Դիտել Թվաբանություն էջի վիքիկոդը

{{Աուդիո հոդված|Hy-Թվաբանություն (Arithmetic).ogg|հունիսի 20, 2019|6322789}}
[[պատկեր:Arithmetria.jpg|thumb|right|200px|Թվաբանություն<br>''Հանս Սեբալդ Բեհամ'', XVI դար]]
'''Թվաբանություն''' ({{lang-grc|ἀριθμητική}}, {{lang-grc2|ἀριθμός}} [[Թիվ|թվեր]] բառից), [[մաթեմատիկա]]յի բաժին, որն ուսումնասիրում է թվերը, նրանց հատկությունները և հարաբերությունները։ Թվաբանության ուսումնասիրման առարկան թիվ հասկացությունն է, դրա գաղափարների մշակումը ([[Բնական թիվ|բնական]], [[Ամբողջ թիվ|ամբողջ]], [[Ռացիոնալ թիվ|ռացիոնալ]], [[Իրական թվեր|իրական]], [[Կոմպլեքս թիվ|կոմպլեքս]]) և հատկությունների ուսումնասիրությունը։ Թվաբանության մեջ ուսումնասիրվում են [[չափումներ]], հաշվողական գործողություններ ([[գումարում]], հանում, բազմապատկում, բաժանում) և հաշվարկման մեթոդներ։ Առանձին ամբողջ թվերի ուսումնասիրությամբ զբաղվում է բարձրագույն թվաբանությունը կամ թվերի տեսությունը։ Թվաբանության տեսությունը ուշադրություն է դարձնում թվերի որոշմանը, սահմանմանը և անալիզին, այն դեպքում երբ [[Աքսիոմատիկ մեթոդ|աքսիոմատիկ]] թվաբանությունը հենվում է տրամաբանական կառուցվածքների՝ [[Պրեդիկատների տրամաբանություն|պրեդեկատների]] և աքսիոմաների վրա։ Թվաբանությունը հնագույն գիտություն է, այն հիմնական մաթեմատիկական գիտություններից մեկն է և սերտ կապված է [[Երկրաչափություն|երկրաչափության]], [[Հանրահաշիվ|հանրահաշվի]] և [[Թվերի տեսություն|թվերի տեսության]] հետ<ref name="MathEnc_Arith">{{Ռուսերեն գիրք |автор=[[Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградов И. М.]] |заглавие=Математическая энциклопедия |год=1977 |часть=Арифметика |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |том=1}}</ref><ref name="MathEnc_FormArith">{{Ռուսերեն գիրք |автор=Виноградов И. М. |заглавие=Математическая энциклопедия |год=1977 |часть=Арифметика формальная |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |том=1}}</ref>։

Թվաբանության առաջացման պատճառ դարձավ հաշվարկի և գումարման գործնական անհրաժեշտությունը, [[Գյուղատնտեսություն|գյուղատնտեսության]] կենտրոնացման ժամանակ [[Հաշվապահական հաշվառում|հաշվապահական հաշվառման]] հետ կապված։ Խնդիրների լուծման բարդացման հետ գիտությունն ավելի զարգացավ։ Թվաբանության զարգացման մեջ մեծ ավանդ են ունեցել հույն մաթեմատիկոսները, մասնավորապես [[փիլիսոփա]] պյութագորասականները, որոնք փորձում էին թվերի օգնությամբ հաշվել և նկարագրել աշխարհի բոլոր օրինաչափությունները։

[[Միջնադար]]ում թվաբանությունը, նեոպլատոնականներից հետո դասվեց այպես կոչվող յոթ [[ազատ արվեստներ]]ի շարքին։ Այն ժամանակ թվաբանության պրակտիկ օգտագործման հիմնական ոլորտներն էին [[առևտուր]]ը, [[շինարարություն]]ը և [[նավագնացություն]]ը։ Սրա հետ կապված հատուկ նշանակություն ստացան [[Իռացիոնալ թիվ|իռացիոնալ թվերի]] մոտավոր հաշվարկները, որոնք առաջին հերթին անհրաժեշտ էին երկրաչափական պատկերների կառուցման համար։ Թվաբանությունը հատկապես բուռն զարգացավ [[Հնդկաստան]]ում և արաբական երկրներում, որտեղից էլ մաթեմատիկական մտքի ձեռքբերումները տարածվեցին դեպի [[Արևմտյան Եվրոպա]]։

Նոր ժամանակներում ծովագնացային [[աստղագիտություն]]ը, [[մեխանիկա]]ն, բարդացող կոմերցիոն հաշվարկները առաջացրեցին [[հաշվողական տեխնիկա]]յին նոր պահանջներ և զարկ տվեցին թվաբանության հետագա զարգացմանը։ [[Ջոն Նեփյեր|Նեփյերը]] ստեղծեց [[լոգարիթմ]]ները, որից հետո Ֆերման մշակեց [[թվերի տեսություն]]ը, որպես մաթեմատիկայի առանձին բաժին։ Դարի վերջին [[Իռացիոնալ թիվ|իռացիոնալ թվերի]] մասին պատկերացում ձևավորվեց, որպես ռացիոնալ մոտավորությունների [[Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)|հաջորդականություն]], իսկ հաջորդ հարյուրամյակի ընթացքում շնորհիվ [[Լամբերտի օրենք|Լամբերտի]], [[Լեոնարդ Էյլեր|Էյլերի]] և [[Կառլ Գաուս|Գաուսի]] ջանքերի, թվաբանությունը ներառեց գործողություններ կոմպլեքս մեծությունների հետ՝ ձեռք բերելով ժամանակակից տեսք։

== Թվաբանության առարկան ==
[[պատկեր:Giuseppe Peano.jpg|200px|thumb|right|Ջուզեպե Պեանո 1889 թվականին սահմանել է բնական թվերի աքսեոման]]
Թվաբանության առարկա են համարվում՝ թվային [[բազմություն]]ները, [[Թիվ|թվերի]] հատկությունները և գործողությունները թվերի հետ<ref name="ebse">{{ВТ-ЭСБЕ|Арифметика, наука}}</ref>։ Նրան են վերբերում նաև հարցերը, որոնք կապված են հաշվարկի տեխնիկայի, [[չափումներ]]ի<ref name="brit-arithmetic">{{Cite web |author=MacDuffee C. C. |title=Arithmetic |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/34730/arithmetic |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67ytRv4RV?url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/34730/arithmetic |archivedate=2012 թ․ մայիսի 27 |accessdate=2012 թ․ մարտի 20 |publisher=Encyclopædia Britannica}}{{ref-en}}</ref>, թվի հասկացության առաջացման և զարգացման հետ<ref name="MathEnc_Arith"/>։ Թվաբանաությունը առաջին հերթին ուսումնասիրում է [[Բնական թիվ|բնական թվերը]] և [[կոտորակներ]]ը<ref name="bre">{{Cite web |title=АРИФМЕ́ТИКА |url=http://bigenc.ru/mathematics/text/1828566 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20170627024754/http://bigenc.ru/mathematics/text/1828566 |archive-date=2017 թ․ հունիսի 27 |accessdate=2017 թ․ հունիսի 15 |work=Большая российская энциклопедия |language=ru}}</ref>։ Բնական թվերի բազմությունների [[Աքսիոմա|աքսեոմաների]] կառուցվածքի հիման վրա իրականացվում է այլ թվային բազմությունների կառուցումը, որոնք են [[Ամբողջ թիվ|ամբողջ]], [[Բնական թիվ|բնական]] և [[Կոմպլեքս թիվ|կոմպլեքս]] թվերը և դրանց վերլուծությունը<ref name="MathEnc_Arith"/>։ Երբեմն թվաբանության շրջանակներում ուսումնասիրվում է նաև [[քվատերնիոններ]]ը և [[Հիպերկոմպլեքս թվեր|հիպերկոմպլեքս]] այլ թվեր։ Սրա հետ մեկտեղ Ֆրոբենիուսի [[թեորեմ]]ից հետևում է, որ թիվ հասկացության տարածումը [[կոմպլեքս հարթություն]]ից դուրս առանց նրա որևէ թվաբանական հատկությունների կորստի անհնար է{{sfn|Арнольд|1938|с=3—5}}{{sfn|Понтрягин|1986|с=4—6}}։

Թվերի հետ հիմնական գործողություններին են վերաբերում [[գումարում]]ը, հանումը, բազմապատկումն ու բաժանումը<ref name="ebse"/>, ոչ հաճախ նաև [[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճան]] բարձրացնելը, [[Արմատ (մաթեմատիկա)|արմատ]] հանելը<ref name="brit-arithmetic"/> և թվային հավասարումների լուծումը<ref name="ebse"/>։ Պատմականորեն թվաբանական գործողությունների ցուցակը իր մեջ ներառում է կրկնապատկումը (բացի բազմապատկումից), երկուսի բաժանումը և մնացորդով բաժանումը, [[Թվաբանական պրոգրեսիա|թվաբանական]] և [[Երկրաչափական պրոգրեսիա|երկրաչափական]] պրոգրեսիաների գումարի որոշումը<ref name="bell-12">{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://ru.wikisource.org/wiki/Как_постепенно_дошли_люди_до_настоящей_арифметики |автор=Беллюстин В. |заглавие=Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики |год=1909 |часть=Глава 12. Число и порядок действий, знаки и определения |ссылка часть=http://ru.wikisource.org/wiki/Как_постепенно_дошли_люди_до_настоящей_арифметики/Глава_12/ |место=М. |издательство=Типография К. Л. Меньшова}}</ref>։ [[Ջոն Նեփյեր]]ը իր «Տրամաբանական [[արվեստ]]» [[Գիրք|գրքում]] թվաբանական գործողություններն առանձնացրեց աստիճաններով։ Ներքևի [[սանդուղք]]ին գումարումն ու հանումն է, հաջորդին՝ բաժանումն ու բազմապատկումը, հաջորդին [[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճան]] բարձրացնելն ու [[Արմատ (մաթեմատիկա)|արմատ]] հանելը{{sfn|Депман|1965|с=195—199}}։ Հայտնի մեթոդաբան Արնոլդը սանդուղքի երրորդ խմբի գործողություններին ավելացրեց նաև [[լոգարիթմ]]ումը{{sfn|Арнольд|1938|с=151—156}}։ Սովորաբար թվաբանություն են անվանում տարբեր օբյեկտներով գործողությունները, ինչպես օրինակ «քառակուսային ձևերի թվաբանություն», «մատրիցաների թվաբանություն»<ref name="MathEnc_Arith"/>։

Մաթեմատիկական հաշվարկները և [[չափումներ]]ը, մեզ անհրաժեշտ են նույնիսկ մեր պրակտիկ կարիքների մեջ (չափաբաժիններ, [[տոկոս]]ներ), վերաբերում են ցածր կամ պրակտիկ թվաբաությանը<ref name="ebse"/>, այն դեպքում երբ տրամաբանական անլիզ թվային հասկացությունը վերաբերում է տեսական թվաբանությանը<ref name="MathEnc_Arith"/>։ Ամբողջ թվերի հատկությունները, նրանց մասերի բաժանումները, անընդմիջվող [[Կոտորակ (մաթեմատիկա)|կոտորակները]] համարվում են թվերի տեսության մաս<ref name="MathEnc_Arith"/>, որը երկար ժամանակ համարվում էին բարձրագույն թվաբանություն<ref name="ebse"/>։ Թվաբանությունը սերտ կապված է [[Հանրահաշիվ|հանրահաշվի]] հետ, որը ուսումնասիրում է հենց գործողությունները առանց թվերի առանձնահատկություններն ու հատկությունները հաշվի առնելու<ref name="MathEnc_Arith"/><ref name="bse">{{Cite web |title=Арифметика |url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/65000/Арифметика |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/6BtoHcmjU?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/65000/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0 |archivedate=2012 թ․ նոյեմբերի 3 |accessdate=2013 թ․ հունվարի 20 |publisher=[[Большая советская энциклопедия]]}}</ref>։ Այնպիսի թվաբանական գործողությունները ինչպիսիք են աստիճան բարձրացնելն ու արմատ հանելը, համարվում են հանրահաշվի տեխնիկական մասերը։ Այս պատճառով էլ [[Իսահակ Նյուտոն|Նյուտոնից]] և [[Կառլ Գաուս|Գաուսից]] հետո, [[հանրահաշիվ]]ը ընդունված է ընդհանրացնել թվաբանության հետ<ref name="ebse"/><ref name="brit-arithmetic"/>։ Այսպիսով թվաբանության, [[Տարրական հանրահաշիվ|տարրական հանրահաշվի]] և [[Թվերի տեսություն|թվերի տեսության]] մեջ հստակ սահմաններ չկան։ [[Սովետական մեծ հանրագիտարան]]ում գրված է՝ «հանրահաշիվը ուսումնասիրում է օգտվելով տառային նշանակություններից,  համակարգերի ընդհանուր և  հավասարումների միջոցով խնդիրների լուծման ընդհանուր հատկություններից, թվաբանությունը զբաղվում է բանաձևերի ընդունմամբ կոնկրետ տրված թվերով, իսկ իր ավելի  բարձր ոլորտներում թվերի ավելի կոնկրետ տեսակներով»<ref name="bse_algebra">{{Cite web |title=Алгебра |url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62556/Алгебра |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/6E6ZXGwLN?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62556/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0 |archivedate=2013 թ․ փետրվարի 1 |accessdate=2013 թ․ հունվարի 20 |publisher=[[Большая советская энциклопедия]]}}</ref>։ Ինչպես այլ ակադեմիական կարգավորությունները, թվաբանությունը ևս հանդիպում է սկզբունքային մեթոդոլոգիական խնդիրներ, դրա համար անհրաժեշտ է հարցերի անհակասական հետազոտություններ և [[աքսիոմա]]ներ<ref name="ebse"/>։ Տրամաբանական կառուցվածքով, ֆորմալ համակարգով և հանրահաշվական աքսեոմաներով զբաղվում է ֆորմալ հանրահաշիվը<ref name="MathEnc_FormArith"/>։

Թվաբանության հետագա պատմությունը նշանավորվում է հիմունքների քննադատական վերանայմամբ և [[Դեդուկցիա|դեդուկցիոն]] մեթոդներով այն հիմնավորելու փորձերով։ Թվերի մասին տեսական հիմնավորված պատկերացումները առաջին հերթին կապված են բնական թվի խիստ որոշմամբ և [[Պեանոի աքսեոմաներ]]ով՝ ձևակերպված [[1889]] թվականին։ Թվաբանության [[Անհակասականություն|անհակասականության]] ֆորմալ կառուցվածքը ցույց է տվել [[Գենցեն]]ը [[1936]] թվականին։

