Դիտել Թեյլորի շարք էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:sintay_SVG.svg|thumb|300px|Թեյլորի բազմանդամի աստիճանի աճի դեպքում այն ձգտում է ճիշտ ֆունկցիային։ Այս գրաֆիկում երևում է <math>\sin{x}</math> ֆունկցիան և իր Թեյլորի մոտարկումը <span style="color:red;">'''1'''</span>-ին, <span style="color:orange;">'''3'''</span>-րդ, <span style="color:yellow;">'''5'''</span>-րդ, <span style="color:lime;">'''7'''</span>-րդ, <span style="color:blue;">'''9'''</span>-րդ, <span style="color:indigo;">'''11'''</span>-րդ և <span style="color:violet;">'''13'''</span>-րդ կարգի Թեյլորի բազմանդամներով։]]
[[Պատկեր:Exp series.gif|right|thumb|<math>e^x</math> [[ցուցչային ֆունկցիա]]ն (կապույտ) և 0 կետում իր Թեյլորի շարքի առաջին <math>n+1</math> անդամների գումարը (կարմիր)։]]

'''Թեյլորի շարք''', [[մաթեմատիկա]]յում ֆունկցիան անվերջ շարքի տեսքով ներկայացում, որի անդամները ստացվում են որոշակի կետում [[Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)|ֆունկցիայի]] տարբեր կարգի [[ֆունկցիայի ածանցյալ|ածանցյալ]]ների արժեքներից։

Թեյլորի շարքի հասկացությունը ձևակերպել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս [[Ջեյմս Գրեգորի (մաթեմատիկոս)|Ջեյմս Գրեգորին]], սակայն ֆորմալ ներկայացրել է անգլիացի մաթեմատիկոս [[Բրուկ Թեյլոր]]ը 1715 թվականին։ Եթե Թեյլորի շարքի կենտրոնը 0-ն է, այն նաև կոչվում է '''Մակլորենի շարք'''՝ ի պատիվ շոտլանդացի մաթեմատիկոս [[Քոլին ՄաքԼորին]]ի, որը [[18-րդ դար]]ում լայնորեն օգտագործել է Թեյլորի շարքի մասնավոր դեպքերը։

Ֆունկցիան կարելի է մոտարկել՝ օգտագործելով իր՝ Թեյլորի շարքի վերջավոր քանակությամբ անդամներ։ [[Թեյլորի թեորեմ]]ը նման մոտարկման համար քանակական գնահատական է տալիս։ Թեյլորի շարքերի վերջավոր քանակությամբ անդամներով կազմված [[բազմանդամ]]ը կոչվում է Թեյլորի բազմանդամ։ Ֆունկցիայի Թեյլորի շարքն այդ ֆունկցիայի Թեյլորի բազմանդամի սահմանն է, երբ աստիճանն աճում է, եթե սահմանը գոյություն ունի։ Ֆունկցիան կարող է հավասար չլինել իր Թեյլորի շարքին, նույնիսկ եթե Թեյլորի շարքը ցանկացած կերտում [[Տարամիտություն և զուգամիտություն|զուգամետ]] է։ Այն ֆունկցիաները, որոնք բաց միջակայքում (կամ շրջան կոմպլեքս հարթությունում) հավասար են իրենց Թեյլորի շարքին, կոչվում են [[անալիտիկ ֆունկցիա]]ներ այդ միջակայքում։

== Սահմանում ==
<math>a</math> կետում ցանկացած կարգի ածանցյալ ունեցող իրական կամ կոմպլեքս <math>f(x)</math> ֆունկցիայի Թեյլորի շարքն [[աստիճանային շարք]] է,
:<math>f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots, </math>

կամ
:<math> \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n},</math>

որտեղ <math>n!</math>-ը <math>n</math>-ի [[ֆակտորիալ]]ն է, իսկ <math>f^{(n)}(a)</math>-ը <math>a</math> կետում <math>f</math> ֆունկցիայի <math>n</math>-րդ կարգի ածանցյալն է<ref>{{Cite book |last=Մուսոյան |first=Վիդոկ |url=http://publishing.ysu.am/files/Mat_analiz.pdf |title=Մաթեմատիկական անալիզ |publisher=ԵՊՀ հրատարակչություն |year=2018 |isbn=978-5-8084-2264-3 |volume=մաս 1 |location=Երևան |pages=298 |chapter=Գլուխ IX․ Թեյլորի շարքեր}}</ref>։ Ըստ սահմանման՝ <math>f</math>-ի 0-րդ ածանցյալը հավասար է հենց <math>f</math>-ին, իսկ <math>(x-a)^0</math>-ը և <math>0!</math>-ը՝ 1-ի։ <math>a=0</math> դեպքում շարքը կոչվում է Մակլորենի շարք<ref>{{harvnb|Thomas|Finney|1996|loc=§8.9}}</ref>։

== Օրինակներ ==
Բազմանդամի Թեյլորի շարքը հենց այդ բազմանդամն է։

<math>\frac{1}{1-x}</math>-ի Մակլորենի շարքը [[երկրաչափական շարք]] է

:<math>1+x+x^2+x^3+\cdots</math>

հետևաբար՝ <math>a=1</math> կետում <math>\frac{1}{x}</math>-ի Թեյլորի շարքն է՝

:<math>1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots</math>:

Ինտեգրելով այս շարքը՝ ստանում ենք,  <math>\ln{(1-x)}</math>-ի, Մակլորենի շարքը, որտեղ <math>\ln</math>-ը [[Լոգարիթմ|բնական լոգարիթմն]] է

:<math>-x-\tfrac{1}{2}x^2-\tfrac{1}{3}x^3-\tfrac{1}{4}x^4-\cdots</math>

Համապատասխանաբար՝ <math>a=1</math> կետում <math>\log{x}</math>-ի Թեյլորի շարքն է՝

:<math>(x-1)-\tfrac{1}{2}(x-1)^2+\tfrac{1}{3}(x-1)^3-\tfrac{1}{4}(x-1)^4+\cdots,</math>

Ընդհանուր առմամբ, զրոյից տարբեր կամայական <math>a</math> կետում <math>\ln{x}</math> ֆունկցիայի Թեյլորի շարքն է

:<math>\ln a + \frac{1}{a} (x - a) - \frac{1}{a^2}\frac{\left(x - a\right)^2}{2} + \cdots</math>։

<math>a=0</math> կետում  <math>e^x</math> ցուցչային ֆունկցիայի Թեյլորի շարքն ունի

:<math>\begin{align}
   \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} &= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \\
   &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.
 \end{align}</math>

