Դիտել Թիվ էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:NumberSetinC.svg|thumb|[[Կոմպլեքս թվեր]]ի [[ենթաբազմություն]]ներ]]
'''Թիվ,''' [[Մաթեմատիկական նշաններ|մաթեմատիկական օբյեկտ]], որ օգտագործվում է [[հաշվարկ]]ների, [[չափումներ]]ի և [[համարակալում|համարակալման]] համար։ Թվերի սկզբնական օրինակներ են [[բնական թվեր]]ը 1, 2, 3, 4 և այլն<ref>{{Cite journal |title=number, n. |url=http://www.oed.com/view/Entry/129082 |journal=OED Online |language=en-GB |publisher=Oxford University Press}}</ref>։ Նշանակման [[խորհրդանիշ]]ը, որ ներկայացնում է թիվը կոչվում է [[Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)|թվանշան]]<ref>{{Cite journal |title=numeral, adj. and n. |url=http://www.oed.com/view/Entry/129111 |journal=OED Online |publisher=Oxford University Press}}</ref>։ Հաշվարկման և չափման համար օգտագործվելուց զատ, թվերը հաճախ օգտագործվում են որպես նշաններ (ինչպես հեռախոսահամարներ), կարգավորման համար (ինչպես [[սերիական համար]]ներ) և որպես կոդ (ինչպես [[ISBN]])։ Սովորական օգտագործման ժամանակ ''թիվը'' կարող է վերաբերել նշանի, [[Թվական անուն|բառի]], կամ [[մաթեմատիկական աբստրակցիա]]յի։

Մաթեմատիկայում, հարյուրամյակների ընթացքում թվի գաղափարը ընդլայնվել է ներառելով [[0 (թիվ)|0]]-ն<ref>{{Cite news |last=Matson |first=John |title=The Origin of Zero |url=https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/ |access-date=2017 թ․ մայիսի 16 |work=Scientific American |language=en}}</ref>, [[բացասական թվեր]]ը<ref name=":0">{{Cite book |last=Hodgkin |first=Luke |url=https://books.google.am/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88#v=onepage&q&f=false |title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity |date=2005 թ․ հունիսի 2 |publisher=OUP Oxford |isbn=9780191523830 |pages=85–88 |language=en}}</ref>, [[ռացիոնալ թվեր]]ը ինչպիսիք են [[մեկ երկրորդ|{{math|{{sfrac|1|2}}}}]] և {{math|−{{sfrac|2|3}}}}, [[իրական թվեր]]ը<ref>T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–1.&nbsp;In: {{Citation |title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |year=2000 |editor1-last=Selin |editor1-first=Helaine |editor2-last=D'Ambrosio |editor2-first=Ubiratan |editor2-link=Ubiratan D'Ambrosio |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=1-4020-0260-2 |editor1-link=Helaine Selin}}.</ref>, ինչպիսիք են քառակուսի արմատ 2-ից և պի, և [[կոմպլեքս թվեր]]ը<ref>{{Citation |last=Descartes |first=René |title=La Géométrie &#124; The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition |year=1954 |url=http://www.gutenberg.org/ebooks/26400 |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=0-486-60068-8 |accessdate=2011 թ․ ապրիլի 20 |authorlink=René Descartes |origyear=1637}}</ref>, որոնք ընդլայնում են իրական թվերը ավելացնելով [[կեղծ թվեր|քառակուսի արմատ {{math|−1}}]]<ref name=":0" />։ Թվերի հետ հաշվարկները կատարվում են [[թվաբանական գործողություններ]]ով, առավել ծանոթներն են՝ [[գումարում]], [[հանում]], [[բազմապատկում]], [[բաժանում]] և [[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճան բարձրացնելը]]։ Դրանց ուսումնասիրությունը կամ օգտագործումը անվանում են [[թվաբանություն]]։ Նույն տերմինը կարող է վերաբերվել նաև [[Թվերի տեսություն|թվերի տեսությանը]], թվերի հատկությունների ուսումնասիրությանը։

Բացի իրենց գործնական կիրառություններից, թվերն ամբողջ աշխարհում ունեն իրենց մշակութային կարևորությունը<ref name="Gilsdorf">Gilsdorf, Thomas E. ''Introduction to Cultural Mathematics: With Case Studies in the Otomies and Incas'', John Wiley & Sons, Feb 24, 2012.</ref><ref name="Restivo">Restivo, S. ''Mathematics in Society and History'', Springer Science & Business Media, Nov 30, 1992.</ref>։ Օրինակ, արևմտյան հասարակությունում [[Տասներեք|13]] թիվը անհաջողություն բերող է համարվում, իսկ «միլիոնը» կարող է նշանակել «շատ»<ref name="Gilsdorf" />։ Թեև այժմ այն վերագրվում է կեղծ գիտությանը, թվերաբանությանը, թվերի առեղծվածային կարևորությանը, հին և միջնադարյան մտքի ներթափանցմանը<ref name="Ore">Ore, Oystein. ''Number Theory and Its History'', Courier Dover Publications.</ref>։ Թվերաբանությունը մեծապես ազդել է Հունական մաթեմատիկայի զարգացման վրա, խթանելով թվերի տեսության բազմաթիվ խնդիրների ուսումնասիրությանը, որոնք մինչ օրերս արդիական են<ref name="Ore" />։

19-րդ դարի ընթացքում մաթեմատիկոսներն սկսեցին մշակել բազմաթիվ տարատեսակ [[աբստրակցիա]]ներ, որոնք ունեն թվերի որոշակի հատկություններ և կարող են դիտարկվել որպես գաղափարի ընդլայնում։ Առաջիններից էին հիպերկոմպլեքս թվերը, որոնք բաղկացած են կոմպլեքս թվերի համակարգի զանազան ընդլայնումներ և  մոդիֆիկացիաներ։ Այսօր թվերի տեսությունը դիտարկվում է որպես կարևոր հատուկ օրինակներ շատ ավելի ընդհանուր կատեգորիաների, ինչպիսին [[Օղակ (մաթեմատիկա)|օղակներն]] են և [[դաշտ (մաթեմատիկա)|դաշտերը]], և «թիվ» տերմինի կիրառումը սովորույթ է, առանց հիմնարար կարևորության<ref>Gouvea, Fernando Q. ''[[The Princeton Companion to Mathematics]], Chapter II.1, "The Origins of Modern Mathematics"'', p. 82. Princeton University Press, September 28, 2008. {{isbn|978-0691118802}}.</ref>։

== Թվանշաններ ==
{{main article|Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)}}
Թվերը պետք է տարբերակվեն '''թվանշաններից''', թվերը ներկայացնող նիշքերից։ Եգիպտացիները հայտնաբերեցին առաջին ծածկագրված թվային համակարգը, իսկ հույները, հետևելով դրանց հաշվարկային թվերին, արտապատկերեցին Իոնյան Դորիկ այբուբենների վրա<ref>{{Cite journal |last=Chrisomalis |first=Stephen |date=2003 թ․ սեպտեմբերի 1 |title=The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals |url=https://www.cambridge.org/core/journals/antiquity/article/egyptian-origin-of-the-greek-alphabetic-numerals/B21F16056A89CCDF000EE98CAC4E43AE |journal=Antiquity |volume=77 |issue=297 |pages=485–496 |doi=10.1017/S0003598X00092541 |issn=0003-598X}}</ref>։ Հռոմեական թվանշանները, համակարգ, որ օգտագործում էր հռոմեական այբուբենի տառերի կոմբինացիաներ, Եվրոպայում մնաց գերակշռող մինչև 14-րդ դարի վերջի [[Արաբական թվեր|արաբական թվային]] համակարգի տարածումը և արաբական թվային համակարգը աշխարհում մնում է թվերի ներկայացման ամենաընդունված համակարգը ցայսօր<ref name="Cengage Learning2">{{Cite book |last1=Bulliet |first1=Richard |url=https://books.google.am/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192 |title=The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1 |last2=Crossley |first2=Pamela |last3=Headrick, |first3=Daniel |last4=Hirsch |first4=Steven |last5=Johnson |first5=Lyman |publisher=Cengage Learning |year=2010 |isbn=1439084742 |page=192 |quote=Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today}}</ref>։ Համակարգի արդյունավետության բանալին զրոյի նիշքն էր, որը ստեղծել էին անթիկ հնդիկ մաթեմատիկոսները մոտավորապես մեր թվարկության 500 թվականին<ref name="Cengage Learning2" />։

== Գլխավոր դասակարգում ==
Թվերը կարող են դասակարգվել այնպիսի '''թվային համակարգերի''' բազմությունների, ինչպիսիք են [[բնական թվեր]]ը և [[իրական թվեր]]ը<ref>"Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen." [http://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm <nowiki>[1]</nowiki>]</ref>։ Թվերի հիմնական կատեգորիաները հետևյալն են․<center>
{|class="wikitable" style="text-align: center; width: 400px; height: 200px;"
|+ Գլխավոր թվային համակարգեր
|-
!<math>\mathbb{N}</math>
![[Բնական թվեր|Բնական]]
| 1, 2, 3, 4, 5, ... or 1, 2, 3, 4, 5, ...<br>
Երբեմն օգտագործվում են <math>\mathbb{N}_0</math> or <math>\mathbb{N}_1</math>։
|-
!<math>\mathbb{Z}</math>
![[Ամբողջ թվեր]]
|..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
!<math>\mathbb{Q}</math>
![[Ռացիոնալ թվեր|Ռացիոնալ]]
|{{sfrac|''a''|''b''}} որտեղ ''a'' և ''b'' ամբողջ թվեր են ''b'' 0 չէ։
|-
!<math>\mathbb{R}</math>
![[Իրական թվեր|Իրական]]
|Ռացիոնալ թվերի զուգամիտող հաջորդականության սահմանը
|-
!<math>\mathbb{C}</math>
![[Կոմպլեքս թվեր|Կոմպլեքս]]
|''a'' + ''bi'' որտեղ ''a'' և ''b''-ն իրական թվեր են և ''i''-ն &nbsp;−1-ի քառակուսի արմատն է
|}
</center>

