Դիտել Երկրաչափություն էջի վիքիկոդը

{{General geometry}}
[[Պատկեր:Teorema de desargues.svg|մինի|աջից|250px|[[Դիզարգուսի թեորեմ]]ի իլյուստրացիան, որը կարևոր արդյունք է [[Էվկլիդյան երկրաչափություն|Էվկլիդյան]] և [[պրոյեկցիոն երկրաչափություն]]ում։]]
 [[Պատկեր:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg|մինի|250 px|աջից|[[Պապիրուս]] [[Էվկլիդյան տարրեր]]]]
'''Երկրաչափություն''' ({{lang-grc|''γεωμετρία''}}; ''[[wikt:γῆ|geo-]]'' «երկիր», ''[[wikt:μέτρον|-metria]]'' «չափումներ»), [[մաթեմատիկա]]յի ճյուղ, որը ուսումնասիրում է մարմինների մակերևույթը, չափերը, միմյանց նկատմամբ դասավորությունը և տարածության հատկությունները։

Երկրաչափությունը մի շարք վաղ մշակույթներում միմյանցից անկախ, ծագեց որպես [[Երկարություն|երկարության]], [[մակերես]]ի և [[ծավալ]]ի հետ գործելու պրակտիկ եղանակ։ Երկրաչափությունը, արևմուտքում ձևավորված ֆորմալ մաթեմատիկական տարրերը սկսեց օգտագործել դեռևս մ․թ․ա․ 6-րդ դարում<ref name="Boyer 1991 loc=Ionia and the Pythagoreans p. 43">{{Harv|Boyer|1991|loc="Ionia and the Pythagoreans" p. 43}}</ref>։ Մ․թ․ա․ 3-րդ դարում [[Էվկլիդես]]ը իր ''Տարրեր'' աշխատությունում երկրաչափությունը դրեց աքսիոմատիկ հիմքերի վրա, որով գործածման ստանդարտներ սահմանեց դարեր ի վեր<ref>Martin J. Turner,Jonathan M. Blackledge,Patrick R. Andrews (1998). ''[https://books.google.am/books?id=oLXgFdfKp78C&pg=PA1&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false Fractal geometry in digital imaging]''. [[Academic Press]]. p. 1. {{ISBN|0-12-703970-8}}</ref>։ Երկրաչափությունը Հնդկաստանում ծագեց անկախ, մ․թ․ա․ 3-րդ դարում, ապահովելով երկրաչափական մարմինների միջև գոյություն ունեցող կանոնների նկարագրությունը<ref name="Staal 1999"/>։ Մուսուլման գիտնականները վերցնելով հույների գաղափարները [[միջին դարեր]]ում դրանք զարգացրեցին<ref name="ReferenceA">{{MacTutor Biography|id=Thabit|title=Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani}}</ref>։ 17-րդ դարի սկզբին [[Ռենե Դեկարտ]]ի և [[Պիեռ Ֆերմա]]յի կողմից երկրաչափությունը ամուր անալիտիկ հիմքերի վրա դրվեց։ Այդ ժամանակներից ի վեր և մինչ արդի ժամանակները, երկրաչափությունը ընդարձակվել է դեպի [[Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափություն|ոչ-Էվկլիդեսյան երկրաչափություն]] և տոպոլոգիական բազմազանություններ, որոնք ընկած են մարդկային փորձի սովորական սահմաններից դուրս<ref>{{Cite magazine |last=Lamb |first=Evelyn |date=2015 թ․ նոյեմբերի 8 |title=By Solving the Mysteries of Shape-Shifting Spaces, Mathematician Wins $3-Million Prize |url=http://www.scientificamerican.com/article/by-solving-the-mysteries-of-shape-shifting-spaces-mathematician-wins-3-million-prize/ |access-date=2016 թ․ օգոստոսի 29 |magazine=Scientific American}}</ref>։

Չնայած երկրաչափությունը տարիների ընթացքում զգալիորեն զարգացել է, սակայն կան ընդհանուր հասկացություններ, որոնք քիչ թե շատ հիմնարար են երկրաչափության համար։ Դրանցից են կետերը, ուղիղները, հարթությունները, մակերևույթները, անկյունները և կորերը, ինչպես նաև ավելի ընդլայնված հասկացություններ, ինչպիսիք են բազմազանության, տոպոլոգիայի և մետրիկայի հասկացությունները<ref name="Tabak 2014 xiv">{{Cite book |last=Tabak |first=John |title=Geometry: the language of space and form |date=2014 |publisher=Infobase Publishing |isbn=081604953X |page=xiv}}</ref>։

Երկրաչափությունը կիրառվում է բազմաթիվ բնագավառներում, ներառյալ արվեստը, ճարտարապետությունը, ֆիզիկան, ինչպես նաև մաթեմատիկայի այլ ճյուղերը։

== Ակնարկ ==
Ժամանակակից երկրաչափությունը բազմաթիվ ենթաճյուղեր ունի։ 
* [[Էվկլիդյան երկրաչափություն]]ը երկրաչափություն է դասական իմաստով։ Երկրների մեծ մասի պարտադիր կրթական ուսումնական ծրագիրը ներառում է [[կետ]]երի, [[ուղիղ]]ների, [[հարթություն]]ների, [[անկյուն]]ների, [[եռանկյուն]]ների, [[Համադրություն|համադրության]], [[նմանություն|նմանության]], [[Տարածաչափություն|տարածաչափության]], [[Շրջան (երկրաչափություն)|շրջանների]] և [[Անալիտիկ երկրաչափություն|անալիտիկ երկրաչափության]] ուսումնասիրությունը<ref name="Schmidt, W. 2002">Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "A coherent curriculum". ''American Educator'', 26(2), 1–18.</ref>։ Էվկլիդյան երկրաչափությունը կիրառվում է նաև [[հաշվողական գիտություն|հաշվողական գիտության]] և [[Բյուրեղագիտություն|բյուրեղագիտության]] և ժամանակակից մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում։
* [[Դիֆերենցիալ երկրաչափություն]]ը երկրաչափական խնդիրները լուծելու համար օգտագործում է [[Մաթեմատիկական անալիզ|մաթանալիզի]] և [[Գծային հանրահաշիվ|գծային հանրահաշվի]] մեթոդները։ Այն կիրառվում է [[ֆիզիկա]]յում, ներառյալ [[ընդհանուր հարաբերականություն]]ը։ 
* [[Տոպոլոգիա]]ն կապված է երկրաչափական օբյեկտների հատկությունների հետ, որոնք անփոփոխ են [[Անընդհատ արտապատկերում|անընդհատ արատապատկերման]] նկատմամբ։ Պրակտիկայում սա հաճախ նշանակում է գործ ունենալ տարածության մեծ մասշտաբի հատկությունների հետ, ինչպիսիք են [[կապակցվածություն]]ը և [[կոմպակտություն]]ը։ 
* [[Ուռուցիկ երկրաչափություն]]ը ուսումնասիրում է ուռուցիկ ձևերը Էվկլիդյան երկրաչափության մեջ և դրանց ավելի աբստարկտ անալոգներ, հաճախ օգտագործելով [[իրական անալիզ]]ը։ Այն սերտ կապված է [[ուռուցիկ անալիզ]]ի, [[օպտիմիզացիա]]յի և [[ֆունկցիոնալ անալիզ]]ի և կարևոր կիրառություն ունի [[թվերի տեսություն]]ում։ 
* [[Հանրահաշվական երկրաչափություն]]ն ուսումնասիրվում է բազմարժեք բազմանդամների և այլ հանրահաշվական մեթոդների օգնությամբ։ Այն կիրառվում է բազմաթիվ բնագավառներում, ներառյալ [[բյուրեղագիտություն]]ը և [[լարերի տեսություն]]ը։ 
* [[Դիսկրետ երկրաչափություն]]ը հիմնականում վերաբերում է պարզ երկրաչափական օբյեկտների, ինչպիսիք են կետերը, ուղիղները և շրջանները, հարաբերական դիրքերի խնդիրներին։ Այն կիսում է [[կոմբինատորիկա]]յի շատ մեթոդներ և սկզբունքներ։