Թվաբանության հիմունքներին հնուց ի վեր անփոփոխ և մեծ ուշադրություն է դարձվում [[Նախադպրոցական մանկավարժություն|նախդպրոցական կրթության]] մեջ։

== Պարզագույն հասկացություններ ==
=== Հաջորդական հաշվարկ, բնական թվեր ===
[[պատկեր:Three apples.svg|thumb|100px|right|Մի խնձոր, երկու խնձոր, երեք խնձոր։ Բնական թվեր]]
{{Հիմնական հոդված|Բնական թվեր}}
Հաջորդական հաշվարկը թվաբանական պարզագույն հասկացություն է։ Որպես հաշվարկման առարկա ծառայում են տարբեր տարրեր կամ դրանց բազմությունը, օրինակ [[խնձոր]]ը և զամբյուղով խնձորները։ Հաջորդական հաշվարկի օգնությամբ կարելի է համարակալել տարրերը և նշել նրանց ընդհանուր քանակը։

Հաջորդական հաշվարկը կապված է այն խմբերի հաշվման հետ, որոնք պարունակում են հարաբերականորեն հավասար քանակի տարրեր, ինչպես օրինակ տասնյակներով խնձորների հաշվարկը։ Սովորաբար, այն համարվում է երկու [[ձեռք]]երի [[մատներ]]ը (հիմքը ուղիղ 10-ն է), բայց պատմական աղբյուրներում հանդիպում է խմբավորումներ հետևյալ թվերով՝ <math>5, 11, 12, 20, 40, 60, 80</math>։ Խմբի մեջ տարրերի քանակը հիմք է հանդիսանում հաշվարկման համակարգի համար<ref name="bse"/>։

Թվային շարքը, որը ստացվում է հաշվարկից, անվանում են բնական, իսկ նրա տարրերը բնական թվեր։ Բնական շարք հասկացությունը առաջին անգամ ի հայտ է եկել [[Հույներ|հույն]] մաթեմատիկոս [[Նիկոմախի]] աշխատություններում, մեր թվարկության [[1-ին դար]]ում, բնական թվի մասին՝ [[հռոմ]]եացի հեղինակ [[Բոետիոս]]ի մոտ [[5–րդ դար|5-րդ դար]]ի վերջին [[6-րդ դար|6-րդ]] դարի սկզբին։ Տերմինի համընդհանուր օգտագործումը սկսվում է [[Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբեր|Դ’Ալամբեր]] աշխատություններից [[18-րդ դար]]ում։ [[Արքիմեդես]]ը իր աշխատությունում, ասել է, որ թվային շարքը կարելի է շարունակել անվերջ, բայց դրա հետ մեկտեղ նկատել է, որ իրական խնդիրների լուծման համար բավական է նրա միայն մի փոքր մասը{{sfn|Депман|1965|с=21—25}}։ Բնական թվերի բաժանումը [[զույգ և կենտ թվեր]]ի գրել են [[Պյութագորասականություն|պյութագորասականները]], այն առկա է նաև [[Եգիպտոս|եգիպտական]] [[Մաթեմատիկական պապիրուսներ|Ռինդի]] [[պապիրուս]]ում։ Պյութագորասականները հաստատեցին նաև [[Պարզ թիվ|պարզ]] և [[Բաղադրյալ թիվ|բաղադրյալ թվերը]]{{sfn|Депман|1965|с=129—130}}։

=== Գումարում, բազմապատկում, աստիճան բարձրացում ===
[[Պատկեր:Addition01.svg|thumb|100px|left|<math>3+2=5</math>]]
{{Հիմնական հոդված|Գումարում|Բազմապատկում|Աստիճան բարձրացում}}
Բնական թվերի համար բնական կերպով որոշված են [[Բազմապատկում|բազմապատկման]] և գումարման գործողությունները։ Երկու առարկաների որոշակի քանակ պարունակող տարբեր խմբերի միավորումից, առաջացող նոր խումբը կունենա այնքան առարկա, որքան որ կար առաջի երկու խմբերում միասին։ Եթե առաջի խումբը պարունակում է <math>3</math> առարկա, իսկ երկրորդը <math>2</math> առարկա, ապա նրանց գումարը կպարունակի <math>2+3=5</math> առարկա։ Նշված գործողությունը կոչվում է գումարում և համարվում է պարզ [[բինար գործողություն]]<ref name="brit-arithmetic"/>։ Գումարի ճշտությունը ստուգելու համար գումարման աղյուսակը գիտենալ անհրաժեշտ չէ, բավական է վերահաշվել առարկաները{{sfn|История математики, т. I|1970|с=23—24}}։

Նույն տեսակի բազմության տարրերի բազմակի գումարումը կախված չէ այդ բազմության անդամների հաջորդականությունից, սա թույլ տվեց հաստատել մեկ այլ բինար գործողություն՝ բազմապատկումը<ref name="brit-arithmetic"/>։ Բացի բազմապատկումից, հին ժամանակներում գոյություն է ունեցել այլ թվաբանական գործողություն ևս, կրկնապատկում կամ երկուսով բազմապատկում{{sfn|Депман|1965|с=212—232}}։ Գումարման միջոցով բազմապատկման որոշման համանմանությամբ, բազմակի բազմապատկումը թույլ է տալիս որոշել [[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճան]] բարձրացնելու գործողությունը։

==== Թվաբանության հիմնական կանոնները ====
[[պատկեր:Commutativity.svg|300px|right|thumb|Բազմապատկման տեղափոխական օրենք]]
{{Հիմնական հոդված|Տեղափոխականություն|Զուգորդական գործողություն|Բաշխականություն}}
Այս գործողությունների հատկությունների մասին ձևակերպվել է հինգ օրենքներ, որնք համարվում են թվաբանության հիմնական օրենքները {{sfn|Депман|1965|с=204}}։
*[[Տեղափոխականություն|Տեղափոխական օրենք]]։ Ըստ գումարման տեղափոխական օրենքի՝ գումարելիների տեղերը փոխելիս գումարը չի փոխվում։ Համանուն օրենքը գործում է նաև բազմապատկման համար՝ արտադրիչների տեղերը փոխելիս արտադրյալը չի փոխվում։ Այս օրենքները կարելի է արտահայտել հանրահաշվական բանաձևերի միջոցով, տառային նշանակումների տեսքով՝
: <math>a+b=b+a</math>
: <math>a\cdot b=b\cdot a</math>
* Գումարման [[Զուգորդականություն|զուգորդական օրենքն]] ասում է, որ երկու թվերի գումարին երրորդ թիվն ավելացնելու համար կարելի է առաջին թվին ավելացնել երկրորդի և երրորդի գումարը։ Համանուն օրենքը գործում է նաև բազմապատկման համար՝ երկու թվերի արտադրյալը երրորդ թվով բազմապատկելու համար կարելի է առաջին թիվը բազմապատկել երկրորդ և երրորդ թվերի արտադրյալով։ Այս օրենքները ևս կարելի է ներկայացնել հանրահաշվական տեսքով՝ 
: <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math>
: <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)</math>
* [[Բաշխականություն|Բաշխական օրենքն]] ասում է, որ գումարը թվով բազմապատկելու համար կարելի է այդ թվով բազմապատկել յուրաքանչյուր գումարելին և ստացված արտադրյալները գումարել։ Հանրահաշվական տեսքը հետևյալն է՝ 
: <math>(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c</math>

Բացի հանրահաշվական հիմնական օրենքներից բնական թվերի համար գործում է նաև գումարման և բազմապատկման{{sfn|Арифметика|1951|c=142}}{{sfn|Клейн|1987|с=23—26}} մոնոտոնության օրենքները։ Հանրահաշվական տեսքը հետևյալն է՝
: <math>a+b>a+c</math>  երբ  <math>b>c</math>,
: <math>a\cdot b>a\cdot c</math>  երբ  <math>b>c</math> և <math>a > 0</math>

«Բաշխական» տերմինը տեղափոխական օրենքի համար մտցրել է [[Ֆրանսիացիներ|ֆրանսիացի]] մաթեմատիկ [[Սերվուա]]ն [[1814]] թվականին, «զուգորդական» տերմինը տեղափոխական օրենքի համար՝ [[Ուիլյամ Համիլտոն|Համիլտոնը]], [[1853]] թվականին{{sfn|Депман|1965|с=204}}։

[[Անրի Պուանկարե|Պուանկարեն]] բոլոր հանրահաշվական գործողություններն ու օրենքները ուսումնասիրում էր [[ինտուիցիա]]յի տեսակետից։ Նա պնդում էր, որ օրենքները բացահայտ կերպով իրականացվում են փոքր թվերի վրա, և օգտագործելով [[Մակածություն|ինդուկցիայի]] կանոնը, կարելի է գալ այն եզրակացության, որ նրանք ճիշտ են բոլոր թվերի համար։ Ըստ այլ մոտեցման ինտուտիվ կերպով իրականացվող համարվում են ոչ բոլոր կանոնները, այլ միայն պարզագույնները և այն դեպքում, երբ դրանց հետագա ապացույցները կապված են տրամաբանական կառուցվածքներով{{sfn|Клейн|1987|с=26—35}}։ Ակնհայտ են համրվում տեղափոխական և զուգորդական օրենքները{{sfn|Депман|1965|с=204}}։ Բաշխական օրենքը սկզբնական ժամանակաշրջանում ապացուցել է [[Էվկլիդես]]ը, օգտագործելով [[Երկրաչափություն|երկրաչափական]] մեթոդը{{sfn|Арифметика|1951|c=77—79}}։

Աստիճան բարձրացնելու գործողությունը տեղափոխական և զուգորդական չէ, այն ունի իր կանոնները։ Այս գործողության կատարման հիմնական կանոնները դրական աստիճանների դեպքում կապված են նրա ձևակերպումից<ref name="brit-arithmetic"/>։ Հանրահաշվում այն գրվում է հետևյալ տեսքով՝
* Բաշխական օրենքը աստիճան բարձրացնելու գործողության ժամանակ՝
: <math>a^{n+m} = a^na^m</math>
* Բաշխական օրենքը հանման դեպքում ընդունում է կոտորակային տեսք՝
: <math>a^{n-m} = {a^n \over {a^m}} ,\quad n > m</math>
* Կրկնակի աստիճան բարձրացումը բացվում է աստիճանների բազմապատկումով՝
: <math>\left(a^n\right)^m = a^{nm}</math>։

=== Հակառակ գործողություններ ===
Թվաբանական բոլոր գործողություններն ունեն իրենց հակառակը՝ գումարման հակառակը հանումն է, բազմապատկմանը՝ բաժանումը, աստիճան բարձրացնելունը՝ թվաբանական արմատը և լոգարիթմը։ Չնայած գումարման և բազմապատկման բինար լինելուն, նրանք ունեն մեկական հակադիր գործողություն, սա բացատրվում է նրանց տեղափոխականությամբ։

==== Հանում՝ բացասական թվեր ====
{{Հիմնական հոդված|Հանում|Բացասական թիվ|Ամբողջ թիվ}}
[[պատկեր:Subtraction01.svg|thumb|left|200px|<math>5-2=3</math>]]
Հանումը դա գումարման հակառակ գործողությունն է, երկու տրված թվերի տարբերությունը՝ <math>5</math> և <math>2</math> համարվում է <math>2+?=5</math> հավասարման անհայտը<ref name="brit-arithmetic"/>։ Հանման գործողությունը նշանակում են «-» նշանով, այն գրվում է հետևյալ տեսքով՝ <math>5-2=3</math>։ Գործողության կատարման համար օգտագործվում է երկու եղանակ՝ տարբերությունը հաշվելու համար անհրաժեշտ է նվազելին պակասեցնել հանելիի միավոր արժեքի չափով կամ անհրաժեշտ է գտնել այնպիսի թվի, որի ավելացումը հանելիին հավասար լինի նվազելիին{{sfn|Депман|1965|с=212—232}}։

Հանման գործողությունը, եթե այն կիրառենք բնական թվերի բոլոր զույգերի վրա, այլ ոչ թե միայն նրանց, որոնք կարող են գումարման գործողության շրջանակներում լինել գումար և գումարելի, թույլ է տալիս դուրս գալ բնական շարքի սահմաններց, այսինքն երկու բնական թվերի տարբերությունը պարտադիր չէ որ լինի բնական թիվ, հանման արդյունքում կարող է ստացվել [[0 (թիվ)|զրո]] կամ ընդհանրապես [[Բացասական թիվ|բացասական]] թիվ։ Բացասական թվերն արդեն հնարավոր չէ դիտարկել որպես իրերի քանակ, [[թվային առանցք]]ի վրա նրանք տեղակայված են զրոյից ձախ։ Թվերի բազմությունը, որը ստացվում է բնական թվերին զրո և բացասական թիվ գումարելիս կոչվում է ամբողջ թվերի բազմություն։ Զրոն և բնական թվերի բազմությունը կոչվում են դրական ամբողջ թվեր<ref name="brit-arithmetic"/>։ Բազմապատկման ժամանակ, որպեսիզի որոշվի տրված թիվը դրական է թե բացասական օգտագործում են «նշանների կանոնը»{{sfn|Клейн|1987|с=37—44}}։ Շատ մաթեմատիկոսներ մինչև [[19-րդ դար]]ը բացասական թվերը համարվում էին ոչ իրական և անիմաստ, սակայն դա չէր խանգարում նրանց համատարած պայմանական օգտագործմանը։

Բացասական թիվ հասկացությունը առաջին անգամ հայտնվել է Հնդկաստանում, որտեղ այն մեկնաբանում էին որպես «պարտք» (դրական թվեը որպես «ունեցվածք»)։ Բացասական թվերը տարածում ստացան միայն [[17-րդ դար]]ում{{sfn|Арифметика|1951|с=157}}։ «Հանում» տերմինը երևան է եկել դեռևս Բոեցիայի մոտ, «հանելի» և «նվազելի» տերմինները գործածության մեջ է դրել [[Քրիստիան Վոլֆ|Վոլֆը]], [[1749]] թվականին, «տարբերությունը՝» [[Վիդման]]ը, [[1489]] թվականին{{sfn|Депман|1965|с=212—232}}։ «+» և «−» նշանների ներկայիս նշանակումը ևս մտցվել է Վիդմանի կողմից [[15-րդ դար]]ի վերջին։