տեսքը, քանի որ <math>x</math>-ի նկատմամբ <math>e^x</math>-ի ածանցյալը հավասար է <math>e^x</math>-ի, իսկ <math>e^0 = 1</math>։ Արդյունքում՝ համարիչն ունենում է <math>(x-0)^n</math> տեսքը, իսկ հայտարարը՝ <math>n!</math>։

== Պատմություն ==
Հույն փիլիսոփա [[Զենոն Էլեացի]]ն քննարկել է անվերջ շարքի անդամները գումարելով վերջավոր արժեք ստանալու խնդիրը, սակայն այն անհնար է համարել<ref>{{Cite book |last1=Lindberg |first1=David |url=https://archive.org/details/beginningsofwest0000lind_d9a5 |title=The Beginnings of Western Science |date=2007 |publisher=University of Chicago Press |isbn=978-0-226-48205-7 |edition=2nd |page=[https://archive.org/details/beginningsofwest0000lind_d9a5/page/33 33]}}</ref>, ինչի արդյունքն է [[Զենոնի ապորիաներ|Զենոնի պարադոքս]]ը։ Հետագայում, [[Արիստոտել]]ը ներկայացրել է պարադոքսի փիլիսոփայական լուծումը, բայց մաթեմատիկական մասը չլուծված է մնացել մինչև Արքիմեդեսի սպառման մեթոդի մշակումը<ref>{{Cite book |last=Kline |first=M. |url=https://archive.org/details/mathematicalthou00klin |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |publisher=Oxford University Press |year=1990 |isbn=0-19-506135-7 |location=New York |pages=[https://archive.org/details/mathematicalthou00klin/page/n437 35]–37 |url-access=registration}}</ref>։ Լիու Հուին դարեր անց անկախ մշակել է նման մեթոդ<ref>{{Cite book |last=Boyer |first=C. |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye |title=A History of Mathematics |last2=Merzbach |first2=U. |publisher=John Wiley and Sons |year=1991 |isbn=0-471-09763-2 |edition=Second revised |pages=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/202 202–203] |url-access=registration}}<!--I'm sure there are better refs than this. Hui gave fairly "rigorous" bounds on the convergence, if I recall. But it isn't addressed here.--></ref>։

14-րդ դարում Թեյլորի շարքի և նման մեթոդների առաջին օրինակները տվել է հնդիկ մաթեմատիկոս Մադհավա Սանգամագրամացին<ref name="MAT 314">{{Cite web |title=Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala |url=http://www.pas.rochester.edu/~rajeev/papers/canisiustalks.pdf |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150223113517/http://www.pas.rochester.edu/~rajeev/papers/canisiustalks.pdf |archivedate=2015 թ․ փետրվարի 23 |accessdate=2006 թ․ հուլիսի 9 |website=MAT 314 |publisher=Canisius College}}</ref><ref name="dani">{{Cite journal |last=S. G. Dani |year=2012 |title=Ancient Indian Mathematics – A Conspectus |journal=Resonance |volume=17 |issue=3 |pages=236–246 |doi=10.1007/s12045-012-0022-y}}</ref>։ Չնայած իր աշխատանքները չեն պահպանվել, հետագա հնդիկ մաթեմատիկոսների գրառումները վկայում են, որ նա գտել է Թեյլորի շարքի մի քանի մասնավոր դեպքեր, ներառյալ՝ սինուս, կոսինուս, տանգես և արկտանգես եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ներկայացումը։ Աստղագիտության և մաթեմատիկայի [[Կերալա]]յի դպրոցը մինչև 16-րդ դարը համալրել է այս ֆունկցիաների ցանկը։

17-րդ դարում [[Ջեյմս Գրեգորի (մաթեմատիկոս)|Ջեյմս Գրեգորին]] աշխատել է այս բնագավառում և հրատարակել է որոշ Մակլորանի շարքեր։ 1715 թվականին Բրուկ Թեյլորը, որի անվամբ հետագայում կոչվել են այս շարքերը, ապացուցել է ցանկացած ֆունկցիայի համար այս շարքը գտնելու ընդհանուր մեթոդը (եթե նման շարք գոյություն ունի)<ref>{{Cite book |last=Taylor |first=Brook |url=https://archive.org/details/UFIE003454_TO0324_PNI-2529_000000 |title=Methodus Incrementorum Directa et Inversa |date=1715 |location=London |at=p. 21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2) |language=Latin |trans-title=Direct and Reverse Methods of Incrementation}}, անգլերեն թարգմանությունը՝  {{Cite book |last=Struik |first=D. J. |url=https://archive.org/details/sourcebookinmath0000stru |title=A Source Book in Mathematics 1200–1800 |date=1969 |publisher=Harvard University Press |location=Cambridge, Massachusetts |pages=[https://archive.org/details/sourcebookinmath0000stru/page/329 329]–332}}</ref>։

Մակլորանի շարքերը կոչվել են Էդինբուգի պրոֆեսոր Քոլին Մակլորենի անվամբ, որը 18-րդ դարում հրատարակել է Թեյլորի շարքի մասնավոր դեպք։

== Անալիտիկ ֆունկցիաներ ==
[[Պատկեր:Exp neg inverse square.svg|300px|thumb|right|<math>e^{-1/x^2}</math> ֆունկցիան անալիտիկ չէ <math>x=0</math> կետում․ Թեյլորի շարքը հավասար է 0-ի, սակայն ֆուկցիայի արժեքը 0 չէ։]]
{{հիմնական հոդված|անալիտիկ ֆունկցիա}}

Եթե <math>f(x)</math> ֆունկցիան տրված է որևէ աստիճանային շարքով, [[Կոմպլեքս հարթություն|կոմպլեքս հարթության]] <math>b</math> կենտրոնով  ինչ-որ բաց շրջանում (կամ բաց միջակայքում), որը զուգամետ է, ապա կասենք, որ ֆունկցիան այս շրջանում անալիտիկ է։ Այլ կերպ ասած, այս շրջանի <math>x</math>-ի համար ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

Այս բանաձևն ըստ <math>x</math>-ի <math>n</math> անգամ ածանցնելով և <math>x=b</math> տեղադրելով կստանանք՝
:<math>\frac{f^{(n)}(b)}{n!} = a_n</math>
այսինքն, աստիճանային շարքը հավասար է Թեյլորի շարքին։ Այսպիսով, ֆունկցիան <math>b</math> կենտրոնով բաց շրջանում անալիտիկ է այն և միայն այն դեպքում, երբ ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը շրջանի կամայական կետում զուգամիտում է ֆունկցիայի արժեքին։