Ընդհանուր առմամբ, ոչ մի խնդիր չկա յուրաքանչյուր թվային համակարգը ներկայացնել որպես հաջորդի ենթաբազմություն, քանի որ այս թվային համակարգերից յուրաքանչյուրն իր հաջորդի [[Իզոմորֆություն (մաթեմատիկա)|իզոմորֆ]] ենթաբազմությունն է։ Ստացված հիերարխիան թույլ է տալիս, օրինակ, ձևականորեն ճշգրիտ խոսել իրական թվերի մասին, որոնք ռացիոնալ թվեր են և սիմվոլիկ ներկայացնել հետևյալ կերպ.
:<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math>.
=== Բնական թվեր ===
{{Main article|Բնական թվեր}}
[[Պատկեր:Nat num.svg|thumb|1-ից սկսվող բնական թվերը]]
Ամենածանոթ թվերը բնական թվերն են (երբեմն անվանում են ամբողջ թվեր կամ հաշվելի թվեր). 1, 2, 3, և այլն։ Ավանդաբար բնական թվերի հաջորդականությունը սկսվում է &nbsp;1-ից ([[Հին Հունաստան|Անտիկ Հունաստանում]] 0-ն որպես թիվ չէր դիտարկվում։) Այնուամենայնիվ, 19-րդ&nbsp;դարում, [[բազմությունների տեսություն|բազմությունների տեսաբանները]] և այլ մաթեմատիկոսներ սկսեցին &nbsp;0-ն ներառել (դատարկ բազմության հզորություն, այսինքն 0&nbsp;տարրեր, որտեղ&nbsp;0-ն ամենափոքր կարդինալ թիվն է) բնական թվերի բազմության մեջ<ref>
{{MathWorld|title=Natural Number|id=NaturalNumber}}</ref><ref>
{{Citation |title=natural number |work=Merriam-Webster.com |url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number |publisher=[[Merriam-Webster]] |accessdate=2014 թ․ հոկտեմբերի 4}}
</ref>։  Այսօր, մաթեմատիկոսները տերմինն օգտագործում են երկու բազմության նկարագրության համար՝ &nbsp;0-ն ներառելով կամ ոչ։ Բնական թվերի բազմության նշանակման համար '''N''' մաթեմատիկական սիմվոլն է օգտագործվում, նաև գրվում է <math>\mathbb{N}</math>, և երբեմն  <math>\mathbb{N}_0</math> կամ <math>\mathbb{N}_1</math>, երբ անհրաժեշտ է նշել, որ բազմությունը արդյոք սկսվում է 0-ից կամ 1-ից համապատասխանաբար։

[[Տասական]] թվային համակարգ, որ այսօր, համարյա համընդհանուր, օգտագործվում են մաթեմատիկական գործողությունների համար, գրառվում են օգտագործելով տաս 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, և 9 [[թվանշաններ]]ը։ Համակարգի հիմքը եզակի թվային նիշերի քանակն է, ներառյալ զրոն, որ թվային համակարգն օգտագործում է թվերը ներկայացնելու համար (տասական համակարգի համար հիմքը 10-ն է)<ref>{{Cite web |date=2016 թ․ հունիսի 29 |title=Base System |url=https://www.chalkstreet.com/aptipedia/knowledgebase/base-system/ |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20171023010521/https://www.chalkstreet.com/aptipedia/knowledgebase/base-system/ |archive-date=2017 թ․ հոկտեմբերի 23 |access-date=2016 թ․ օգոստոսի 31 |website=www.chalkstreet.com}}</ref>։ Այս&nbsp;10-ական համակարգում, բնական թվի ամենաաջ թվանշանը ունի &nbsp;1 տեղի արժեք, և յուրաքանչյուր այլ թվանշան ունի իր աջից տասապատիկ տեղի արժեք։

Բազմությունների տեսությունը, որ ի զորու է որպես ժամանակակից մաթեմատիկայի աքսիոմատիկ հիմք ծառայել<ref>{{Cite book |last=Suppes |first=Patrick |url=https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_615 |title=Axiomatic Set Theory |publisher=Courier Dover Publications |year=1972 |isbn=0-486-61630-4 |page=[https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_615/page/n13 1] |authorlink=Patrick_Suppes}}</ref>, բնական թվերը կարող են ներկայացվել համարժեք բազմությունների դասերով։ Օրինակ, &nbsp;3 թիվը կարող է ներկայացվել որպես ճշգրիտ երեք տարրեր ունեցող բոլոր բազմությունների դաս։ Որպես այլընտրանք, Պեանոյի թվաբանությունում, &nbsp;3 թիվը ներկայացվում է որպես sss0, որտեղ s-ը «իրավահաջորդ» ֆունկցիան է (այսինքն,&nbsp;3-ը &nbsp;0-ի երրորդ իրավահաջորդն է)։ Հնարավոր են ներկայացման շատ այլ ձևեր, սակայն բոլոր դրանք պետք է &nbsp;3 թիվը ֆորմալ ներկայացնեն երեք անգամ կրկնելով որոշակի նիշք կամ պատկեր։
=== Ամբողջ թվեր ===
{{Main article|Ամբողջ թվեր}}
Դրական ամբողջ թվից սահմանվում է այնպիսի բացասական թիվ, որը համապատասխան դրական թվին գումարելով ստացվում է <code>0</code>։ Բացասական թվերը սովորաբար գրվում են բացասական նշանով ([[մինուս նշան]])։ Որպես օրինակ, <code>7</code>-ի բացասական թիվը գրվում է <code>−7</code>, և <code>{{nowrap|7 + (−7) {{=}} 0}}</code>։ Երբ բացասական թվերի բազմությունը միավորվում է բնական թվերի բազմության հետ (ներառյալ <code>0</code>-ն), արդյունքը սահմանվում է որպես ամբողջ թվերի բազմություն '''<code>Z</code>''' գրվում է նաև <math>\mathbb{Z}</math>։ Ամբողջ թվերի բազմությունը գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ կազմում է [[օղակ]]<ref>''Weisstein, Eric W.'' [http://mathworld.wolfram.com/Integer.html Integer.] MathWorld</ref>։

Բնական թվերը կազմում են ամբողջ թվերի ենթաբազմություն։ Բնական թվերն առանց զրոյի սովորաբար վերաբերում են '''դրական ամբողջ թվերին''', և բնական թվերը, ներառյալ զրոն, վերաբերում են '''ոչ բացասական ամբողջ թվերին'''։

=== Ռացիոնալ թվեր ===
{{Main article|Ռացիոնալ թվեր}}
Ռացիոնալ թիվը կարող է արտահայտվել որպես ամբողջ համարիչով և դրական ամբողջ հայտարարով կոտորակ։ Բացասական հայտարարները թույլատրելի են, սակայն սովորաբար խուսափում են, քանի որ յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ հավասար է դրական հայտարարով ռացիոնալ թվի։ Կոտորակները գրվում են որպես երկու ամբողջ թվեր, համարիչ և հայտարար, որոնք անջատվում են բաժանարար գծով։ {{sfrac|''m''|''n''}} կոտորակը ներկայացնում է''n'' հավասար մասերի բաժանված ամբողջի ''m'' մասերը։ Երկու տարբեր կոտորակներ կարող են վերաբերել միևնույն ռացիոնալ թվին․ օրինակ {{sfrac|1|2}} և {{sfrac|2|4}} հավասար են․
: <math>{1 \over 2} = {2 \over 4}.</math>

Ընդհանրապես, 
:<math>{a \over b} = {c \over d}</math> if and only if <math>{ a \times d} = {c \times b}.</math>

Երբ ''m''-ի բացարձակ արժեքը մեծ է ''n''-ից (ենթադրաբար դրական է), ապա կոտորակի բացարձակ արժեքը &nbsp;1-ից մեծ է։ Կոտորակները կարող են լինել &nbsp;1-ից մեծ, փոքր, կամ հավասար &nbsp;1-ին և նաև կարող են լինել դրական, բացասական կամ &nbsp;0։ Ռացիոնալ թվերի բազմությունը ներառում է ամբողջ թվերը, քանի որ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարող է ներկայացվել որպես&nbsp;1 հայտարաով կոտորակ։ Օրինակ&nbsp;−7 կարող է ներկայացվել&nbsp;{{sfrac|−7|1}}։ Ռացիոնալ թվերի նշանը '''Q'''-ն է (''[[քանորդ]]'', quotient), գրվում է նաև [[Blackboard bold|<math>\mathbb{Q}</math>.]]
=== Իրական թվեր ===
{{Main article|Իրական թվեր}}

