [[լույսի բեկման օրենք]]ը. տրված սկզբնական ու բեկվող ճառագայթների համար անկման ու բեկման անկյունների սինուսների հարաբերությունը հաստատուն է։ Հենց դրանով էլ Սնելիուսը բացահայտեց օպտիկայում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կիրառման նոր ճանապարհը, իսկ նույն թվականին հայտնագործված աստղագիտակն էլ ավելի մեծացրեց Սնելիուսի գյուտի նշանակությունն ու կարևորությունը։

[[Պատկեր:Durer sine wave.jpg|250px|մինի|ձախից|[[Սինուսոիդ]]ն [[Ալբրեխտ Դյուրեր]]ի գրքում ([[1525]])]]
Սինուսոիդի առաջին գրաֆիկը հայտնվել է Ալբրեխտ Դյուրերի «Կարկինով ու քանոնով չափումների ուղեցույց» ({{lang-de|Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt}}, 1525 թվական)<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Хайрер Э., Ваннер Г |заглавие=Математический анализ в свете его истории |год=2008 |место=М. |издательство=Научный мир |страницы=42 |страниц=396 |isbn=978-5-89176-485-9}}</ref> աշխատությունում։ [[1630]]-ական թվականներին Ժիլ Ռոբերվալը, իր ցիկլոիդների ուսումնասիրության արդյունքում, անկախ իր իսկ կամքից գծագրում է սինուսոիդ{{sfn |Глейзер Г. И.|1982|էջ=86. |name=GL86 }}, հենց նա է հրապարակել կրկնակի անկյան տանգենսի բանաձևը{{sfn |Глейзер Г. И.|1983|էջ=60.|name=G9-60 }}։ Ջոն Վալլիսն իր «Մեխանիկայում» ([[1670]]) ճշգրտորեն ներկայացրել է յուրաքանչյուր քառորդում սինուսի նշանը և ցույց է տվել, որ սինուսոիդն անվերջ պարբերական ֆունկցիա է։ Տանգենսի գրաֆիկն առաջին քառորդի համար առաջինը տվել է Ջեյմս Գրեգորին ([[1668]]){{sfn |Вилейтнер Г.|1960|էջ=324-325. }}:

[[17-րդ դար]]ի երկրորդ կեսում կտրուկ զարգացում սկսվեց կվադրատուրայի (այսինքն, մակերեսների հաշվման) բնագավառում, որն ավարտվեց դարի վերջում մաթեմատիկական անալիզի առաջացմամբ։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար կարևոր էին այդ շրջանի սկզբում [[Բլեզ Պասկալ]]ի հայտնագործությունները (հրապարակված իր «Ա. Դետոնվիլի նամակները իր մի քանի երկրաչափական հայտնագործությունների մասին» գրքում, [[1659]] թվական)։ Ժամանակակից տերմինալոգիայով Պասկալը հաշվեց սինուսի ու կոսինուսի ու դրանց հետ կապված այլ մեծությունների դրական աստիճանների ինտեգրալները{{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|էջ=283-288. }}, նաև նշեց, որ <math>~d(\sin x) = \cos x\ d x</math>: Եռանկյունաչափության բնագավառում աշխատանքներ տարել են 17-րդ դարի այնպիսի նշանավոր մաթեմատիկոսներ ինչպիսիք են Օտրեդը, Հյուգենսը, Օզանամը, Վալլիսը։ 17-րդ դարի երկրորդ կեսում նշանավոր պրոցես էր եռանկյունաչափության հանարահաշվացումը, դրա սիմվոլիկայի կատարելագործումն ու պարզեցումը (չնայած Էյլերից առաջ սիմվոլիկան ավելի բարդ էր քան այժմ){{sfn |Вилейтнер Г.|1960|էջ=327-335. }}

=== 18-րդ դար ===
[[Մաթեմատիկական անալիզ]]ի հայտնագործումից հետո, սկզբում [[Ջեյմս Գրեգորի]]ն, հետո [[Իսահակ Նյուտոն]]ը ստացան [[եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]ի (ինչպես նաև նրանց հակադարձների) հետազոտությունները անվերջ շարքերում։ [[Նյուտոն]]ը եռանկյունաչափական ու երկրաչափական խնդիրներին է նվիրել իր «Համալսարանային թվաբանություն» գրքի 10 առաջադրանք{{sfn |История математики, том III|1972|էջ=205-209.|name=U3-205 }}։ Օրինակ, X առաջադրանքում պահանջվում է «լուծել եռանկյունը», եթ հայտնի են նրա մի կողմը, դրա դիմացի անկյունն ու մյուս երկու կողմերի գումարը։ Նյուտոնի առաջարկած մեթոդն իրենից ներկայացնում է Մոլվեյդի բանաձևերից մեկը։{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|էջ=331. }}