== Պատմություն ==
{{Main|Երկրաչափության պատմություն}}
<!--[[Պատկեր:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|right|upright=0.9|thumb|Էվկլիդեսի ''Տարրերի'' առաջին տարբերակի տիտղոսաթերթը, 1570]]-->
Երկրաչափության ամենավաղ սկիզբը արձանագրվել է [[Միջագետք]]ում և [[Հին Եգիպտոս]]ում մ․թ․ա․ 2-րդ հազարամյակում<ref>J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.</ref><ref>{{Cite book |last=Neugebauer |first=Otto |author-link=Otto E. Neugebauer |url=https://books.google.am/?id=JVhTtVA2zr8C |title=The Exact Sciences in Antiquity |publisher=[[Dover Publications]] |year=1969 |isbn=978-0-486-22332-2 |edition=2 |origyear=1957}} Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96.</ref>։ Վաղ երկրաչափությունը փորձերի միջոցով հայտնաբերված սկզբունքների հավաքածու էր, երկարությունների, անկյունների, մակերեսների և ծավալների վերաբերյալ, որոնք մշակվել են որոշակի գործնական կարիքներ՝ շինարարություն, աստղագիտություն և տարբեր արհեստների բավարարման համար։ Երկրաչափության վաղ տեքստերն են Եգիպտյան ''[[Մաթեմատիկական պապիրուսներ]]ը'' (մ․թ․ա․ 2000–1800) և ''[[Մոսկովյան պապիրուսներ]]ը'' (մ․թ․ա․ 1890), [[Բաբելոնյան մաթեմատիկա]], ինչպիսին [[Պլիմպտոն 322]] (1900 BC)։ Օրինակ, Մոսկովյան պապիրուսը ներկայացնում է հատված բուրգի ծավալը կամ հատույթը<ref name="Boyer 1991 loc=Egypt p. 19">{{Harv|Boyer|1991|loc="Egypt" p. 19}}</ref>։ Ավելի ուշ (մ․թ․ա․ 350–50) կավե ցուցանակները ներկայացնում էին, որ Բաբելոնյան աստղագետները սեղանի եղանակները կիրառել են Յուպիտերի դիրքը և շարժը ժամանակ-արագություն տարածության մեջ հաշվարկելու համար։ Այս երկրաչափական եղանակները ենթաադրում էին 14-րդ դարի Օքսֆորդի հաշվողներին, ներառյալ միջին արագության թեորեմը<ref>{{Cite journal |last=Ossendrijver |first=Mathieu |date=2016 թ․ հունվարի 29 |title=Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter’s position from the area under a time-velocity graph |url=http://science.sciencemag.org/content/351/6272/482.full |journal=Science |volume=351 |issue=6272 |pages=482–484 |bibcode=2016Sci...351..482O |doi=10.1126/science.aad8085 |pmid=26823423 |access-date=2016 թ․ հունվարի 29}}</ref>։ Եգիպտոսից հարավ նուբիացիները ստեղծել էին երկրաչափական համակարգ, ներառյալ արևային ժամացույցի վաղ տարբերակները<ref>{{Cite journal |last=Depuydt |first=Leo |date=1998 թ․ հունվարի 1 |title=Gnomons at Meroë and Early Trigonometry |journal=The Journal of Egyptian Archaeology |volume=84 |pages=171–180 |doi=10.2307/3822211 |jstor=3822211}}</ref><ref>{{Cite web |last=Slayman |first=Andrew |date=1998 թ․ մայիսի 27 |title=Neolithic Skywatchers |url=http://www.archaeology.org/online/news/nubia.html |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110605234044/http://www.archaeology.org/online/news/nubia.html |archive-date=2011 թ․ հունիսի 5 |access-date=2018 թ․ օգոստոսի 31 |work=Archaeology Magazine Archive}}</ref>։

Մ․թ․ա․ 7-րդ դարում, հույն մաթեմատիկոս Թալես Միլեթացին երկրաչափությունն օգտագործում էր այնպիսի խնդիրներ լուծելու համար, ինչպիսիք են բուրգի բարձրությունը և նավերի հեռավորությունը ափից հաշվելը։ Նրան է վերագրվում դեդուկտիվ մտահանգման առաջին կիրառությունը երկրաչափության մեջ, Թալեսի թեորեմից չորս հետևանքների դուրս բերման եղանակով<ref name="Boyer 1991 loc=Ionia and the Pythagoreans p. 43"/>։

Պյութագորասը հիմնեց Պյութագորյան դպրոցը, որին վերագրվում է Պյութագորի թեորեմի առաջին ապացույցը<ref>Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, {{ISBN|0-03-029558-0}}.</ref><ref>{{Cite journal |author=Kurt Von Fritz |year=1945 |title=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum |journal=The Annals of Mathematics}}</ref><ref>{{Cite journal |author=James R. Choike |year=1980 |title=The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number |journal=The Two-Year College Mathematics Journal}}</ref>։ [[Եվդոքս]]ը (408–c.&nbsp;355 մ․թ․ա․) մշակել էր մոտարկման մեթոդ, որի միջոցով հնարավոր եղավ հաշվել կորագիծ մարմինների մակերեսներն ու ծավալները<ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Age of Plato and Aristotle" p. 92}}</ref>։ Մ․թ․ա․ 300 թվականին, Էվկլիդեսը իր ''[[Էվկլիդյան տարրեր]]'' աշխատությամբ, որ համարվում է բոլոր ժամանակների ամենաազդեցիկ և հաջող դասագիրքը, հեղաշրջում կատարեց երկրաչափության մեջ<ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="Euclid of Alexandria" p. 119}}</ref>, մաթեմատիկական խստություն մտցնելով աքսիոմատիկ մեթոդների միջոցով, որը ցայսօր մաթեմատիկայում օգտագործվող ամենավաղ ձևաչափի օրինակն է՝ սահմանում, աքսիոմա, թեորեմ և ապացույց։ Չնայած Տարրերի բովանդակությունը արդեն հայտնի էր, Էվկլիդեսը դրանք ձևակերպեց մեկ միասնական տրամաբանական կառուցվածքում<ref name="Boyer 1991 loc=Euclid of Alexandria p. 104">{{Harv|Boyer|1991|loc="Euclid of Alexandria" p. 104}}</ref>'':''