Իրական թվերը նշանակվում են '''R''' սիմվոլով, ինչպես նաև գրվում են <math>\mathbb{R}.</math> Դրանք ներառում են բոլոր չափելի թվերը։ Յուրաքանչյուր իրական թիվ համապատասխանում է թվերի ուղղի որոշակի կետի։ Հաջորդ պարբերությունը հիմնականում անդրադառնալու է դրական իրական թվերի վրա։ Բացասական իրական թվերի նկատմամբ գործողությունները տարվում են թվաբանության հիմնական օրենքներով և դրանց գրելաձևը պարզ է, ուղղակի դնում ենք [[մինուս նշան]] համապատասխան դրական թվանշանի առջև, օրինակ -123.456։

Իրական թվերի մեծամասնությունը կարող են ներկայացվել ''մոտավոր'' տասական թվանշաններով, որում տասնորդական կետը դրվում է &nbsp;1 տեղի արժեք ունեցող թվից աջ։ Տասնորդական կետից աջ գտնվող յուրաքանչյուր թվանշան ունի իրենից ձախ գտնվող թվանշանի մեկ-տասներորդ տեղի արժեքը։ Օրինակ, 123.456-ը ներկայացվում է {{sfrac|123456|1000}}, կամ, բառերով, մեկ հարյուր, երկու տասնյակ, երեք մեկ, չորս տասներորդ, հինգ հարյուրերորդ և վեց հազարերորդ։ Իրական թիվը կարող է ներկայացվել վերջավոր տասնորդական թվանշաններով միայն, եթե այն ռացիոնալ է և դրա կոտորակային մասի հայտարարի ուղիղ գործակիցները  2 oկամ 5 կամ երկուսն էլ, որովհետև դրանք տասի ուղիղ գործակիցներ են, տասական համակարգի հիմքը։ Այսպես օրինակ, մեկ երկրորդը 0.5 է, մեկ հինգերորդը՝ 0.2, մեկ տասներորդը՝ 0.1 և մեկ հիսուներորդը՝ 0.02։ Մյուս իրական թվերը ներկայացնելու համար տասնորդական կետից աջ կպահանջվի թվանշանների անվերջ հաջորդականություն։ Եթե թվանշանների անսահման հաջորդականությունը կրկնվող շաբլոն ունի, այն կարող ներկայացվել բազմակետերի միջոցով կամ կրկնվող շաբլոնը ցուցադրող այլ եղանակով։ Այդպիսի տասնորդականը կոչվում է կրկնվող տասնորդական։ Այսպիսով {{sfrac|3}} կարող է գրվել 0.333..., միջակետերով ցույց տալով կրկնվող շաբլոնը։ Անվերջ կրկնվող 3-ները կարող են նաև ներկայացվել որպես 0.{{overline|3}}։

Ստացվում է, որ այս կրկնվող տասնորդականները (ներառյալ զրոների կրկնությունը) ներկայացնում են հենց ռացիոնալ թվերը, այսինքն բոլոր ռացիոնալ թվերը իրական թվեր են, բայց ոչ բոլոր իրական թվերն են ռացիոնալ։ Իրական թվերը, որոնք ռացիոնալ չեն, կոչվում են իռացիոնալ։ Ամենահայտնի իռացիոնալ թիվը <math>\pi</math>-ն է, յուրաքանչյուր շրջանի շրջանագծի հարաբերությունը իր տրամագծին։ Երբ pi-ն ներկայացված է որպես 
:<math>\pi = 3.14159265358979\dots,</math>
ինչպես երբեմն տեղի է ունենում, կախման կետերը չեն նշանակում, որ տասնորդականները կրկնվում են (դրանք չեն կրկնվում), այլ ուղղակի, որ դրանք վերջ չունեն։ Ապացուցված է, որ <math>\pi</math>-ն իռացիոնալ է։ Մեկ այլ հայտնի իռացիոնալ թիվ է․
:<math>\sqrt{2} = 1.41421356237\dots,</math>
[[քառակուսի արմատ 2]]-ը, այսինքն, միակ, դրական իրական թիվը, որի քառակուսին հավասար է 2-ի։ Այս երկու թվերն էլ (համակարգիչով) մոտարկվել են մինչև տասնորդական տրիլիոններ {{nowrap|( 1 տրիլիոն {{=}}  10<sup>12</sup> {{=}} 1,000,000,000,000 )}}։

Ոչ միայն այս նշանավոր օրինակները, բայց համարյա բոլոր իրական թվերը իռացիոնալ են և այդ պատճառով չունեն կրկնվող շաբլոններ հետևաբար և համապատասխան տասական թվանշան։ Դրանք կարող են միայն մոտարկվել տասական ներկայացմամբ՝ կլորացնելով կամ հատելով իրական թվերը։ Յուրաքանչյուր կլորացրած կամ հատած թիվ անհրաժեշտաբար ռացիոնալ թիվ է, որոնցից միայն հաշվելի շատ կան։ Բոլոր չափումները իրենց բնույթով մոտավոր են, և միշտ ունեն սխալի սահման։ Այսպիսով 123.456 թիվը դիտարկվում է որպես կամայական իրական թվի մոտարկում, որը {{sfrac|1234555|10000}}-ից մեծ է կամ հավասար և խիստ փոքր է քան {{sfrac|1234565|10000}} (կլորացրած մինչև 3 տասնորդական), կամ մեծ է կամ հավասար {{sfrac|123456|1000}}-ից և խիստ փոքր է {{sfrac|123457|1000}}-ից (կլորացրած մինչև 3. տասնորդական)։ Թվանշանները, որ ենթադրում են ավելի մեծ ճշգրտություն, քան հաշվարկը թույլ է տալիս, պետք է հեռացվեն։ Պահպանված թվերը կոչվում են իմաստալից թվեր։ Օրինակ, քանոնով չափումները հազվադեպ կարող են լինել առնվազն առանց  0.001&nbsp;մետր սխալի։ Եթե քառանկյան կողմերը չափվել են հավասար 1.23&nbsp;մետր և 4.56&nbsp;մետր, ապա բազմապատկումը քառակուսու մակերեսը տալիս է {{nowrap|5.614591 քառակուսի մետր}} և {{nowrap|5.603011 քառակուսի մետր}} միջակայքում։ Քանի որ տասնորդական կետից հետո նույնիսկ երկրորդ նիշը չի պահպանվում, ապա հաջորդ թվանշանները ''իմաստալից'' չեն։ Այդ պատճառով արդյունքը սովորաբար կլորացվում է մինչև 5.61։

Ճիշտն այնպես, ինչպես միևնույն կոտորակը կարող է գրվել մեկից ավել եղանակով, այնպես էլ միևնույն իրական թիվը կարող է ունենալ մեկից ավել տասական ներկայացում։ Օրինակ, [[0.999...]], 1.0, 1.00, 1.000, ..., բոլորը ներկայացնում են&nbsp;1 բնական թիվը։
=== Կոմպլեքս թվեր ===
{{Main article|Կոմպլեքս թվեր}}
Թվերի այս բազմությունը պատմականորեն առաջացավ, երբ փորձեցին խորանարդ բազմանդամների և քառակուսի բազմանդամների արմատների վերջավոր բանաձև գտնել։  Սա տարավ բացասական թվերի քառակուսի արմատ ներառող արտահայտությունների և ի վերջո նոր տիպի թվի սահմանման․ [[քառակուսի արմատ]] &nbsp;−1-ից, նշանակելով ''[[կեղծ միավոր|i]]'', [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի կողմից մտցրած սիմվոլ, որն անվանվեց [[կեղծ միավոր]]։ Կոմպլեքս թվերը ներկայացվում են 
:<math>\,a + b i</math>
արտահայտության տեսքով, որտեղ ''a''-ն և ''b''-ն իրական թվեր են։ Այս պատճառով կոմպլեքս թվերին համապատասխանում է կետ կոմպլեքս հարթության վրա,  իրական երկչափ վեկտորական տարածության վրա։ {{nowrap|''a'' + ''bi''}} արտահայտության մեջ ''a''-ն կոչվում է իրական մաս և ''b''-ն՝ կեղծ մաս։ Եթե կոմպլեքս թվի իրական մասը &nbsp;0 է, ապա թիվը կոչվում է կեղծ թիվ, կամ ''մաքուր կեղծ թիվ'', եթե կեղծ մասն է &nbsp;0, ապա թիվն իրական թիվ է։ Այսպիսով իրական թվերը կոմպլեքս թվերի ենթաբազմություն են։ Եթե կոմպլեքս թվի իրական և կեղծ մասերը, երկուսն էլ ամբողջ են, ապա թիվը կոչվում է Գաուսյան թիվ։ Կոմպլեքս թվերը ներկայացնելու համար օգտագործում են '''C'''  կամ <math>\mathbb{C}</math> խորհրդանիշը։

The [[Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ]]ը պնդում է, որ կոմպլեքս թվերը կազմում են  [[հանրահաշվական փակ դաշտ]], որ նշանակում է կոմպլեքս գործակիցներով յուրաքանչյուր [[բազմանդամ]] ունի արմատ կոմպլեքս թիվ։ Ինչպես իրական թվերի դեպքում կոմպլեքս թվերը կազմում են դաշտ, որը լրիվ տարածություն է, բայց ի տարբերություն իրական թվերի կարգավորված չէ։ Այսինքն, չկա ոչ մի իմաստ ասելու, որ կամ ''i'' մեծ է&nbsp;1-ից, կամ ''i''ժն ջոքր է &nbsp;1-ից։ Տեխնիկական տերմիններով ասած, կոմպլեքս թվերում բացակայում է գծային կարգավորումը։

