Դիտել Էյլերի նույնություն էջի վիքիկոդը

{{այլ|Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ#Նույնություններ}}

'''Էյլերի նույնություն'''{{#tag:ref |''Էյլերի նույնություն'' եզրը նաև օգատգործվում է այլ հասկացությունների համար, այդ թվում՝ այս նույնության հետ կապված ընդհանուր բանաձևը՝ <math>e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}</math><ref>Dunham, 1999, [https://books.google.com/books?id=uKOVNvGOkhQC&pg=PR24 p. xxiv].</ref>  և Էյլերի արտադրյալի բանաձևը<ref name=EOM>{{cite encyclopedia |last=Stepanov |first=S. A. |encyclopedia=[[Encyclopedia of Mathematics]] |title=Euler identity |publisher= |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Euler_identity&oldid=11612 |date=2011 թ․ փետրվարի 7 |accessdate=2018 թ․ սեպտեմբերի 7}}</ref>։|group=Ն}}, [[հավասարություն (մաթեմատիկա)|հավասարություն]] [[մաթեմատիկա]]յում։ Հաճախ գրվում է հետևյալ տեսքով՝

:<math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>,

որտեղ
:<math>e</math>-ն բնական լոգարիթմի հիմքն է՝ [[e (թիվ)|Էյլերի թիվը]],
:<math>i</math>-ն՝ [[կեղծ միավոր]]ը, որը բավարարում է <math>i^2 = -1</math> պայմանին և
:<math>\pi</math>-ն՝ [[պի թիվ]]ը, որը ցույց է տալիս շրջանագծի և դրա տրամագծի հարաբերությունը։

Էյլերի նույնությունը կոչվել է ի տապիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի։ Այն համարվում է [[մաթեմատիկական գեղեցկություն|մաթեմատիկական գեղեցկության]] օրինակ։

== Մաթեմատիկական գեղեցկություն ==
Էյլերի նույնությունը հաճախ նշվում է որպես խորը [[մաթեմատիկական գեղեցկություն|մաթեմատիկական գեղեցկության]] օրինակ<ref name=Gallagher2014>{{cite news |last=Gallagher |first=James |title=Mathematics: Why the brain sees maths as beauty |url=https://www.bbc.co.uk/news/science-environment-26151062 |accessdate=2017 թ․ դեկտեմբերի 26 |work=[[BBC News Online]] |date=2014 թ․ փետրվարի 13}}</ref>։ Թվաբանական հիմնական գործողություններից երեքը՝ [[Գումար (մաթեմատիկա)|գումարը]], [[բազմապատկում]]ը և [[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճանը]], նույնության մեջ հանդիպում են ճիշտ մեկ անգամ։ Նույնությունը նաև կապում է հինգ հիմնարար մաթեմատիկական հաստատուններ<ref>Paulos, 1992, p. 117.</ref>.
* [[0 (թիվ)|Զրո թիվը]],
* [[1 (թիվ)|Մեկ թիվը]],
* [[Պի|<math>\pi</math> թիվը]] (<math>\pi = 3.141...</math>),
* [[e (թիվ)|<math>e</math> թիվը]] (<math>e=2.718...</math>), որը լայնորեն կիրառվում է [[մաթեմատիկական անալիզ]]ում,
* [[Կեղծ միավոր|<math>i</math> թիվը]], որը [[Կոմպլեքս թվեր|կոմպլեք թվերի]] կեղծ միավորն է։

Բացի դա, հավասարությունը տրված է այնպես, որ արտահայտությունը հավասարեցվում է զրոյի, որը տարածված պրակտիկա է մաթեմատիկայի որոշ բաժիններում։

[[Սթենֆորդի համալսարան]]ի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Քիթ Դևլինը ասել է՝ «Շեքսպիրի սոնետի նման, որը նկարագրում է սիրո բուն էությունը, կամ մի նկարի նման, որը ցույց է տալիս մարդկային կերպարանքի գեղեցկությունը, որը շատ ավելին է, քան պարզապես մաշկի խորություն, Էյլերի նույնությունը հասցնում է գոյության  ամենախորքային մասերին»<ref>Nahin, 2006, [https://books.google.com/books?id=GvSg5HQ7WPcC&pg=PA1 էջ 1]։</ref>։ Նյու Հեմփշիրի համալսարանի պրոֆեսոր [[Պոլ Նահին]]ը Էյլերի բանաձևին և [[ֆուրիեի անալիզ]]ում դրա կիրառության մասին գրքում նկարագրում է Էյլերի նույնությունը որպես «նուրբ գեղեցկություն»<ref>Nahin, 2006, p. xxxii.</ref>։