Եթե <math>f(x)</math> ֆունկցիան կոմպլեքս հարթության կամայական կետում հավասար է իր Թեյլորի շարքին, ուրեմն ֆունկցիան կոչվում է ամբողջական ֆունկցիա։ [[Բազմանդամներ]]ը, [[ցուցչային ֆունկցիա|ցուցչային]] <math>e^x</math> ֆունկցիան, և եռանկյունաչափական սինուս և կոսինուս ֆունկցիաներն ամբողջական ֆունկցիաների օրինակներ են։ [[Լոգարիթմ]]ը, տանգեսը, արկտանգեսը ոչ ամբողջական ֆունկցիաների օրինակներ են։ Այս ֆունկցիաների դեպքում Թեյլորի շարքը չի զուգամիտում, եթե <math>x</math>-ը շատ հեռու է <math>b</math> կետից։ Այլ կերպ ասած, Թեյլորի շարքը տարամիտում է, երբ <math>x</math> և <math>b</math> կետերի միջև հեռավորությունը մեծ է զուգամիտության շառավղից։ Թեյլորի շարքը կարող է օգտագործվել ամբողջական ֆունկցիաների արժեքը կամայական կետում հաշվելու համար, եթե որևէ կետում ֆունկցիայի և նրա բոլոր ածանցյալների արժեքը հայտնի է։

Թեյլորի շարքի կիրառություններից են՝
# Թեյլորի բազմանդամի մասնակի անդամների գումարը կարող է օգտագործվել ֆունկցիայի մոտարկման համար։ Այս մոտարկումները լավ են, եթե բավարար քանակությամբ անդամներ են ներառվում։
# Աստիճանային շարքերը կարելի է անդամ առ անդամ ածանցել և ինտեգրել, ինչը սովորաբար ավելի հեշտ է։
# Կոմպլեքս հարթության բաց շրջանում անալիտիկ ֆունկցիան միակորեն ընդլայնվում է հոլոմորֆ ֆունկցիայի։ Սա կարևոր դեր ունի կոմպլեքս անալիզում։
# Շարքի առաջին վերջավոր թվով անդամներն օգտագործվում են ֆունկցիաների արժեքը մոտարկելու համար։
# Հարնահաշվական գործողությունները հեշտորեն կարել է կատարել աստիճանային շարքերի ներկայացման հետ․ օրինակ՝ Էյլերի բանաձևը հետևում է եռանկյունաչափական և աստիճանային ֆունկիցաների Թեյլորի շարքից։ Այս արդյունքը հիմնարար նշանակություն ունի այնպիսի բնագավառներում ինչպիսին է [[հարմոնիկ անալիզ]]ը։
# Թեյլորի շարքի առաջին անդամներով մոտարկումներն այլ դեպքում անլուծելի խնդիրները կարող են սահմանափակված տիրույթում լուծելի դարձնել։ Այս մեթոդը հաճախ կիրառվում է ֆիզիկայում։

== Մոտարկման սխալ և զուգամիտում ==
{{main|Թեյլորի թեորեմ}}
[[Պատկեր:Taylorsine.svg|300px|thumb|right|Սինուս ֆունկցիան (կապույտ) սկզբնակետում կենտրոնացած ամբողջական պարբերության համար լավ մոտարկված է 7—րդ կարգի Թեյլորի շարքով (վարդագույն)։]]
[[Image:LogTay.svg|300px|thumb|right|<math>\ln{(1+x)}</math> ֆունկցիայի Թեյլորի բազմանդամը ճշգրիտ մոտարկում է ֆունկցիան միայն <math>-1 < x \leq 1</math> միջակայքում։ <math>x > 1</math> դեպքում ավելի բարձր կարգի Թեյլորի բազմանդամներն ավելի վատ են մոտարկում։]]
[[Image:Logarithm GIF.gif|300px|thumb|right|<math>\ln{(1+x)}</math> ֆունկցիայի (սև) Թեյլորի մոտարկումը: <math>x > 1</math> դեպքում մոտարկումը տարամիտում է։]]
Աջ կողմի գրաֆիկում ցույց է տրված <math>\sin{x}</math> ֆունկցայի մոտարկումը <math>x=0</math> կետում։ Վարդագույն կորը 7-րդ կարգի Թեյլորի բազմանդամի գրաֆիկն է․

:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}</math>։

Այս մոտարկման սխալը չի գերազանցում <math>\frac{|x|^9}{9!}</math>-ը։ Մասնավորապես՝ սխալը փոքր է 0.000003-ից, երբ <math>-1 < x < 1</math>։

Ի տարբերություն սինուս ֆունկցիայի, բնական լոգարիթմի ֆունկցիան ոչ բոլոր արժեքների դեպքում է լավ մոտարկվում իր Թեյլորի բազմանդամով։ Այսպես, աջ կողմի երկրորդ գրաֆիկում պատկերված է <math>\ln{(1+x)}</math> ֆունկցիան և <math>a=0</math> կետում դրա մի քանի Թեյլորի բազմանդամները։ Այս մոտարկումները զուգամիտում են ֆունկցիային միայն <math>-1 < x \leq 1</math> միջակայքում, որից դուրս գտնվող <math>x</math>-երի համար ավելի բարձր կարգի բազմանդամներն ավելի վատ մոտարկումներ են <math>\ln{(1+x)}</math> ֆունկցիայի համար։ Ֆունկցիան իր Թեյլորի շարքով մոտարկելիս ստացված սխալը կոչում են մնացորդ և նշանակում են <math>R^n(x)</math>-ով։ Թեյլորի թեորեմի միջոցով հնարավոր է մոտարկել մնացորդը։

Ընդհանուր առմամբ, Թեյլորի շարքերը ոչ միշտ է [[զուգամիտող շարքեր|զուգամիտում]]։ Իրականում զուգամետ Թեյլորի շարք ունեցող ֆունկցիաների բազմությունը [[ողորկ ֆունկցիա]]ների բազմության Ֆրեշեի տարածությունում առաջին կատեգորիայի բազմություն է։ Նույնիսկ եթե <math>f</math> ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը զուգամիտում է, դրա սահմանն անհրաժեշտորեն հավասար չէ <math>f(x)</math>-ին։ Օրինակ՝

:<math>
f(x) = \begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{եթե } x\neq0\\
0&\text{եթե } x=0
\end{cases}
</math>
ֆունկցիան անվերջ ածանցելի է <math>x=0</math> կետում, ընդ որում՝ այդ կետում բոլոր ածանցյալները հավասար են զրոյի։ Հետևաբար՝ <math>f(x)</math> ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը <math>x=0</math> կետում հաստատուն զրոյական ֆունկցիան է։ Սակայն, <math>f(x)</math> ֆունկցիան զրոյի հավասար չէ, հետևաբար սկզբնակետի շրջակայքում հավասար չէ իր Թեյլորի շարքին<ref>{{Cite book |last=Գրիգորյան |first=Մարտին |url=http://publishing.ysu.am/hy/1438494980 |title=Իրական անալիզի ընտրովի բաժիններ |last2=Գալոյան |first2=Լևոն |last3=Կոբելյան |first3=Արթուր |publisher=ԵՊՀ հրատարակչություն |year=2015 |isbn=978-5-8084-2005-2 |location=Երևան |pages=35}}</ref>։ Այսպիսով, <math>f(x)</math> ֆունկցիան [[ոչ անալիտիկ ողորկ ֆունկցիա]]յի օրինակ է։