''Տարրերը'' Արևմուտքի բոլոր կրթված մարդկանց հայտնի էին մինչև 20-րդ դարի կեսերը և դրա բովանդակությունը դեռևս դասավանդվում է երկրաչափության դասերին<ref>Howard Eves, ''An Introduction to the History of Mathematics'', Saunders, 1990, {{ISBN|0-03-029558-0}} p. 141: "No work, except [[The Bible]], has been more widely used...."</ref>։ [[Արքիմեդես]]ը (c.&nbsp;287–212 մ․թ․ա․) մոտարկման մեթոդն օգտագործեց պարաբոլայի աղեղից ներքև մարմնի մակերեսը հաշվարկելու համար և տվեց [[Pi]] թվի հաշվարկի ճշգրիտ մոտարկումը<ref>{{Cite web |author1=O'Connor, J.J. |author2=Robertson, E.F. |date=1996 թ․ փետրվար |title=A history of calculus |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20070715191704/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html |archive-date=2007 թ․ հուլիսի 15 |accessdate=2007 թ․ օգոստոսի 7 |publisher=[[University of St Andrews]]}}</ref>։ Նա նաև ուսումնասիրել է հետագայում իր անվամբ կոչված Արքիմեդեսի պտուտակը և դուրս բերել դրա պտույտների հատույթների ծավալների հաշվարկի բանաձևերը։
[[Պատկեր:Woman_teaching_geometry.jpg|thumb|200px|Կինը երեխաներին երկրաչափություն է սովորեցնում: [[XIV դար]]ի սկիզբ]]
Հնդիկ մաթեմատիկոսները նույնպես բազմաթիվ կարևոր ներդրումներ են կատարել երկրաչափության մեջ։ Սատապաթա Բրահմանան (մ․թ․ա․ 3-րդ դար) ծիսական երկրաչափական շինությունների կառուցվածքների կանոններ է պարունակում, որոնք նման են Սուլբա Սուտրասին<ref name="Staal 1999">{{Citation |last=Staal |first=Frits |title=Greek and Vedic Geometry |journal=Journal of Indian Philosophy |volume=27 |issue=1–2 |pages=105–127 |year=1999 |doi=10.1023/A:1004364417713 |author-link=Frits Staal}}
</ref>։
Համաձայն {{Harv|Hayashi|2005|p=363}}, ''Սուլբա Սուտրասը'' պարունակում է Պյութագորյան թեորեմի տառացի նկարագրության աշխարհում ամենավաղ տարբերակը, չնայած դա ավելի վաղ հայտնի էր հին բաբելոնացիներին։ Դրանք պարունակում են Պյութագորյան եռյակների ցուցակը<ref>Pythagorean triples are triples of integers <math> (a,b,c) </math> with the property: <math>a^2+b^2=c^2</math>. Thus, <math>3^2+4^2=5^2</math>, <math>8^2+15^2=17^2</math>, <math>12^2+35^2=37^2</math> etc.</ref>, որոնք [[Դիոֆանտյան հավասարումներ]]ի մասնավոր դեպքեր են<ref name=cooke198>{{Harv|Cooke|2005|p=198}}: "The arithmetic content of the ''Śulva Sūtras'' consists of rules for finding Pythagorean triples such as (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), and (12, 35, 37). It is not certain what practical use these arithmetic rules had. The best conjecture is that they were part of religious ritual. A Hindu home was required to have three fires burning at three different altars. The three altars were to be of different shapes, but all three were to have the same area. These conditions led to certain "Diophantine" problems, a particular case of which is the generation of Pythagorean triples, so as to make one square integer equal to the sum of two others."</ref>։
Բաշխալի ձեռագրում ներկայացված են մի քանի երկրաչափական խնդիրներ (ներառյալ անկանոն պինդ մարմինների ծավալների վերաբերյալ)։ Ձեռագիրը նաև "օգտագործում է տասնորդական արժեքային համակարգը, կետը որպես զրո։"<ref name="hayashi2005-371">{{Harv|Hayashi|2005|p=371}}</ref> [[Արիաբատա]]ն իր աստղագիտական աշխատության մեջ ներառել է մակերեսների և ծավալների հաշվարկը։ Բրահմագուպտան 628 թվականին գրել է իր աստղագիտական աշխատանքը։ 12 գլուխ, կազմված 66 հատվածներից, որ ներկայացված էին երկու բաժիններով՝ "հիմնական գործողություններ" (ներառյալ խորանարդ արմատ, կոտորակ, հարաբերակցություն, համամասնություն և փոխարժեք) և "պրակտիկ մաթեմատիկա" (ներառյալ խառնուրդ, մաթեմատիկական հաջորդականություններ, հարթ մարմիններ, աղյուսների դարսում, փայտի փորագրում, փայտանյութի մշակում, հացահատիկի կուտակում)<ref name="hayashi2003-p121-122">{{Harv|Hayashi|2003|pp=121–122}}</ref>։ Վերջին հատվածում, նա ներկայացնում է ներգծված քառանկյունների անկյունագծերի վերաբերյալ իր հայտնի թեորեմը։ Այն նաև պարունակում է ներգծված քառանկյունների մակերեսը ([[Հերոնի բանաձև]]ի ընդհանրացումը), ինչպես նաև [[ռացիոնալ եռանկյուններ]]ի ամբողջական նկարագրությունը (''այսինքն'' ռացիոնալ կողմերով և ռացիոնալ մակերեսներով եռանկյուններ)<ref name="hayashi2003-p121-122"/>։

Միջին դարերում, միջնադարյան իսլամի մաթեմատիկոսները ներդրում են ունեցել երկրաչափության զարգացման, հատկապես հանրահաշվական երկրաչափության մեջ<ref>R. Rashed (1994), ''The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra'', p. 35 [[London]]</ref><ref name="Boyer Omar Khayyam positive roots">{{Cite book |last=Boyer |url=https://archive.org/details/historymathemati00boye_328 |title=A History of Mathematics |year=1991 |pages=[https://archive.org/details/historymathemati00boye_328/page/n260 241]–242 |chapter=The Arabic Hegemony |quote=Omar Khayyam (c. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an ''Algebra'' that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the 16th century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). .. For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved." |authorlink=Carl Benjamin Boyer}}</ref>։
Թաբիտ իբն Քուռան (լատիներենով հայտնի որպես Thebit) (836–901) զբաղվում էր թվաբանական գործողություններով, որոնք կիրառելի էին երկրաչափական մեծությունների նկատմամբ և ներդրում ունեցավ անալիտիկ երկրաչափության զարգացման համար<ref name="ReferenceA"/>։ [[Օմար Խայամ]]ը (1048–1131) [[խորանարդ հավասարում]]ների համար երկրաչափական լուծումներ գտավ։
<ref>{{MacTutor Biography|id=Khayyam|title=Omar Khayyam}}</ref> [[Իբն ալ-Հայթամ]]ի (Ալհազեն), Օմար Խայամի և  [[Նասիր ալ-Դին ալ-Թուսի]]ի թեորեմները քառանկյունների վերաբերյալ, ներառյալ Լամբերտի քառանկյունը և Սաքերի քառանկյունը, հիպերբոլիկ երկրաչափության վաղ արդյունքներն էին և նրանց ալտերնատիվ պոստուլատների հետ, ինչպիսին Փլեյֆեայի աքսիոմն է, այս աշխատանքները զգալի ազդեցություն ունեցան ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափության վրա<ref>Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., ''[[Encyclopedia of the History of Arabic Science]]'', Vol. 2, pp. 447–494 [470], [[Routledge]], London and New York: {{quote|"Three scientists, Ibn al-Haytham, Khayyam, and al-Tusi, had made the most considerable contribution to this branch of geometry whose importance came to be completely recognized only in the 19th century. In essence, their propositions concerning the properties of quadrangles which they considered, assuming that some of the angles of these figures were acute of obtuse, embodied the first few theorems of the hyperbolic and the elliptic geometries. Their other proposals showed that various geometric statements were equivalent to the Euclidean postulate V. It is extremely important that these scholars established the mutual connection between this postulate and the sum of the angles of a triangle and a quadrangle. By their works on the theory of parallel lines Arab mathematicians directly influenced the relevant investigations of their European counterparts. The first European attempt to prove the postulate on parallel lines – made by Witelo, the Polish scientists of the 13th century, while revising Ibn al-Haytham's ''[[Book of Optics]]'' (''Kitab al-Manazir'') – was undoubtedly prompted by Arabic sources. The proofs put forward in the 14th century by the Jewish scholar Levi ben Gerson, who lived in southern France, and by the above-mentioned Alfonso from Spain directly border on Ibn al-Haytham's demonstration. Above, we have demonstrated that ''Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid'' had stimulated both J. Wallis's and G. Saccheri's studies of the theory of parallel lines."}}</ref>։