Լեյբնիցը խիստ ապացուցել է, որ <math>\sin x</math>-ը չի կարող հանրահաշվորեն արտահայտվել լինել <math>x</math>-ով, այսինքն, ժամանակակից տերմինալոգիայով ասած եռանկյունաչափական ֆունցիաները տրանսցենդենտ են{{sfn |Цейтен Г. Г.|1938|էջ=419. }}։

18-րդ դարեսկզբի կարևորագույն հայտնագործություններն են՝
: - Անկյունների ռադիանային չափերի հայտնագործումն ու տարածումը<ref>{{Cite web |last1=O'Connor |first1=J. J. |last2=Robertson |first2=E. F. |date=2005 թ․ փետրվար |title=Biography of Roger Cotes |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Cotes.html |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/6AuwvrfcU?url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Cotes.html |archivedate=2012 թ․ սեպտեմբերի 24 |accessdate=2015 թ․ հունվարի 10 |work=The MacTutor History of Mathematics}}</ref> (Ռոջեր Քոթս, 1714)։ Ինքը տերմինը՝ Ռադիանը, առաջացել է ավելի ուշ, 1873 թվականին, առաջարկել է Ջեյմս Թոմսոնը{{sfn |Александрова Н. В.|2008|էջ=152. }}։
: - Կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական տեսքի ներկայացումն ու Մուավրի բանաձևը։
:: <math>(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n\varphi + i \sin n\varphi \ </math>
: - Կոորդինատների բևեռային համակարգի ([[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|դեկարտյանի]] հետ եռանկյունաչափական հարաբերություններով կապված) օգտագործման սկիզբը (Նյուտոն և Գրեգորի), ընդհանուր օգտագործման համար այս համակարգը հարմարեցրեց Էյլերը (1748){{sfn |Александрова Н. В.|2008|էջ=80-81. }}։
[[1706]] թվականին շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Գերմանը հրապարակեց անկյունների գումարի ու բազմապատիկ անկյունների տանգենսների հաշվման բանաձևերը, իսկ Յոհան Լամբերտը [[1765]] թվականին ստացավ չափազանց կարևոր բանաձևեր, որոնք եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտահայտում են կես անկյան տանգենսի բանաձևով{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|էջ=322, 329. }}։ Ուսումնասիրելով հիպերբոլական ֆունկցիաները ([[1761]]), Լամբերտը ցույց տվեց, որ դրանց հատկությունները անալոգային են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ; դրա պատճառը դեռ [[1707]] թվականին նկատել էր [[Աբրահամ դը Մուավր|Մուավրը]]{{sfn |Александрова Н. В.|2008|էջ=207. }}։

Գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆրիդրիխ Վիլհելմ ֆոն Օփելը «Եռանկյունների անալիզ» գրքում ([[1746]]) հրապարակեց Մոլվեյդի բանաձևերի ժամանակակից տեսքերը{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|էջ=334. }}։

«Բազմանկյունաչափություն» ([[1789]]) գրքում [[Սիմոն Լյուիլյե]]ն ընդհանրացնում է եռանկյունաչափական հարաբերությունները եռանկյունների համար, տալով դրանց արտահայտությունները նաև այլ կանոնավոր բազմանկյունների համար, ներառյալ տարածականները։ Այս թեմայով աշխատանքներ տանելիս Լյուիլյեն հանգեց եռանկյունաչափության հիմնական թեորեմներից մեկին. բազմանիստի յուրաքանչյուր նիստի մակերեսը հավասար է մյուս նիստերի մակերեսների ու առաջին նիստի հետ նրանց կազմած անկյան կոսինուսի արտադրյալների գումարին։ Նա դիտարկել է <math>n</math> հատ կողմ ունեցող «բազմանկյունների լուծման» տարբեր եղանակներ տրված հնարավոր տարբեր դեպքերով. տրված է <math>~n-1</math> կողմ և <math>~n-2</math> անկյուն, կամ բոլոր անկյուններն ու <math>~n-2</math> կողմ, կամ բոլոր կողմերն ու <math>~n-3</math> անկյուն{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|էջ=345. }}։

[[1798]] թվականին [[Ադրիեն Մարի Լեժանդր|Լեժանդր]]ն ապացուցեց, որ եթե սֆերիկ եռանկյան չափերը փոքր են սֆերայի շառավղի համեմատ, ապա եռանկյունաչափական խնդիրների լուծման համար կարելի է կիրառել հարթ եռանկյունների բանաձևերը<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Степанов Н. Н. |заглавие=Сферическая тригонометрия |год=1948 |издание=Изд. 2-е |место=М.-Л. |издательство=ГИТТЛ |страницы=139-143 |страниц=154}}</ref>։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձերը ''arc''-ի ({{lang-lat|arcus}}՝ աղեղ) միջոցով ներկայացնելու մեթոդն առաջարկել է ավստրիացի մաթեմատիկոս Կարլ Շերֆերը ({{lang-en|Karl Scherffer}}, [[1716]]-[[1783]]), բայց ամրապնդվել է Լեժանդրի շնորհիվ։ Ի նկատի ունեին, որ, օրինակ, եթե սինուսը թույլ է տալիս շրջանագծի աղեղի միջոցով հաշվել լարի երկարությունը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան թույլ կտար հաշվել հակառակը։ 16-րդ դարի անգլիական ու գերմանական մաթեմատիկական դպրոցներն այլ նշանակումներ առաջարկեցին՝ <math>\sin^{-1}, \frac{1}{\sin}</math>, բայց դրանք չկիրառվեցին{{sfn |Александрова Н. В.|2008|էջ=211. }}։