Ըստ մաթեմատիկական գրող Կոնստանս Ռիդի՝ Էյլերի նույնությունը «մաթեմատիկայի ամենահայտնի բանաձևն է»<ref>Reid, chapter ''e''.</ref>։ [[Հարվարդի համալսարան]]ի պրոֆեսոր, 19-րդ դարի ամերիկացի փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Բենջամին Պիրսը դասախոսության ընթացքում Էյլերին նույնությունը ապացուցելուց հետո նշել է, որ նույնությունը «ամբողջությամբ պարադոքսալ է. մենք չենք կարող հասկանալ այն և մենք չգիտենք, թե այն ինչ է նշանակում, բայց մենք ապացուցել ենք այն և հետևաբար մենք գիտենք, որ այն պետք է ճիշտ լինի»<ref>Maor, [https://books.google.com/books?id=eIsyLD_bDKkC&pg=PA160 էջ 160], and Kasner & Newman, [https://books.google.com/books?id=Ad8hAx-6m9oC&pg=PA103 էջեր 103–104].</ref>։

Ըստ «''[[The Mathematical Intelligencer]]''» ամսագրի կողմից արված 1990 թվականի հարցման՝ Էյլերի նույնությունը «մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ թեորեմն է»<ref>Wells, 1990.</ref>։ «''[[Physics World]]''» ամսագրի կողմից արված մեկ այլ հարցման (2004 թվական) համաձայն՝ Էյլերի նույնությունը և [[Մաքսվելի հավասարումներ]]ը «երբևէ եղած ամենամեծ հավասարումներն  են»<ref>Crease, 2004.</ref>։

16 մաթեմատիկոսների գլխուղեղը ուսումնասիրող մի հետազոտության համաձայն «էմոցիոնալ ուղեղը» (մասնավորապես՝ միջին օրբիտոֆրոնտային կորտեքսը, որը ակտիվանում է գեղեցիկ երաժշտության, պոեզիայի, նկարների և այլն համար) ավելի կայուն ակտիվանում է Էյլերի նույնության, քան այլ բանաձևի համար<ref>Zeki et al., 2014.</ref>։

Էյլերի նույնության մասին առնվազն երկու հանրամատչելի մաթեմատիկական գիրք է հրատարակվել (Դեյվիդ Սթիփի «''A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics''»-ը (2017 թվական) և Ռուբին Ուիլսոնի «''Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics''»-ը  (2018 թվական))։

== Բացատրություն ==
=== Կեղծ ցուցիչներ ===
{{main|Էյլերի բանաձև}}
{{See also|Աստիճան_(հանրահաշիվ)#Կոմպլեքս_ցուցիչ_և_դրական_իրական_հիմք|l1=Կոմպլեքս ցուցիչ և դրական իրական հիմք}}
[[Image:ExpIPi.gif|300px|thumb|right|Այս անիմացիան [[կոմպլեքս հարթություն]]ում կրկնվող բազմապատկման միջոցով ցույց է տալիս, թե ինչպես է <math>(1 + i\pi/n)^n</math>-ը ձգտում <math>-1</math>-ի (n-ը փոխվում է <math>1</math>-ից մինչև <math>100</math>)։ <math>(1 + i\pi/n)^k,</math>-ի արժեքները (<math>k=0, 1, ..., n</math>) բեկյալի գագաթներն են, որի ամենաձախ կետը <math>(1 + i\pi/k)^k</math>-ն է (իրական <math>k</math>-ի համար)։ Այստեղից երևում է, որ <math>k</math>-ի մեծ արժեքների դեպքում <math>(1 + i\pi/k)^k</math>-ը ձգտում է <math>-1</math>-ի, ինչը պատկերավորում է Էյլերի նույնությունը՝ <math>e^{i\pi} = -1.</math>]]
Ըստ Էյլերի նույնության՝ <math>e^{i\pi} = -1</math>: Այստեղ <math>e^{i\pi}</math> արտահայտությունը <math>e^z</math> արտահայտության մասնավոր դեպք է, որտեղ <math>z</math>-ը կամայական կոմպլեքս թիվ է։ Կոմպլեքս <math>z</math> թվերի համար <math>e^z</math> արտահայտությունը սահմանվում է ըստ ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումներից մեկի։ Օրինակ՝ տարածված սահմանումներից մեկն է՝

:<math>e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac z n \right)^n</math>։

Այս դեպքում, Էյլերի նույնությունը ցույց է տալիս, որ երբ <math>n</math>-ը ձգտում է անվերջության, <math>(1 + i\pi/n)^n</math>-ը ձգտում է <math>-1</math>-ի։ Այս սահմանի պատկերավոր ներկայացման համար տես աջ կողմի նկարը։

[[Պատկեր:Euler's formula.svg|thumb|right|Էյլերի բանաձևը կամայական անկյան համար]]