[[Իրական անալիզ]]ում այս օրինակը ցույց է տալիս, որ գոյություն ունեն անվերջ ածանցելի <math>f(x)</math> ֆունկցիաներ, որոնց Թեյլորը շարքը հավասար չէ <math>f(x)</math>-ին՝ նույնիսկ, եթե շարքը զուգամիտում է։ Ի տարբերություն սրա, [[կոմպլեքս անալիզ]]ում ուսումնասիրվող [[հոլոմորֆ ֆունկցիա]]ները միշտ ունենում են զուգամիտող Թեյլորի շարք, և նույնիսկ [[մերոմորֆ ֆունկցիաներ]]ի, որոնք կարող են եզակիություն ունենալ, Թեյլորի շարքը երբեք չի զուգամիտում ֆունկցիայի արժեքից տարբեր արժեքի։ Վերևում բերված օրինակը չի հակասում այս պնդմանը, քանի որ <math>e^{-\frac{1}{z^2}}</math> ֆունկցիան չի ձգտում զրոյի, երբ <math>z</math>-ը ձգտում է զրոյի կոմպլեքս առանցքով, հետևաբար այն կոմպլեքս հարթությունում [[Անընդհատ արտապատկերում|անընդհատ]] չէ և իր Թեյլորի շարքը սահմանված չէ 0 կետում։

Առհասարակ,  իրական և կոմպլեքս թվերի կամայական հաջորդականություն կարող է լինել իրական առանցքի վրա սահմանված անվերջ ածանցելի ֆունկցիայի՝ Թեյլորի շարքի գործակիցներ (Բորելի լեմմայի հետևանք)։ Արդյունքում, Թեյլորի շարքի զուգամիտության շառավիղը կարող է լինել զրո։ Նույնիսկ գոյություն իրական առանցքի վրա սահմանված ունեն անվերջ ածանցելի ֆունկցիաներ, որոնց Թեյլորի շարքի զուգամիտության շառավիղը զրո է կամայական կետում<ref>{{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Real and Complex Analysis |page=418, Exercise 13 |year=1980 |place=New Dehli |publisher=McGraw-Hill |isbn=0-07-099557-5}}</ref>։

Հնարավոր չէ [[Եզակի կետ (ֆունկցիա)|եզակի կետում]] ֆունկցիան ներկայացնել Թեյլորի շարքով․ այս դեպքերում հնարավոր է ֆունկցիան ներկայացնել շարքի տեսքով, եթե թույլատրվի <math>x</math> փոփոխականի բացասական ցուցիչով աստիճաններ (տես [[Լորանի շարք]])։ Օրինակ` <math>f(x) = e^{-1/x^2}</math> ֆունկցիան հնարավոր է ներկայացնել Լորանի շարքով։

=== Ընդհանրացում ===
Գոյություն ունի Թեյլորի շարքի ընդհանրացում<ref>{{Citation |last=Feller |first=William |title=An introduction to probability theory and its applications, Volume 2 |pages=230–232 |year=1971 |edition=3rd |publisher=Wiley}}.</ref><ref>{{Citation |last1=Hille |first1=Einar |title=Functional analysis and semi-groups |volume=31 |pages=300–327 |year=1957 |series=AMS Colloquium Publications |publisher=American Mathematical Society |last2=Phillips |first2=Ralph S.}}.</ref>, որը <math>(0, \infty)</math> միջակայքում կամայական սահմանափակ անընդհատ ֆունկցիայի համար զուգամիտում է ֆունկցիայի արժեքին՝ օգտվելով [[վերջավոր տարբերությունների հաշիվ|վերջավոր տարբերությունների հաշվից]]։ Մասնավորապես՝ Էինար Հիլլը կամայական <math>t > 0</math> թվի համար ապացուցել է հետևյալ թեորեմը՝ 
:<math>\lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t)</math>։
Այստեղ <math>\Delta_h^n</math>-ը <math>h</math> չափի <math>n</math>-րդ վերջավոր տարբերության օպերատորն է։ Այս շարքը Թեյլորի շարքից տարբերվում է նրանով, որ ածանցյալի փոխարեն օգտագործվում է վերջավոր տարբերություն․ շարքը նման է Նյուտոնի շարքին (տես [[Վերջավոր տարբերությունների հաշիվ]])։ Եթե <math>f</math> ֆունկցիան անալիտիկ է <math>a</math> կետում, ապա շարքի անդամները զուգամիտում են Թեյլորի շարքի անդամներին, հետևաբար՝ այս առումով ընդհանրացնում են սովորական Թեյլորի շարքը։

Ընդհանուր առմամաբ, կամայական <math>a_i</math> անվերջ հաջորդականության համար ճիշտ է հետևյալ առնչությունը․ 
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}\Delta^na_i = e^{-u}\sum_{j=0}^\infty\frac{u^j}{j!}a_{i+j}</math>։
Մասնավորապես՝
:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} e^{-\frac{t}{h}}\sum_{j=0}^\infty f(a+jh) \frac{\left(\frac{t}{h}\right)^j}{j!}</math>։
Աջ կողմի շարքը <math>f(a+X)</math> ֆունկցիայի մաթեմատիկական [[Մաթեմատիկական սպասում|սպասում]]ն է, որտեղ <math>X</math>-ը [[Պուասոնի բաշխում|Պուասոնի բաշխմամբ]] պատահական փոփոխական է, որն ընդունում է <math>jh</math> արժեքը <math>e^{-t/h}\frac{(t/h)^j}{j!}</math> հավանականությամբ։ Հետևաբար՝

:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty f(a+x)dP_{\frac{t}{h},h}(x)</math>։
Այս նույնությունը ճիշտ է ըստ [[մեծ թվերի օրենք]]ի<ref>{{Cite book |last=Feller |first=William |title=An introduction to probability theory and its applications |year=1970 |edition=3 |volume=2 |page=231}}</ref>։