==== Լեոնարդ Էյլերի բարեփոխումները ====
[[Պատկեր:Leonhard Euler 2.jpg|300px|մինի|[[Լեոնարդ Էյլեր]]]]
[[Եռանկյունաչափություն|Եռանկյունաչափության]] ժամանակակից տեսքը տվել է [[Լեոնարդ Էյլեր]]ը։ «Ներդրումներ անվերջների անալիզում» ([[1748]]) տրակրտատում Էյլերը տվել է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշումները, որոնք համարժեք են ժամանակակիցներին<ref name=U3-205/>, և համապատասխանաբար որոշեց հակադարձները։ Եթե նրա նախորդները սինուսն ու մյուս հասկացությունները երկրաչափորեն ընկալերին, այսինքն, որպես շրջանագծի կամ եռանկյան գծեր, ապա Էյլերի աշխատանքներից հետո <math>\sin x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\operatorname{tg} x</math> և մյուսները կդիտարկվեին, որպես իրական ու կոմպլեքս փոփոխականների առանց չափերի անալիտիկ ֆունկցիաներ։ [[Կոմպլեքս թիվ|Կոմպլեքս]] դեպքերի համար նա ստացավ կապը [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|եռանկյունաչափական ֆունկցիա]]յի ու տրված ֆունկցիայի մեջ (Էյլերի բանաձև)։ Էյլերի մոտեցումը համընդհանուր ընդունման արժանացավ ու մտավ դասագրքեր։

[[Լեոնարդ Էյլեր|Էյլեր]]ը հետազոտել էր ինչպես թույլատրելի բացասական անկյունները, այնպես էլ 360°-ից մեծ անկյունները, ինչը հնարավորություն էր տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներկայացնել ամբողջ թվային առանցքում, իսկ հետո շարունակել կոմպլեքս հարթությունում։ Երբ առաջացավ բութ անկյուններում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կիրառման հարցը, պարզ դարձավ, որ մինչև Էյլերը նշանների մի մասը սխալ էր որոշված։ Օրինակ, շատ մաթեմատիկոսներ կարծում էին, որ բութ անկյան կոսինուսն ու տանգենսը դրական են<ref name=GL86/>։ Էյլերը որոշեց այդ ֆունկցիաների նշանները տարբեր կոորդինատային վանդակների համար{{sfn |История математики, том III|1972|էջ=323. }}։

[[Լեոնարդ Էյլեր|Էյլեր]]ն առաջինն էր, ով [[եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]ը ներկայացրեց անվերջ արտադրիչների տեսքով ([[1734]]), որից էլ ստացավ դրանց լոգարիթմերը{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|էջ=148, 336. }}։

Այլ աշխատություններում, առաջին հերթին «Սֆերիկ եռանկյունաչափության հիմքեր, մաքսիմումներով ու մինիմումներով» ([[1753]]) և «Համընդհանուր սֆերիկ եռանկյունաչափություն, պարզ ու համառոտ ներկայացված սկսած սկզբնաղբյուրներից» ([[1779]]), Էյլերն առաջին անգամ տվեց սֆերիկ եռանկյունաչափության լրիվ համակարգված հիմքերը{{sfn |История математики, том III|1972|էջ=209-215.|name=U3-209 }}, ընդ որում խոշոր հայտնագործությունների մի մասը պատկանում են հենց Էյլերին։

[[18-րդ դար]]ի կեսերին այրվեց իր հետևանքներով շատ կարևոր «վեճ լարի մասին»-ը<ref name="MATENC_TR"/>։ Լեդամբերի հետ բանավեճի ժամանակ Էլյերն առաջարկեց ֆունկցիայի ավելի ընդհանուր որոշումը, քան ընդունված էր նախկինում, մասնավորապես, ֆունկցիան կարող էր ներկայացվել եռանկյունաչափական շարքի տեսքով։ Իր աշխատություններում Էյլերն օգտագործել է որոշ հանրահաշվական ֆունկցիաների ներկայացումները եռանկյունաչափական շարքի տեսքով, օրինակ՝{{sfn |Паплаускас А. Б.|1966|էջ=7, 15.|name=PAP7 }}