==== Բաժանում՝ ռացիոնալ թվեր ====
{{Հիմնական հոդված|Բաժանում (մաթեմատիկա)|Ռացիոնալ թիվ}}
[[պատկեր:Divide20by4.svg|thumb|right|200px|20-ի բաժանումը 4-ի]]
Բազմապատկման հակառակ գործողությունը համարվում է բաժանումը։ Բաժանման առաջին ձևակերպումը դա այն թվի որոնումն է, որը բաժանելիի մեջ կա այնքան անգամ, որքան միավոր որ պարունակվում է բաժանարարը։ Այսպիսի ձևակերպում է տրված [[14-րդ դար|14-րդ]] դարի հանրահաշվի դասագրքերում։ Օրինակ՝ <math>20 / 4 = 5</math>։ Բաժանումը համարվել է շատ բարդ և ծանր գործողություն։ Բաժնման ներկայիս եղանակը՝ քանորդի առանձին կարգերի վրա բաժանարարի արտադրյալի մանակի օգտագործումն է ([[սյունակով բաժանում]]), ներկայացված իտալական [[1460]] թվականի [[Ձեռագիր|ձեռագրերում]]{{sfn|Депман|1965|с=212—232}}։

Բնական թվերի համար, որոնք չեն համարվում բազմապատկիչ և արտադրյալ, հայտնի է [[Բաժանում մնացորդով|մնացորդով բաժանում]] գործողությունը (բաժանումից առաջացած մնացորդը անվանում են նաև մոդուլով բաժանում)։ Գոյություն ունի բազմաթիվ եղանակներ, որոնք պարզեցման են բաժանումը մասնավոր դեպքեում կամ որոնք թույլ են տալիս ստուգել այս կամ այն թվին [[բաժանելիություն]]ը։ Օրինակ ըստ [[բաժանելիության հայտանիշներ]]ի՝  
* թիվը առանց մնացորդ բաժանվում է երկուսի, եթե նրա վերջի թիվը բաժանվում է երկուսի, 
* թիվը առանց մնացորդ բաժանվում է երեքի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է երեքի,
* թիվը առանց մնացորդ բաժանվում է տասի, եթե նրա վերջի թիվը զրո է։
Բաժանման գործողությունը՝ եթե բաժանում ենք ոչ միայն այն թվերը, որոնք կարելի է ստանալ բնական թվերի արտադրյալից, և բաժանվում ենք առանց մնացորդ, այնպես ինչպես հանումը, թույլ է տալիս դուրս գալ բնական թվերի բազմությունից։ Բաժանման ժամանակ կարող են ստացվել [[կոտորակներ]], որոնք անհնար է առանց մնացորդ կրճատել և ստանալ ամբողջ թիվ։ Այս կոտորակներին համապատասխանող թվերը կոչվում են [[Ռացիոնալ թիվ|ռացիոնալ]]։ Ռացիոնալ թվերի բաժանման գիտակցման հիման վրա տեղի է ունենում արդեն հայտնի թվերի ցանկի ևս մեկ ընդլայնում։ Պատմականորեն առաջինը հայտնվել են կոտորակները, իսկ հետո նոր բացասական թվերը{{sfn|Клейн|1987}}։ Այսպիսի հաջորդականություն է ընդունված նաև դպրոցական դասընթացներում{{sfn|Арифметика|1951|с=172—178}}։

Օգտագործվում է կոտորակների գրառման երկու տարբերակ՝ համարիչի և հայտարարի բաժանումը հորիզոնական կամ շեղակի գծով, որի դեպքում հաճախ կոտորակը կրճատվում է մինչև ամենափոքր թիվը, և կոտորակային մաս պարունակող թվերով, որոնք դիրքային գրառումներում տեղադրվում են ամբողջ և կոտորակային մասի բաժանման նշանից հետո։ Օրինակ 10 բաժանումը 20-ի կարող է գրված լինել հետևյալ կերպ՝ <math>\frac {10} {20} = 10/20 = 5 / 10 = 1/2 = 0{,}5</math>։
[[պատկեր:Real number line.svg|600px|center|Թվային առանցք]]

==== Արմատի հանում՝ իռացիոնալ և կոմպլեքս թվեր ====
{{Հիմնական հոդված|Արմատ (մաթեմատիկա)|Լոգարիթմ|Իռացիոնալ թիվ|Կոմպլեքս թիվ|Իրական թիվ}}
Աստիճան բարձրացնելու գործողության երկու հակառակ գործողություններից մեկը արմատ հանելն է, կամ այն թվի որոնումն է, որը համապատասխան աստիճան բարձրացնելու դեպքում, կստացվի հայտնի արդյունքը։ Այսինքն, հանրահաշվորեն ասած, այն արմատի որոնում է <math>x^a = b</math> նման հավասարումների համար։ Երկրորդ հակառակ գործողությունը [[լոգարիթմ]]ների որոնումն է (<math>a^x = b</math> արմատ հետևյալ տեսքի հավասարումների համար)։ Թվաբանությանը, որպես կանոն վերաբերում է միայն [[քառակուսի արմատ]]ը՝ երկրորդ [[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճանի]] արմատը։ Այլ աստիճանների արմատները և լոգարիթմները թվաբանական գործողություններ չեն համարվում։

Արմատ հանելու գործողությունը, եթե այն կիրառենք ոչ միայն այն թվերի համար որոնք ստացվում են բնական թվերի աստիճան բարձրացնելուց, այնպես ինչպես մյուս հակառակ գործողությունները, թույլ է տալիս դուրս գալ բնական թվերի բազմությունից։ Թվերը որոնք ստացվում են այս դեպքում, հաճախ չեն կարող ներկայացված լինել վերջավոր ռացիոնալ կոտորակների տեսքով, այս պատճառով էլ կոչվում են [[Իռացիոնալ թիվ|իռացիոնալ]]։ Ռացիոնալ թվերին իռացիոնալ թվերի ավելացումից ստացված թվերի բազմությունը կոչվում է իրական։

Դեռևս [[Հին Հունաստան]]ում հայտնի էր անհամաչափելի հատվածների գոյությունը, օրինակ փորձեր էին կատարվում միավոր կողմով քառակուսու կողմերի և անկյունագիծի համար ստանալ ճշգրիտ թվային արժեքներ, ինչը իր արտացոլումը գտավ [[Էվկլիդես]]ի «[[սկզբունքներ]]ում»։ Իրական թվերը ուսումնասիրման առարկա դարձան միայն [[17-րդ դար|17]]-[[18-րդ դար|18]]-րդ դարերում։ [[19-րդ դար|19-րդ]] դարի երկրորդ կեսին [[Ռիխարդ Դեդեկինդ|Դեդեկինդի]], [[Գեորգ Կանտոր|Կանտորի]] և [[Կառլ Վայերշտրաս|Վայերշտրասը]] ձևակերպեցին իրենց իրական թվերի որոշման կառուցվածքային մեթոդը{{sfn|Арифметика|1951|с=188—201}}։

Արմատ հանելու գործողության համար հայտնի է հետևյալ կանոնը<ref name="brit-arithmetic"/>՝
* <math>a^{n\over m} = \sqrt[m]{a^n} </math>
Թվային բազմությունների հետագա ընդլայնումը կապված էր բացասական թվերի քառակուսի արմատի որոշման անհնարին լինելու հետ։ Այսպիսի խնդիրների էին առնչվում հին ժամանակներում քառակուսի հավասարումների լուծման ժամանակ, և այս հավասարումները համարում էին լուծում չունեցող։ [[16-րդ դար|16-րդ]] դարի առաջին կեսին, այն հավասարումները որոնց լուծումները պարունակում էին բացասական թվերի արմատներ անվանեցին «կեղծ», «լուծում չունեցող», «երևակայական» և այլն{{sfn|Арифметика|1951|с=227}}։

== Գործնական թվաբանություն ==
Թվաբանության գործնական կողմը ներառում է մեթոդներ, ուրվագծեր և ալգորիթմներ, թվաբանական գործողությունների ճշգրիտ իրականացման համար, այդ թվում՝ հաշվող մեքենաների և այլ սարքերի օգտագործում, ինչպես նաև մոտավոր հաշվարկների բազմաթիվ եղանակներ, որոնք հայտնվել են որոշ չափումների ճշգրիտ արդյունքներ ստանալու անհնարինության պատճառով և թույլ են տալիս որոշել նրա կարգը, այսինքն առաջին իմաստ ունեցող թվերը{{sfn|Клейн|1987|с=35—36}}։

<center>
<gallery caption="Պարզագույն հաշվիչ սարքեր" widths="200px">
Պատկեր:RomanAbacusRecon.jpg|Հռոմեական աբակ
Պատկեր:Abacus 2.jpg|Չինական սուանպան
Պատկեր:Yupana 1.png|Ինկերի յուպանա
Պատկեր:Schoty abacus.jpg|Ռուսական համրիչ
</gallery>
</center>

=== Ճշգրիտ մեթոդներ ===
Սկսած [[15-րդ դար|15-րդ]] դարից առաջարկվում էին տարբեր ալգորիթմներ բազմանիշ թվերի հետ թվաբանական գործողությունների իրականացման համար, որոնք աչքի էին ընկնում հաշվարկի միջնակա գրելաձևով<ref name="MathEnc_Arith"/>։ Թվաբանական ալգորիթմները կառուցված են ելնելով գործող [[դիրքային հաշվողական համակարգ]]ից, երբ յուրաքանչյուր <math>x</math> դրական իրական թիվ ներկայացված է միակ հնարավոր եղանակով, հետևյալ տեսքով՝ 
: <math>x = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots)_b = \sum_{k=-\infty}^{n-1} a_k b^k</math> որտեղ <math>a</math> —ն թվի գրառման հերթական նիշն է <math>x</math>, <math>b</math> —ն հաշվարկման հիմնական համակարգն է, <math>n</math> —ը  <math>x</math> թվի ամբողջ մասի կարգերի թիվն է։

Թվերի հետ բոլոր տիպի գործողություններում օգտագործվում են մինչև տասի գումարման և [[բազմապատկման աղյուսակ]]ները և հարահաշվական հիմնական օրենքները։ Որպես՝ լուսաբանություն պարզաբանող օրինակ, գիտությունը հանրամատչելի դարձնող [[Ֆելիքս Կլայն|Կլայնը]] բերում է հետևյալ օրինակը՝

: <math>7\cdot 12=7\cdot (10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84, </math>

որտեղ օգտագործված են բաշխական և զուգորդական օրենքները{{sfn|Клейн|1987|с=23—25}}։

Ճիշտ և արագ հաշվարկների անհրաժեշտությունը բերեցին պարզագույն հաշվիչ սարքերի ստեղծմանը, ինչպիսիք են՝ [[Աբակ (տախտակ)|աբակը]], [[սուանպա]]ն, [[յուպան]]ը։ Հաջորդ քայլը եղավ [[Վիլյամ Օգհտրեդ|Օգհտրեդի]] [[1622|1622 թվականի]] [[լոգարիթմական քանոն]]ի ստեղծումը, որը թույլ էր տալիս կատարել բաժանում և բազմապատկում<ref name="col">{{Cite web |title=Арифметика |url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6305/АРИФМЕТИКА |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/6E6ZYET8N?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6305/%D0%90%D0%A0%D0%98%D0%A4%D0%9C%D0%95%D0%A2%D0%98%D0%9A%D0%90 |archivedate=2013 թ․ փետրվարի 1 |accessdate=2013 թ․ հունվարի 20 |publisher=[[Энциклопедия Кольера]]}}</ref>։

=== Համակարգչային թվաբանություն ===
[[Պատկեր:Schickardmaschine.jpg|Սչիքկարդի հաշվողական մեքենայի պատճենը|200px|left|thumb]]
[[Դոնալդ Կնուտ|Կնուտը]] թվաբանական գործողությունները համարում էր «[[համակարգիչ]]ների ճակատագիր»{{sfn|Кнут|с=216}}։ Առաջին հաշվիչ մեքենաները, որոնք թույլ տվեցին մեքենայացնել թվաբանական չորս գործողությունները, նախագծվել են [[17-րդ դար|17-րդ]] դարում։ [[Վիլհելմ Սչիքկարդ|Սչիքկարդի]] «թվաբանական մեքենան», ինչպես ինքն էր այն անվանում, ստեղծվել է [[1623]] թվականին։ Գումարման և հանման գործողությունները կատարվում էին գլանագլխարկի (ցիլինդր) պտտման արդյունքում, հատուկ գլանագլխարկներ կային նաև բաժանման և բազմապատկման համար։ Բացի դրանից մեքենան կարող էր փոխանցել տասնյակներ։ Հայրիկին ֆինանսական հաշվարկներում օգնելու համար [[Բլեզ Պասկալ|Պասկալը]] [[1642]] թվականին ստեղծել է [[պասկալինա]]ն։ Այն աշխատում էր նույն Սչիքկարդի մեքենայի սկզբունքով։ Մեքենայի հիմնական մասը կազմում էր տասնյակների փոխանցման մեխանիզմը։ Սրա հետ մեկտեղ նման մեքենաների արհեստագործական արտադրությունը դեռևս անարդյունավետ էր{{sfn|История математики, т. II|1970|с=66—67}}։ 18-րդ դարի ամբողջ ընթացքում շարումակվեցին [[հաշվեմեքենա]]ները կատարելագործելու փորձերը, բայց հաշվեմեքենաների օգտագործումը լայն տարածում գտավ միայն [[19-րդ դար|19-րդ]] դարում{{sfn|История математики, т. III|1972|с=42—45}}։

20-րդ դարում հաշվեմեքենաներին փոխարինելու եկան էլեկտրոնային հաշվիչ մեքենաները։ Նրանց հիմքում ընկած են ալգորիթմներ, որոնք թվաբանական գործողությունները կատարում են օգտագործելով հնարավորինս քիչ քանակի տարրական գործողություններ<ref name="MathEnc_Arith"/>։ Համակարգչային թվաբանությունը ներառում է ալգորիթմներ, որոնք թույլ են տալիս գործողություններ կատարել [[Լողացող ստորակետով թվեր|լողացող ստորակետով]], կոտորակային և [[Երկար թվաբանություն|մեծ թվերի]] հետ{{sfn|Кнут|с=216}}։

=== Չափում ===
Բացի այն առարկաներից, որ ենթակա են հաշվման գոյություն ունեն առարկաներ, որոնք կարելի է չափել, առաջին հերթին դա [[երկարություն]]ն ու [[ծավալ]]ն է{{sfn|Клейн|1987|с=45—49}}։ Ինչպես հաշվարկի դեպքում, այս դեպքում ևս առաջին չափման միավորը եղել է մարդու ձեռքի մատները։ Հետո հեռավորությունները սկսեցին չափել քայլերով, կրկնակի քայլերով, [[մղոն]]ներով (հազար կրկնակի քայլ), [[Ասպարեզ (չափման միավոր)|ասպարեզով]]։ Բացի սրանցից երկարության չափման համար օգտագործում են նաև արմունկները, ափերը, [[սաժեն]]ը, [[դյույմ]]ը։ Տարբեր տարածաշրջաններում սահմանվում էին տարբեր չափման միավորներ, որոնք շատ հազվադեպ էին տասին բազմապատիկ լինում{{sfn|Депман|1965|с=263—267}}։ Չափման միավորների բազմազանությունը թույլ էր տալիս խուսափել կոտորակների օգտագործումից{{sfn|Boyer & Merzbach|2010|loc=Arithmetic and logistic}}{{sfn|Арифметика|1951|с=57—71}}։ Առևտրային թվաբանությունը ներառում էր ոչ տասնորդական թվային համակարգում գործելու ունակություններ (դրամական միավորներ, չափման միավորներ և կշիռներ){{sfn|Кнут|с=216, 221}}։