== Զույգ և կենտ թվեր ==
=== Զույգ և կենտ թվեր ===
{{main article|Զույգ և կենտ թվեր}} 
'''Զույգ''' թիվը, այն ամբողջ թիվն է, որ «հավասարապես բաժանվում է» երկուսի, այսինքն բաժանվում է առանց մնացորդի։ '''Կենտ''' թիվը այն ամբողջ թիվն է, որը զույգ չէ։  Համարժեքորեն, կենտ թիվը ներկայացվում է {{nowrap|''n'' {{=}} 2''k'' + 1,}} տեսքով, որտեղ ''k''-ն ամբողջ թիվ է, իսկ զույգ թիվն այն է, որ ներկայացվում է  {{nowrap|''n'' {{=}} 2''k''}} տեսքով, որտեղ ''k'' [[ամբողջ թիվ]] է։
=== Պարզ թվեր ===
{{main article|Պարզ թիվ}}
'''Պարզ թիվը''' այն ամբողջ թիվն է 1-ից մեծ ամբողջ թիվ է, որը երկու ավելի փոքր դրական թվերի արտադրյալ չէ։ Առաջին մի քանի պարզ թվերն են՝ 2, 3, 5, 7, և 11։ Պարզ թվերն ուսումնասիրվել են ավելի քան 2000 տարիներ և բազմաթիվ հարցեր են առաջ բերել, որոնցից մի քանիսն են իրենց լուծումը գտել։ Այդ հարցերի ուսումնասիրությունը [[Թվերի տեսություն|թվերի տեսության]] առարկան է։ Այդպիսի հարցի օրինակ է, որ դեռևս անպատասխան է մնացել, արդյոք յուրաքանչյուր զույգ թիվ երկու պարզ թվերի գումար է։ Սա կոչվում է Գոլդբախի հիպոթեզ։

Հարցը, որի պատասխանը տրվել է, արդյոք մեկից մեծ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ միակ եղանակով է ներկայացվում պարզ թվերի արտադրյալի տեսքով, չհաշված պարզ թվերի տեղափոխությունները։ Սա կոչվում է [[թվաբանության հիմնական թեորեմ]]։ Ապացույցը տրված է [[Էվկլիդյան տարրեր]] գրքում։
=== Ամբողջ թվերի այլ դասեր ===
Բնական թվերի շատ ենթաբազմություններ են հատուկ ուսումնասիրությունների առարկա են դարձել և հաճախ դրանք առաջինը հետազոտող մաթեմատիկոսների անունն են ստացել։ Այդպիսի բազմությունների օրինակ են [[Ֆիբոնաչիի թվեր]]ը և [[Կատարյալ թիվ|կատարյալ թվերն]] են։ Լրացուցիչ օրինակների համար, տես Ամբողջ թվերի հաջորդականություն։

== Կոմպլեքս թվերի այլ դասեր ==
=== Հանրահաշվական, իռացիոնալ և տրանսցենդենտ թվեր ===
[[Հանրահաշվական թիվ|Հանրահաշվական թվերը]] ամբողջ գործակիցներով բազմանդամ հավասարումների լուծումներն են։ Իրական թվերը, որոնք ռացիոնալ չեն կոչվում են [[Իռացիոնալ թիվ|իռացիոնալ թվեր]]։ Կոմպլեքս թվերը, որոնք հանրահաշվական չեն կոչվում են [[տրանսցենդենտ թվեր]]։ Հանրահաշվական թվերը, որոնք ամբողջ գործակիցներով [[մոնիկ բազմանդամ]]ային հավասարման լուծումներ են, կորվում են [[հանրահաշվական ամբողջ թիվ|հանրահաշվական ամբողջ թվեր]]։
=== Հաշվարկելի թվեր ===
{{Main article|Հաշվարկելի թվեր}}
'''Հաշվարկելի թիվ''', կամ  ''ռեկուրսիվ թիվ''է կոչվում այնպիսի իրական թիվը, որի համար գոյություն ունի ալգորիթմ, որով կարելի է հաշվել թիվը ցանկացած տասական ճշգրտությամբ։Համարժեք սահմանում կարելի է տալ օգտվելով [[μ-ռեկուրսիվ ֆունկցիա]]ները, [[Թյուրինգի մեքենա]]ները կամ [[λ-հաշիվ]]ը։ Հաշվարկելի թվերը կայուն են բոլոր սովորական թվաբանական գործողությունների նկատմամբ, ներառյալ բազմանդամի արմատներ հաշվարկը և դրանոց իսկ ներկայացնում է իրական փակ դաշտ, որ ներառում է իրական հանրահաշվական թվերը։

Հաշվարկելի թվերը կարելի է դիտարկել որպես իրական թվեր, որ կարելի ճշգրիտ ներկայացնել համակարգչում․ հաշվարկելի թիվը ճշգրիտ ներկայացվում է իր առաջին թվանշաններով և հաջորդ թվանշանները հաշվարկելու ծրագիր։ Այնուամենայնիվ հաշվարկելի թվերը գործնականում հազվադեպ են կիրառվում։ Պատճառներից մեկն այն է, որ երկու հաշվարկելի թվերի հավասարությունը ստուգող ալգորիթմ գոյություն չունի։ Ավելի ճշգրիտ, գոյությունչունի ալգորիթմ, որ ցանկացած հաշվարկելի թվի համար, որոշի արդյոք այն հավասար է զրոյի, թե ոչ։

Հաշվարկելի թվերի բազմությունը նույն հզորությունն ունի, ինչ բնական թվերինը։ Հետևաբար համարյա բոլոր իրական թվերը հաշվարկելի չեն։ Սակայն շատ դժվար է ստանալ ակնհայտ իրական թիվ, որը հաշվարկելի չէ։

== Գաղափարի ընդլայնում ==
=== p-ադիկ թվեր ===
''p''-ադիկ թվերը կարող են անվերջ ընդլայնումներ ունենալ տասնորդական կետից ձախ, նույն կերպ ինչպես իրական թվերը կարող են ունենալ անվերջ երկար ընդլայնում ունենալ դեպի աջ։ Թվային համակարգը, որ ստացվում է, կախված է ինչ հիմք է օգտագործվում թվանշանների համար․ հնարավոր է յուրաքանչյուր հիմք ով, սակայն պարզ հիմքով համակարգերը լավագույն մաթեմատիկական հատկություններն են դրսևորում։ ''p''-ադիկ թվերը պարունակում են ռացիոնալ թվերը, բայց չեն պարունակում կոմպլեքս թվերը։

Վերջավոր դաշտի վրա հանրահաշվական ֆունկցիաների դաշտի տարրերը և հանրահաշվական թվերը բազում նմանատիպ հատկություններ ունեն (ֆունկցիաների դաշտի անալոգիա)։ Այդ պատճառով թվերի տեսաբանները հաճախ դրանք համարում են թվեր։ ''p''-ադիկ թվերը կարևոր դեր ունեն այդ անալոգիայում։
=== Հիպերկոմպլեքս թվեր ===
{{main article|հիպերկոմպլեքս թիվ}}
Որոշ թվային համակարգեր, որոնք ընդգրկված չեն կոմպլեքս թվերում, կարող են կառուցվել իրական թվերից կոմպլեքս թվերի կառուցումն ընդհանրացնելու միջոցով։ Դրանք երբեմն կոչվում են [[հիպերկոմպլեքս թվեր]]։ Դրանք ներառում են [[Քվատերնիոններ]]ը '''H''', որ մտցրել է [[Ուիլյամ Համիլտոն|Սըր Ուիլյամ Համիլտոնը]], որում բազմապատկումը [[կոմուտատիվ]] չէ, [[օկտոնիոններ]]ը, որտեղ բազմապատկումը՝ կոմուտատիվ չլինելով, ասոցիատիվ չէ և ի հավելումն, [[սեդենիոններ]]ը , որտեղ բազմապատկումը [[ալտերնատիվ]] չէ, ոչ [[ասոցիատիվ]] են, ոչ կոմուտատիվ։
=== Տրանսֆինիտ թվեր ===
{{main article|տրանսֆինիտ թիվ}}
Անվերջ [[բազմություն]]ների հետ գործ ունենալիս, բնական թվերն ընդհանրացվել են [[օրդինալ թվեր]]ի և [[կարդինալ թվեր]]ի։ Նախորդը տալիս է բազմության կարգը, իսկ վերջինը՝ դրա չափը։ Վերջավոր բազմությունների համար երկուսն էլ, օրդինալն էլ և կարդինալն էլ նույնականացվում են բնական թվերի հետ։ Անվերջ բազմության դեպքում, շատ օրդինալ թվերի համապատասխանում են միևնույն կարդինալ թիվը։
=== Ոչ ստանդարտ թվեր ===
Ոչ ստանդարտ վերլուծությունների համար օգտագործվում են հիպերիրական թվեր։ Հիպերիրական կամ ոչ ստանդարտ թվերը  The hyperreals, or nonstandard reals (սովորաբար նշվում են *'''R''' տառով), նշանակում է կարգավորված դաշտ, որը համապատասխանում է '''R''' իրական թվերի կարգավորված դաշտիի ընդլայնման և բավարարում է փոխանցման սկզբունքին։ Այդ սկզբունքը թույլ է տալիս '''R'''-ին վերաբերող ճշգրիտ պնդումները մեկնաբանել որպես առաջին կարգի ճշգրիտ պնդումներ։