: <math>\frac{\pi - x}{2} = \sin x + \frac{\sin 2 x}{2} + \frac{\sin 3 x}{3}\dots</math>
Եռանկյունաչափական շարքերի ընդհանուր ուսումնասիրությամբ Էյլերը չի զբաղվել ու ստացված շարքերի համատեղելիությունը չի ուսումնասիրել, բայց ստացել է մի շարք կարևոր հետևանքներ։ Մասնավորապես, նա ստացել է սինուսի ու կոսինուսի ամբողջ աստիճանների բանաձևերը<ref name=PAP7/>։

==== Եռանկյունաչափությունը Ռուսաստանում ====
Ռուսաստանում առաջին եռանկյունաչափության վերաբերյալ գրառումները կատարվել են «Լոգարիթմերի, սինուսների, կոսինուսների ու տանգենսների աղյուսակներ» գրքում, որը հրապարակվել է Լ. Ֆ. Մագնիցկու ներկայությամբ [[1703]] թվականին<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm |автор=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]] |заглавие=История математики в школе |год=1964 |место=М. |издательство=Просвещение |страницы=287 |страниц=376 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171204234104/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm |archive-date=2017-12-04}}</ref>։ 1714 թվականին հայտնվեց «Երկրաչափության պրակտիկա» բովանդակային ձեռնարկը՝ ռուսական առաջին եռանկյունաչափական դասագիրքը, որը հիմնված է հրետանային, տեղորոշման ու գեոդեզիական առաջադրանքների վրա<ref>См.: ''Юшкевич А. П.'' Главы по истории математики в средние века. - В кн.: История естествознания в России. М.: 1957, т. I, с 45-48.</ref>։ Ռուսաստանում եռանկյունաչափական գիտելիքների յուրացման շրջանի ավարտ կարելի է համարել Մ. Ե. Գոլովինի (Էյլերի աշակերտը) «Հարթ ու սֆերիկ եռանկյունաչափությունները հանրահաշվական ապացույցներով» ([[1789]])։

[[18-րդ դար]]ի վերջում [[Սանկտ Պետերբուրգ]]ում հիմնադրվեց եռանկյունաչափական հատուկ դպրոց (Ա. Ի. Լեկսել, Ն. Ի. Ֆուս, Ֆ. Ի. Շուբերտ)<ref name=WIL341/>։

=== 19-20-րդ դարեր ===
[[19-րդ դար]]ի սկզբում Ն. Ի. [[Լոբաչևսկի Նիկոլայ|Լոբաչևսկի]]ն հարթ ու սֆերիկ եռանկյունաչափությանը ևս մի բաժին ավելացրեց՝ հիպերբոլական (Լոբաչևսկու երկրաչափության համար, առաջին աշխատությունը հրապարակեց Ֆ. Ա. [[Ֆրանց Ադոլֆ Տաուրինուս|Տաուրինուս]]ը [[1826]] թվականին)։ Լոբաչևսկին ցույց տվեց, որ սֆերիկ եռանկյունաչափության բանաձևերը անցնում են հիպերբոլականի եռանկյան կողմերի ''a, b, c'' երկարությունները ''ai, bi, ci'' փոխելու դեպքում, կամ, որ համարժեք է, [[եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]ի փոխումը [[Հիպերբոլական ֆունկցիաներ|հիպերբոլական]]ի<ref>См. статью Б. А. Розенфельда в книге: ''Каган В. Ф.'' Основания геометрии. Том II, стр. 313-321.</ref>։

[[19-րդ դար|19]]-[[20-րդ դար|20]] դարերում հատկապես բուռն զարգացում ապրեցին եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունները իրենց հետ կապված [[մաթեմատիկա]]կան ոլորտների հետ մեկտեղ. հարմոնիկ անալիզ, պատահական պրոցեսների տեսություն, աուդիո և վիդեո ինֆորմացիայի կոդավորում և այլն։ Դեռ [[Դանիել Բեռնուլի]]ն առաջարկել էր պնդում, որի համաձայն յուրաքանչյուր (ոչ ընդհատ) [[ֆունկցիա]] տրված միջակայքում հնարավոր է ներկայացնել եռանկյունաչափական շարքի տեսքով {{sfn |Паплаускас А. Б.|1966|էջ=26-27. }}։ Քննարկումները շարունակվում էին մինչև [[1807]] թվականը, երբ [[Ժոզեֆ Ֆուրիե|Ֆուրիեն]] հրապարակեց մասաանալիտիկ ֆունցիաները եռանկյունաչափական շարքերի տեսքով ներկայացնելու տեսությունը (ավարտուն տարբերակը պարունակվում է նրա «Ջերմության անալիտիկ տեսություն» աշխատությունում, [[1822]])<ref name=MATENC_TR>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |год=1982 |часть=Тригонометрический ряд |место=М. |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |том=5}}</ref>: <math>f(x)</math> ֆունցիան եռանկյունաչափական շարքի տեսքով ներկայացնելու համար՝
: <math>f(x)=a_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n} \cos{nx} + b_{n} \sin{nx}).</math>
[[Ժոզեֆ Ֆուրիե|Ֆուրիեն]] տվել է գործակիցների հաշվարկի ինտեգրալային բանաձևերը<ref name=MATENC_TR/>.
: <math>a_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}\! f(x) \cos{nx} \,dx  \quad (n=0, 1, 2, \dots); \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}\! f(x) \sin{nx}\, dx\quad (n=1,2,3, \dots)</math>
[[Ժոզեֆ Ֆուրիե|Ֆուրիեի]] ստացածը խիստ չէ ըստ ժամանակակից հասկացողության, արդեն պարունակում էր բոլոր նմանատիպ շարքերի նմանության տարրերը։ Այն ֆունցիաների համար, որոնք որոշված են ամբողջ թվային առանցքի վրա և պարբերական չեն [[Ժոզեֆ Ֆուրիե|Ֆուրիեն]] առաջարկել է Ֆուրիեի ինտեգրալի ձևակերպումը։