== Որոշ հայտնի ֆունկցիաների Մակլորենի շարքերի ցանկ ==
[[Պատկեր:TaylorCosCosEnhanced.svg|150px|thumb|right|Կոսինուս ֆունկցիայի իրական մասը կոմպլեքս հարթությունում]]
[[Պատկեր:TaylorCosPolSVG.svg|150px|thumb|right|Կոմպլեքս հարթությունում կոսինուս ֆունկցիայի 8-րդ կարգի մոտարկումը]]
[[Պատկեր:TaylorCosAllSVG.svg|150px|thumb|right|Վերևի երկու կորերը միասին]]
[[Պատկեր:TaylorCosAnim.gif|280px|thumb|right|Մոտարկման անիմացիա]]

Որոշ նշանավոր Մակլորենի շարքեր<ref>Այս շարքերի մեծ մասը կարելի է գտնել {{harv|Abramowitz|Stegun|1970}} գրքում։</ref>։ Այս բոլոր շարքերը վավեր են կոմպլեքս <math>x</math> արգումենտի համար։

=== Ցուցչային ֆունկցիա ===
<math>e^x</math> [[ցուցչային ֆունկցիա]]յի ([[e թիվ|<math>e</math>]] հիմքով) Մակլորենի շարքն է<ref name="Musoyan300">{{Cite book |last=Մուսոյան |first=Վիդոկ |url=http://publishing.ysu.am/files/Mat_analiz.pdf |title=Մաթեմատիկական անալիզ |publisher=ԵՊՀ հրատարակչություն |year=2018 |isbn=978-5-8084-2264-3 |volume=մաս 1 |location=Երևան |pages=300 |chapter=Գլուխ IX․ Թեյլորի շարքեր}}</ref>՝
:<math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots </math>։
Այն զուգամենտ է ցանկացած <math>x</math>-ի համար։

=== Բնական լոգարիթմ ===
[[Բնական լոգարիթմ]]ի ([[e թիվ|<math>e</math>]] հիմքով) Մակլորենի շարքն է՝
:<math>\begin{align}
\ln(1-x) &= - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \cdots, \\
\ln(1+x) &= \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots .
\end{align}</math>
Որոնք զուգամետ են, երբ <math>|x| < 1</math> (<math>\ln{(1-x)}</math> ֆունկցիան զուգամետ է, երբ <math>x=-1</math>, իսկ <math>\ln{(1+x)}</math>-ը՝ <math>x=1</math> դեպքում)։

=== Երկրաչափական շարքեր ===
Երկրաչափական շարքերը և նրանց ածանցյալներն ունեն Մակլորենի շարք․
:<math>\begin{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum^\infty_{n=0} x^n \\
\frac{1}{(1-x)^2} &= \sum^\infty_{n=1} nx^{n-1}\\
\frac{1}{(1-x)^3} &= \sum^\infty_{n=2} \frac{(n-1)n}{2} x^{n-2}.
\end{align}</math>
Այս բոլոր շարքերը զուգամետ են <math>|x| < 1</math> դեպքում։ Սրանք բոլորը բինոմական շարքերի մասնավոր օրինակներ դեպքեր են։

=== Բինոմական շարքեր ===
Բինոմական շարքերն աստիճանային շարքեր են

:<math>(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n</math>

որոնց գործակիցները հավասար են՝
: <math>\binom{\alpha}{n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math>։

(<math>n=0</math> դեպքում արտադրյալը կոչվում է դատարկ [[արտադրյալ]], որը հավասար է 1-ի)։ Այն կամայական իրական կամ կոմպլեքս <math>\alpha</math> թվի համար զուգամետ է, երբ <math>|x| < 1</math>։

Երբ <math>\alpha=-1</math>, շարքը նույն նախորդ բաժնում նշված երկրաչափական շարքն է։ <math>\alpha=\frac{1}{2}</math> և <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math> մասնավոր դեպքերում շարքն ունի հետևյալ տեսքը՝

:<math>\begin{align} 
(1+x)^\frac12 &= 1 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{8}x^2 + \tfrac{1}{16}x^3 - \tfrac{5}{128}x^4 + \tfrac{7}{256}x^5 - \ldots, \\
(1+x)^{-\frac12} &= 1 -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{8}x^2 - \tfrac{5}{16}x^3 + \tfrac{35}{128}x^4 - \tfrac{63}{256}x^5 + \ldots
\end{align}</math>

=== Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ ===
[[Եռանկյունաչափական ֆունկցիա]]ների և նրանց հակադարձ ֆունկցիաների Մակլորենի շարքերը<ref name="Musoyan300"/><!-- այս աղբյուրը վերաբերում է միայն սինուս, կոսինուս և արկտանգես ֆունկցիաներին -->՝ 
:<math>\begin{align}
\sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \text{բոլոր x-երի համար } \\[6pt]
\cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \text{բոլոր x-երի համար }\\[6pt]
\tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots && \text{երբ }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \text{երբ }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \text{երբ }|x| \le 1\\[6pt]
\arccos x &=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\frac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}+\cdots&& \text{երբ }|x| \le 1\\[6pt]
\arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots && \text{երբ }|x| \le 1,\ x\neq\pm i
\end{align}</math>

Բոլոր անկյունները ներկայացված են ռադիաներով։ <math>B_k</math>-ը [[Բերնուլիի թիվ]]ն է, <math>E_k</math>-ն՝ Էյլերի թիվը, որը սահմանված է 
:<math>\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty  \frac{E_n}{n!} \cdot t^n</math>
որտեղ <math>\cosh{t}</math>-ը հիպերբոլական կոսինուսն է։

=== Հիպերբոլական ֆունկցիաներ ===
[[Հիպերբոլական ֆունկցիա]]ների Մակլորենի շարքերն են՝
:<math>\begin{align}
\sinh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots && \text{բոլոր x-երի համար }\\[6pt]
\cosh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} &&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots && \text{բոլոր x-երի համար }\\[6pt]
\tanh x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots && \text{երբ }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\operatorname{arsinh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} && && \text{երբ }|x| \le 1\\[6pt]
\operatorname{artanh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} && && \text{երբ }|x| \le 1,\ x\neq\pm 1
\end{align}</math>

<math>B_k</math>-ը Բերնուլիի թիվն է։

=== Բազմալոգարիթմական ֆունկցիաներ ===
[[Բազմալոգարիթմներ]]ը (նաև կոչվում են Ջոնկիերի ֆունկցիա) ունեն հետևյալ հատկությունները՝

<math display="block">\begin{align}
\text{Li}_{2}(x) &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} x^{n} \\\text{Li}_{3}(x) &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^3} x^{n}
\end{align}</math>

[[Լեժանդրի խի ֆունկցիաներ]]ը սահմանվում են հետևյալ կերպ՝

<math display="block">\begin{align}
\chi_{2}(x) &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2n + 1)^2} x^{2n + 1} \\
\chi_{3}(x) &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2n + 1)^3} x^{2n + 1}
\end{align}</math>

Հետևյալ հավասարումները կոչվում են հակադարձ տանգեսի ինտեգրալ.