17-րդ դարի սկզբում երկու կարևոր իրադարձություններ տեղի ունեցան։ Առաջինը, Ռենե Դեկարտի (1596–1650) և Պիեռ Ֆերմայի (1601–1665) կողմից անալիտիկ երկրաչափության կամ կոորդինատային համակարգով և հավասարումներով երկրաչափության ստեղծումն էր։ Սա մաթեմատիկական անալիզի և ֆիզիկայի ճշգրիտ քանական գիտության զարգացման անհրաժեշտ նախապայման էր։ Այդ ժամանակշրջանի հաջորդ պրոյեկցիոն երկրաչափության համակարգային հետազոտությունն էր [[Ժերար Դեսարգ]]ի կողմից (1591–1661)։ Պրոեկցիոն երկրաչափությունը առանց չափումների կամ զուգահեռ ուղիղների, ուղղակի կետերի միմյանց նկատմամբ հարաբերության ուսումնասիրություն։

Երկրաչափության 19-րդ դարի երկու իրադարձությունները փոխեցին դրանց ուսումնասիրության նախկին եղանակները։ Դրանք էին ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափության հայտնագործումը Նիկոլայ Լոբաչևսկու, Ջենոս Բոլյաիի և Կառլ Գաուսի կողմից և սիմետրիայի ձևակերպումը որպես Ֆելիքս Կլայնի Էրլագեն ծրագրի կենտրոնական քննարկում (որոնք ըննդհանրացրեցին Էվկլիդյան և ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափությունները)։ Ժամանակի հիմնական երկրաչափները երկուսն էին, Բեռնարդ Ռիմանը (1826–1866), որ հիմնականում աշխատում էր մաթանալիզի գործիքներով և առաջարկեց Ռիմանի մակերևույթը և Հենրի Պուանկարեն, հանրահաշվական տոպոլոգիայի և դինամիկ համակարգերի երկրաչափական տեսության հիմնադիրը։ Այս խոշոր փոփոխությունների հետևանքով երկրաչափության հայեցակարգում "տարածություն" հասկացությունը դարձավ հարուստ և բազմազան, և տեսությունների բնական նախադրյալները այնքան տարբեր, որքան կոմպլեքս անալիզը և դասական մեխանիկան։

== Երկրաչափական կարևոր հասկացություններ ==
Ստորև բերված են երկրաչափության ամենակարևոր հասկացություններից մի քանիսը<ref name="Tabak 2014 xiv"/><ref name="Schmidt, W. 2002"/>։

=== Աքսիոմներ ===
[[Պատկեր:Parallel postulate en.svg|thumb|right|Էվկլիդյան զուգահեռ պոստուլատի պատկեր]]
{{See also|Էվկլիդեսյան երկրաչափություն}}
[[Էվկլիդես]]ը, իր Տարրեր գրքում, երբևէ գրված ամենաազդեցիկ գրքերից մեկում, երկրաչափության նկատմամբ աբստրակտ մոտեցում է որդեգրում։  Նա կետերի, ուղիղների և հարթությունների սկզբնական կամ ակնհայտ հատկությունների արտահայտման համար առաջարկեց որոշակի աքսիոմներ և պոստուլատներ։ Այդ մարմինների այլ հատկությունները նա դուրս բերեց խիստ մաթեմատիկական մտահանգումների միջոցով։ Երկրաչափության նկատմամբ Էվկլիդյան մոտեցման բնորոշ առանձնահատկությունը դրա խստությունն էր և այն հայտնի դարձավ որպես  ''աքսիոմատիկ'' կամ ''սինթետիկ'' երկրաչափություն։ 19-րդ դարի սկզբում Նիկոլայ Լոբաչևսկու (1792–1856), Ջանոս Բոլվաիի (1802–1860), Կառլ Գաուսի (1777–1855) և այլոց կողմից ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափության հայտնագործումը բարձրացրեցին այդ ուղղությունների նկատմամբ հետաքրքրությունը և 20-րդ դարում  [[Դավիդ Հիլբերտ]]ը (1862–1943) աքսիոմատիկ հիմնավորումներն օգտագործեց ապահովելու երկրաչափության ժամանակակից հիմքը։

=== Կետեր ===
{{Main|Կետ}}
Էվկլիդյան երկրաչափության մեջ կետերը համարվում են հիմնարար օբյեկտներ։ Դրանք սահմանվել են տարբեր եղանակներով, ներառյալ Էվկլիդեսի սահմանաումը 'այն որ մաս չունի'<ref name=EuclidAll>''Euclid's Elements – All thirteen books in one volume'', Based on Heath's translation, Green Lion Press {{ISBN|1-888009-18-7}}.</ref><ref>{{Cite journal |last=Clark |first=Bowman L. |date=1985 թ․ հունվար |title=Individuals and Points |url=http://projecteuclid.org/euclid.ndjfl/1093870761 |journal=Notre Dame Journal of Formal Logic |volume=26 |issue=1 |pages=61–75 |doi=10.1305/ndjfl/1093870761 |access-date=2016 թ․ օգոստոսի 29}}</ref>։ Երկրաչափության ճյուղերում, ինչպիսիք անալիտիկ երկրաչափությունը, դիֆերենցիալ երկրաչափությունը և տոպոլոգիան, բոլոր օբյեկտները համարվում են կետերից կազմված։ Այնուամենայնիվ, եղել են նաև առանց կետերին անդրադարձի երկրաչափության որոշ հետազոտություններ<ref>Gerla, G., 1995, "[http://www.dmi.unisa.it/people/gerla/www/Down/point-free.pdf Pointless Geometries] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110717210751/http://www.dmi.unisa.it/people/gerla/www/Down/point-free.pdf |date=2011-07-17 }}" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., ''Handbook of incidence geometry: buildings and foundations''. North-Holland: 1015–1031.</ref>։

=== Ուղիղներ ===
{{main|Ուղիղ}}
[[Էվկլիդես]]ը ուղիղը նկարագրում էր "անվերջ երկարություն", որը իր կետերի նկատմամբ հավասար դիրք ունի<ref name=EuclidAll />։ Ժամանակակից երկրաչափությունում, հաշվի առնելով բազմազան երկրաչափությունների առկայությունը, ուղղի հասկացությունը սերտ կապված է երկրաչափության նկարագրման եղանակից։ Օրինակ, անալիտիկ երկրաչափության մեջ ուղիղը հարթության վրա նկարագրվում է որպես կետերի բազմություն, որոնց կոորդինատները բավարարում են տված գծային հավասարմանը<ref>[[John Casey (mathematician)|John Casey]] (1885) [https://archive.org/details/cu31924001520455 Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections], link from [[Internet Archive]].</ref>։ Սակայն ավելի աբստրակտ միջավայրում, ինչպիսին ինցիդենտ երկրաչափությունն է, ուղիղը կարող է լինել անկախ օբյեկտ, անկախ նրա վրայի կետերի բազմությունից<ref>Buekenhout, Francis (1995), ''Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations'', Elsevier B.V.</ref>։ Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ գեոդեզիկ ուղիղը ուղիղի հասկացության ընդհանրացումն է տարածական կորերի վրա<ref>{{Cite web |title=geodesic – definition of geodesic in English from the Oxford dictionary |url=https://www.oxforddictionaries.com/definition/english/geodesic |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20160715034047/http://www.oxforddictionaries.com/definition/english/geodesic |archive-date=2016 թ․ հուլիսի 15 |access-date=2016 թ․ հունվարի 20 |publisher=[[OxfordDictionaries.com]]}}</ref>։