18-րդ դարի վերջին [[Ֆրանսիական հեղափոխություն|Ֆրանսիակակն հեղափոխական]] կառավարությունը նախ ժամանակավոր, իսկ հետագայում նաև արխիվային հիմքով ([[1799]] թվականի [[Դեկտեմբերի 10|դեկտեմբերի 10-ի]] օրենքով) [[մետր]]ը ընդունեց որպես [[Մետրական չափման համակարհգ|մետրական չափման միավոր]] (վերջնականապես այդ չափման միավորին [[Ֆրանսիա]]ն անցում կատարեց [[1840]] թվականի [[հունվարի 1]]-ից)։ Մետրի հետ միասին որոշվեց նաև [[կիլոգրամ]]ը։ Մետրական համակարգի հիմքում ընկած է տասական համակարգը։ Հենց այս հանգամանքն էլ թույլ տվեց, որ այն տարածվի գրեթե ամբողջ աշխարհում (բացառություն են կազմում [[Միացյալ Թագավորություն|Մեծ Բրիտանիան]] և [[Ամերիկայի Միացյալ Նահանգներ|ԱՄՆ]]-ն)։ [[Փարիզ]]ում գտվող հատուկ [[չափի և կշռի միջազգային բյուրո]]ի հրամանով [[1888]] թվականին [[պլատին]]ի և [[իրիդիում]]ի [[Համաձուլվածքներ|համաձուլվածքից]] պատրաստվել է միջազգային մետր և միջազգային կիլոգրամ, որպես չափի և կշռի [[ստուգաչափ]]։ Բացի [[ժամանակ]]ի և [[Անկյուն|անկյան]] չափումներից, մնացած բոլոր չափման միավորները ևս կապված են տասական համակարգի հետ{{sfn|Депман|1965|c=275—285}}։

=== Մոտավոր մեթոդներ ===
Պատմականորեն մոտավոր հաշվարները առաջացել են միավոր քառակուսու անկյունագծի որոշման ժամանակ, բայց լայն տարածում են ստացել տասական համակարգին անցում կատարելիս և իռացիոնալ թվերի ու անվերջ պարբերական կոտորակային տեսքով արտահայտված թվերի փոխարն վերջավոր տասնորդական կոտորակի օգտագործման ժամանակ{{sfn|Клейн|1987|с=49—57}}։

Գնահատման հաշվարկների համար առաջին հերթին օգտագործում են մոնոտոնության օրենքները։ Օրինակ որպեսզի որոշեն արտադրյալի կարգը <math>567\cdot 134</math>, կարելի է օգտվել հետևյալ գնահատականից՝ <math>560\cdot 130<567\cdot 134<570\cdot 140</math>{{sfn|Клейн|1987|с=23—25}}։

== Թվերի տեսություն ==
{{Հիմնական|Թվերի տեսություն}}
Թվերի տեսությունը կամ բարձրագույն թվաբանությունը գիտություն է ամբողջ թվերի մասին, որը առաջացել է թվաբանական այն խնդիրներից, որոնք կապված են թվերի [[Բաժանելիության հայտանիշներ|բաժանելիության]] հետ<ref name="MathEnc_NumTeo">{{Ռուսերեն գիրք |автор=Виноградов И. М. |заглавие=Математическая энциклопедия |год=1977 |часть=Чисел теория |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |том=5}}</ref>։ Թվերի տարրական տեսությունը գործ ունի այն խնդիրների հետ, որոնք լուծվում են տարրական մեթոդներով, սովորաբար առանց [[կեղծ թվեր]]ի օգտագործման։ Նրան են վերաբերում բաժանելիության տեսությունը, համեմտության տեսությունը, անորոշ [[հավասարում]]ները, մասերի բաժանումը, ռացիոնալ թվերով մոտավորությունը, [[շղթայական կոտորակ]]ները<ref name="MathEnc_ElNumTeo">{{Ռուսերեն գիրք |автор=Виноградов И. М. |заглавие=Математическая энциклопедия |год=1977 |часть=Элементарная теория чисел |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |том=5}}</ref>։ Թվաբանության հիմնական տեսությունը՝ թվերի բաժանումը պարզ համաբազմապատկիչների միակ եղանակով, նույնպես համարվում է թվերի տարրական տեսության մաս{{sfn|Арнольд|1938|с=413—415}}։

Ամբողջ թվերի առանձին ենթադասերը, ինչպիսիք են՝ պարզ, բաղադրյալ, քառակուսի և կատարյալ թվերը առանձնացվել են դեռևս [[Հին Հունաստան|հին հույների]] կողմից։ Նրանք արտածել են բանաձևեր պյութագորական եռյակի, [[ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար]]ի որոշման համար և ցույց են տվել պարզ թվերի անվերջությունը։ [[Դիոֆանտ]]ը անցկացրեց ամբողջ թվերի հետ կապված խնդիրների դասակարգում։ Դիոֆանտի աշխատանքները [[17-րդ դար|17-րդ]] դարում շարունակեց [[Պիեռ դե Ֆերմա|Ֆերման]], [[18-րդ դար|18-րդ]] դարում՝ [[Լեոնարդ Էյլեր|Էյլերը]]։ Ֆերման զբաղվում էր ամբողջ թվերի հետ կապված հավասարումների լուծումով և առանց ապացույցների ձևակերպեց [[Ֆերմայի մեծ թեորեմ|Ֆերմայի մեծ]] և փոքր թեորեմները։ Էյլերը շարունակեց Ֆերմայի հետազոտությունները, ապացուցելով [[Ֆերմայի փոքր թեորեմ|փոքր թեորեմը]] և Ֆերմայի մեծ թեորեմի մասնավոր դեպքը։ Նա առաջին անգամ օգտագործեց [[մաթեմատիկական անալիզ]] թվերի տեսության խնդիրների լուծման համար և ստեղծեց թվերի վերլուծական տեսություն։ Էյլերը սահմանեց բազմացնող ֆունկցիաները, որնց հիման վրա կառուցվեցին շրջանաձև մեթոդը և [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|եռանկյունաչափական]] գումարի մեթոդը<ref name="MathEnc_NumTeo"/>։

Այժմ բացի տարրական և վերլուծական թվերի տեսությունից, գոյություն ունեն այնպիսի բաժիններ, ինչպիսիք են հանրահաշվային, հավանականության և թվերի մետրական տեսությունները<ref name="MathEnc_NumTeo"/>։

== Տեսական թվաբանություն ==
Ժամանակակից մաթեմատիկայի մեջ [[Աքսիոմատիկ մեթոդ|տեսության կառուցվածքը]] իրենից ներկայացնում է բազային հատկությունների ընտրություն, կամ [[աքսիոմա]]ներ, որոնցից պահանջվում է դուրս բերել տեսության բոլոր դրույթները, կամ [[թեորեմ]]ները, ընդունված տրամաբանության օգնությամբ<ref name="bse_method">{{Cite web |title=Аксиоматический метод |url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62301/Аксиоматический |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/6EKxKQKhi?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62301/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9 |archivedate=2013 թ․ փետրվարի 10 |accessdate=2013 թ․ հունվարի 20 |publisher=[[Большая советская энциклопедия]]}}</ref>։ Թվաբանության տեսական կառուցվածքը հենված է հանրահաշվական հասկացությունների վրա։ Թվաբանության հիմնական հասկացությունների ընտրության բարդությունը կապված է նրա նախնական դրույթների պարզության հետ։ [[Ջուզեպե Պեանո|Պեանոն]] խուսափելով բառերի օգտագործման ժամանակ կեղծ ասոցիացվող շարքից, ապացույցները անցկացնում էր բացառապես սիմվոլներ լեզվով, հենվելով միայն նրանց կողմից ընդունված նախնական դրույթների վրա։ [[Գեորգ Կանտոր|Կանտորը]] և [[Ռիխարդ Դեդեկինդ|Դեդեկինդը]] թվերը կապում էին բազմությունների և նրանց հանդեպ վերացական հարաբերությունների հետ{{sfn|Клейн|1987|с=26—35}}։ Բազմությունների տեսությունը թվաբանական գործողությունները դիտարկում է որպես տարրերի եռյակի միջև հատուկ հարաբերություններ, որտեղ մի տարրը որոշվում է մյուս երկու տարրերի միջոցով կամ [[հանրահաշվական գործողություններ]]{{sfn|Арифметика|1951|с=100—107}}։ [[Բազմությունների տեսություն|Բազմությունների տեսության]] մասին խոսելիս Կլեյնը նկատում է, որ այս մոտեցման դեպքում տեսության զարգացումը դառնում է ''«վերացական և քիչ հասանելի»''{{sfn|Клейн|1987|с=26—35}}։

=== Բնական թվեր ===
[[1810]] թվականին [[Չեխիա|չեխ]] մաթեմատիկոս [[Բերնարդ Բոլզանո|Բոլզանոն]] բնական թվերի համար սահմանեց գումարման գործողությունը։ Նրանից անկախ նման սահմանումներ տվեցին նաև գերմանացի մաթեմատիկոսներ [[Հերման Գյունթեր Գրասսման|Գրասսմանը]] [[1861]] թվականին և [[Հերման Հանկել|Հանկելը]]՝ [[1869]] թվականին{{sfn|Депман|1965|с=117—126}}։ «Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի գումարման հետևյալ սահմանումը{{sfn|Арифметика|1951|с=135—138}}՝
 ''Սահմանում։'' Բնական թվերի գումարում անվանում են այն համապատասխանությունը, որը բնական թվերի յուրաքանչյուր զույգի համար <math>a</math> և <math>b</math> համադրում է մեկ և միայն մեկ բնական թիվ <math>a+b</math>, օժտված հետևյալ հատկություններով՝
 <math>a+1=a'</math> ցանկացած <math>a</math>-ի համար,
 <math>a+b'=(a+b)'</math> ցանկացած <math>a</math>-ի և <math>b</math>-ի համար։
Բնական թվերի գումարումը միշտ իրագործելի է և միանշանակ{{sfn|Арифметика|1951|с=135—138}}։

Բազմապատկումը ինչպես և գումարումը, սահմանել են իրարից անկախ Բոլցանոն, Գրասսման և Հանկելը{{sfn|Депман|1965|с=117—126}}։ «Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի բազմապատկման հետևյալ սահմանումը{{sfn|Арифметика|1951|с=139—142}}՝
 ''Սահմանում։'' Բնական թվերի բազմապատկում անվանում են այն համապատսխանությունը, որը բնական թվերի յուրաքանչյուր զույգի համար <math>a</math> և <math>b</math> համադրում է մեկ և միայն մեկ բնական թիվ <math>ab</math> (կամ <math>a\cdot b</math>), որն ունի հետևյալ հատկությունները՝
 <math>a\cdot 1=a</math> ցանկացած <math>a</math>-ի համար,
 <math>a\cdot b'=a\cdot b + a</math> ցանկացած <math>a</math>-ի և <math>b</math>-ի համար։
Բնական թվերի բազմապատկումը միշտ իրագործելի է և միանշանակ{{sfn|Арифметика|1951|с=139—142}}։

[[1891]] թվականին Պեանոն ներկայացրեց աքսեոմաներ բնական թվերի համար (այլ աղբյուրներում հիշատակվում է նաև [[1889]] թվականը)<ref name="bse"/>{{sfn|Депман|1965|с=117—126}}։ Այդ ժամանակներից ի վեր աքսեոմաները շատ քիչ փոփոխությունների են ենթարկվել։
 ''Սահմանում։'' Բնական թվեր են համարվում ցանկացած <math>\N</math> ոչ դատարկ [[Բազմություն|բազմության]] տարրերը, որի մեջ որոշ տարրերի համար <math>a</math> և <math>b</math> գոյություն ունի «<math>b</math>-ն հաջորում է <math>a</math>-ին» առնչությունը, որի համար իրականացվում է հետևյալ աքսեոմաները{{sfn|Арифметика|1951|с=133}}՝  
 Գոյություն ունի <math>1</math> թիվը, որը չի հաջորդում ոչ մի թվի, այսինքն ցանկացած <math>a</math> թվի համար <math>a'\ne1</math>։
 Ցանկացած <math>a</math> թվի համար գոյություն ունի <math>a'</math> թիվը, ընդորում միայն մեկը, այսինքն <math>a=b</math> հետևում է, որ <math>a'=b'</math>։  
 Ցանկացած թիվ հաջորդում է ոչ ավել քան մեկ թվի, այսինքն <math>a'=b'</math> հետևում է, որ <math>a=b</math>։
 Բնական թվերի ցանկացած <math>M</math> բազմություն, որ օժտված է՝ <math>1</math>-ը պատկանում է <math>M</math>-ին և <math>a</math> թիվը պատկանում է <math>M</math>-ին, ապա <math>a'</math> թիվը ևս պատկանում է <math>M</math>-ին հատկություններով, պարունակում է բոլոր բնական թվերը, այսինքն համընկնում է <math>\N</math>-ի հետ։