<math display="block">\begin{align}
\text{Ti}_{2}(x) &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)^2} x^{2n + 1} \\
\text{Ti}_{3}(x) &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)^3} x^{2n + 1}
\end{align}</math>

Այս հավասարումները կարևոր նշանակություն ունեն [[Վիճակագրական մեխանիկա|վիճակագրական ջերմադինամիկայում]]։

=== Էլիպստիկ ֆունկցիաներ ===
Առաջին տեսակի K և երկրորդ տեսակի E լրիվ էլիպտիկինտեգրալները սահմանվում են որպես՝

<math display="block">\begin{align}
\frac{2}{\pi}K(x) &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{[(2n)!]^2}{16^{n}(n!)^4}x^{2n} \\
\frac{2}{\pi}E(x) &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{[(2n)!]^2}{(1 - 2n)16^{n}(n!)^4}x^{2n}
\end{align}</math>

Յակոբի թետա ֆունկցիաները, որոնք  էլիպտիկ մոդուլային ֆունկցիաների աշխարհը, սահմանվում են Թեյլորի շարքերով.

<math display="block">\begin{align}
\vartheta_{00}(x) &= 1 + 2\sum_{n = 1}^{\infty} x^{n^2} \\
\vartheta_{01}(x) &= 1 + 2\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} x^{n^2}
\end{align}</math>

Սովորական [[մասնատման ֆունկցիա (թվերի տեսություն)|մասնատման թվերի]] P(n) հաջորդականությունը ունի հետևյալ գեներացնող ֆունկցիան՝

<math display="block">\vartheta_{00}(x)^{-1/6}\vartheta_{01}(x)^{-2/3}\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x)^4 - \vartheta_{01}(x)^4}{16\,x}\biggr]^{-1/24} = \sum_{n=0}^{\infty} P(n)x^n = \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{k}}</math> 

Խիստ մասնատման թվերի Q(n) հաջորդականությունը ունի հետևյալ գեներացնող ֆունկցիան՝

<math display="block">\vartheta_{00}(x)^{1/6}\vartheta_{01}(x)^{-1/3}\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x)^4 - \vartheta_{01}(x)^4}{16\,x}\biggr]^{1/24} = \sum_{n=0}^{\infty} Q(n)x^n = \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{2k - 1}}</math>

== Թեյլորի շարքի հաշվում ==
Մեծ թվով ֆունկցիաների համար գոյություն ունեն Թեյլորի շարքի հաշվման որոշ մեթոդներ։ Այն կարելի է հաշվել օգտվելով հենց շարքի սահմանումից, սակայն այս պարագայում հաճախ անհրաժեշտ է լինում առաջին մի քանի անդամների տեսքից գտնել գործակիցների համար ընդհանուր բանաձև։ Օգտվելով արդեն հայտնի Թեյլորի շարքերից կարելի է գտնել այլ ֆունկցիաների Թեյլորի շարքերը՝ օգտագործելով գումարման, հանման, բաժանման կամ բազմապատկման գործողություններ։ Որոշ դեպքերում հնարավոր է պարբերաբար [[մասերով ինտեգրում|մասերով ինտեգրման]] միջոցով կառուցել Թեյլորի շարք։ Հնարավոր է նաև օգտագործել համակարգչային հանրահաշվական մեթոդներ՝ Թեյլորի շարք գտնելու համար։

=== Առաջին օրինակ ===
Այս ֆունկցիայի Մակլորենի շարքի 7-րդ անդամը գտնելու համար
:<math>f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)</math>,
կարելի է այն ներկայացնել այս տեսքով։
:<math>f(x)=\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)\!</math>:
Բնական լոգարիթմի Թեյլորի շարքը հավասար է՝ (օգտագործելով միևնույն կարգի ֆունկցիաների նշանակումը)
:<math>\ln(1+x) = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 + {O}\left(x^4\right)\!</math>
իսկ կոսինուս ֆունկցիայինը՝
:<math>\cos x - 1 = -\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + {O}\left(x^8\right)\!</math>։
Վերջինս ունի զրո հաստատուն անդամ, ինչը թույլ է տալիս առաջին շարքի մեջ տեղադրել երկրորդ շարքը՝ միևնույն կարգի ֆունկցիաների նշանակմամբ ազատվելով 7-ից բարձր կարգ ունեցող անդամներից՝

:<math>\begin{align}f(x)&=\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)\\
&=(\cos x-1) - \tfrac12(\cos x-1)^2 + \tfrac13(\cos x-1)^3+ {O}\left((\cos x-1)^4\right)\\
&=\left(-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} +{O}\left(x^8\right)\right)-\frac12\left(-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+{O}\left(x^6\right)\right)^2+\frac13\left(-\frac{x^2}2+O\left(x^4\right)\right)^3 + {O}\left(x^8\right)\\ & =-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720} - \frac{x^4}8 + \frac{x^6}{48} - \frac{x^6}{24} +O\left(x^8\right)\\
& =- \frac{x^2}2 - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45}+O\left(x^8\right)\text{։} \end{align}\!</math>
Քանի որ կուսինուսը զույգ ֆունկցիա է, բոլոր կենտ աստիճանի անդամների <math>x, x^3, x^5, x^7,...</math> գործակիցները զրո են։

=== Երկրորդ օրինակ ===
Ենթադրենք ցանկանում ենք գտնել
: <math>g(x)=\frac{e^x}{\cos x}\!</math>
ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը 0 կետում։ Ունենալով աստիճանային ֆունկցիայի և կոսինուսի Թեյլորի շարքրը՝
: <math>e^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots\!</math>
: <math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\!</math>,
Կարելի է ենթադրել, որ աստիճանային շարքն է՝
: <math>\frac{e^x}{\cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\!</math>,
այնուհետև բազմապատկելով հայտարարի հետ և տեղադրելով կոսինուսի շարքը, ստանում ենք՝
: <math>\begin{align} e^x &= \left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\right)\cos x\\
&=\left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots\right)\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right)\\&=c_0 - \frac{c_0}{2}x^2 + \frac{c_0}{4!}x^4 + c_1x - \frac{c_1}{2}x^3 + \frac{c_1}{4!}x^5 + c_2x^2 - \frac{c_2}{2}x^4 + \frac{c_2}{4!}x^6 + c_3x^3 - \frac{c_3}{2}x^5 + \frac{c_3}{4!}x^7 + c_4x^4 +\cdots \end{align}\!</math>։
Հավաքելով մինչև 4-րդ կարգի անդամները՝ 
: <math>e^x =c_0 + c_1x + \left(c_2 - \frac{c_0}{2}\right)x^2 + \left(c_3 - \frac{c_1}{2}\right)x^3+\left(c_4-\frac{c_2}{2}+\frac{c_0}{4!}\right)x^4 + \cdots\!</math>
<math>c_i</math> անդամի արժեքը կարելի է գտնել՝ համեմատելով <math>e^x</math>-ի գործակիցների հետ․
: <math>\frac{e^x}{\cos x}=1 + x + x^2 + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{2} + \cdots\!</math>։