=== Հարթություններ ===
{{main|Հարթություն}}
Հարթությունը հարթ երկչափ մակերևույթ է, որ տարածվում է անվերջ հեռու<ref name= EuclidAll />։ Հարթություններն օգտագործվում են երկրաչափության յուրաքանչյուր բնագավառում։ Օրինակ, հարթությունները կարող են ուսումնասիրվել որպես տոպոլոգիական մակերևույթներ, առանց հեռավորությունների և անկյունների առնչության<ref name=Munkres>Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.</ref>, այն կարող է ուսումնասիրվել որպես աֆինկան տարածություն, որտեղ կարող են ուսումնասիրվել բազմագունությունն ու հարաբերությունները, բայց ոչ հեռավորությունը<ref>Szmielew, Wanda. 'From affine to Euclidean geometry: An axiomatic approach.' Springer, 1983.</ref>, այն կարող է ուսումնասիրվել որպես կոմպլեքս հարթություն օգտագործելով կոմպլեքս անալիզի գործիքները<ref>Ahlfors, Lars V. ''Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable.'' New York, London (1953).</ref>։

=== Անկյուններ ===
{{main|Անկյուն}}
[[Էվկլիդես]]ը հարթ անկյունը սահմանում է հարթության մեջ որպես երկու իրար հատող ուղիղների միմյանց նկատմամբ թեքումը<ref name= EuclidAll /> : Ժամանակակից տերմիններով անկյունը երկու ճառագայթներից, ''կողմերից'' կազմված մարմին է միևնույն վերջնակետով, անկյան ''գագաթով''<ref>{{SpringerEOM|id=Angle&oldid=13323|title=Angle|year=2001|last=Sidorov|first=L.A.}}</ref>։
[[Պատկեր:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|Սուր (a), բութ (b), և ուղիղ (c) անկյուններ։ Սուր և բութ անկյունները նաև կոչվում են թեք անկյուններ։]]

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ, անկյունները օգտագործվել են բազմանկյունները և եռանկյուններն ուսումնասիրելու համար, ինչպես նաև հենց իրենց ուսումնասիրության համար<ref name= EuclidAll />։ Անկյունների և եռանկյունների կամ միավոր շրջանի անկյունների ուսումնասիրությունը եռանկյունաչափության հիմքն է<ref>Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič, and Mark Saul. "Trigonometry." 'Trigonometry'. Birkhäuser Boston, 2001. 1–20.</ref>։

Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ և մաթանալիզում անկյունները հարթ կորեր կամ տարածական կորերի կամ մակերևույթների միջև կարելի է հաշվարկել ածանցյալի միջոցով<ref name=Stewart>[[James Stewart (mathematician)|Stewart, James]] (2012). ''Calculus: Early Transcendentals'', 7th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{ISBN|978-0-538-49790-9}}</ref><ref>{{Citation |last=Jost |first=Jürgen |title=Riemannian Geometry and Geometric Analysis |year=2002 |publication-place=Berlin |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-42627-1}}.</ref>։

=== Կորեր ===
{{main|Կոր)}}
Կորը կարող է 1-չափանի օբյեկտ լինել, ինչպես ուղիղը, 2-չափանի տարածության մեջ այն կոչվում է հարթ կոր, իսկ եռաչափ տարածության մեջ՝ տարածական կոր։.<ref>Baker, Henry Frederick. Principles of geometry. Vol. 2. CUP Archive, 1954.</ref>

Տոպոլոգիայում կորը սահմանվում է որպես ֆունկցիա իրական թվերի միջակայքից այլ տարածության վրա<ref name = Munkres />:Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ նույն սահմանումն է օգտագործվում, սակայն սահմանվող ֆունկցիան պետք է ածանցելի լինի<ref name = Carmo />։ Հանրահաշվական երկրաչափությունը ուսումնասիրում է հանրահաշվական կորերը, որոնք սահմանված են որպես հանրահաշվական բազմազանության չափի հանրահաշվական բազմազանություններ<ref name = mumford />։

=== Մակերևույթներ ===
[[Պատկեր:Sphere wireframe.svg|thumb|upright=0.7|Գունդը մակերևույթ է, որ կարելի է սահմանել ( ''x'' = ''r'' sin ''θ'' cos ''φ'',
''y'' = ''r'' sin ''θ'' sin ''φ'', ''z'' = ''r'' cos ''θ'') պարամետրերով կամ անուղղակիորեն ({{nowrap|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> − ''r''<sup>2</sup> {{=}} 0}}.)]]

Մակերևույթը երկչափանի օբյեկտ է, ինչպիսին գունդն է կամ պարաբոլոիդը<ref>Briggs, William L., and Lyle Cochran Calculus. "Early Transcendentals." {{ISBN|978-0321570567}}.</ref>։ Դիֆերենցիալ երկրաչափությունում<ref name=Carmo>Do Carmo, Manfredo Perdigao, and Manfredo Perdigao Do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Vol. 2. Englewood Cliffs: Prentice-hall, 1976.</ref> և տոպոլոգիայում<ref name=Munkres />, մակերևույթները նկարագրվում են երկչափանի  surfaces are described by two-dimensional 'նմուշների', որոնք միավորված են համապատասխանաբար դիֆոմորֆիզմներով կամ հոմոմորֆիզմներով։ Հանրահաշվական երկրաչափության մեջ մակերևույթները նկարագրվում են բազմանդամային հավասարումներով<ref name=mumford>{{Cite book |last=Mumford |first=David |url=https://archive.org/details/redbookofvarieti0002mumf |title=The Red Book of Varieties and Schemes Includes the Michigan Lectures on Curves and Their Jacobians |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |year=1999 |isbn=978-3-540-63293-1 |edition=2nd |zbl=0945.14001 |authorlink=David Mumford}}</ref>։

=== Բազմաձևություններ ===
{{main | Բազմաձևություն}}
Բազմաձևությունը կորի և մակերևույթի հասկացության ընդհանրացումն է։ Տոպոլոգիայում բազմաձևությունը տոպոլոգիական տարածություն է, որտեղ յուրաքանչյուր կետ ունի իր շրջակայքը, որը հոմոմորֆ է Էվկլիդյան տարածությանը<ref name = Munkres />։ Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ ածանցվող բազմաձևությունը տարածություն է, որտեղ յուրաքանչյուր շրջակայք դիֆեֆորմ է Էվկլիդյան երկրաչափությանը<ref name=Carmo/>։

Բազմաձևությունները լայնորեն օգտագործվում են ֆիզիկայում, ներառյալ ընդհանուր հարաբերականությունը և լարային տեսությունը<ref>Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. {{ISBN|978-0-465-02023-2}}.</ref>։

=== Տոպոլոգիաներ և չափանիշներ ===
{{main|Տոպոլոգիա}}
[[Պատկեր:Chinese pythagoras.jpg|մինի|300px|աջից| [[Պյութագորասի թեորեմ]]ի պատկերային [[ապացույց]] (3, 4, 5) [[եռանկյուն]]ների համար, աղբյուր` [[Չու Պեյ Սուան Չինգ]] մ.թ.ա.500–200]]
Տոպոլոգիան բազմության մաթեմատիկական կառուցվածք է, որ ներկայացնում է բազմության տարրերի միմյանց նկատմամբ տարածական հարաբերությունը<ref name = Munkres />։ Տոպոլոգիաների ամենահայտնի օրինակները մետրիկայից են, որոնք կետերի միջև հեռավորության չափման եղանակներ են<ref>Dmitri Burago, [[Yuri Dmitrievich Burago|Yu D Burago]], Sergei Ivanov, ''A Course in Metric Geometry'', American Mathematical Society, 2001, {{ISBN|0-8218-2129-6}}.</ref>։ Օրինակ, Էվկլիդյան մետրիկան չափում է երկու կետերի միջև հեռավորությունը Էվկլիդյան հարթության մեջ, մինչդեռ հիպերբոլիկ մետրիկան չափում է հեռավորությունը հիպերբոլիկ հարթության մեջ։ Մետրիկաների այլ կարևոր օրինակներ են հատուկ հարաբերականության տեսության Լորենցի մետրիկան և ընդհանուր հարաբերականության կիսա-Ռիմանյան մետրիկաները<ref>{{Citation |last=Wald |first=Robert M. |title=General Relativity |title-link=General Relativity (book) |date=1984 |publisher=University of Chicago Press |isbn=978-0-226-87033-5 |authorlink=Robert Wald}}</ref>։