=== Ամբողջ թվեր ===
«Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի հանման հետևյալ սահմանումը{{sfn|Арифметика|1951|с=150—151}}՝
 ''Սահմանում։'' Բնական թվերի տարբերություն անվանում են այն համապատասխանությունը, որը յուրաքանչյուր <math>a</math> և <math>b</math> բնական թվերի զույգին համապատասխանեցնում է <math>a-b</math> թիվը, այն օժտված է հետևյալ հատկությամբ՝ 
 <math>(a-b)+b=a</math>։
Բնական թվերի տարբերությունը իրագործելի է միայն այն դեպքում, երբ <math>a>b</math>, եթե անհավասարությունը գոյություն ունի, ապա այն միակն է{{sfn|Арифметика|1951|с=150—151}}։ Գումարման և հանման հաշվին բնական թվերի ընդլայնումը բերում է ամբողջ թվերի հասկացությանը{{sfn|Арифметика|1951|с=172—179}}։ 
 ''Սահմանում։'' Ամբողջ թվերի [[Օղակ (մաթեմատիկա)|օղակ]] անվանում են <math>\Z</math> նվազագույն օղակը, որ պարունակում է բոլոր բնական թվերի <math>\N</math> բազմությունը և օժտված է հետևյալ հատկություններով{{sfn|Арифметика|1951|c=160—167}}՝ 
 Բնական թվերի գումարումն ու հանումը համընկնում են <math>\Z</math> օղակի համապատասխան թվերի համանուն գործողությունների հետ, 
 <math>\Z</math> օղակը չի պարունակում իրենից տարբեր <math>\N</math> բազմությունը պարունակող ենթաօղակը։
 <math>\Z</math> օղակի տարրերը անվանում են ամբողջ թվեր։
<math>\Z</math> օղակը գոյություն ունի և համարվում է միակը մինչև [[Իզոմորֆություն (մաթեմատիկա)|իզոմորֆության]] ճշտությամբ, իսկ նրա յուրաքանչյուր տարր հավասար է բնական թվերի տարբերությանը։ Օղակի կառուցման համար օգտագործում են հետևյալ տեսքի՝ <math>(a,\;b)</math>, բնական թվերի զույգերի բազմություններ։ Զուհույգերի համար գումարման և բազմապատկման համարժեքությունը որոշում է հետևյալ կերպ{{sfn|Арифметика|1951|c=160—167}}՝  
* <math>(a,\,b)</math> համարժեք է <math>(c,\;d)</math> միայն և միայն այն դեպքում, երբ <math>a+d=b+c,</math>
* <math>(a,\,b)+(c,\;d)=(a+c,\,b+d),</math>
* <math>(a,\,b)\cdot(c,d)=(ac+bd,\,ad+bc):</math>

=== Ռացիոնալ թվեր ===
«Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի բաժանման հետևյալ սահմանումը{{sfn|Арифметика|1951|с=150—151}}՝
 ''Սահմանում։''Բնական թվերի բաժանում անվանում են այն համապատասխանությունը, որի ժամանակ <math>a</math> և <math>b</math> բնական թվերի յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է <math>a:b</math> թիվը, այն օժտված է հետևյալ հատկությամբ՝
 <math>(a:b)\cdot b=a</math>։
Բնական թվերի բաժանումը իրագործելի է միայն այն ժամանակ, երբ <math>a\,\vdots\,b</math> (<math>a</math> բազմապատիկ է <math>b</math>), եթե քանորդը գոյություն ունի ապա այն միակն է{{sfn|Арифметика|1951|с=150—151}}։ Բաժանում և բազմապատկում հասկացությունների հաշվին բնական թվերը ընդլայնումը, բերում է ռացիոնալ թվերի սահմանմանը{{sfn|Арифметика|1951|с=172—179}}։ Դեռևս [[1710]] թվականին Վոլֆը արտահայտել է այն պահանջը, որ բնական թվերի թվաբանական գործողությունների կատարման արդեն հայտնի կանոնները ուղիղ ձևով չեն կարող օգտագործվել կոտորակների համար և պետք է ստանան իրենց հիմնավորումները։ Հենց ինքը հիմնավորումը մշակվել է միայն [[19-րդ դար|19-րդ]] դարում, օգտագործելով ձևական կանոնների անփոփոխության սկզբունքը{{sfn|Депман|1965|с=258—262}}։

 ''Սահմանում։'' Բնական թվերի տիրույթ անվանում են <math>\Q</math> փոքրագույն տիրույթը, որը ներառում է ամբողջ թվերի <math>\Z</math> օղակը և օժտված է հետևյալ հատկություններով{{sfn|Арифметика|1951|с=172—178}}՝ 
 ամբողջ թվերի գումարումն ու բազմապատկումը համընկնում են <math>\Z</math> տիրույթի թվերի համանուն գործողությունների հետ,
 <math>\Q</math> տիրույթը չի պարունակում գերազանում հենց իրենից <math>\Z</math> պարունակող ենթադաշտից։ 
 <math>\Q</math> տիրույթի տարրերը կոչվում են ռացիոնալ թվեր։
<math>\Q</math> տիրույթը գույություն ունի և համարվում է միակը մինչև իզոմորֆության ճշտությամբ, իսկ նրա յուրաքանչյուր տարր հավասար է ամբողջ թվերի քանորդին։ Ինչպես ամբողջ թվերի դեպքում ռացիոնալ թվերի տիրույթի կառուցման համար ևս օգտագործվում են <math>(a,\;b)</math> զույգերի բազմությունը, բայց այս դեպքում արդեն ամբողջ թվերով, ընդորում <math>b\ne0</math>։ Զույգերի համար գումարման և բազմապատկման համարժեքները որոշվում են հետևյալ կերպ{{sfn|Арифметика|1951|с=172—178}}՝
* <math>(a,\;b)</math> համարժեք է <math>(c,\;d)</math> միայն և միայն այն դեպքում, երբ <math>ad=bc,</math>
* <math>(a,\;b)+(c,\;d)=(ad+bc,\;bd),</math>
* <math>(a,\;b)\cdot(c,d)=(ac,\;bd).</math>

=== Իրական թվեր ===
19-րդ դարի երկրորդ կեսին ներկայացվել է իրական թվերի երեք տարբեր տեսական կառուցվածքներ։ Ամենահայտնի համարվում է [[Ռիխարդ Դեդեկինդ|Դեդեկինդի]] տեսությունը։ [[Գեորգ Կանտոր|Կանտորը]] իր ձևակերման մեջ օգտագործել է [[սահմանների տեսություն]]ը{{sfn|Арифметика|1951|c=188}}։

 ''Սահմանում։'' Իրական թվեր տիրույթ համարվում է <math>\R</math> անընդհատ տիրույթը, որը որպես ենթատիրույթ պարունակում է ռացիոնալ թվերի <math>\Q</math> տիրույթը։ <math>\R</math> տիրույթի տարրերը կոչվում են իրական թվեր{{sfn|Арифметика|1951|c=202}}։
<math>\R</math> տիրույթը գոյություն ունի և համարվում է միակը մինչև իզոմորֆության ճշտությամբ, իսկ նրա յուրաքանչյուր տարր հավասար է ռացիոնալ թվերի հաջորդականության սահմանին{{sfn|Арифметика|1951|c=202}}։

=== Կոմպլեքս թվեր ===
''Սահմանում։'' Կոմպլեքս թվերի տիրույթ կոչվում է <math>\Complex</math> փոքրագույն տիրույթը, որը պարունակում է իրական թվերի <math>\R</math> տիրույթը և այնպիսի <math>i</math> տարր, որ <math>i^2=-1</math> և օժտված է հետևյալ հատկություններով{{sfn|Арифметика|1951|c=228}}՝ 
 բնական թվերի գումարումն ու բազմապատկումը համապատասխանում են <math>\R</math> տիրույթի թվերի համանուն գործողությունների հետ,
 <math>\Complex</math> տիրույթը չի պարունակում իրեն գերազանցոզ <math>\R</math> պարունակությամբ ենթատիրույթը
 <math>\Complex</math> տիրույթի տարրերը կոչվում են կոմպլեքս թվեր։

<math>\Complex</math> տիրույթը համարվում է հանրահաշվորեն փակ տիրույթ։ Կոմպլեքս թվերի տիրույթի կառուցման ժամանակ օգտագործում են <math>(a,\;b)</math> հաջորդական զույգերի բազմությունը։ Զույգերի համար գումարման և բազմապատկման համարժեքները որոշվում են հետևյալ կերպ՝
* <math>(a,\;b)</math> համարժեք է <math>(c,\;d)</math> միայն և միայն այն դեպքում, երբ <math>a=c</math> և <math>b=d</math>,
* <math>(a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),</math>
* <math>(a,\;b)\cdot(c,\;d)=(ac-bd,\;bc+ad):</math>

== Ֆորմալ թվաբանություն ==
Տրամաբանա-մաթեմատիկական կառուցվածքը կրում է [[Աքսիոմատիկ մեթոդ|ֆորմալ թվաբանություն]] անվանումը<ref name="bse_formal">{{Cite web |title=Формальная арифметика |url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/145438/Формальная |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/6BtoIYqGV?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/145438/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F |archivedate=2012 թ․ նոյեմբերի 3 |accessdate=2013 թ․ հունվարի 20 |publisher=[[Большая советская энциклопедия]]}}</ref>։ Տրամաբանության անցումը կապված է Հիլբերտի դպրոցի մոտեցմամբ, որը թվերի փոխարեն ուսումնասիրում էր [[աբստրակցիա]]ները և նրանց համար ճիշտ էր համարում հիմնական թվաբանական օրենքներ{{sfn|Клейн|1987|с=26—35}}։ Թվաբանության հիմնավորման համար հաստատվեց աքսեոմատիկայի մի քանի տարբերակ։ Բացի Պեանոյի աքսեոմայի համակարգից, որի մեջ սահմանված են և գումարումը և բազմապատկումը, գոյություն ունի [[Պրեսբուրգերի թվաբանություն|Պրեսբուրգերի աքսեոմաների համակարգը]], որի մեջ սահմանված է միայն գումարումը, ինչպես նաև գոյություն ունեն աքսեոմաներ, որոնց մեջ սահմանված են գումարումը, բազմապատկումը և աստիճան բարձրացումը։ Հաճախ աքսեոմաների փոխարեն ներառում են գործողության բոլոր հակությունները{{sfn|Avigad|2003|p=260}}{{sfn|Нечаев|1975|с=52—53}}։ Այս բոլոր աքսեոմատիկ տեսությունները հիմնված են բնական թվերի բազմության վրա և իրենց մեջ չեն ներառում բազմությունների տեսության [[պարադոքս]]ները։ Այլ հետազոտական մոտեցումները թվաբանությունը դուրս են բերում բազմությունների տեսության աքսեոմաներից կամ մաթեմատիկական տրամաբանությունից<ref name="bse_method"/>։ Հարմարավետության համար աքսեոմաների հետազոտությունները գրառում են [[Պրեդիկատների տրամաբանություն|մաթեմատիկական տրամաբանության]] հատուկ ֆորմալ լեզվով<ref name="bse_formal"/>։ Այն պարունակում է <math>0</math>, թվային փոփոխականներ, սիմվոլներ (<math>=, +, \cdot, '</math>) և տրամաբանական կապեր (<math>\And, \leftarrow, \forall, \exists, \lor, \mathcal{e}</math>)<ref name="MathEnc_FormArith"/>։ Ինդուցիայի աքսեոման իրենից ներկայացնում է աքսեոմաների անվերջ  հավաքածու, որը չի կարելի փոխարինել ոչ մի վերջնավոր բազմությամբ<ref name="bse_formal"/>։

Կատարյալ աքսեոմաների բազային հավաքածուն պետք է օժտված լինի հետևյալ երեք հատկություններով<ref name="bse"/>՝
* [[Անհակասականություն]]՝ աքսեոմաները չպետք է ընդհարվեն իրար հետ,
* [[Անկախություն (մաթեմատիկա)|Անկախություն]]՝ աքսեոմաների մեջ չպետք է լինի ավելորդ, այլ աքսոմաներից տրամաբանորեն հետևող աքսեոմա,
* [[Ամբողջականության տեսություն|Ամբողջականություն]]՝ աքսեոմաների հավաքածուն պետք է բավական լինի, որպեսիզի ցանկացած ճիշտ ձևակերպած թեորեմ հնարավոր լինի ապացուցել կամ հերքել։

Բնական թվերի թվաբանությունը մեծ նշանակություն ունի մաթեմատիկական տեսությունների հիմնավորման համար՝ նրա անհակասականությունից հետևում է իրական թվերի թվաբանության անհակասականությունը, որն էլ իր հերթին թույլ է տալիս, օգտվելով մոդելների մեթոդից ցույց տալ [[Էվկլիդեսյան երկրաչափություն|էվկլիդյան երկրաչափության]] և [[Լոբաչևսկու երկրաչափություն|Լոբաչևսկու երկրաչափության]] անհակասականությունը<ref name="bse"/><ref name="bse_method"/>։ Թվաբանության անհակասականությունը ապացույցով՝ Պեանոյի համակարգում և նրան բարեկամ աքսեոմատիկ համակարգերում, անարդյունք զբաղվում էր Հիլբերտը [[20-րդ դար|20-րդ]] դարի սկզբին։ [[1930]] թվականին [[Գյոդելի անավարտության թեորեմ]]ի բացահատումից հետո, պարզ դարձավ որ նմանատիպ պարզ համակարգերում սա անհնար է։ Անհակասականությունը ապացուցել է [[Գերհարդ Գենթզեն|Գենթզենը]] [[1936]] թվականին օգտագործոլով [[տրանսֆինիտային ինդուկցիա]]յի տարատեսակությունը<ref name="bse_formal"/>։

Անկախության ուսումնասիրման համար յուրաքանչյուր աքսեոմա հերթականությամբ փոխարինվում է հակադիրով, այնուհետև կառուցվում է մոդել, որտեղ ստացված աքսեոմաների հավաքածուն իրագործվում է։ Եթե փոխարինված աքասեոման կախյալ է, այսինքն տրամաբանորեն հետևում է այլ աքսեոմաներից, ապա նրա փոխարիումը հակադիրով ակնհայտորեն բերում է աքսեոմաների հակասական համակարգին և համակարգի կառուցումը դառնում է անհնար։ Այսպիսով եթե մոդելը հնարավոր է կառուցել, ապա նրան համապատասխան աքսեոման անկախ է{{sfn|Нечаев|1975|с=48}}։ Այս եղանակով ապացուցվել է, Պեանոյի բոլոր աքսեոմաների մեկը մյուսից անկախ լինելը{{sfn|Нечаев|1975|с=68—72}}։

Ֆորմալ թվաբանության միջոցներով, որը կառուցվում է Պեանոյի աքսեոմաների հիման վրա, կարելի է գրել թվերի տեսության թեորեմները, որոնք ապացուցվում են առանց մաթեմատիկական անալիզի միջոցների և [[Ռեկուրսիա|ռեկուրսիվ]] ֆունկցիաների ու նրանց հատկությունների օգտագործման<ref name="MathEnc_FormArith"/>։ Այն համարժեք է [[Էռնեստ Զերմելո|Զերմելո]]-[[Աբրահամ Ֆրենկել|Ֆրենկելյան]] բազմությունների աքսեոմատիկ տեսությանը առանց [[Անվերջություն (մաթեմատիկա)|անվերջության]] աքսեոմայի։ Սրա հետ մեկտեղ [[1929]] թվականին ապացուցված Գյոդելի ամբողջության մասին թեորեմը ցույց տվեց, որ Պեանոյի աքսեոմաները թերի են, այսինքն գոյություն ունեն թվաբանական թեորեմներ, որոնք չի կարելի ոչ ապացուցել, ոչ ժխտել։ Այն դեպքում երբ թվաբանությունը հարաբերականորեն լի է <math>\exists x_1 \dots \exists x_k (P=Q)</math> նման բանաձևերով, գոյություն ունեն <math>\forall x_1 \dots \forall x_9 (P\neq Q)</math> տեսքի տեորեմներ, որոնք արտահայտում են իրական եզրակացություն, բայց նրանց հնարավոր չէ դուրս բերել<ref name="bse_formal"/>։