Գերիրական կամ սուրեալ թվերը իրական թվերն ընդլայնում են ավելացնելով անվերջ փոքր թվերը և անվերջ մեծ թվերը, սակայն շարունակում են ներկայացնել դաշտ։

Հարաբերության թիվ սահմանվում է որպես հարաբերությունների դաս, որ պարունակում է բոլոր այն հարաբերությունները, որոնք նման են դասի մի անդամին<ref>{{Cite book |last=Russell |first=Bertrand |title=Introduction to Mathematical Philosophy |publisher=Routledge |year=1919 |ISBN=0-415-09604-9 |page=56 |authorlink=Bertrand_Russell}}</ref>։{{clarify|reason=unclear definition that is red linked. Is this notion notable enough for appearing here?|date=November 2014}}

== Պատմություն ==
=== Թվերի առաջին օգտագործումը ===
{{main article|Հնագույն թվային համակարգերի պատմություն}}
Փորագրություններ են հայտնաբերվել ոսկորների և այլ արտիֆակտերի վրա, որոնք շատերի կարծիքով թվերի նշաններ են<ref>Marshak, A., ''The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation'', (Weidenfeld & Nicolson, London: 1972), 81ff.</ref>։ Այս թվանշանները հնարավոր է օգտագործվել են անցած ժամանակը հաշվելու համար՝ օրերի քանակը, լուսնային ցիկլերը կամ կենդանիների կամ այլ օբյեկտների քանակը գրանցելու համար։

Փորագրությունների համակարգը չունի տեղի արժեքի հասկացություն (ինչպես ժամանակակից տասական նշագրումներում), որը սահմանափակում է մեծ թվերի ներկայացումը։ Այնուամենայնիվ փորագրման համակարգերը դիտարկվում են առաջին տեսակի աբստրակտ թվային համակարգ։

Տեղի արժեքներով առաջին հայտնի համակարգը 60 հիմքով Մեսոպոտամյան չափման միավորները մ․թ․ա․ 3400&nbsp; և վաղ &nbsp;10հիմքով համակարգ, որ  3100&nbsp;մ․թ․ա․ [[Եգիպտոս]]ում<ref>{{Cite web |title=Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora |url=http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin |accessdate=2012 թ․ հունվարի 30 |publisher=Math.buffalo.edu}}</ref>։
=== Զրո ===
Զրոյի վաղ օգտագործումը փաստաթղթավորվել է [[Բրահմագուպտա]]յի կողմից մեր թվարկության 628 թվականին։ Նա քննարկել է&nbsp;0-ն որպես թիվ և դիտարկել դրա հետ գործողությունները ներառյալ բաժանումը։ Այդ ընթացքում գաղափարը հասել էր [[Կամբոջա]] որպես Խմեր թվեր և փաստաթղթերը վկայում են, որ հետագայում գաղափարը տարածվեց [[Չինաստան]]ում և [[Արաբական խալիֆայություն]]ում։
[[Պատկեր:Khmer Numerals - 605 from the Sambor inscriptions.jpg|thumb|605 թիվը Խմեր թվանշաններով, մ․թ․683 թվականի գրառումներից։ Վաղ զրոն որպես տասական թվանշան։]]

Բրահմագուպտայի գիրքը առաջինն էր, որտեղ զրոն հիշատակվում էր որպես թիվ, այդ պատճառով Բրահմագուպտան համարվում է զրոյի հասկացությունը առաջինը ձևակերպողը։ Նա տալիս է զրոյի օգտագործման կանոնները բացասական և դրական թվերի հետ։ Զրոյին ավելացրած դրական թիվ ստացվում է դրական թիվ և զրոյին ավելացրած բացասական թիվ ստացվում է բացասական թիվ։ Գիրքը ամենավաղ տեքստն է, որ որ զրոն ավելի շուտ դիտարկում է որպես թիվ, իր սեփական իրավունքներով, քան տեղ զբաղեցնող թվանշան, ինչպես արվել էր Բաբելոնացիների կողմից կամ որպես քանակի բացակայության սիմվոլ, ինչպես արվել էր Պտղոմեոսի և հռոմեացիների կողմից։

0-ի օգտագործումը որպես թիվ, պետք է տարբերել դրա օգտագործումից որպես տեղապահ թվանշան տեղաարժեքային համակարգերում։ Հնագույն բազմաթիվ տեքստեր օգտագործում են &nbsp;0-ն։ Բաբելոնյան և Եգիպտական տեքստերն օգտագործում են դա։ Եգիպտացիները կրկնակի հավասարակշռված հաշվապահական համակարգերում ''nfr'' բառն օգտագործում էին զրոն&nbsp;-ն նշանակելու համար։ Հնդկերեն տեքստերը ''դատարկ'' հասկացությանն անդրադառնալիս օգտագործում էին  {{lang|sa-Latn|Shunye}} կամ {{lang|sa|shunya}} բառերը [[սանսկրիտ]]ով։ Մաթեմատիկական տեքսերում հաճախ այդ բառը վերաբերում է զրոյին<ref>{{Cite web |date=1999 թ․ ապրիլի 26 |title=Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM&#93; The Zero Story: a question |url=http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/apr99/0197.html |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120112073735/http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/apr99/0197.html |archivedate=2012 թ․ հունվարի 12 |accessdate=2012 թ․ հունվարի 30 |publisher=Sunsite.utk.edu}}</ref>։ Նմանապես, [[Պանինի]]ն (մ․թ․ա․5-րդ դարում) զրոն օգտագործել է սանսկրիտ լեզվի ձևական քերականության օրինակներում։

Մինչև Բրահմագուպտան ևս եղել են զրոյի այլ օգտագործումներ, բայց այս դեպքում փաստաթղթավորումը լրիվ չէ։

Գրառումներից երևում է, որ Հին հույները վստահ չէին 0-ի որպես թիվ կարգավիճակի վերաբերյալ․ նրանք իրենք իրենց հարցնում էին․  «ինչպե՞ս կարող է 'ոչինչը' ինչ որ բան լինել» հանգեցնելով 0-ի և դատարկության բնույթի և գոյության մասին հետաքրքիր փիլիսոփայական և միջնադարում կրոնական փաստարկների։ [[Զենոն Էլեացի|Զենոն Էլեացու]] պարադոքսները մասնակիորեն կախված են 0-ի անորոշ մեկնաբանությունից։ (Հին հույները նույնիսկ կասկածում էին, արդյոք թիվ է։)
Մեքսիկայի հարավ-կենտրոնական հատվածի օլմեք ժողովրդի վերջին սերունդները սկսել էին օգտագործել զրո սիմվոլը, կեղևի սիմվոլ, Նոր աշխարհում, հավանաբար  մ․թ․ա․ 4-րդ դարում, սակայն մ․թ․ա․ 40-ականներին հաստատապես, որոնք դարձան Մայայի թվանշանների և Մայայի օրացույցի անբաժանելի մասը։ Մայայի թվաբանությունը օգտագործում էր 4 և 5 թվերը որպես հիմք, գրված 20 հիմքով։ 1961 թվականին Սանչեսը տեղեկացրել է 4 որպես հիմք, իսկ 5-ը «մատներով» հաշվարկի հիմք։

Մեր թվարկության 130 թվականին, Պտղոմեոսը, Հիպարքուսի և բաբելոնացիների ազդեցության տակ, օգտագործում էր 0 սիմվոլը (երկարոտ փոքր շրջան)։ Քանի որ այն օգտագործվում էր առանձին, ոչ որպես տեղապահ, հելենական զրոն Հին Աշխարհում ճշգրիտ զրոյի առաջին փաստագրված օգտագործումն էր։ Հետագա բյուզանդական ձեռագրերում, հելլենական զրոն ձևափոխվեց հունական օմիկրոն տառը (հակառակ դեպքում նշանակում է 70)։

Մեկ այլ ճշմարիտ զրո օգտագործվել է աղյուսակներում, հռոմեական թվանշանների հետ զուգահեռ, Another 525 թվականին (առաջին հայտնի օգտագործումը Դիոնիսիուս կրտսերի կողմից), սակայն որպես բառ, nulla՝ ոչինչ իմաստով, ոչ որպես սիմվոլ։ Երբ բաժանման արդյունքում մնացորդը 0 էր, օգտագործվում էր  nihil բառը, որ նույնպես ոչինչ է նշանակում։ Այս միջնադարյան զրոները օգտագործվել են բոլոր հետագա միջին դարերի հաշվարկողների կողմից (Զատիկի հաշվիչներ)։ Որպես ճշմարիտ զրոյի սիմվոլ, N բնական թվերի սկզբնական մեկուսացված օգտագործում, տեղ է գտելմոտավորապես 725 թվականին [[Բեդա Պատվելի|Բեդայի]] կամ նրա գործընկերների կողմից, հռոմեկան թվանշանների աղյուսակներում։