Ռիմանն իր ատենախոսության մեջ անդրադառնում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին առանց դիտարկելու դրանց կապը որևէ ֆունկցիայի հետ ([[1853]]), նա կիրառում էր «տեղայնացման սկզբունքը»։ Կամայական չափումներով և գրեթե ամեն տեղ անվերջ ֆունցիայի ներկայացումը եռանկյունաչափական շարքի տեսքով (որի համընկնումը Ֆուրեյի շարքի հետ պարտադիր չէ) լուծվեց [[1941]] թվականին Մենշովի թեորեմի շնորհիվ։

Ուսումնասիրելով եռանկյուանաչափական շարքերի հատուկ կետերի բազմությունները [[Գեորգ Կանտոր]]ը ստացավ ամբողջ մաթեմատիկայի համար հիմնարար բնույթ ունեցող բազմությունների տեսությունը<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://www.ega-math.narod.ru/Singh/Cantor.htm |автор=Даубен, Джозеф У. |заглавие=Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств |год=1983 |издание=Scientific American, издание на русском языке |страницы=76–86 |выпуск=8 (август)}}</ref> Եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունը ահռելի նշանակություն ունեցավ նաև կոմպլեքս անալիզի, մաթեմատիկական ֆիզիկայի, էլեկտրոնիկայի ու գիտության մյուս ճյուղերի համար<ref name=MATENC_TR/>։ Լեբեգի իրական փոփոխականի ֆունցիայի, չափման ու ինտեգրալի տեսությունները ի հայտ եկան և սկսեցին զարգանալ եռանկյունաչափական շարքերի հետ հեռավոր կապի մեջ լինելով<ref name=MATENC_TR/><ref>{{Cite web |title=Тригонометрический ряд |url=http://bse.sci-lib.com/article112125.html |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/6COhoyJOo?url=http://bse.sci-lib.com/article112125.html |archivedate=2012 թ․ նոյեմբերի 23 |accessdate=2012 թ․ հոկտեմբերի 28–ին}}</ref>։

== Եռանկյունաչափությունը Հայաստանում ==
[[Պատկեր:Anania Shirakatsi.jpg|150px|մինի|Անանիա Շիրակացի]]
Մաթեմատիկայի ու բնական գիտությունների հետ մեկտեղ առաջին հայկական դպրոցներում (5-րդ դար), ապա նաև միջնադարյան համալսարաններում ուսուցանվել է նաև եռանկյունաչափությունը։ [[Անանիա Շիրակացի]]ն ([[7-րդ դար]]), [[Գրիգոր Մագիստրոս]]ը ([[11-րդ դար]]), [[Հովհաննես Սարկավագ]]ը ([[11–րդ դար|11]]-[[12-րդ դար]]եր) և ուրիշներ կազմել են դասագրքեր, թարգմանել հույն դասականների երկերից։ Անանիա Շիրակացու թվաբանության դասագրքի մաթեմատիկական աղյուսակները հնագույնն են աշխարհում հայտնի համանման աղյուսակներից։ [[Էվկլիդես]]ի «Սկզբունքներ» աշխատությունը բնագրից առաջինը հայերեն է թարգմանվել և որպես դասագիրք օգտագործվել հայկական դպրոցներում<ref>[https://hy.wikisource.org/w/index.php?title=%D4%B7%D5%BB%3AArmenia_Encyclopedia.djvu%2F382&action=edit&redlink=1 Հայկական Հանրագիտարան]</ref>։

[[14-րդ դար]]ում [[Կիլիկյան Հայաստան]]ի պետականության անկումից հետո մաթեմատիկական բարձրագույն կրթությունն ու մաթեմատիկական գիտություններն անկում են ապրել։ Սակայն գաղթավայրերում, որտեղ շարունակվել է մշակութային կյանքը, կազմվել և հայերեն են թարգմանվել մի շարք ձեռնարկներ։