== Պատմական ակնարկ ==
{{main|Թվաբանության պատմություն}}

=== Հին մաթեմատիկական տեքստեր և հաշվարկման համակարգեր ===
[[պատկեր:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|300px|thumb|right|Ռայդի պապիրուսի մի մասը]]
[[Մաթեմատիկան Հին Եգիպտոսում|Եգիպտական մաթեմատիկական]] տեքստերը հատուկ ուշադրություն էին դարձնում գումարմանը և նրա կատարման ժամանակ առաջացող բարդություններին, որոնցից մեծ մասամբ կախված էին առաջադրանքների լուծման եղանակները։ [[Հին Եգիպտոս]]ի մաթեմատիկական [[պապիրուս]]ները կազմված են եղել ուսուցողական նպատակներով{{sfn|История математики, т. I|1970|с=19—20}}, նրանք պարունակում էին առաջադրանքներ լուծումներով, օժանդակ աղյուսակներ, ամբողջ թվերի և կոտորակների հետ գործողությունների կատարման կանոններ, հանդիպում էին [[Թվաբանական պրոգրեսիա|թվաբանական]] և [[Երկրաչափական պրոգրեսիա|երկրաչապական պրոգրեսիաներ]], ինչպես նաև [[հավասարում]]ներ<ref name="bse"/>։ Եգիպտացիները օգտվում էին [[Տասնորդական հաշվման համակարգեր|հաշվարկման տասնորդական համակարգից]]{{sfn|Депман|1965|с=49—52}}։ Եգիպտացիները գիտեին այնպիսի թվաբանական գործողություններ, ինչպիսիք են գումարումը, կրկնապատկումը և կոտորակների լրացումը մինչև միավոր։ Ամբողջ թվերով ցանկացած բազմապատկման և առանց մնացորդ բաժանման բոլոր գործողությունները կատարվում էին կրկնապատկման գործողության բազմիցս կրկնելով, որը բերում էր մեծածավալ հաշվարկների, որի մեջ մասնակցում էին հաջորդականության որոշակի անդամներ <math>1,2,4,8,16, ...</math>{{sfn|История математики, т. I|1970|с=23—24}}։ Եգիպտոսում օգտագործում էին միայն [[եգիպտական կոտորակ]]ները, կամ միավորի մասնաբաժինը (<math>1/n</math>), իսկ բոլոր մյուս կոտորակները դասվում էին ալեքվոտային գումարին{{sfn|История математики, т. I|1970|с=25}}։ Քառակուսու [[մակերես]]ը, խորանարդի [[ծավալ]]ը կամ քառակուսու կողմը ըստ նրա մակերեսի հաշվելու համար եգիպտացիները հանդիպում էին աստիճան բարձրացնելու և արմատ հանելու հետ, չնայած այս գործողությունները դեռևս անվանում չունեին{{sfn|История математики, т. I|1970|с=23—24}}։ 
[[պատկեր:Babylonian numerals.svg|thumb|right|300 px|Բաբելոնյան թվեր]]
[[Բաբելոն]]յան [[սեպագիր]] մաթեմատիկական տեքստերը օգտագործում էին [[վաթսունական հաշվարկային համակարգ]]ը, որը հատուկ էր դեռևս [[շումերներ]]ին{{sfn|История математики, т. I|1970|с=34}}, և իրենցից ներկայացնում էին ուսումնական ձեռնարկներ, որոնք ներառում էին [[բազմապատկման աղյուսակ]]ը <math>1</math>-ից <math>59</math> թվերի համար, ինչպես նաև [[Հակադարձ թիվ|հակադարձ թվերի]] աղյուսակը, բնական շարքի թվերի քառակուսու և խորանարդի աղյուսակները, [[տոկոս]] հանելու աղյուսակներ, կոտորակները <math>60</math> հիմքով<ref name="bse"/>{{sfn|Депман|1965|с=49—52}}։ Թվաբանական առաջադրանքների լուծման ժամանակ բաբելոնացիները հենվում էին համամասնությունների և պրոգրեսիաների վրա։ Նրանք գիտեին <math>n</math> անդամ պարունակող թվաբանական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը, երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի կանոնները, լուծում էին տոկոսներով առաջադրանքներ{{sfn|История математики, т. I|1970|с=40}}։ Բաբելոնում գիտեին [[պիֆագորյան եռյակ]]ի բազմությունը, որոնց որոնման համար, հավանաբար օգտվում էին ընդհանուր անհայտ մեթոդից։ Ընդհանուր առմամբ <math>x^2+y^2=z^2</math> հավասարումների ամբողջական և ռացիոնալ լուծումը վերաբերում է [[Թվերի տեսություն|թվերի տեսությանը]]{{sfn|История математики, т. I|1970|с=50}}։ Երկրաչափական առաջադրանքները բերեցին [[քառակուսի արմատ]]ի մոտավոր արժեքների ստացման անհրաժեշտությանը, որը նրանք կատարում էին օգտագործոլով հետևյալ՝ <math>\sqrt {a^2+r} \approx a + \frac {r}{2a}</math> կանոնը և արդյունքի հետագա մոտավորության մեթոդները։   
[[Պատկեր:Diophantus text.gif|thumb|300px|Մի թերթիկ Դիոֆանտի «թվաբանությունից» (14-րդ դարի ձեռագիր). Վերևի տողին գրված է <math>x^3 \cdot 8 - x^2 \cdot 16 = x^3</math> հավասարումը|right]]
[[Մաթեմատիկան Հին Հունաստանում|Հնագույն հունական մաթեմատիկական]] տեքստերը վերաբերում են [[Մ․թ․ա․ 14-րդ դար|մ.թ.ա 14]]-ից [[Մ.թ.ա. 7-րդ դար|7-րդ]] դարերին{{sfn|Депман|1965|с=53—54}}։ Ի սկզբանե [[հույներ]]ը օգտվում էին [[Ատտիկական հաշվարկման համակարգ|ատտիկական համարակալումից]], այն ժամանակի ընթացքում փոխարինվեց կոմպակտ տառայինով կամ [[Հունական թվային համակարգ|իոնականով]]{{sfn|История математики, т. I|1970|с=62}}։ Հին հունական թվաբանության զարգացումը պատկանում է [[Պյութագորասականություն|պյութագորյան դպրոցին]]։ Սկզբնական շրջանում պյութագորասականները ենթադրում էին, որ ցանկացած երկու հատվածների համեմատությունը կարելի է ներկայացնել ամբողջ թվերի հարաբերությամբ, այսինքն երկրաչափությունը իրենից ներկայացնում էր ռացիոնալ թվերի թվաբանություն։ Նրանք ուսումնասիրեցին միայն դրական ամբողջ թվերը և թիվը դիտարկում էին որպես միավորների հավաքածու։ Ուսումնասիրելով թվերի հատկություները նրանք թվերը բաժանեցին [[Զույգ և կենտ թվեր|զույգ և կենտ]], [[Պարզ թիվ|պարզ]] և [[Բաղադրյալ թիվ|բաղադրյալ թվերի]], գտան պյութագորյան եռյակի անվերջ բազմությունը{{sfn|История математики, т. I|1970|с=68—69}}։ [[Մ.թ.ա. 399|Մ.թ.ա 399 թվականին]] հայտնվեց բաժանելիության ընդհանուր տեսությունը, որը ամենայն հավանականությամբ պատկանում է [[Սոկրատես]]ի աշակերտ [[Տեատետուս]]ին։ [[Էվկլիդես]]ը նրան ձոնեց գիրք 7-րդ և գրքի մի մասը 9-րդ «[[Սկզբունքներ]]»։ Տեսության հիմքում ընկած է երկու թվերի [[ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար]]ի որոշման Էվկլիդեսի [[ալգորիթմ]]ը։ Ալգորիթմի հետևանք է հանդիսանում ցանկացած թվի պարզ բաղադրիչների վերլուծելու հնարավորությունը, ինչպես նաև այդ վերլուծության եզակիությունը{{sfn|История математики, т. I|1970|с=74—76}}։

Սրա հետ մեկտեղ պյութագորասականներին է պատկանում նաև միավոր կողմով քառակուսու կողմի և անկյունագծի անհամաչափելիության ապացույցը։ Այս բացահայտումը նշանակում էր, որ ամբողջ թվերի հարաբերությունը բավական չէ ցանկացած հատվածների հարաբերության արտահայտման համար և այս հիմքով հնարավոր չէ ստեղծել մետրական երկրաչափություն{{sfn|История математики, т. I|1970|с=73}}։ Իռացիոնալությունների մասին առաջին ուսուցումը պատկանոմ է Տեատետուսին։ Էվկլիդեսի ալգորիթմը թույլ է տալիս որոշել ռացիոնալ թվի ոչ ամբողջական մասնավոր տարալուծումը և անընդհատ կոտորակը։ Սրա հետ մեկտեղ անընդհատ կոտորակ հասկացությունը չի առաջացել Հին Հունաստանում{{sfn|История математики, т. I|1970|с=74—76}}։ 3-րդ դարում Դիոֆանտը սկսեց հանրահաշվի կառուցումը հենվելով ոչ թե երկրաչափության, այլ թվաբանության վրա։ [[Դիոֆանտ]]ը նաև ընդլայնեց թվային տիրույթը [[Բացասական թիվ|բացասական թվերով]]{{sfn|История математики, т. I|1970|с=144—146}}։

Հռոմեական համարակալման համակարգը գումարման համար քիչ էր հարմարեցված։ [[Հռոմեական թվեր|Հռոմեական թվային]] նշանները առաջացել են այբուբենից առաջ և չեն հետևում նրա տառերից։ Համարվում է, որ ի սկզբանե <math>1</math>-ից <math>9</math> թվերը նշանակվել են համապատասխան քանակի ուղղահայաց գծիկներով, իսկ նրանց վրա գիծ քաշելը նշանակում էր թվերի տասնապատկումը (այստեղից է առաջացել <math>X</math> թիվը)։ Համապատասխանաբար, որպեսիզի ստանան <math>100</math> թիվը գծկի վրա գիծ էին քաշում երկու անգամ։ Հետագայում տեղի ունեցավ համակարգի պարզեցում{{sfn|Депман|1965|с=57—58}}։ Ներկայումս այն հիմնականում օգտագործվում է դասական թվերի նշանակման համար։

Մինչև 14-րդ դարը [[Մաթեմատիկան Հին Չինաստանում|Չինաստանի մաթեմատիկան]] իրենից ներկայացնում էր հաշվողական տախտակի վրա հաշվելու համար հաշվողական ալգորիթմների հավաքածու{{sfn|История математики, т. I|1970|с=178}}։ Գումարման և բազմապատկման գործողությունները, որոնք կատարվում էին հաշվողական տախտակի վրա լրացուցիչ աղյուսակների կարք չունեին, բազմապատկման համար չկար <math>1 \times 1</math>-ից <math>9 \times 9</math> թվերի բազմապատկման աղյուսակը։ Բազմապատկման և բաժանման գործողությունները կատարում էին սկսելով բարձր կարգերից, ընորում միջանկյալ արդյունքներ տախտակից ջնջվում էին, ինչը ստուգումը դարձնում էր անհնարին։ Սկզբում բազմապատկումն ու բաժանումը համարվում էին անկախ գործողություններ, բայց հետո Սուն Ցզին նշեց դրանց փոխադարձ հակադարձությունը{{sfn|История математики, т. I|1970|с=160—161}}։ Չինաստանում խնդիրները կարողանում էին լուծել օգտվելով երկու կեղծ դիրքերի կանոնից{{sfn|История математики, т. I|1970|с=163—164}}, իսկ գծային հավասարումների լուծման համար մտցվել են բացասական թվերը։ Սկզբնական շրջանում բացասական թվերը օգտագործվում էին միայն հաշվարկի ընթացքում և գումարման ավարտից հետո տախտակից ջնջվում էին, հետագայում չինացի գիտնականները սկսեցին այն ներկայացնել որպես պարտք կամ պակասորդ{{sfn|История математики, т. I|1970|с=167—169}}։

=== Թվաբանությունը միջնադարում ===
[[Պատկեր:Indian numerals 100AD.svg|thumb|right|300 px|Հնդկական թվերը (1-ին դար) և նրանց համապատասխանող ժամանակակից թվերը]]
[[Դիրքային հաշվարկման համակարգ]]ը (տաս թվերը զրոն ներառյալ) առաջացել է [[Հնդկաստան]]ում։ Այն թույլ էր տալիս թվաբանական գործողությունների կատարման համար մշակել համեմատաբար պարզ կանոններ<ref name="bse"/>։ Հնդկաստանում հիմնական թվաբանական գործողություններ էին համարվում գումարումը, հանումը, բաժանումը, բազմապատկումը, քառակուսի և խորանարդ աստիճան բարձրացնելը, քառակուսի և խորանարդ աստիճանի արմատ հանելը, որոնց համար մշակված էին կանոններ։ Գումարումը կատարվում էր ավազե, մոխիրե կամ հողե հաշվարկային տախտակի վրա և գրվում էր փայտիկով{{sfn|История математики, т. I|1970|с=183—185}}։ Հնդիկները գիտեին կոտորակները և կարողանում էին գործողություններ կատարել նրանց հետ, գիտեին համաչափությունները և պրոգրեսիաները{{sfn|История математики, т. I|1970|с=185}}։ Արդեն 7-րդ դարում նրանք օգտվում էին բացասական թվերից՝ մեկնաբանելով դրանք որպես պարտք, օգտվում էին նաև իռացիոնալ թվերից{{sfn|История математики, т. I|1970|с=190—191}}
[[Պատկեր:Dixit algorizmi.png|thumb|200px|left|«Հնդկական հաշվարկի մասին» գրքի լատիներեն թարգմանության էջ]]
9-րդ դարի սկզբին Մուհամեդ իբն Մուսա ալ Խորեզմին գրել է գիրք «Հնդկական հաշվարկի մասին»։ Դասագիրքը իր մեջ պարունակում էր պրակտիկ «տարբեր տիպի և տեսակի» խնդիրների լուծումներ և եղել է առաջին գիրքը, որ գրվել է օգտագործելով դիրքային հաշվարկման համակարգի օգտագործմամբ, մինչ այդ թվերից օգտվում էին միայն հաշվարկման տախտակների վրա հաշվումներ կատարելիս{{sfn|Депман|1965|с=72—78}}{{sfn|История математики, т. I|1970|с=209—210}}։ 12-րդ դարում Ադելարդի և Իոհան Սևելսկիի կողմից գրքի երկու թարգմանություններ են արվել [[լատիներեն]]{{sfn|Депман|1965|с=90—94}}։ Նրա բնօրինակը չի պահպանվել, բայց 1857 թվականին «Հնդկական թվերի մասին ալխորեիզմ» վերնագրով տպագրվել է նրա լատինական թարգմանությունը{{sfn|Депман|1965|с=72—78}}։ Տրակտատում նկարագրվում է հաշվողական տախտակի վրա հնդկական թվերի օգնությամբ այնպիսի գործողությունների կատարում, ինչպիսիք են գումարումը, հանումը, կրկնապատկումը, բազմապատկումը, բաժանումը և քառակուսի արմատի հանումը{{sfn|История математики, т. I|1970|с=211—212}}։ Կոտորակների բազմապատկումն ու բաժանումը դիտվում է համաչափությունների օգնությամբ՝ <math>a</math> բազմապատկած <math>b</math> հավասարազոր էր այնպիսի <math>q</math> թվի որոնման, որի դեպքում <math>q:a=b:1</math>։ Հետևյալ տեսությունը համարվում է արաբական թվաբանության հիմքը։ Սակայն գոյություն ունի նաև կոտորակների հաշվարկման այլ եղանակ, որը ցանկացած կոտորակ ներկայացնում է ալեքվոտային կոտորակների գումարի տեսքով{{sfn|История математики, т. I|1970|с=212—214}}։ Խնդիրների լուծման համար արաբները օգտվում էին՝ եռակի կանոնից, որ եկել էր Հնդկաստանից և գրված էր ալ Բիրունի «Հնդկական ռաշիկի մասին գրքում», երկու կեղծ դիրքերի կանոնից, որ եկել էր Չինաստանից և տեսականորեն հաստատվել էր Քուստա իբն Լուքաի «երկակի կեղծ դիրքերի կանոնը գրքում»{{sfn|История математики, т. I|1970|с=218—219}}։