=== Բացասական թվեր ===
Բացասական թվերի աբստարակտ հասկացությունը ճանաչվել է դեռևս մ․թ․ա․ 100 – մ․թ․ա․ 50 թվականներին Չինաստանում։ ''[[Մաթեմատիկան ինը գրքերում]]'' պարունակում է թվերի տիրույթների որոնման մեթոդներ, կարմիր ձողիկները օգտագործում են դրական գործակիցները ներկայացնելու համար, սևերը՝ բացասականների համար<ref>{{Cite book |last=Staszkow |first=Ronald |title=The Mathematical Palette (3rd ed.) |author2=Robert Bradshaw |publisher=Brooks Cole |year=2004 |isbn=0-534-40365-4 |page=41}}</ref>։ Առաջին հիշատակումը արևմտյան աշխատանքում եղել է մ․թ․ 3-րդ&nbsp;դարում [[Հունաստան]]ում։ [[Դիոֆանտ]]ոսը մեջբերել էր {{nowrap|4''x'' + 20 {{=}} 0}} հավասարումը (լուծումը բացասական է) ''[[Թվաբանություն]]'' աշխատությունում, ասելով, որ հավասարումն անհեթեթ արդյունք է տվել։

600-ականների ընթացքում, Հնդկաստանում բացասական թվերը օգտագործվում էին պարտքերը ներկայացնելու համար։ Դիոֆանտi նախորդ մեջբերումը ավելի մանրամասն քննարկվել է հնդիկ մաթեմատիկոս Բրահմագուպտայի կողմից 628 թվականին, ով բացասական թվերն օգտագործել էր քառակուսի հավասարման ընդհանուր տեսքը ստանալու համար, որը ցայսօր օգտագործվում է։ Սակայն 12-րդ&nbsp;դարում Հնդկաստանում Բասկարա II-ը տալիս է քառակուսի հավասարումների բացասական արմատները, բայց ասում է որ բացասական արժեքը "այս դեպքում չպետք է վերցվի, քանի որ այն ադեկվատ չէ, մարդիկ չեն հաստատում բացասական արմատները։"

Եվրոպական մաթեմատիկոսները մինչև 17-րդ դարը հիմնականում դեմ էին բացասական թվերի հասկացությանը, չնայած ֆինանսական խնդիրներում Ֆիբոնաչին թույլ էր տալիս բացասական լուծումներ, որտեղ դրանք կարող էին մեկնաբանվել որպես պարտքեր (գլուխ 13 գիրք Աբակա, 1202) և հետագայում կորուստներ (Flos)։ Միևնույն ժամանակ չինացիները բացասական թվերը թեք գիծ դնելով համապատասխան դրական թվի ոչ զրոյական թվանշանի առջև<ref>{{Cite book |last=Smith |first=David Eugene |title=History of Modern Mathematics |publisher=Dover Publications |year=1958 |isbn=0-486-20429-4 |page=259 |authorlink=David_Eugene_Smith}}</ref>։ Բացասական թվերի առաջին օգտագործումը կատարվել էր Նիկոլա Շաքեի կողմից 15-րդ դարում։ Նա դրանք օգտագործում է որպես օրինակներ, սակայն դրանք դիտարկում է որպես «անհեթեթ թվեր»։

Դեռևս 18-րդ դարում բացասական արդյունքներն անտեսվում էին, ելնելով այն դրույթից, որ դրանք անիմաստ են, ճիշտ այնպես, ինչպես Ռենե Դեկարտը վարվեց բացասական լուծումների հետ Կարտեզիան կոորդինատների համակարգում։
=== Ռացիոնալ թվեր ===
Ամենայն հավանականությամբ կոտորակային թվերի հասկացությունը սկիզբ է առել [[Նախնադար|նախապատմական ժամանակաշրջանում]]։ [[Հին Եգիպտոս|Հին եգիպտացիները]] մաթեմատիկական տեքստերում, ինչպիսիք Ռայնդի մաթեմատիկական մագաղաթը և Կահունի մագաղաթն է օգտագործել են իրենց եգիպտական կոտորակների նշագրումները։ Դասական հույն և հնդիկ մաթեմատիկոսները ռացիոնալ թվերի տեսության ուսումնասիրությունները դարձրին թվերի տեսության ընդհանուր ուսումնասիրությունների մաս։ Դրանցից ամենահայտնին Էվկլիդյան տարրերն է, մոտավորապես մ․թ․ա․ 300&nbsp; թվականին։ Հնդկական տեքստերից առավել կարևոր է Sthananga Sutra-ն, որը նույնպես Թվերի տեսությունը դիտարկում է որպես մաթեմատիկայի ընդհանուր տեսության մաս։

Տասական կոտորակների հասկացությունը սերտ կապված է տասնորդական ստորակետով, թվում է երկուսն էլ զարգացել են կապակցված։ Օրինակ, Ջայնական մաթեմատիկական հավաքածուում ընդունված է ընդգրկել [[pi]] թվի  կամ [[քառակուսի արմատ 2]]-ի մոտավոր հաշվարկը տասնորդական կոտորակներով։ Նմանապես մաթեմատիկան միշտ օգտագործել է վաթսուներորդական (&nbsp;60 հիմքով) կոտորակները շատ մեծ հաճախականությամբ։

=== Իռացիոնալ թվեր ===
Իռացիոնալ թվերի ամենավաղ հայտնի օգտագործումը եղել է հնդիկ մաթեմատիկոսների [[Sulba Sutras]] աշխատությունում, որ կազմվել է մ․թ․ա․ 800 և 500&nbsp; թվականներն<ref>{{Cite book |title=Mathematics across cultures: the history of non-Western mathematics |publisher=Kluwer Academic Publishers |year=2000 |isbn=0-7923-6481-3 |editor-last=Selin |editor-first=Helaine |editor-link=Helaine Selin |page=451}}</ref>։ Իռացիոնալ թվերի գոյության առաջին ապացույցը սովորաբար վերագրվում է [[Պյութագորաս]]ին, ավելի ճշգրիտ [[Պյութագորականություն|Պյութագորականությանը]]՝ [[Հիպասուսը Մետապոնտումից]], ով ապացուցեց (ամենայն հավանականությամբ երկրաչափորեն) քառակուսի արմատ 2-ի իռացիոնալ լինելը։ Պատմությունը փաստում է, որ Հիպասուսը իռացիոնալ թվերը հայտնաբերեց, երբ փորձում էր [[Քառակուսի արմատ երկուսից|քառակուսի արմատ 2-ը]] ներկայացնել որպես կոտորակ։ Սակայն Պյութագորասը հավատում էր թվերի բացարձակությանը և չկարողացավ ընդունել իռացիոնալ թվերի գոյությունը։ Նա տրամաբանությամբ չկարողացավ ժխտել դրանց գոյությունը, սակայն նա չէր կարողանում ընդունել իռացիոնալ թվերը, և ինչպես բազմիցս հիշատակվել է, նա Հիպասուսին դատապարտեց մահվան, խեղդելով, որպեսզի խանգարի այդ տհաճ նորության տարածմանը<ref>{{Cite book |author=Bernard Frischer |url=https://archive.org/details/harvardstudiesin0000drsh_b7k9 |title=Harvard Studies in Classical Philology |publisher=Harvard University Press |year=1984 |isbn=0-674-37935-7 |editor=D. R. Shackleton Bailey |editor-link=D. R. Shackleton Bailey |page=[https://archive.org/details/harvardstudiesin0000drsh_b7k9/page/83 83] |chapter=Horace and the Monuments: A New Interpretation of the Archytas ''Ode''}}</ref>։

16-րդ դարը բերեց եվրոպացիների կողմից [[Բացասական թիվ|բացասական ամբողջ թվերի]],և [[կոտորակային թիվ|կոտորակային թվերի]] վերջնական ընդունմանը։ 17-րդ&nbsp;դարում, մաթեմատիկոսները հիմնականում օգտագործում էին տասնորդական կոտորակները ժամանակակից նշագրմամբ։ Այնուամենայնիվ, մինչ 19-րդ&nbsp;դարը մաթեմատիկոսները իռացիոնալ թվերը չէին բաժանում հանրահաշվական և տրանսցենդենտ մասերի, և շարունակում էին իռացիոնալ թվերի գիտական ուսումնասիրությունը։ Այն մնացել էր անփոփոխ [[Էվկլիդես]]ի ժամանակներից ի վեր։ 1872 թվականին [[Կառլ Վեյերշտրաս]]ի, [[Էդուարդ Հեյնե]]ի, [[Գեորգ Կանտոր|Գորգ Կանտորի]] և [[Ռիչարդ Դեդեկինդ]]ի տեսությունները հրապարակվեցին։ 1869 թվականին Շառլ Մերեյը նույն մեկնարկային կետն էր վերցրել, ինչ որ Հեյնեն, բայց տեսությունը հիշատակվում է 1872 թվականով։ Վեյերշտրասի մեթոդը ամբողջությամբ ներկայացվել է Սալվատոր Պինչերի կողմից (1880), իսկ Դեդեկինդը հայտնի դարձավ հետագա իր հետագա աշխատանքներով  (1888) և Պոլ Տաներիի հավաստիացումներով (1894)։ Վեյերշտրասը, Կանտորը և Հեյնեն  իրենց տեսությունները կառուցում են անվերջ շարքերի վրա, մինչդեռ Դեդեկինդը հիմնվում է իրական թվերի համակարգում Դեդեկինդյան հատույթի գաղափարի վրա, բոլոր ռացիոնալ թվերը բաժանելով որոշակի հատկություններ ունեցող երկու խմբերի։ Թեման Վեյերշտրասի, [[Լեոպոլդ Կրոնեկեր]]ի և Մերեյի կողմից հետագայում զարգացվեց։