=== Երրորդ օրինակ ===
<math>(1+x)e^x</math> ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը գտնելու համար կարելի է օգտագործել <math>e^x</math>-ի շարքը․
: <math>e^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots.</math>
Այսպիսով,
: <math>\begin{align}(1+x)e^x &= e^x + xe^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=0} \frac{x^{n+1}}{n!} = 1 + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=0} \frac{x^{n+1}}{n!} \\ &= 1 + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{(n-1)!} =1 + \sum^\infty_{n=1}\left(\frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-1)!}\right)x^n \\ &= 1 + \sum^\infty_{n=1}\frac{n+1}{n!}x^n\\ &= \sum^\infty_{n=0}\frac{n+1}{n!}x^n:\end{align}</math>

== Թեյլորի շարքը որպես սահմանում ==
Սովորաբար հանրահաշվական ֆունկցիաները սահմանվում են հանրահաշվական հավասարումներով, իսկ տրանսցենդենտալ ֆունկցիաները՝ ինչ-որ հատկությամբ, օրինակ՝ [[դիֆերենցիալ հավասարում|դիֆերենցիալ հավասարմամբ]]։ Օրինակ՝ [[ցուցչային ֆունկցիա]]ն այն ֆունկցիան է, որը կամայական կետում հավասար է իր ածանցյալին, իսկ սկզբնակետում՝ 1-ի։ Սակայն, անալիտիկ ֆունկցիաները կարելի է նաև սահմանել իրենց Թեյլորի շարքով։

Թեյլորի շարքը մաթեմատիկայի բազմաթիվ բնագավառներում օգտագործվում է ֆունկցիաներ և օպերատորներ սահմանելու համար։ Այս մեթոդն առավելապես օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ ֆունկցիաների դասական սահմանումները չեն աշխատում։ Օրինակ, օգտագործելով Թեյլորի շարքերը հնարավոր է անալիտիկ ֆունկցիաներն ընդլայնել մատրիցների և օպերատորների բազմության վրա։

Այլ բնագավառներում, ինչպես օրինակ ֆորմալ անալիզում, ավելի հարմար է աշխատել աստիճանային շարքերի հետ։ Այսպիսով, հաճախ դիֆերենցյալ հավասարման լուծումը սահմանում են որպես աստիճանային ֆունկցիա, այն հույսով, որ հետագայում հնարավոր կլինի ապացուցել, որ այն հավասար է ցանկալի լուծման Թեյլորի շարքին։

== Թեյլորի շարքը մի քանի փոփոխականների համար ==
Թեյլորի շարքը հնարավոր է ընդհանրացնել նաև մի քանի փոփոխականով ֆունկցիաների համար<ref>{{Citation |author=Lars Hörmander |title=The analysis of partial differential operators, volume 1 |year=1990 |at=Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′ |publisher=Springer}}</ref><ref>{{Citation |author1=Duistermaat |title=Distributions: Theory and applications |year=2010 |at=ch. 6 |publisher=Birkhauser |author2=Kolk}}</ref>

:<math>\begin{align}
T(x_1,\ldots,x_d) &= \sum_{n_1=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty  \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\ldots,a_d) \\
&= f(a_1, \ldots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\ 
& \qquad \qquad + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \cdots
\end{align}</math>

Օրինակ, <math>x</math> և <math>y</math> փոփոխականներից կախված <math>f(x,y)</math> ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը <math>(a, b)</math> կետում մինչև երկրորդ կարգ հավասար է՝

:<math>f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) + \frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2 f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b) f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \Big)</math>

որտեղ <math>f</math>-ի ինդեքսներում գրվածները ցույց են տալիս համապատասխան [[մասնակի ածանցյալ]]ները։

Սկալյար արժեքով և մի քանի փոփոխականից կախված ֆունկցիայի երկրորդ կարգի Թեյլորի շարքը կարելի է գրել այսպես՝

:<math>T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} D f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} \left \{D^2 f(\mathbf{a}) \right \} (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots,</math>

որտեղ <math>Df(a)</math>-ը <math>f</math> ֆունկցիայի [[գրադիենտ]]ն է <math>x=a</math> կետում, իսկ <math>D^2f(a)</math>-ը՝ Հեսսյան մատրիցը։ Թեյլորի շարքը կարելի է գրել նաև հետևյալ տեսքով՝
:<math>T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha}{\alpha !} \left({\mathrm{\partial}^{\alpha}}f\right)(\mathbf{a}),</math>

որն առաջին բանաձևի կրճատ գրելաձևն է և նման է մեկ փոփոխականով ֆունկցիաների Թեյլորի շարքի տեսքին։
=== Օրինակ ===
[[Պատկեր:Second Order Taylor.svg|200px|thumb|right|<math>f(x, y) = e^x\log{(1+y)}</math> ֆունկցիայի երկրորդ կարգի Թեյլորի բազմանդամը (նարնջագույն) սկզբնակետի շուրջ։]]
Հետևյալ ֆունկցիայի երկրորդ կարգի Թեյլորի շարքը <math>(a, b) = (0, 0)</math> կետում հաշվելու համար
:<math>f(x,y)=e^x\log(1+y),</math>

նախ պետք է հաշվել անհրաժեշտ բոլոր մասնակի ածանցյալները՝

:<math>\begin{align}
f_x &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_y &= \frac{e^x}{1+y} \\[6pt]
f_{xx} &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_{yy}  &= - \frac{e^x}{(1+y)^2}  \\[6pt]
f_{xy} &=f_{yx} =  \frac{e^x}{1+y}\text{։}
\end{align}</math>

Թեյլորը բազմանդամի գործակիցները գտնելու համար պետք է գտնել ածանցյալների արժեքները <math>(a, b)</math> կետում,

:<math>\begin{align}
f_x(0,0) &= 0 \\
f_y(0,0) &=1 \\
f_{xx}(0,0) &=0 \\
f_{yy}(0,0) &=-1 \\
f_{xy}(0,0) &=f_{yx}(0,0)=1\text{։}
\end{align}</math>

Տեղադրելով այս արժեքներն ընդհանուր ֆունկցիայի մեջ, կստանանք՝

:<math>T(x,y) = f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) +\frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \Big)+ \cdots</math>