=== Կարկինով և քանոնով կառուցվածքներ ===
Դասական երկրաչափությունը հատուկ ուշադրություն է դարձնում երկրաչափական մարմինների կառուցմանը, որոնք ներկայացվել են այլ կերպ։ Դասականորեն երկրաչափական կառուցվածքներում թույլատրելի միակ գործիքներն են քանոնն ու կարկինը։ Ինպես նաև յուրաքանչյուր կառուցվածք պետք է ամբողջացվի վերջավոր քայլերում։ Այնուամենայնիվ, միայն այս միջոցներով որոշ խնդիրների լուծումներ գտնել դժվար էր կամ անհնար, և գտնվեցին հանճարեղ կառուցվածքներ պարաբոլների և այլ կորերի․ ինչպես նաև մեխանիկական գործիքների օգտագործմամբ։

=== Չափ ===
{{main|Չափականություն}}
[[Պատկեր:Von Koch curve.gif|thumb|log4/log3 կոտորակային չափանի և 1 տոպոլոգիական չափանի Կոչի փաթիլ։]]
Ավանդական երկրաչափությունը թույլատրում է 1 չափը (ուղիղ), 2 (հարթություն) և 3 (մեզ շրջապատող աշխարհը որպես եռաչափ տարածություն), իսկ մաթեմատիկոսները օգտագործում են ավելի բարձր չափականություն շուրջ երկու դար։ Չափը անցել է հետևայ փուլերով, կամայական բնական թիվ ''n'', հնարավոր անվերջ մտցնելով [[Հիլբերտյան տարածություն|Հիլբերտյան տարածության]] հասկացությունը և կամայական դրակա իրական թիվ, կոտորակային երկրաչափության մեջ։ Չափականության տեսությունը տեխնիկական բնագավառ է, անվերջ ընդհանուր տոպոլոգիայում, որ քննարկում է ''սահմանումներ'', ինչպես մաթեմատիկական գաղափարներից շատերը, այժմ չափականությունը ավելի որոշակի է, քան ինտուիցիան։  Կապակցված տոպոլոգիական բազմազանությունը ունի լավ սահմանված չափականություն, սա ավելի շուտ տիրույթի ինվարիանտության թեորեմ է, քան ինչ որ  ''ապրիորի''։

Չափականության խնդիրը դեռևս կարևորվում է երկրաչափությունում, չնայած դասական հարցերի ամբողջական պատասխանների բացակայությանը։  Տարածության 3 չափը և տարածություն-ժամանակ 4 չափը երկրաչափական տոպոլոգիայի հատուկ դեպքեր են։ 10 կամ 11 չափականությունը կարևոր թվեր են լարերի տեսության մեջ։ Հետազոտությունները կարող են բավարար ''երկրաչափական'' պատճառ բերել 10 և 11 փափի կարևորության վերաբերյալ։ <!-- Exactly why is something to which research may bring a satisfactory ''geometric'' answer.-->

=== Սիմետրիա ===
{{main |Սիմետրիա}}
[[Պատկեր:Order-3 heptakis heptagonal tiling.png|right|thumb|Հիպերբոլիկ հարթության սալիկապատում]]
Սիմետրիայի թեման երկրաչափության մեջ այնքան հին է, որքան երկրաչաչափություն գիտությունը ինքնին գոյություն ունի։ Այնպիսի սիմետրիկ ձևերը, ինչպիսիք շրջանները, կանոնավոր բազմանկյունները և կանոնավոր բազմանիստներն են, խորը նշանակություն են ունեցել հին փիլիսոփաների համար և մանրամասն ուսումնասիրվել են Մինչ Էվկլիդյան ժամանակաշրջանը։ Սիմետրիկ նախշերը հանդիպում են բնության մեջ և գեղարվեստորեն ներկայացվում են բազմաթիվ ձևերով, ներառյալ [[Մաուրից Կոռնելիս Էշեր|Էշերի]] գրաֆիկայում։ Այնուամենայնիվ, միայն  19-րդ դարի կեսերին սիմետրիայի միավորող դերը երկրաչափության հիմունքներում գնահատվեց։ [[Ֆելիքս Կլայն]]ը հայտարարել է, որ շատ ճշգրիտ իմաստով, սիմետրիան, արտահայտված խմբի վերափոխման հասկացության միջոցով, սահմանում է, թե ինչ է երկրաչափությունը։  Դասական Էվկլիդյան երկրաչափության մեջ սիմետրիան ներկայացված է համադրություններով և կոշտ տեղափոխություններով, մինչդեռ [[պրոյեկցիոն երկրաչափություն|պրոյեկցիոն երկրաչափության]] մեջ նմանատիպ դերը իրականացվում է կոլինացիաներով և երկրաչափական ձևափոխություններով, որոնք ուղիղները վերածում են ուղիղների։ Սակայն  Բոլյաիի և Լոբաչևսկու, Ռիմանի, Կլիֆորդի և Կլայնի, և Սոֆուս Լիի նոր երկրաչափություններում Կլայնի գաղափարը 'երկրաչափությունը սահմանել սիմետրիկ խմբերի միջոցով' առավել ազդեցիկ եղավ։ Դիսկրետ և անընդհատ սիմետրիաները կարևոր դեր ունեն երկրաչափության մեջ, առաջինը՝ տոպոլոգիայում և երկրաչափական խմբերի տեսության մեջ, վերջինը Լի տեսության և Ռիմանի երկրաչափության մեջ։

Սիմետրիայի այլ տեսակ է երկակիության սկզբունքը պրոյեկտիվ երկրաչափության մեջ։ Այդ մետա-երևույթը մոտավորապես կարելի է նկարագրել հետևյալ կերպ․ ցանկացած թեորեմում փոխարինելով ''կետը'' with ''հարթությամբ'', ''միանալը'' with ''հանդիպելով'', ''վրան'' with ''պարունակում է-ով'', և դուք կստանաք նույնքան ճշմարիտ թեորեմ։ Երկակիության նմանատիպ և սերտորեն կապված ձև գոյություն ունի վեկտորական տարածության և իր երկակի տարածության մեջ։

=== Ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափություն ===
[[Պատկեր:Hyperbolic triangle.svg|thumb|right|Դիֆերենցիալ երկրաչափությունն օգտագործում է մաթանալիզի գործիքները կորության պրոբլեմներն ուսումնասիրելու համար։]]
Էվկլիդից սկսած մոտավորապես երկու հազար տարիների ընթացքում, թեև երկրաչափական խնդիրների և դրանց պատասխանների շրջանակի անխուսափելի ընդլայնմանը, տարածություն գաղափարի հիմնական պատկերացումը նույնն է մնացել։ [[Էմանուել Կանտ]]ը պնդում էր, որ գոյություն ունի միայն մեկ ''բացարձակ'' երկրաչափություն,  ''ապրիորի'' ճիշտ է ներքին մտածողությամբ, դա  Էվկլիդյան երկրաչափությունն է<ref>Kline (1972) "Mathematical thought from ancient to modern times", Oxford University Press, p. 1032.  Kant did not reject the logical (analytic a priori) ''possibility'' of non-Euclidean geometry, see [[Jeremy Gray]], "Ideas of Space Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic", Oxford, 1989; p. 85.  Some have implied that, in light of this, Kant had in fact ''predicted'' the development of non-Euclidean geometry, cf. Leonard Nelson, "Philosophy and Axiomatics," Socratic Method and Critical Philosophy, Dover, 1965, p. 164.</ref>։ Այս գերիշխող տեսակետը շրջվեց ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափության հեղափոխական հայտնագործությամբ Բոլյաիի, [[Նիկոլայ Լոբաչևսկի|Լոբաչևսկու]] և [[Կառլ Գաուս|Գաուսի]] (ով երբեք չհրապարակեց իր տեսությունը) աշխատանքներում։ Նրանք ցույց տվեցին, որ սովորական Էվկլիդյան երկրաչափությունը, երկրաչափության զարգացման միայն մեկ հնարավորություն է։ Երկրաչափություն առարկայի լայն տեսլականը ներկայացրեց [[Բեռնարդ Ռիման|Ռիմանը]] իր 1867 թվականին երդմնակալության դասախոսության ժամանակ ''Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen'' (''On the hypotheses on which geometry is based'')<ref>{{Cite web |title=Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/ |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160318034045/http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/ |archivedate=2016 թ․ մարտի 18}}</ref>, որ հրատարակվեց միայն նրա մահից հետո։ Տարածության Ռիմանի նոր գաղափարը վճռորոշ դեր ունեցավ [[Ալբերտ Այնշտայն|Այնշտայնի]] ընդհանուր հարաբերականության տեսության մեջ, իսկ [[Ռիմանի երկրաչափություն]]ը, որը դիտարկում է շատ ընդհանուր տարածություններ, որոնցում երկարության հասկացություն է սահմանված, ժամանակակից երկրաչափության հենքն է։