[[1794]] թվականին Վենետիկում տպագրվել է [[Սահակ Պրոնյան]]ի գրաբարով շարադրված «Երկրաչափություն» գիրքը՝ 423 էջով{{sfn|Петросян - 6|1959|loc=|էջ=196|name=}}։ Գիրքը նվիրված էր երկրաչափական թեորեմներին ու աքսիոմներին, ինչպես նաև երկրաչափական տերմինների (ուղիղներ, անկյուններ, եռանկյուններ, շրջանագծեր և այլն){{sfn|Петросян - 6|1959|loc=|էջ=197|name=}}ուսումնասիրությանը։ [[1810]] թվականին, արդեն Սահակ Պրոնյանի մահից հետո, [[Վենետիկ]]ում լույս է տեսնում նրա «Եռանկյունաչափություն» աշխատությունը։ Այստեղ հայալեզու մաթեմատիկական գրականության մեջ առաջին անգամ օգտագործված էին մաթեմատիկական նշաններ{{sfn|Петросян - 6|1959|loc=|էջ=199|name=}}։ Գիրքը նվիրված էր [[Եռանկյունաչափություն|եռանկյունաչափության]]ը, եռանկյունների լուծմանը, սֆերիկ երկրաչափությանը։ Բաղկացած Է երկու գրքից և հավելվածից (ծավալը՝ 104 Էջ), շարադրված է գրաբար լեզվով։ Աշխատության վերջում, (62-րդ էջի վրա) զետեղված Է 1-10.000 թվերի լոգարիթմական աղյուսակը։ Դրան հաջորդում է 28 եռանկյունաչափական թեորեմների ու խնդիրների երկու տախտակ, ինչպես նաև երկու համեմատության կարկինի երկրաչափական գծագրերը։ Վերջում մեկ Էջի վրա զետեղված է եռանկյունաչափական գծերի աղյուսակը։ Գծագիրը կարդալու համար գործածվում են հայկական այբուբենի տառերը։ Աշխատությունն ունի երկու էջից բաղկացած առաջաբան, որտեղ նշվում Է եռանկյունաչափության կարևոր դերն ու նշանակությունը մաթեմատիկական գիտությունների մեջ։

Առաջին գիրքը նվիրված է ուղղագիծ եռանկյունաչափությանը։ Առաջին պրակում սահմանվում են եռանկյունաչափական գծերը, գործ են ածվում հետևյալ տերմինները՝ 
{| class="wikitable"
|-
| '''Լատիներեն անվանում''' || Sin || Cos || tg || ctg || Ses || Cosec
|-
| '''Հայերեն անվանում''' || ծոց ||համածոց || շոշափող || շոշափողակից || հատանող || հատողակից 
|}
Երկրորդ պրակը նվիրված է բնական թվերի լոգարիթմներին, իսկ երրորդը՝ ուղղանկյուն և շեղանկյուն եռանկյունների լուծմանը։

Երկրորդ գիրքը նվիրված է սֆերիկ եռանկյուունաչափությանը։ Առաջին պրակում խոսվում է սահմանումների, սֆերիկ եռանկյունների կողմերի և անկյունների կապակցությունների մասին։ Երկրորդ պրակը նվիրված է եռանկյունների լուծմանը և վարժություններին։ Գրքի հավելվածում բացատրվում է համեմատության կարկինը և նրանից օգտվելու եղանակը։

Պրոնյանը հայկական տպագիր գրականության մեջ առաջին անգամ լրիվ կերպով կիրառում է գումարման, հանման, բազմապատկման, բաժանման և այլ մաթեմատիկական նշաններ<ref>{{Cite web |title=Պետրոսյան, Գ. Բ. (1959) Հայկական մաթեմատիկական գրականությունը XVII-XVIII դարերում. Պատմաբանասիրական հանդես, N 1 |url=http://hpj.asj-oa.am/15/1/59-1-14(187).pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20150203202443/http://hpj.asj-oa.am/15/1/59-1-14(187).pdf |archive-date=2015 թ․ փետրվարի 3 |accessdate=2015 թ․ փետրվարի 25}}</ref>։

== Եռանկյունաչափության պատմաբաններ ==
[[18-րդ դար|18]]-[[19-րդ դար|19 դարերում]] մաթեմատիկայի ու աստղագիտության պատմություններում մեծ տեղ հատկացվեց նաև եռանկյունաչափության պատմությանը (Ժ. Է. Մոնտուկլա, Ժ. Բ. Ժ. Դելամբր, Հ. Հանկել, Պ. Տանների և ուրիշներ)։ 1900 թվականին գերմանացի մաթեմատիկական պատմաբան Անտոն ֆոն Բրաունմյուլը հրապարակեց առաջին մոնոգրաֆիան երկու հատորով, որը հատուկ նվիրված էր եռանկյունաչափության պատմությանը<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Braunmühl A. |заглавие=Vorlesungen über die Geschichte der Trigonometrie |год=1900-1903 |место=Leipzig}}</ref>։ [[20-րդ դար]]ում այդ թեմայով խոշորածավալ աշխատանքներ հրապարակեցին Ցեյտենը, Կանտորը, Նայգեբաուերը, Ռոզենֆելդը, Մատվիևսկայան և ուրիշներ։