10-րդ դարում [[Իսպանիա]]յով և [[Սիցիլիա]]յով սկսեցին գիտական կապեր հաստատվել Եվրոպայի և արաբական աշխարհի միջև։ Այս ժամանակ [[Կատալոնիա]] այցելեցին վանական գիտնական Հերբերտը, ով ավելի ուշ դարձավ [[Հռոմի Պապ|Հռոմի պապ]]՝ [[Սիլվեստր 2-րդ]]։ Նրան են վերագրում «Գիրք թվերի բաժանելիության մասին» և «Աբակի վրա հաշվարկներ կատարելու կանոններ» շարադրությունները։ Երկու գրքերում էլ թվերը գրված են տառերով կամ հռոմեական թվերով{{sfn|История математики, т. I|1970|с=254—256}}։ 12-ից 13-րդ դարերում Եվրոպայում հայտվեցին արաբական թվաբանության մասին գրքերի լատինական թարգմանությունները։ Գրքերում ներկայացված իրական դիրքային համարակալման համախոհները սկսեցին կոչվել «ալգորիթմականներ», արաբ մաթեմատիկոս ալ Խորեզմի անվան լատինական ձևով{{sfn|История математики, т. I|1970|с=256—257}}։ 13-րդ դարի սկզբին Արևմտյան Եվրոպայում գոյություն ուներ հաշվարկման երկու համակարգ՝ հին՝ հիմնված աբակի վրա, Հերբերտի կողմից աջակցվող և նոր՝ դիրքային հնդկական համակարգ, աջակցվող Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի կոզմից։ Նոր համակարգը աստիճանաբար գերազանցեց{{sfn|Депман|1965|с=90—94}}{{sfn|Арифметика|1951|с=50—57}}։ Նրա հիմնական առավելություը համարվում է թվաբանական գործողությունների պարզեցումը։ Սրա հետ մեկտեղ Գերմանիայում, Ֆրանսիայում և Անգլիայում նոր թվերը չէին օգտագործվում մինչև 15-րդ դարի վերջը։ Հին համարակալման ավելի ամբողջական դուրս բերումը տեղի է ունեցել 16-ից 17-րդ դարերում{{sfn|Арифметика|1951|с=50—57}}։

[[1427]] թվականին [[Ջամշիդ ալ Կաշի|ալ Կաշին]] նկարագրեց [[տասնորդական կոտորակ]]ների համակարգը, որը համընդհանուր տարածում գտավ [[Սիմոն Ստեվին|Ստեվինի]] [[1585]] թվականի գրառումից հետո<ref name="bse"/>։ Ստեվինը ուզում էր որքան հնարավոր է լայն տարածում տալ տասնորդական համակարգին, հենց սրա համար էլ նա իր գրառումները կատարում էր [[ֆրանսերեն]] և [[Ֆլամանդական բարբառներ|ֆլամանդերեն]], այլ ոչ թե լատիներեն։ Բացի դրանից նա դարձավ տասնորդական չափման համակարգի ներմուծման եռանդուն ջատագովը{{sfn|Арифметика|1951|с=57—71}}։

=== Նոր ժամանակների թվաբանություն ===
[[պատկեր:Tables generales aritmetique MG 2108.jpg|200px|thumb|right|Թվաբանական աղյուսակներ։ 1835 թվական]]
[[17-րդ դար|17-րդ]] դարում [[Աստղագիտական նավագնացություն|ծովագնացային աստղագիտությունը]], [[մեխանիկա]]ն, ավելի բարդ առևտրային հաշվարկները թվաբանության գումարման տեխնիկային նոր պահանջներ ներկայացրեցին և խթան հանդիսացան հետագա զարգացման համար։ Թիվ հասկացությունը ենթարկվեց զգալի փոփոխությունների։ Եթե առաջ մեծ հաշվով թվերի շարքին էին վերաբերում միայն դրական ռացիոնալ թվերը, ապա սկսած 16-րդ դարից իռացիոնալ և բացասական թվերը ևս ընդունելի դարձան։ [[Իսահակ Նյուտոն|Նյուտոնը]] իր դասախոսություններում թվերը բաժանում էր երեք խմբի՝ ամբողջ (չափվում են միավորներով), կոտորակային (միավորի բազմապատիկ մասը) և իռացիոնալ (միավորի հետ անհամաչափելի)։ 1710 թվականից սկսած թվերի նման բաժանումը հայտնվում է բոլոր դասագրքերում{{sfn|История математики, т. II|1970|с=34—36}}։

17-րդ դարի սկզբում [[Ջոն Նեփյեր|Նեպերը]] հնարեց [[լոգարիթմ]]ները։ Թվաբանության մեջ լոգարիթմների և տասնորդական կոտորակների օգտագործումը, [[Իռացիոնալ թիվ|իռացիոնալ թվերի]], որպես ռացիոնալ մոտավորականությունների շարունակություն մուտք գործելը, 17-րդ դարի վերջում լայնացրին թվաբանության օգտագործման ոլորտը և հաստատեցին գիտության հիմնարար նշանակությունը [[Անընդհատ արտապատկերում|անընդհատ մեծությունների]] ուսումնասիրման համար<ref name="bse"/>։

[[Նիկոլայ Լոբաչևսկի|Լոբաչևսկու]] երկրաչափական աշխատանքների հետ է կապված մաթեմատիկայի հիմունքների կրիտիկական վերանայումը, որը տեղի է ունեցել 19-րդ դարում։ Դեռևս 18-րդ դարում սկսվել էր թվի մասին պատկերացումներին տեսական հիմնավորումներ տալը։ Թվաբանության [[Դեդուկցիա|դեդուկտիվ]] կառուցվածքի մասին առաջինը անգամ խնդիր դրեց [[Գոթֆրիդ Լայբնից|Լայբնիցը]] 1705 թվականին իր «մարդկային բանականության մասին նոր փորձեր» աշխատությունում, մասնավորապես ցույց տալով «երկուսին գումարած երկուս հավասար է չորս» հավասարության ապացուցման անհրաժեշտությունը։ Փորձելով լուծել այս խնդիրը իրենց աքսեոմաները ներկայացրեցին [[Քրիստիան Վոլֆ|Վոլֆը]]՝ 1770 թվականին, [[Իոհան Ֆրիդրիխ Շուլց|Շուլցը]]՝ 1790 թվականին, [[Մարտին Օհմ|Օհմը]]՝ 1822 թվականին, [[Հերմանն Գրասսմանն|Գրասսմանը]]՝ 1861 թվականին և վերջապես [[Ջուզեպե Պեանո|Պեանոն]] 1889 թվականին{{sfn|История математики, т. III|1972|с=47—49}}։

1758 թվականին [[Աբրահամ Գատտհելֆ Կաստներ|Կաստները]] ելույթ ունեցավ «թվաբանության, երկրաչափության, հարթ և սֆերային եռանկյունաչափության և հեռանկարի առաջին հիմունքների» բոլոր այս թվաբանական հասկացությունների ամբողջ թվով հիմնավորման օգտին։ Այսպիսով նա որոշեց, հետևյալ հաջորդականությունը՝ բնական թվեր, կոտորակներ, բացասական թվեր, տասնորդական կոտորակներ, իռացիոնալ թվեր և միայն հետո հարաբերությունների տեսություն{{sfn|История математики, т. III|1972|с=49—52}}։ Բացասական թվերի տեսության ձևավորման մեջ հիմնական խնդիրն այն էր, որ բացասական թիվը զրոյից պակաս է, ինչը ավելի փոքր է քան ոչինչը{{sfn|История математики, т. III|1972|с=52—56}}։
  
Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական ամբողջական նկարագիրը տվել է [[Կասպար Վեսսել]]ը 1799 թվականին «Վերլուծական պատկերացման ուղղվածության և նրա օգտագործման, ինչպես նաև հարթ և սֆերային բազմանկյունների լուծման առավելությունները» աշխատությունում։ Վեսսելը փորձեց ընդարձակել տեսությունը եռաչափ տարածության մեջ, բայց դա նրան չհաջողվեց։ Հարցը մնաց բաց, այնքան ժամանակ մինչև Համիլտոնի [[քվատերնիոններ]] տեսության կառուցումը, որոնց բազմապատկման ժամանակ չի կիրառվում կոմուտացիոն օրենքը։ Ընդորում Վեյրշտրասի, [[Ֆերդինանդ Գեորգ Ֆրաբենիուս|Ֆրաբենիուսի]] և [[Բենջամին Պեիրս|Պեիրսի]] հետազոտությունները ցույց տվեցին, որ կոմպլեքս թվերի սահմաննեում, թիվ հասկացության ցանկացած ընդլայնման դեպքում թվաբանության օրենքներից որևէ մեկից պետք կլինի հրաժարվել{{sfn|История математики, т. III|1972|с=61—66}}։

== Թվաբանությունը կրթության մեջ ==
Թվաբանական հասկացությունների ձևավորումը սերտորեն կապված է հաշվելու գործընթացի հետ։ Նրա հիմքում ընկած են մտային գործողության այնպիսի տարրեր, ինչպիսիք են առարկաներ ճանաչելու ունակությունը, առարկաների տարբերումը, առարկաների ամբողջականությունը առանձին տարրերի բաժանելու կարողությունը, հաշվարկի իրավահավասարությունը (այլ կերպ ասած հաշվարկի միավորից օգտվելը), տարրերի հաջորդաբար կարգավորելու ունակությունը, դրանց կանոնավորումը, ինչը բերում է տարբեր որակի առարկաների հաշվարկին և թիվ հասկացության ձևավորմանը։ Նման գործընթացներ կարելի է դիտարկել երեխաների մոտ հասկացությունների յուրացման ժամանակ<ref name="bse"/>։ 
{{Հատված
 | Վերնագիր = Բոետիոսը թվաբանության մասին ասել է<ref name="de">{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://la.wikisource.org/wiki/De_Arithmetica |автор=Боэций |заглавие=Основы арифметики |часть=I, 1}}</ref> 
 | Վերնագիրը ներքևից = 
 | Բովանդակություն = Այսպիսով, ո՞ր գործողությունն է անհրաժեշտ ուսումնասիրել առաջինը, եթե ոչ այն, որը որ համարվում է սկիզբ և կատարում է այսպես ասած հիմքի դեր, մյուս գործողությունների հետ համեմատած։ Հենց այսպիսին է թվաբանությունը։ Այն նախորդում է մյուս բոլորին ոչ միայն նրա համար, որ հենց իրքը՝ Աստված, այս տիզերքի արարողը, առաջինը վերցրեց այն որպես իր մտաենթադրությունների օրինակ, և նրա սկզբունքով ստեղծեց ամեն բան, որ հենց թվերի արարող բանականության ուժով սահմանված կարգերում ձեռք բերվեց ներդաշնակություն, այլ նաև նրա համար, որ թվաբանությունը հայտարարվում է նախորդող, որ եթե հեռացնենք իր բնույթի էությամբ նախորդը, հենց այդ պահին կոչնչանան նաև հաջորդները։ Եթե ոչնչանում են հաջորդողները, ապա նախորդի էության կարգավիճակում ոչինչ չի փոխվում։     
 | Նկարագրություն = 
 | Հավասարեցում = right
 | Լայնություն = 200px
 | Բարձրություն = 
 | Տառատեսակի չափ = 
 | Ֆոն = 
 | Առանց ընդհատումների = 
}}
Տարրական կրթության չափորոշիչները ենթադրում են՝ թվերի՝ մինչև միլլիոն, հաշվարկման և համեմատման հմտություններ, չափման հիմնական միավորների և նրանց հարաբերակցության հետ աշխատելու կարողություններ, չորս հիմնական թվաբանական գործողությունների կատարում (բանավոր մինչև 100, և գրավոր մինչև 10000), ինչպես նաև մնացորդով բաժանում և մի քանի թվաբանական գործողություններից կազմված թվային արատհայտության արժեքի որոնում<ref name="fgos_n">{{Cite web |title=Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа |url=http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2768 |url-status=dead |archiveurl=https://www.webcitation.org/6CjHCBywo?url=http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2768 |archivedate=2012 թ․ դեկտեմբերի 7 |accessdate=2012 թ․ դեկտեմբերի 5 |publisher=Федеральный государственный образовательный стандарт}}</ref><ref name="fgos_n_book">{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://standart.edu.ru/attachment.aspx?id=545 |заглавие=Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа |ответственный=сост. Е. С. Савинов |год=2013 |издание=4-е |место=М. |издательство=Просвещение |страницы=32—35 |страниц=223 |isbn=9785090264167 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130824091054/http://standart.edu.ru/attachment.aspx?id=545 |archive-date=2013-08-24}}</ref>։ Դպրոցական նյութը տրվում է ակնառու առարկաների միջոցով։ Առաջին դասարանում երեխաները գործ ունեն թվային պատկերների և առարկաների քանակի հետ, հաշիվը հասնում է մինչև 20։ Երկրորդ դասարանում ավելանում է տասնորդական համակարգը, կարգային համակարգը, բազմապատկման աղյուսակը, հաշվարկները հասնում են մինչև 100։ Երրորդ դասարանում հանրահաշվական գործողություններ են կատարում բազմանիշ թվերի հետ։ Հաջորդ քայլը անցումն է տառային նշանակումների, այլ կերպ ասած՝ կոնկրետից վերացականի անցումն է։ Հենց սրանից էլ ըստ Կլեյնի սկսվում է մաթեմատիկան{{sfn|Клейн|1987|с=20—23}}։ Տարրական դասարաններում թվաբանության ուսումնասիրման դժվարությունը այն է, որ անհրաժեշտ է իրականացնել հաշվարկ վերացական բնույթի առարկաների համար{{sfn|Депман|1965|с=1—3, 103—109}}։