Էյլերի նույնությունը [[Էյլերի բանաձև]]ի մասնավոր դեպք է, ըստ որի՝ կամայական <math>x</math> իրական թվի համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝

: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>,

որտեղ սինուս և կոսինուս [[եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]ի արժեքները տրված են [[ռադիան]]ով։

Մասնավորապես, երբ <math>x = \pi</math>,

: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i\sin \pi</math>։

Քանի որ

:<math>\cos \pi = -1</math>

և

:<math>\sin \pi = 0,</math>

հետևաբար՝

: <math>e^{i \pi} = -1 + 0 i,</math>

որից հետևում է Էյլերի նույնությունը՝

: <math>e^{i \pi} +1 = 0</math>։

=== Երկրաչափական մեկնաբանում ===
Կամայական <math>z = x + iy</math> կոմպլեքս թիվ կարելի է [[կոմպլեքս հարթություն]]ում ներկայացնել <math>(x, y)</math> կետով։ Այս կետը նաև կարելի է ներկայացնել [[բևեռային կոորդինատ]]ներով որպես <math>(r, \theta)</math>, որտեղ <math>r</math>-ը <math>z</math>-ի բացարձակ արժեքն է (կենտրոնից հեռավորությունը) իսկ <math>\theta</math>-ն՝ <math>z</math>-ի արգումենտը (<math>x</math> առանցքի հետ կազմած ակյունը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ)։ Ըստ սինուսի և կոսինուսի սահմանման՝ այս կետրի [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|դեկարդյան կոորդինատներն]] են <math>(r \cos \theta, r \sin \theta)</math>, հետևաբար՝ <math>z = r(\cos \theta + i \sin \theta)</math>։ Ըստ Էյլերի բանաձևի, սա համարժեք է <math>z = r e^{i\theta}</math>-ին։

Ըստ Էյլերի նույնության՝ <math>-1 = e^{i\pi}</math>։ Քանի որ <math>e^{i\pi}</math> նույնն է ինչ <math>r e^{i\theta}</math>, եթե <math>r=1</math> և <math>\theta = \pi</math>, ուրեմն Էյլերի նույնությունը կարելի է մեկնաբանել որպես <math>-1</math> թվի մասին փաստ. կենտրոնից հեռավորությունը 1 է, իսկ դրական <math>x</math> առանցքի հետ կազմած անկյունը՝ <math>\pi</math> ռադիան։

Բացի դա, կամայական կոմպլեքս <math>z</math> թիվ <math>e^{i\theta}</math>-ով բազմապատկելը ունենում նույն արդյուքնը, ինչ <math>z</math> թիվը կոմպլեքս հարությունում ժամացույցի սլաքիի հակառակ ուղղությամբ <math>\theta</math> ռադիան պտտելը։  Քանի որ թիվը -1-ով բազմապատկելիս այն արտացոլվում է կենտրոնի նկատմաբ, Էյլերի նույնությունը պարզապես նշում է, որ կամայական կետ կենտրոնի նկատմամբ <math>\pi</math> ռադիան պտտելը նույնն է, ինչ այն կենտրոնի նկատմամբ արտացոլելը։

== Ընդհանրացումներ ==
Էյլերի նույնությունը հետևյալ ավելի ընդհանուր նույնության մասնավոր դեպք է (<math>n > 1</math>)՝

:<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i \frac{k}{n}} = 0</math>։

Հնարավոր է նաև ցույց տալ նմանատիպ նույնություն [[քվատերնիոններ]]ի համար. ենթադրենք <math>\{i, j, k\}</math>-ը բազիսային տարրեր են, ուրեմն

:<math>e^{\frac{1}{\sqrt 3}(i \pm j \pm k)\pi} + 1 = 0</math>։

Ընդհանուր առմամաբ, եթե <math>a_1, a_2</math> և <math>a_3</math> իրական թվերի համար տեղի ունի <math>a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1</math> նույնությունը, ուրեմն

:<math>e^{\left(a_1i+a_2j+a_3k\right)\pi} + 1 = 0</math>։

[[Օկտոնիոն]]ների դեպքում, եթե <math>a_n</math>-ը իրական թիվ է, այնպես, որ <math>a_1^2 + a_2^2 + ... + a_7^2 = 1</math> և օկտոնիոն բազիսային տարրերն են՝ <math>\{i_1, i_2, ..., i_7\}</math>, ուրեմն