== Գրականություն ==
=== Գրքեր ===
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Александрова Н. В. |автор=Александрова Н. В. |заглавие=История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник,  изд. 3-е |год=2008 |место=СПб. |издательство=ЛКИ |страниц=248 |isbn=978-5-382-00839-4}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Ван дер Варден |ссылка=http://naturalhistory.virtbox.ru/Person/Modern/Waerden/Nauka_1/N_1_Ogl.htm |автор=Ван дер Варден Б.&nbsp;Л. |заглавие=Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции |год=1959 |место=М. |издательство=ГИФМЛ}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Вилейтнер Г. |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/vileitner.djvu |автор=Вилейтнер Г. |заглавие=История математики от Декарта до середины XIX столетия |год=1960 |место=М. |издательство=ГИФМЛ |страниц=468}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Глейзер Г. И. |автор=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]] |заглавие=История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей |год=1982 |место=М. |издательство=Просвещение |страницы=76-95 |страниц=240}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Глейзер Г. И. |автор=Глейзер Г. И. |заглавие=История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей |год=1983 |место=М. |издательство=Просвещение |страниц=352}}
* История математики под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] в трёх томах, М.: Наука.
** {{Ռուսերեն գիրք |ref=История математики, том I |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm |заглавие=История математики |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах |год=1970 |часть=История математики. С древнейших времен до начала Нового времени |место=М. |издательство=Наука |том=I |archive-url=https://web.archive.org/web/20181125105114/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm |archive-date=2018-11-25}}
** {{Ռուսերեն գիրք |ref=История математики, том II |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm |заглавие=История математики |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах |год=1970 |часть=Математика XVII столетия |место=М. |издательство=Наука |том=II |archive-url=https://web.archive.org/web/20110918072945/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm |archive-date=2011-09-18}}
** {{Ռուսերեն գիրք |ref=История математики, том III |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm |заглавие=История математики |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах |год=1972 |часть=Математика XVIII столетия |место=М. |издательство=Наука |том=III |archive-url=https://web.archive.org/web/20170324214535/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm |archive-date=2017-03-24}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Матвиевская Г. П. |автор=[[Матвиевская, Галина Павловна|Матвиевская Г. П.]] |заглавие=Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье |год=2012 |издание=Изд. 2-е |место=М. |издательство=Либроком |страниц=160 |серия=Физико-математическое наследие: математика (история математики) |isbn=978-5-397-02777-9}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Паплаускас А. Б. |автор=Паплаускас А. Б. |заглавие=Тригонометрические ряды. От Эйлера до Лебега |год=1966 |место=М. |издательство=Наука |страниц=277}}
* {{Ռուսերեն գիրք |автор=Рожанская М.&nbsp;М. |заглавие=Механика на средневековом Востоке |год=1976 |место=Москва |издательство=Наука}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Рыбников К. А. |автор=Рыбников К. А. |заглавие=История математики в двух томах |год=1960 |место=М. |издательство=Изд. МГУ |том=I}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. |автор=Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. |заглавие=Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся |год=1978 |место=М. |издательство=Просвещение |страниц=95 |серия=Люди науки}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Хрестоматия по истории математики |заглавие=Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия |ответственный=Под ред. [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |год=1976 |место=М. |издательство=Просвещение |страниц=318}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Цейтен Г. Г. |автор=Цейтен Г. Г. |заглавие=История математики в древности и в средние века |год=1932 |место=М.-Л. |издательство=ГТТИ |страниц=230}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Цейтен Г. Г. |автор=Цейтен Г. Г. |заглавие=История математики в XVI и XVII веках |год=1938 |место=М.-Л. |издательство=ОНТИ |страниц=456}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=История математики в Средние века |автор=[[Юшкевич, Адольф Павлович|Юшкевич А. П.]] |заглавие=История математики в Средние века |год=1961 |место=М. |издательство=ГИФМЛ |страниц=448}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Plofker |автор=Plofker K. |заглавие=Mathematics in India |год=2009 |место=Princeton |издательство=Princeton University Press}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Scott J. F. |автор=Scott J. F. |заглавие=A History of Mathematics From Antiquity to the Beginning of the Nineteen Century |год=1958 |место=London |издательство=Tailor & Francis Ltd |allpages=266}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Thurston |автор=Thurston H. |заглавие=Early astronomy |год=1994 |место=New York |издательство=Springer-Verlag}}
* {{Ռուսերեն գիրք |автор=Van Brummelen G. |заглавие=The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry |год=2009 |издательство=Princeton University Press}}