[[Քվինտիկ հավասարում|Քվինտիկ]] և ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների արմատների որոնումը կարևոր զարգացում էր, [[Աբել-Ռուֆինիի թեորեմ]]ը ([[Պաոլո Ռուֆինի|Ռուֆինի]] 1799, [[Նիլս Հենրիկ Աբել|Աբել]] 1824) ցույց է տալիս, որ դրանք չեն կարող լուծվել [[Արմատ (մաթեմատիկա)|ռադիկալների]] միջոցով (միայն թվաբանական գործողություններ և արմատներ պարունակող բանաձևեր)։ Հետևաբար, անհրաժեշտ էր դիտարկել [[Հանրահաշվական թիվ|հանրահաշվական թվերի]] ավելի լայն բազմություն (բազմանդամային հավասարման բոլոր լուծումները)։ [[Էվարիստ Գալուա|Գալուան]] (1832) բազմանդամային հավաարումները կապում է [[խմբերի տեսություն|խմբերի տեսության]] հետ, [[Գալուայի տեսություն|Գալուայի տեսության]] հիմքը դնելով։

Շղթայական կոտորակները սերտ կապված են իռացիոնալ թվերի հետ (և Կատալդիի պատճառով, 1613), ուշադրության էին արժանացել Էյլերի թեթև ձեռքով, և  19-րդ&nbsp;դարի սկզբում Լագրանժի աշխատանքների շնորհիվ հայտնի դարձան։ Այլ ուշագրավ ներդրումներ են կատարել Դրուկեմյուլլերը (1837), Կունցեն (1857), Լեմկեն (1870) և Գյունտերը (1872)։ Ռամուսը (1855) առաջինը նյութը կապեց դետերմինանտների հետ, որը բերեց Հեյնեի, Մոբիուսի և Գյունտերի հետագա ներդրումներին Քեթենթբրուչդերտերմանի տեսության մեջ։

=== Տրանսցենդենտ և իրական թվեր ===
Տրանսցենդենտ թվերի գոյությունը առաջինը հաստատվել է<ref>{{Cite web |last=Bogomolny |first=A. |authorlink=Cut-the-Knot |title=What's a number? |url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml |accessdate=2010 թ․ հուլիսի 11 |work=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles}}</ref> [[Ժոզեֆ Լուիվիլ|Լուիվիլի]] (1844, 1851) կողմից։ 1873 թվականին, [[Շառլ Հերմիտ]]ը ապացուցեց, որ ''e''-ն տրանսցենդենտ է և 1882 թվականին [[Լինդեման Թ.|Լինդեմանը]] ապացուցեց, որ that π -ն տրանսցենդենտ է։ Ի վերջո [[Գեորգ Կանտոր|Կանտորը]] ցույց տվեց, որ իրական թվերն անհաշվելի անվերջ են, սակայն բոլոր հանրահաշվական թվերի բազմությունը հաշվելի անվերջ են, այսպիսով, գոյություն ունի անհաշվելի անվերջ քանակի տրանսցենդենտ թվեր։

=== Անվերջություն և անվերջ փոքր թվեր ===
Մաթեմատիկական [[Անվերջություն (մաթեմատիկա)|անվերջության]] հասկացության ամենավաղ հայտնի նկարագրությունը հայտնվել է [[Yajur Veda]]-ում, հին հնդկական ձեռագրում, որը պնդում է «Եթե դու անվերջությունից մաս հեռացնեք, կամ անվերջությանը մաս ավելացնեք, ապա, միևնույն է անվերջություն կմնա։» Անվերջությունը Յեյն մաթեմատիկոսների ուսումնասիրության լայնորեն տարածված թեմա էր մ․թ․ա․ 400&nbsp; թվականին։ Նրանք տարբերակում էին անվերջության հինգ տեսակ․ անվերջություն մեկ և երկու ուղղությամբ, անվերջություն տարածքում, անվերջություն ամենուրեք և անվերջություն մշտապես։

[[Արիստոտել]]ը սահմանեց մաթեմատիկական անսահմանության ավանդական արևմտյան պատկերոցումը։ Նա տարբերակեց [[փաստացի անվերջություն]]ը և [[պոտենցիալ անվերջություն]]ը՝ ընդհանուր կոնսենսուսն այն է, որ միայն վերջինը իրական արժեք ունի։ [[Գալիլեո Գալիլեյ]]ը ''Երկու նոր գիտություններ'' գրքում քննարկում է երկու անվերջ բազմությունների մեջ մեկը մեկին համապատասխանության գաղափարը։ Սակայն հաջորդ մեծ առաջընթացըտեսության մեջ կատարեց [[Գեորգ Կանտոր]]ը, սակայն 1895 թվականին նա հրատարակեց իր, նոր բազմությունների տեսության մասին գիրքը, այլ բաների հետ զուգահեռ, ներկայացնելով [[տրանսֆինիտ թվեր]]ը և ձևակերպելով [[կոնտինիում հիպոթեզ]]ը։

1960s-ականներին [[Աբրահամ Ռոբինսոն]]ը ցույց տվեց, թե ինչպես անվերջ մեծ և անվերջ փոքր թվերը կարող են հստակորեն սահմանվել և օգտագործվել ոչ ստանդարտ վերլուծությունների դաշտը զարգացնելու համար։ [[Հիպերիրական թվեր]]ի համակարգը ներկայացնում է անվերջ մեծ և [[անվերջ փոքր թվեր]]ի գաղափարների մշակման  ճշգրիտ մեթոդ, որը հաճախ օգտագործվել է մաթեմատիկոսների, գիտնականների և ինժեներների կողմից դեռևս [[Իսահակ Նյուտոն]]ի և [[Գոթֆրիդ Լայբնից|Գոտֆրիդ Լայբնիցի]] կողմից անվերջ փոքր հաշվի հայտնաբերումից ի վեր։

Անվերջության ժամանակակից երկրաչափական տարբերակը տրված է [[Պրոյեկտիվ երկրաչափություն|պրոյեկտիվ երկրաչափության]] մեջ, որը մտցնում է «անվերջության իդեալական էությունը», մեկը, յուրաքանչյուր տարածական ուղղության համար։ Ենթադրվում է, որ տվյալ ուղղության զուգահեռ ուղիղները զուգամիտում են համապատասխան իդեալական կետում։ Սա սերտ կապված է տարածական նկարչության մեջ կետերի անհետացման գաղափարի հետ։

=== Կոմպլեքս թվեր ===
Բացասական թվերից քառակուսի արմատների ամենավաղ հիշատակումը կատարվել էր մաթեմատիկոս և գյուտարար [[Հերոն Ալեքսանդրիացի|Հերոն Ալեքսանդրիացու]] կողմից մեր թվարկության առաջին դարում, երբ նա համարում էր, որ դիտարկում էր [[բուրգ]]ի անհավանական հատույթի ծավալը։ Դրանք ավելի հայտնի դարձան, երբ
16-րդ&nbsp;դարում իտալացի մաթեմատիկոսներ [[Նիկոլո Տարտալյա]]ն և [[Ջերոլամո Կարդանո]]ն երրորդ և չորրորդ աստիճանի բազմանդամների համար փակ բանաձևեր հայտնաբերեցին։ Շուտով պարզ դարձավ, որ եթե նույնիսկ միայն իրական լուծումներն են հետաքրքրում, այդ բանաձևերը երբեմն պահանջում են բացասական թվերի քառակուսի արմատների հետ գործ ունենալ։

Սա կրկնակի անհանգստացնող էր, քանի որ այն ժամանակ բացասական թվերը նրանք նույնիսկ լուրջ չէին ընդունում։ Երբ [[Ռենե Դեկարտ]]ը 1637 թվականին , նա այդ մեծությունների համար «կեղծ» եզրը հորինեց, նա հակված էր նսեմացնել այն։ (Տես [[կեղծ թիվ]], կոմպլեքս թվերի «իրական» լինելու վերաբերյալ քննարկման համար) Խառնաշփոթի հաջորդ աղբյուրն այն էր, որ հավասարումը
:<math>\left ( \sqrt{-1}\right )^2 =\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1</math>
թվում էր քմահաճորեն անհամապատասխան հանրահաշվական հավասարմանը 
:<math>\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab},</math>
որը վավեր է ''a'' և ''b'' դրական թվերի համար, ինչպես նաև օգտագործվել է կոմպլեքս թվերի հաշվարկներում, որտեղ ''a'', ''b'' թվերից մեկը դրական է, իսկ մյուսը բացասական։ Հավասարման և դրա հետ կապված հավասարումների ոչ համաչափ օգտագործումը
:<math>\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}</math>
այն դեպքում, երբ ''a'' և ''b'' թվերը երկուսն էլ բացասական են, նույնիսկ Էյլերին էին շփոթության մեջ գցել։ Այս դժվարությունը ի վերջո հանգեցրեց նրան, որ նա, սխալից խուսափելու համար, սկսեց  <math>\sqrt{-1}</math>-ի փոխարեն, օգտագործել հատուկ ''i'' սիմվոլը։

18-րդ դարում [[Աբրահամ դը Մուավր]]ը և [[Լեոնարդ Էյլեր]]ը աշխատանքը լույս տեսավ։ Դը Մուավրի բանաձևը (1730) պնդում է․
:<math>(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta </math>
մինչդեռ կոմպլեքս անալիզի Էյլերի ֆորմուլան (1748) տալիս է․
:<math>\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }. </math>