== Ժամանակակից երկրաչափություն ==
=== Էվկլիդյան երկրաչափություն ===
[[Պատկեր:Geometry Lessons.jpg|thumb|20-րդ դարի երկրաչափության դասախոսություն]]
Էվկլիդյան երկրաչափությունը դարձել է շատ կապված հաշվարկային երկրաչափության, [[համակարգչային գրաֆիկա]]յի, ուռուցիկ երկրաչափության, ընդգրկող երկրաչափության, վերջավոր երկրաչափության, դիսկրետ երկրաչաափության և [[կոմբինատորիկա]]յի որոշ ճյուղերի հետ։ Ուշագրավ է, որ Էվկլիդյան երկրաչափության և Էվկլիդյան խմբերի և [[Հարոլդ Քոքսեթեր|Կոքսետերի]] հետագա աշխատանքները կարելի է տեսնել Կոքսետերի խմբերի և պոլիտոպների տեսություններում։ Երկրաչափական խմբերի տեսությունը ավելի ընդհանուր դիսկրետ խմբերի տեսության ընդլայնված բնագավառ է, որ հիմնված է երկրաչափական մոդելների և հանրահաշվական մեթոդների վրա։

=== Դիֆերենցիալ երկրաչափություն ===
Ի շնորհիվ Այնշտայնի հարաբերականության տեսության, համաձայն որի տիեզերքը կոր է, [[Դիֆերենցիալ երկրաչափություն|դիֆերենցիալ երկրաչափության]] կարևորությունը բարձրացավ մաթեմատիկական ֆիզիկայում։ Ժամանակակից դիֆերենցիալ երկրաչափությունը ''ներքին'' է, նշանակում է, այնտեղ դիտարկվող տարածությունները հարթ բազմաձևություններ են, որոնց երկրաչափական կառուցվածքը կառավարվում է Ռիմանի մետրիկայով, որը որոշում է յուրաքանչյուր կետի մոտակայքում ինչպե՞ս են հեռավորությունները չափվում, այլ ոչ թե որոշակի շրջակա հարթ Էվկլիդյան տարածության ''ապրիորի'' մասեր։

=== Տոպոլոգիա և երկրաչափություն ===
[[Պատկեր:Trefoil knot arb.png|thumb|right|upright=0.55|Եռոտանի հանգույցի հաստացում]]
Տոպոլոգիայի բնագավառը, որ 20-րդ դարում զանգվածային զարգացում ապրեց, տեխնիկական իմաստով փոխակերպվող երկրաչափության մի տեսակ է, որում փոխակերպումները հոմոմորֆիզմներ են։ Սա հաճախ արտահայտվում է հետևյալ նախադասությամբ․  'տոպոլոգիան ռեզինե թերթի երկրաչափություն է'։ Ժամանակակից երկրաչափական տոպոլոգիան և դիֆերենցիալ տոպոլոգիան, և որոշակի ենթադասեր, ինչպիսին Մորսի տեսությունն է, մաթեմատիկոսների մեծ մասի կողմից կհամարվեն որպես երկրաչափության մաս։ Հանրահաշվական տոպոլոգիան և ընդհանուր տոպոլոգիան  գնացել են իրենց ուղով։{{citation needed|date=April 2016}}

=== Հանրահաշվական երկրաչափություն ===
[[Պատկեր:Calabi yau.jpg|thumb|upright=0.55|Հինգ աստիճանի Կալաբի բազմազանություն]]
[[Հանրահաշվական երկրաչափություն|Հանրահաշվական երկրաչափության]] բնագավառը [[Կոորդինատային համակարգ|Դեկարտյան երկրաչափության]] ժամանակակից մարմնավորումն է։ 1950-ականների վերջերից մինչ 1970-ականները այն էական հիմնարար զարգացումներ է ապրել, հիմնականում Ժան Պիեռ Սերրեյի և Ալեքսանդր Գրոդենդիկի աշխատանքների շնորհիվ։ Սա հանգեցրեց [[հանրահաշվական սխեմաներ]]ի ներդրմանը և [[հանրահաշվական տոպոլոգիա]]յի մեթոդների կաարևորմանը, ներառյալ տարբեր [[կոհոմոլոգիական տեսություններ]]։ [[Հազարամյակի մրցանակային խնդիրներ|Հազարամյակի յոթ խնդիրներից մեկը]]՝ [[Հոջի հիպոթեզ]]ը հանրահաշվական երկրաչափության խնդիր է։

Ցածր չափանի հանրահաշվական բազմազանությունների՝ 3-չափանի [[հանրահաշվական կորեր]]ի, [[հանրահաշվական մակերևույթներ]]ի և հանրահաշվական այլ  բազմազանությունների ("հանրահաշվական եռյակներ") ուսումնասիրությունը շատ հեռու գնաց։ Գրոբների հիմնարար տեսությունը և [[իրական հանրահաշվական երկրաչափություն]]ը ժամանակակից հանրահաշվական երկրաչափության կիրառական ենթաճյուղերից են։ Թվաբանական երկրաչափությունը հանրահաշվական երկրաչափության և թվերի տեսության հետ համատեղվող ակտիվ ճյուղ է։ Հետազոտությունների այլ ուղղություններ են մոդուլի տարածությունը և [[կոմպլեքս երկրաչափություն]]ը։ Հանրահաշվա-երկրաչափական մեթոդները սովորաբար օգտագործվում են [[Լարերի տեսություն|լարերի տեսության]] և մասնաճյուղերի տեսության մեջ։ <!--This comment might stop AWB messing up the formatting here-->

== Կիրառություններ ==
Երկրաչափությունը կիրառվում է բազմաթիվ բնագավառներում, որոնցից մի քանիսը ներկայացված են ստորև։

=== Արվեստ ===
Մաթեմատիկան և արվեստը կապված են տարբեր ձևերով։ Օրինակ, պատկերների տեսությունը ցույց է տալիս, որ երկրաչափությունն ավելին է, քան մարմինների հատկությունների չափերը․ [[պրոյեկցիոն երկրաչափություն]]ը սկիզբ է առել պատկերից։