:<math>e^{\left(a_1i_1+a_2i_2+\dots+a_7i_7\right)\pi} + 1 = 0</math>։

== Պատմություն ==
Էյլերի նույնությունը հնարավոր է գտնել Էյլերի 1748 թվականին հրատարակված մաթեմատիկական անալիզին վերաբերող «''[[Introductio in analysin infinitorum]]''» աշխատությունում<ref>Conway & Guy, p. 254–255.</ref>։ Սակայն, պարզ չէ, թե արդյոք այս նույնությունը կարելի է վերագրել Էյլերին<ref name=Sandifer2007>Sandifer, p. 4.</ref>։ Ավելին, չնայած Էյլերը իր աշխատությունում գրել է այժմ Էյլերի բանաձև անվամբ հայտնի բանաձևի մասին, անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Քոթսը (մահացել է 1716 թվականին, երբ Էյլերը 9 տարեկան էր) նույնպես տեղյակ էր այս բանաձևի մասին։ Էյլերը հավանաբար այս գիտելիքը ձեռք է բերել իր շվեյցարացի հայրենակից Յոհան Բերնուլիից<ref name=Sandifer2007/>։

Ըստ Ռուբին Ուիլսոնի<ref>Wilson, p. 151-152.</ref>՝
{{quote| 
Մենք տեսել ենք, թե դա ''[Էյլերի նույնությունը]'' ինչպես կարելի է ստանալ Յոհան Բերնուլիի և Ռոջեր Քոթսի արդյունքներից, բայց նրանցից ոչ մեկը, կարծես թե, չի արել դա։ Նույնիսկ Էյլերը բացահայտ այն չի գրել (այն չի հանդիպում իր ոչ մի հրատարակությունում), բայց նա անշուշտ պետք է հասկացած լիներ, որ այն ուղղակի հետևոմ է իր նույնությունից ''[Էյլերի բանաձևից]''՝ <math>e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}</math>։ Բացի դա, անհայտ է, թե ով է առաջինը բացահայտ նշել արդյունքը...
}}

== Նշումներ ==
{{ծանցանկ|group=Ն}}

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|25em}}

== Աղբյուրներ ==
* [[John Horton Conway|Conway, John H.]], and [[Richard K. Guy|Guy, Richard K.]] (1996), ''[https://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA254 The Book of Numbers]'', Springer {{ISBN|978-0-387-97993-9}}
* [[Robert P. Crease|Crease, Robert P.]] (10&nbsp;May 2004), "[http://physicsworld.com/cws/article/print/2004/may/10/the-greatest-equations-ever The greatest equations ever]", ''[[Physics World]]'' [registration required]
* [[William Dunham (mathematician)|Dunham, William]] (1999), ''Euler: The Master of Us All'', [[Mathematical Association of America]] {{ISBN|978-0-88385-328-3}}
* Euler, Leonhard (1922), ''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587.image.r=%22has+celeberrimas+formulas%22.f169.langEN Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus]'', Leipzig: B. G. Teubneri
* [[Edward Kasner|Kasner, E.]], and [[James R. Newman|Newman, J.]] (1940), ''[[Mathematics and the Imagination]]'', [[Simon & Schuster]]
* [[Eli Maor|Maor, Eli]] (1998), ''{{mvar|e}}: The Story of a number'', [[Princeton University Press]] {{ISBN|0-691-05854-7}}
* Nahin, Paul J. (2006), ''Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills'', [[Princeton University Press]] {{ISBN|978-0-691-11822-2}}
* [[John Allen Paulos|Paulos, John Allen]] (1992), ''Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics'', [[Penguin Books]] {{ISBN|0-14-014574-5}}
* Reid, Constance (various editions), ''From Zero to Infinity'', [[Mathematical Association of America]]
* Sandifer, C. Edward (2007), ''[https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA4 Euler's Greatest Hits]'', [[Mathematical Association of America]] {{ISBN|978-0-88385-563-8}}
*{{citation |title= A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics |first= David |last= Stipp |year=2017 |publisher= [[Basic Books]]}}
*Wells, David (1990), "Are these the most beautiful?", ''[[The Mathematical Intelligencer]]'', 12: 37–41, {{doi|10.1007/BF03024015}}
*{{citation |first= Robin |last= Wilson |author-link= Robin Wilson (mathematician) |title= Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics |publisher= [[Oxford University Press]] |year= 2018}}
*{{Citation |last1= Zeki |first1= S. |last2= Romaya |first2= J. P. |last3= Benincasa |first3= D. M. T. |last4= Atiyah |first4= M. F. |authorlink1= Semir Zeki |authorlink4= Michael Atiyah |title= The experience of mathematical beauty and its neural correlates |journal= Frontiers in Human Neuroscience |volume= 8 | year= 2014 |doi= 10.3389/fnhum.2014.00068|pmc= 3923150 }}

== Արտաքին հղումներ ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=UcGDNUDQCc4 Complete derivation of Euler's identity]
* [http://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/ Intuitive understanding of Euler's formula]

[[Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզ]]
[[Կատեգորիա:Լեոնարդ Էյլեր]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական թեորեմներ]]
[[Կատեգորիա:Պի]]
[[Կատեգորիա:Հավասարումներ]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական նույնություններ]]