Կոմպլեքս թվերի գոյությունը ամբողջովին ընդունված չէր, քանի դեռ  [[Գասպար Վեսսել]]ը չէր նկարագրել դրանց երկրաչափական մեկնաբանությունը։ [[Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուս]]ը նորից հայտնաբերեց և հրապարակեց մի քանի տարի անց, և որպես արդյունք, կոմպլեքս թվերի տեսությունը նշանակալի ընդլայնում ստացավ։ Կոմպլեքս թվերի գրաֆիկական ներկայացման գաղափարը առաջացել էր դեռևս 1685 թվականին, [[Ջոն Վալլիս|Ջոն Վալիսի]] ''De Algebra tractatus'' աշխատությունում։

1799 թվականին Գաուսը ներկայացրեց [[հանրահաշվի հիմնական թեորեմ]]ի առաջին համընդանուր ընդունված ապացույցը, որ ցույց է տալիս, որ կոմպլեքս գործակիցներով յուրաքանչյուր բազմանդամ ունի լուծումների լրիվ փաթեթ այդ տարածության մեջ։ Կոմպլեքս թվերի տեսության ընդհանուր ճանաչումը պայմանավորված է [[Օգյուստեն Լուի Կոշի]] և [[Նիլս Հենրիկ Աբել]]ի աշխատանքների հետ, հատկապես վերջինի, ով առաջինն էր, որ համարձակորեն և հաջողությամբ օգտագործեց կոմպլեքս թվերը, որը շատ հայտնի է։

Գաուսն ուսումնասիրեց {{nowrap|''a'' + ''bi''}} [[կոմպլեքս թվեր]]ը, որտեղ ''a'' և ''b'' թվերը կամ ինտեգրալ են կամ ռացիոնալ (և ''i''-ն {{nowrap|''x''<sup>2</sup> + 1 {{=}} 0-ի երկու արմատներից մեկն է}})։ Նրա ուսանող Էյզենշտայնը ուսումնասիրել է {{nowrap|''a'' + ''bω''}} տիպը, որտեղ ''ω'' {{nowrap|''x''<sup>3</sup> − 1 {{=}} 0.}}-ի կոմպլեք արմատն է։ Կոմպլեքս թվերի այլ այսպիսի դասեր (շրջանաձև դաշտեր) դուրս են բերվում  {{nowrap|''x''<sup>''k''</sup> − 1 {{=}} 0}} հավասարումից, ''k''-ի ավելի բարձր արժեքների համար։ Այս ընդհանրացումը կապված է Էռնեստ Կումերի հետ, ով նաև հայտնաբերեց իդեալական թվերը, որոնք 1893 թվականին Ֆելիքս Կլայնի կողմից արտահայտվել են որպես երկրաչափական առարկաներ։

1850 թվականին Վիկտոր Պյուիզեն բեևեռների և ճյուղավորման կետերի տարբերակման վճռորոշ քայլ կատարեց, և եզակիության գաղափարը մտցրեց։ Սա ի վերջո բերեց ընդլայնված կոմպլեքս տարածության գաղափարին։

=== Պարզ թվեր ===
[[Պարզ թվեր]]ն ուսումնասիրվել են ողջ պատմության ընթացքում։ Էվկլիդը իր ''Տարրերի'' աշխատության մի գիրք նվիրել է պարզ թվերի տեսությանը։ Այնտեղ նա ապացուցում է պարզ թվերի անվերջ լինելը և [[թվաբանության հիմնական թեորեմ]]ը, և ներկայացնում է երկու թվերի [[ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար]] գտնելու ալգորիթմը։
Մ․թ․ա․ 240 թվականին, [[Էրատոսթենես Կիրենացի]]ն օգտագործում է [[Էրատոսթենեսի մաղ]]ը պարզ թվերը արագ անջատելու համար։ Պարզ թվերի տեսության հետագա զարգացումը վերագրվում է [[Վերածննդի դարաշրջան|Վերածննդի]] և ավելի ուշ ընկած ժամանակաշրջաններին։

1796 թվականին Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը առաջարկեց [[պարզ թվերի թեորեմ]]ը, որ նկարագրում է պարզ թվերի ասիմպտոտիկ բաշխվածությունը։ Այլ արդյունքները կապված պարզ թվերի բաշխման հետ նաև Էյլերի ապացույցը, որ հակադարձ պարզ թվերի գումարը տարամիտում է և [[Գոլդբախի հիպոթեզ]]ը, որը հայտարարում է յուրաքանչյուր բավականաչափ մեծ զույգ թիվ, կարելի է ներկայացնել երկու պարզ թվերի գումարի տեսքով։  Պարզ թվերի բաշխման հետ կապված մեկ այլ հիպոթեզ է, 1859 թվականին Ռիմանի կողմից ձևակերպած [[Ռիմանի հիպոթեզ|հիպոթեզը]]։ Պարզ թվերի թեորեմը վերջնականապես ապացուցվեց [[Ժակ Ադամար]]ի և [[Շառլ Վալլե Պուուսինի]]ի կողմից 1896 թվականին։ Գոլդբախի և Ռիմանի հիպոթեզները մնում են չապացուցված և չհիմնավորված։

== Թվանշանների անվանումներ ==
Թվերը, որ մենք օգտագործում ենք, (1,2,3,4 և այլն) կոչվում են արաբական։ Դրանք հայտնի են դարձել արաբներից, սակայն նրանց ծագումը գալիս է փյունիկյան առևտրականներից, որոնք օգտագործում էին այդ թվերը իրենց առևտրական հաշիվները պահելու համար։ Ինչու՞ է 1-ը «մեկ», 2-ը «երկու», 3-ը «երեք» և այլն։ Իրականում այդ անունները բխում են նրանց գրելաձևի մեջ անկյունների քանակից։

{|class="graytable" style="text-align:center"
|+
 |width="25%"|[[Պատկեր:1-3 թվերի անկյունների քանակը.jpg|center|x200px]]
 |width="25%"|[[Պատկեր:4-6 թվեր.jpg|center|x200px]]
 |width="25%"|[[Պատկեր:7,8թվեր.jpg|center|x200px]]
 |width="25%"|[[Պատկեր:9,0 թվեր.jpg|center|x200px]]
 |-
 |1, 2, 3 թվերի անկյունների քանակը համապատասխանում է թվանշանի անվան
 |4, 5, 6 թվերի անկյունների քանակը համապատասխանում է թվանշանի անվան
 |7, 8 թվերի անկյունների քանակը համապատասխանում է թվանշանի անվան
 |Զրոն անկյուն չունի
 |}

{{clear}}

== Թվերի անվանումները կարճ սանդղակով ==
[[Միավորների հաշվարկման միջազգային համակարգ]]ում ըստ [[Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)|հաշվարկման տասական համակարգ]]ի [[բնական թվեր]]ն ունեն հետևյալ հատուկ նշանակումները. 
* 10<sup>0</sup> = 1 - մեկ
* 10<sup>1</sup> = 10 - [[տասը]] 
* 10<sup>2</sup> = 100 - [[100 (թիվ)|հարյուր]]
* 10<sup>3</sup> = 1 000 - [[1000 (թիվ)|հազար]] 
* 10<sup>6</sup> = 1 000 000 - [[միլիոն]] 
* 10<sup>9</sup> = 1 000 000 000 - [[միլիարդ]] (բիլիոն)
* 10<sup>12</sup> = 1 000 000 000 000 - [[տրիլիոն]] 
* 10<sup>15</sup> = 1 000 000 000 000 000 - [[քուադրիլիոն]]
* 10<sup>18</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 - [[քվինտիլիոն]]
* 10<sup>21</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 - [[սեքստիլիոն]]
* 10<sup>24</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 - սեպտիլիոն
* 10<sup>27</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - օկտիլիոն
* 10<sup>30</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - նոնիլիոն
* 10<sup>33</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - դեսիլիոն
* 10<sup>36</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - էնդեսիլիոն
* 10<sup>39</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - դուադեսիլիոն
* 10<sup>42</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - տրեդեսիլիոն
* 10<sup>45</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - քուաթորդեսիլիոն
* 10<sup>48</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - քուինդեսիլիոն
* 10<sup>51</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - սեքսդեսիլիոն
* 10<sup>54</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - սեպտենդեսիլիոն
* 10<sup>57</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - օկտոդեսիլիոն
* 10<sup>60</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - նովեմբեդեսիլիոն
* 10<sup>63</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - վիջինթիլիոն
* 10<sup>66</sup> = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - անվիջինթիլիոն
* 10<sup>100</sup> = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - [[գուգոլ]]
* 10<sup>googol</sup> = 10{{sup|10{{sup|100}}}} - [[գուգլփլեքս]]
* 10<sup>303</sup> - սենթիլիոն<ref>[http://www.dictionary.com/browse/centillion centillion Entry for centillion in the American Heritage Dictionary.] Dictionary.com կայքում</ref><ref>Rowlett, Russ (2001-11-01). [http://www.unc.edu/~rowlett/units/large.html Names for Large Numbers.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150509230056/http://www.unc.edu/~rowlett/units/large.html |date=2015-05-09 }} 2001 by Russ Rowlett and the University of North Carolina at Chapel Hill</ref>

== Գրականություն ==
* Caveing, Maurice. [http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1976_num_29_1_1381 Geneviève Guitel, Histoire comparée des numérations écrites] Année 1976

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանտուփ}}
 {{Արտաքին հղումներ}}
{{Մաթեմատիկա–ներքև}}
{{Թվերի տեսություն}}
{{ՀՍՀ|հատոր=4|էջ=188}}

[[Կատեգորիա:Թվեր]]
[[Կատեգորիա:Թվերի տեսություն]]