=== Հոդվածներ ===
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Веселовский |ссылка=http://naturalhistory.narod.ru/Person/A_N/Aristarch_1.htm |автор=Веселовский И. Н. |заглавие=Аристарх Самосский - Коперник античного мира |год=1961 |издание=Историко-астрономические исследования, вып. VII |место=М. |страницы=17-70}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://naturalhistory.narod.ru/Hronolog/Stat/Spherika.htm |автор=Матвиевская Г.&nbsp;П. |заглавие=Сферика и сферическая тригонометрия в древности и на средневековом Востоке |год=1979 |издание=Развитие методов астрономических исследований, Вып. 8 |место=М.-Л.}}
* {{Ռուսերեն գիրք |автор=Bond J. D. |заглавие=The Development of Trigonometric Methods down to the Close of the XVth Century |год=1921 |издание=Isis |pages=295-323 |volume=4 |номер=2}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Duke |ссылка=http://www.springerlink.com/content/m0c87012jh7yuywx/ |автор=Duke D. |заглавие=Hipparchus’ Coordinate System |год=2002 |издание=Arch. Hist. Exact Sci |pages=427-433 |volume=56}}{{Չաշխատող արտաքին հղում|bot=InternetArchiveBot }}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Duke |ссылка=http://www.dioi.org/dioindex2.htm |автор=Duke D. |заглавие=The Very Early History of Trigonometry |год=2011 |издание=DIO: The International Journal of Scientific History |pages=34-42 |volume=17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120326133210/http://www.dioi.org/dioindex2.htm |archive-date=2012-03-26}}
* {{Ռուսերեն գիրք |автор=Kennedy E. S. |заглавие=The history of trigonometry |год=1969 |издание=Historical Topics for the Mathematics Classroom: Thirty-first Yearbook |место=Washington, D.C. |издательство=National Council of Teachers of Mathematics}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract;jsessionid=05AE1A14E4CD69969A3B43912FA64C2C.journals?fromPage=online&aid=7319824 |автор=Moussa A. |заглавие=The trigonometric functions, as they were in the arabic-islamic civilization |год=2010 |издание=Arabic Sciences and Philosophy |pages=93-104 |volume=20}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Sidoli |ссылка=http://adsabs.harvard.edu/abs/2004JHA....35...71S |автор=Sidoli N. |заглавие=Hipparchus and the Ancient Metrical Methods on the Sphere |год=2004 |издание=Journal of the History of Astronomy |pages=71-84 |volume=35}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Toomer |ссылка=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1600-0498.1974.tb00205.x/abstract;jsessionid=2A720DA79663EF96F6250EA1C99E76BF.d04t04?systemMessage=Wiley+Online+Library+will+be+disrupted+on+9+June+from+10%3A00-12%3A00+BST+%2805%3A00-07%3A00+EDT%29+for+essential+maintenance |автор=Toomer G.&nbsp;J. |заглавие=The Chord Table of Hipparchus and the Early History of Greek Trigonometry |год=1973 |издание=Centaurus |pages=6-28 |volume=18}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Van der Waerden |ссылка=http://www.springerlink.com/content/w28860775587l811/ |автор=Van der Waerden B.&nbsp;L. |заглавие=Reconstruction of a Greek table of chords |год=1988 |издание=Arch. Hist. Exact Sci |pages=23-38 |volume=38}}{{Չաշխատող արտաքին հղում|bot=InternetArchiveBot }}

== Նշումներ ==
{{Ծանցանկ/Ն}}

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|2}}

== Տես նաև ==
* [[Աստղագիտությունը հին Հունաստանում]]
* [[Միջնադարյան իսլամական աստղագիտությունը]]
* [[Մաթեմատիկայի պատմություն]]
* [[Եռանկյունաչափական նույնություններ]]
* [[Եռանկյունաչափություն]]

== Արտաքին հղումներ ==
* {{Cite web |last=Федосова М. |title=Тригонометрия |url=http://www.krugosvet.ru/node/39959 |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/6AuwwKeuy?url=http://www.krugosvet.ru/node/39959 |archivedate=2012 թ․ սեպտեմբերի 24 |accessdate=2012 թ․ հունիսի 5 |publisher=Энциклопедия Кругосвет}}.
* {{Cite web |author=O’Connor, J. J. |author2=Robertson E. F. |date=1996 |title=Trigonometric functions |url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trigonometric_functions.html |url-status=dead |archiveurl=https://www.webcitation.org/6Auwxe6v3?url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trigonometric_functions.html |archivedate=2012 թ․ սեպտեմբերի 24 |accessdate=2012 թ․ հունիսի 5 |publisher=MacTutor History of Mathematics Archive |language=en}}.
* {{Cite web |author=Leo Rogers. |title=The History of Trigonometry |url=http://nrich.maths.org/6843 |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/6BkXg1fkY?url=http://nrich.maths.org/6843 |archivedate=2012 թ․ հոկտեմբերի 28 |accessdate=2012 թ․ հոկտեմբերի 19 |language=en}}.

{{Մաթեմատիկայի պատմություն}}

{{Օրվա հոդված նախագծի մասնակից}}

[[Կատեգորիա:Եռանկյունաչափություն]]