որը նույնն է ինչ՝

:<math>\begin{align}
T(x,y) &= 0 + 0(x-0) + 1(y-0) + \frac{1}{2}\Big( 0(x-0)^2 + 2(x-0)(y-0) + (-1)(y-0)^2 \Big) + \cdots \\
&= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots
\end{align}</math>

Քանի որ <math>\ln(1+y)</math> ֆունկցիան անալիտիկ է, երբ <math>|y| < 1</math>, կստանանք՝
:<math>e^x\ln(1+y)= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots, \qquad |y| < 1</math>։

== Համեմատություն Ֆուրիեի շարքի հետ ==
{{հիմնական|Ֆուրիեի շարք}}
Եռանկյունաչափական [[Ֆուրիեի շարք]]ը հնարավորություն է տալիս [[պարբերական ֆունկցիա]]ները (կամ <math>[a, b]</math> փակ միջակայքում սահմանված ֆունկցիաները) ներկայացնել [[եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]ի անվերջ գումարի տեսքով (սինուսի և կոսինուսի)։ Այս տեսանկյունից Ֆուրիեի շարքը նման է Թեյլորի շարքին, քանի որ վերջինն էլ թույլ է տալիս ֆունկցիան ներկայանցել [[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճանների]] անվերջ գումարի տեսքով։ Այնուամենայնիվ, երկու շարքերը որոշ հարցերում տարբերվում են․

* <math>f(x)</math> ֆունկցիայի Թեյլորի շարքի (<math>x=a</math> կետում) բոլոր վերջավոր մասերը <math>a</math> կետում հավասար են <math>f</math>-ին։ Սակայն, Ֆուրիեի շարքը հաշվվում է ամբողջ միջակայքն ինտեգրելով, հետևաբար՝ սովորաբար գոյություն չունի այնպիսի կետ, որտեղ շարքի բոլոր վերջավոր մասերը հավասար են ֆունկցիայի արժեքին։
* Թեյլորի շարքի հաշվարկը պահանջում է կետի կամայական փոքր շրջակայքում ֆունկցիայի իմացություն, մինչդեռ, Ֆուրիեի շարքի հաշվարկը պահանջում է ամբողջ տիրույթում ֆունկցիայի իմացություն։ Այս տեսանկյունից կարելի է ասել, որ Թեյլորի շարքը «լոկալ» է իսկ Ֆուրիեի շարքը՝ «գլոբալ»։
* Թեյլորի շարքը սահմանված է այն ֆունկցիաների համար, որոնք ինչ-որ կետում անվերջ ածանցելի են, մինչդեռ Ֆուրիեի շարքը սահմանված է կամայական ինտեգրելի ֆունկցիայի համար։ Ֆունկցիան անգամ կարող է ոչ մի կետում դիֆերենցելի չլինել։ (Օրինակ՝ <math>f(x)</math>-ը կարող է լինել [[Վայերշտրասի ֆունկցիա]])։ 
* Նույնիսկ եթե Թեյլորի շարքն ունի դրական զուգամիտության [[շառավիղ]], շարքը կարող է չհամընկնել ֆունկցիայի հետ, բայց եթե ֆունկցիան անալիտիկ է, ապա շարքը կետ առ կետ զուգամիտում է ֆունկցիային և հավասարաչափորեն զուգամիտում է զուգամետ միջակայքի կամայական կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Իսկ Ֆուրիեի շարքի դեպքում եթե ֆունկցիան <math>L^2</math>-ից է (ֆունկցիայի քառակուսին Լեբեգի իմաստով ինտեգրելի է), ապա շարքը զուգամիտում է միջին քառակուսային իմաստով, բայց կետ առ կետ կամ հավասարաչափ զուգամիտության համար հավելյալ պայմաններ են պետք (օրինակ՝ եթե ֆունկցիան պարբերական է և <math>C^1</math> դասից, ապա զուգամիտությունը հավասարաչափ է)։
* Գործնականում ֆունկցիան ցանկալի է մոտարկել վերջավոր անդամներով (օրինակ՝ Թեյլորի բազմանդամով կամ եռանկյունաչափական շարքերի վերջավոր գումարով)։ Թեյլորի շարքի դեպքում շարքի հաշվման կետի շրջակայքում մոտարկման սխալը փոքր է, բայց կարող է շատ մեծ լինել այդ կետից հեռու կետերում։ Ֆուրիեի շարքի դեպքում սխալը բաշխված է ֆունկցիայի ամբողջ որոշման տիրույթի վրա։

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|2}}

== Աղբյուրներ ==
*{{Citation |last1=Abramowitz |first1=Milton |title=Abramowitz and Stegun |year=1970 |location=New York |publisher=Dover Publications |id=Ninth printing |last2=Stegun |first2=Irene A.}}
*{{Citation |last1=Thomas |first1=George B., Jr. |title=Calculus and Analytic Geometry |year=1996 |edition=9th |publisher=Addison Wesley |isbn=0-201-53174-7 |last2=Finney |first2=Ross L.}}
*{{Citation |last=Greenberg |first=Michael |title=Advanced Engineering Mathematics |year=1998 |postscript=<!--none--> |edition=2nd |publisher=Prentice Hall |isbn=0-13-321431-1}}
*{{Cite book |last=Ռուդին |first=Ուոլթեր |title=Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքներ |publisher=Լույս |location=Երևան |publication-date=1975 |page=368}}

== Արտաքին հղումներ ==
{{Վիքիպահեստ|Category:Taylor series}}
* {{springer|title=Taylor series|id=p/t092320}}
* {{MathWorld| urlname= TaylorSeries| title= Taylor Series}}
* "[http://csma31.csm.jmu.edu/physics/rudmin/ParkerSochacki.htm Discussion of the Parker-Sochacki Method] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051202115417/http://csma31.csm.jmu.edu/physics/rudmin/ParkerSochacki.htm |date=2005-12-02 }}" {{ref-en}}
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/taylor_series.html Taylor series revisited for numerical methods] at [https://nm.mathforcollege.com/ Numerical Methods for the STEM Undergraduate] {{ref-en}}
* [http://www.sosmath.com/calculus/tayser/tayser01/tayser01.html Taylor series] {{ref-en}}
* [https://www.efunda.com/math/taylor_series/inverse_trig.cfm Inverse trigonometric functions Taylor series] {{ref-en}}
* {{Cite web |title=Essence of Calculus: Taylor series |url=https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4&index=11&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr |lang=en |via=[[YouTube]]}}
{{Արտաքին հղումներ}}
{{ՀՍՀ|հատոր=4|էջ=168}}

[[Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզ]]
[[Կատեգորիա:Իրական անալիզ]]
[[Կատեգորիա:Շարքեր]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ]]
[[Կատեգորիա:Բազմանդամներ]]