=== Ճարտարապետություն ===
Մաթեմատիկան և [[ճարտարապետություն]]ը կապված են, քանի որ ինչպես մյուս արվեստների ճյուղերում, ճարտարապետները մաթեմատիկան օգտագործում են մի քանի պատճառներով։ Բացի մաթեմատիկայի անհրաժեշտությունից կառույցները նախագծելու համար, ճարտարապետներն օգտագործում են երկրաչափությունը շենքի տարածական ձևը որոշելու համար, սկսած Պյութագորասից մ․թ․ա․ վեցերորդ դար, ներդաշնակ համարվող ձևեր ստեղծել և այդպիսով շենքերը և դրանց շրջակայքը կառուցել ըստ մաթեմատիկական, էսթետիկ և երբեմն նույնիսկ կրոնական սկզբունքների. շինությունները զարդարել մաթեմատիկական առարկաներով՝ մոզաիկայով, և հաշվի առնել շրջակա միջավայրի խնդիրները, ինչպիսին քամու արագության նվազեցումն է բարձրահարկ շենքերի հիմքերի մոտ։

=== Ֆիզիկա ===
{{main|Մաթեմատիկական ֆիզիկա}}
[[Պատկեր:E8Petrie.svg|right|thumb|upright=0.55|4<sub>21</sub>բազմանկյուն, ուղղահայաց պրոյեկտված E<sub>8</sub> Լի խմբի վրա։ Լի խմբերը մի քանի կիրառություններ ունեն ֆիզիկայում։]]

[[Աստղագիտություն|Աստղագիտության]] բնագավառը, հատկապես տիեզերքում [[աստղեր]]ի և [[մոլորակներ]]ի դասավորությանը և երկնային մարմինների միմյանց նկատմամբ տեղափոխման նկարագրմանն առընչվող, ծառայել է որպես երկրաչափական պրոբլեմների կարևոր աղբյուր պատմության ընթացքում։

Ժամանակակից երկրաչափությունը շատ կապեր ունի ֆիզիկայի հետ, ինչպես օրինակ, [[փսևդո-Ռիմանյան երկրաչափություն|փսևդո-Ռիմանյան երկրաչափության]] և [[Ընդհանուր հարաբերականության տեսություն|ընդհանուր հարաբերականության]] միջև։ Ֆիզիկայի երիտասարդ տեսություններից մեկը, [[լարերի տեսություն]]ը նույնպես շատ երկրաչափական է։

=== Մաթեմատիկայի այլ ճյուղեր ===
Երկրաչափությունը նաև մեծ ազդեցություն է ունեցել մաթեմատիկայի այլ ճյուղերի վրա։ Օրինակ, [[Կոորդինատային համակարգ|կոորդինատների]] առաջադրումը [[Ռենե Դեկարտ|Դեկարտի]] կողմից և զուգահեռ [[Հանրահաշիվ|հանրահաշվի]] զարգացումը երկրաչափության նոր փուլ նշանավորեցին, քանի որ երկրաչափական մարմիններն, ինչպիսիք [[հարթ կորեր]]ը այժմ կարող են ներկայացվել [[Անալիտիկ երկրաչափություն|անալիտիկ երկրաչափության]] մեջ, ֆունկցիաների և հավասարումների տեսքով։ Սա առանցքային դեր ունեցավ 17-րդ դարում [[անվերջ փոքրեր]]ի հաշվարկների ի հայտ գալուն։ Երկրաչափության առարկան հետագայում հարստացավ [[Լեոնարդ Էյլեր|Էյլերի]] և [[Կառլ Գաուս|Գաուսի]] կողմից երկրաչափական օբյեկտների ներքին կառուցվածքի ուսումնասիրմամբ և բերեց [[տոպոլոգիա]]յի և [[դիֆերենցիալ երկրաչափություն|դիֆերենցիալ երկրաչափության]] ստեղծմանը։

[[Պատկեր:Square root of 2 triangle.svg|մինի|աջից|200px|Պյութագորասը հայտնաբերել է, որ եռանկյան կողմերը կարող են ունենալ անհամեմատելի երկարություններ։]]
Կիրառությունների կարևոր ոլորտ է Թվերի տեսությունը։ Հին Հունաստանում Պյութագորականները դիտարկում էին թվերի դերը երկրաչափության մեջ։ Սակայն անհամեմատելի թվերի հայտնագործումը, որ հակասում էր նրանց փիլիսոփայական հայացքներին, նրանց ստիպեց հրաժարվել աբստրակտ թվերից ի օգուտ կոնկրետ երկրաչափական մեծությունների, ինչպիսիք են մարմինների երկարությունը և մակերեսը։ 
Կիրառությունների կարևոր ոլորտ է Թվերի տեսությունը։ Հին Հունաստանում Պյութագորականները դիտարկում էին թվերի դերը երկրաչափության մեջ։ Սակայն անհամեմատելի թվերի հայտնագործումը, որ հակասում էր նրանց փիլիսոփայական հայացքներին, նրանց ստիպեց հրաժարվել աբստրակտ թվերից ի օգուտ կոնկրետ երկրաչափական մեծությունների, ինչպիսիք են մարմինների երկարությունը և մակերեսը։ 19-րդ դարից սկսած երկրաչափությունն օգտագործվում էր թվերի տեսության խնդիրները լուծելու համար, օրինակ թվերի երկրաչափության կամ վերջերս սխեմաների տեսության  միջոցով, որն օգտագործվեց Ֆերմայի վերջին թեորեմի ապացուցման համար։

Չնայած երկրաչափության վիզուալ բնույթն այն դարձնում է ի սկզբանե ավելի հասանելի, քան այլ մաթեմատիկական ուղղությունները, ինչպիսիք են հանրահաշիվը կամ թվերի տեսությունը, երկրաչափական լեզուն նույնպես օգտագործվում է ավանդական Էվկլիդյան սկզբնականից հեռացած համատեքստում (օրինակ, կոտորակայի երկրաչափության և հանրահաշվական երկրաչափության մեջ)<ref>It is quite common in algebraic geometry to speak about ''geometry of [[algebraic variety|algebraic varieties]] over [[finite field]]s'', possibly [[singularity theory|singular]]. From a naïve perspective, these objects are just finite sets of points, but by invoking powerful geometric imagery and using well developed geometric techniques, it is possible to find structure and establish properties that make them somewhat analogous to the ordinary [[sphere]]s or [[Cone (geometry)|cones]].</ref>։

Անալիտիկ երկրաչափությունը հանրահաշվի մեթոդները կիրառում է երկրաչափական հարցերում, որպես կանոն երկրաչափական կորերին համապատասխանեցնելով հանրահաշվական հավասարումները։ Այս գաղափարները 17-րդ դարում վճռորոշ դեր խաղացին մաթանալիզի զարգացման գործում և բերեցին հարթ կորերի շատ նոր հատկությունների հայտնագործմանը։ Ժամանակակից հանրահաշվական երկրաչափությունը նմանատիպ հարցեր է դիտարկում ավելի աբստրակտ մակարդակում։

[[Լեոնարդ Էյլեր]]ը,  in studying problems like the [[Քյոնիգսբերգի յոթ կամուրջներ]]ի կարգի խնդիրներ ուսումնասիրելիս դիտարկում էր երկրաչափական մարմինների ամենահիմնարար հատկությունները, հիմնված բացառապես ձևի, անկախ դրանց մետրիկական հատկություններից։ Էյլերը այս նոր ճյուղն անվանեց ''geometria situs'' (տեղանքի երկրաչափություն), սակայն այն հայտնի է որպես տոպոլոգիա։ Տոպոլոգիան աճեց երկրաչափությունից, սակայն վերածվեց լայն անկախ ուղղության։ Այն չի տարբերակում օբյեկտները, որոնք անընդհատ կարող են փոխակերպվել մեկը մյուսին։ Այնուամենայնիվ, օբյեկտները կարող են պահպանել որոշ երկրաչափություն, ինչպես [[հիպերբոլիկ հանգույցի]] դեպքում։

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}
{{Մաթեմատիկայի պատմություն}}
{{Մաթեմատիկա–ներքև}}
{{ՀՍՀ|հատոր=3|էջ=624}}

[[Կատեգորիա:Երկրաչափություն]]