Կրթությունը միջնակարգ դպրոցում կապված է թիվ հասկացության ընդլայնման հետ, այստեղ ուսումնասիրվում է կոտորակները և գործողությունները նրանց հետ, բացասական և իռացիոնալ թվերը{{sfn|Клейн|1987|с=37}}։ Իրական և կոմպլեքս թվերը, ինչպես նաև էվկլիդեսի ալգորիթմը և թվաբանության հիմնական տեսությունը վերաբերում է ամբողջական միջնակարգ կրթությանը։

Ժամանակակից աշխարհում մաթեմատիկական գրագիտությունը կրթության հիմնական նպատակներից մեկն է։ Այն իր մեջ մասնավորապես ներառում է թվաբանական գործողություններ, հաշվարկներ և չափումներ կատարելու ունակություններ<ref name="hse">{{Cite web |title=Грамотность, математические способности и навыки решения задач в технологически развитом обществе |url=http://www.hse.ru/org/hse/iori/news/55563956.html |url-status=dead |archiveurl=https://www.webcitation.org/6CjHGVVQo?url=http://www.hse.ru/org/hse/iori/news/55563956.html |archivedate=2012 թ․ դեկտեմբերի 7 |accessdate=2012 թ․ դեկտեմբերի 5 |publisher=Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики}}</ref>։ Երեխաների և մեծահասակների մաթեմատիկական գրագիտության խնդիրներով զբաղվում են այնպիսի կազմակերպություններ, ինչպիսիք են [[ՅՈՒՆԻՍԵՖ]]-ը և [[ՅՈՒՆԵՍԿՕ]]-ն<ref name="unicef">{{Cite web |title=Defining Quality in Education |url=http://www.unicef.org/education/files/QualityEducation.PDF |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20121015092003/http://www.unicef.org/education/files/QualityEducation.PDF |archive-date=2012 թ․ հոկտեմբերի 15 |accessdate=2012 թ․ դեկտեմբերի 5 |publisher=[[ЮНИСЕФ]] |lang=en}}</ref><ref name="unesco">{{Cite web |title=Education for All Goals |url=http://www.unesco.org/new/en/education/themes/leading-the-international-agenda/education-for-all/efa-goals/ |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/6CjHHftrk?url=http://www.unesco.org/new/en/education/themes/leading-the-international-agenda/education-for-all/efa-goals/ |archivedate=2012 թ․ դեկտեմբերի 7 |accessdate=2012 թ․ դեկտեմբերի 5 |publisher=[[ЮНЕСКО]] |lang=en}}</ref>։

Չնայած սրան, երկար ժամանակ թվաբանական գործողությունների դասավանդումը սահմանափակվում էր օրինակների մեխանիկական կատարմամբ։ Հին Չինաստանում մեծ ուշադրություն էին դարձվում մաթեմատիկայի ուսուցմանը, ներառյալ քննություններ հանձնումը։ Կայսերական ակադեմիայում մաթեմատիկան ուսումնասիրում էին յոթ տարի։ Սակայն դասական մաթեմատիկական տրակտատները դիտարկում էին որպես դոգմաներ և վերատպագրվում էին առանց փոփոխությունների{{sfn|История математики, т. I|1970|с=157}}։

Եվրոպայում, դեռևս [[16-րդ դար|16-րդ]] դարում [[Նիկոլո Տարտալյա|Տարտալյան]] առաջարկել էր գումարման, հանման, բաժանման և բազմապատկման համակարգված վարժություններ, սակայն դրանք դեռևս երկար ժամանակ չէին մտնում գործածության մեջ{{sfn|Депман|1965|с=199—203}}։ Բացի դրանից, միջնադարում մասնավոր թվաբանական խնդիրների լուծման համար կային մեծ թվերի որոշման կանոններ։ Որոշ դասագրքերում հանդիպում էին միչև 26 նման կանոններ, ընդորում դրանք կարող էին դասագրքից դասագիրք չհամընկնել{{sfn|Депман|1965|с=305}}։ Որոշ կանոններ չեն կորցրել իրեն արդիականությունը մինչև հիմա։ Դրանց են վերաբերում համաչափությունները (կոտորակները դիտարկվում էին որպես երկու թվերի հարաբերություն, ինչը գործողությունների կատարման ժամանակ հանգեցնում էր համամասնությունների քննարկմանը) և տոկոսները{{sfn|Депман|1965|с=306}}։

Թվաբանությունը՝ ըստ ուսումնասիրության մակարդակի, յոթ [[ազատ արվեստներ]]ի մեջ զբաղեցնում է չորրորդ տեղը։ Նրան նախորդում է [[տրիվիում]]ը, որը բաղկացած է [[քերականություն]]ից, [[Հռետորություն|ճարտասանությունից]] և [[դիալեկտիկա]]յից, իսկ հենց ինքը համարվում է [[քվադրիվիում]]ի ավագ գիտությունը, որին վերաբերում են նաև [[երկրաչափություն]]ը, [[երաժշտություն]]ը և [[աստղագիտություն]]ը<ref name="brit-liberal-arts">{{Cite web |title=Liberal Arts |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/339020/liberal-arts |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67ytPsnR6?url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/339020/liberal-arts |archivedate=2012 թ․ մայիսի 27 |accessdate=2012 թ․ մարտի 20 |publisher=Encyclopædia Britannica}}{{ref-en}}</ref>։ Եվրոպական առաջին համալսարանների հայտնվելու հետ մաթեմատիկան սկսեց դասավանդվել արվեստի ֆակուլտետներում որպես քվադրիվիում, այն համարվում էր օժանդակ դիսցիպլին։ Թվաբանության առաջին դասախոսությունները կարդացել է [[Վիեննայի համալսարան]]ի [[մագիստրոս]] [[Յոհաննես վոն Գմունդեն]]ը, [[1412]] թվականին{{sfn|История математики, т. I|1970|с=259—260}}։

== Թվաբանությունը փիլիսոփայության և արվեստի մեջ ==
[[Պատկեր:Marten de Vos Seven liberal arts.jpg|thumb|right|350px|Մարտին դե Վոս։ Յոթ քույրեր։ 1590 թվական]]
Այն բանից հետո, երբ պյութագորասականները ամբողջ թվերի հարաբերությունը օգտագործեցին երկրաչափական հատվածների հարաբերության արտահայտման համար, ինչպես նաև [[Երաժշտություն|երաժշտության]] և [[Ներդաշնակություն (փիլիսոփայություն)|ներդաշնակության]] համանման հարաբերություններում, նրանք եկան այն եզրակացության, որ աշխարհի բոլոր համաչափությունները կարելի է ներկայացնել թվերի միջոցով, իսկ թվաբանությունը գիտություն է՝ փոխհարաբերությունների արտահայտման և աշխարհի բնօրինակը (մոդել) ստեղծելու համար{{sfn|История математики, т. I|1970|с=67}}։ Սրա հետ մեկտեղ պյութագորասականների բացահայտումներից է համարվում այն, որ ամբողջ թվերի հարաբերությունը բավական չէ ցանկացած հատվածների հարաբերության արտահայտման համար (քառակուսու անկյունագիծը և կողմը անհամաչափելի են) և այս հիմնավորումով անհնարին է ստեղծել մետրական երկրաչափություն{{sfn|История математики, т. I|1970|с=73}}։ Վերջավոր չափի կառուցման խնդիրը և իրական թվի որոշումը [[Մ.թ.ա. 5-րդ դար|մ.թ.ա 5-րդ]] դարում առաջացրեց գիտական [[ճգնաժամ]], որից դուրս գալու համար զբաղվում էին Հին Հռոմի բոլոր փիլիսոփայական դպրոցները։ Ցույց տալ բոլոր դժվարությունները, որ առաջանում էին այս խնդիրների լուծման ժամանակ, հաջողվեց [[Զենոն Էլեացի]]ին իր [[Զենոնի պարադոքսներ|պարադոքսներում]]{{sfn|История математики, т. I|1970|с=88—89}}։

[[Մարտիանուս Կապելլա]]ն իր «Փիլիսոփայության և Մերկուրիի հարսանիքը» տրակտատում ստեղծել է բոլոր յոթ արվեստների, այդ թվում նաև թվաբանության, ակնադիտական կերպարներ։ Արվեստները մարմնավորում էին կանայք՝ համապատասխան ատրիբուտներով, նրանց ուղեկցվում էին ոլորտի հայտնի ներկայացուցիչները։ Թվաբանությունը իր ձեռքում պահում էր աբակ կամ հուշատախտակ, մինչև վերջ գրված թվերով։ Նրան ուղեկցում է Պյութագորասը<ref name="simbol">{{Cite web |title=Семь свободных искусств |url=http://www.simbolarium.ru/simbolarium/sym-uk-cyr/cyr-s/sv/semj-sv-isk.htm |url-status=dead |archiveurl=https://www.webcitation.org/67ytQg2zB?url=http://www.simbolarium.ru/simbolarium/sym-uk-cyr/cyr-s/sv/semj-sv-isk.htm |archivedate=2012 թ․ մայիսի 27 |accessdate=2012 թ․ մարտի 20 |publisher=Simbolarium}}</ref>։

Հաշիվը [[Բուդդա]]յի փորձություններից մեկն էր։ [[Նետաձգություն (մարզաձև)|Նետաձգության]], [[վազք]]ի և [[լող]]ի մրցույթներից հետո մաթեմատիկոս Արիյունան կարգադրեց նրան ասել <math>10^9</math> մեծ բոլոր թվային աստիճանները։ Բուդդան ասեց քսաներկու աստիճանից մինչև <math>10^{53}</math> (անվանում ունեն միայն կենտ աստիճանները), և սա միայն առաջին հաշիվն էր, երկրորդ հաշվում Բուդդան շարունակեց մինչև <math>10^{421}</math> աստիճանը։ Հաջորդ առաջադրանքում Բուդդան նախ հաշվեց [[ատոմ]]ները [[մղոն]]ում, իսկ հետո նաև [[Տիեզերք|տիզերքում]]{{sfn|Меннингер|2011|с=176—179}}։ Նմանատիպ «թվային աստիճաններ» հնդկական կրոնական [[պոեզիա]]յում հանդիպում են բազմիցս, ընդ որում թվերի անվանումները կարող են տարբերվել։ Նման աստիճանների նշանակությունն է՝ անցնել մահկանացուների աշխարհից վերև։ Հնդկական «Լիլավատիստրա» գրքում նկարագրվում է երկրի իշխանուհի՝ հիասքանչ Գոպիի փեսացուների մրցույթը [[Գիր|գրի]], թվաբանության, [[ըմբշամարտ]]ի և նետաձգության արվեստի մեջ։ Գրքի զգալի մասը նվիրված է թվաբանության փորձությունների նկարագրմանը{{sfn|Арифметика|1951|с=49}}։

Ինչպես որ Հնդկաստանում, [[Մայաների քաղաքակրթություն|մայաների]] քրմերի կողմից արհեստականորեն հորինված շատ մեծ թվերը ևս խոսում են «թվային աստիճանով» ավելի վեր՝ աստվածներին մոտ, բարձրանալու ձգտման մասին{{sfn|Меннингер|2011|с=82}}։

== Գրականություն ==

* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Арнольд |автор=Арнольд И. В. |заглавие=Теоретическая арифметика |год=1938 |место=М. |издательство=Государственное учебно-педагогическое издательство |страниц=481}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Депман |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm |автор=Депман И. Я. |заглавие=История арифметики |год=1965 |место=М. |издательство=Просвещение |страниц=400 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170514025435/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm |archive-date=2017-05-14}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Клейн |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Элементарная математика с точки зрения высшей |год=1987 |место=М. |издательство=Наука |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-1.htm I: Арифметика. Алгебра. Анализ] |страниц=432}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Кнут |автор=[[Кнут, Дональд Эрвин|Кнут Д. Э.]] |заглавие=Искусство программирования |часть=Арифметика |место=М. |том=II |страниц=830}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Меннингер |автор=Меннингер К. |заглавие=История цифр. Числа, символы, слова |год=2011 |место=М. |издательство=ЗАО Центрполиграф |страниц=543 |isbn=9785952449787}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Нечаев |автор=[[Нечаев, Василий Ильич|Нечаев В. И.]] |заглавие=Числовые системы |год=1975 |место=М. |издательство=Просвещение |страниц=199}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Понтрягин |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm |автор=[[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягин Л. С.]] |заглавие=Обобщения чисел |год=1986 |место=М. |издательство=Наука |страниц=120 |серия=[[Библиотечка «Квант»]] |archive-url=https://web.archive.org/web/20110918063001/http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm |archive-date=2011-09-18}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Серр |ссылка=http://www.ega-math.narod.ru/Books/Arithm.htm |автор=[[Серр, Жан-Пьер|Серр Ж.-П.]] |заглавие=Курс арифметики |ответственный=пер. с франц. А. И. Скопина под ред. А. В. Малышева |год=1972 |место=М. |издательство=Мир |страниц=184}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=История математики, т. I |заглавие=История математики: в 3 т. |ответственный=под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |год=1970 |место=М. |издательство=Наука |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm I: С древнейших времён до начала Нового времени]}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=История математики, т. II |заглавие=История математики: в 3 т. |ответственный=под редакцией А. П. Юшкевича |год=1970 |место=М. |издательство=Наука |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm II: Математика XVII столетия]}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=История математики, т. III |заглавие=История математики: в 3 т. |ответственный=под редакцией А. П. Юшкевича |год=1972 |место=М. |издательство=Наука |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm III: Математика XVIII столетия]}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Арифметика |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-1.htm |заглавие=Энциклопедия элементарной математики. Книга первая. Арифметика |ответственный=под редакцией [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александрова]], А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина |год=1951 |место={{М.}}—{{Л.}} |издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы |страниц=448 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150302170346/http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-1.htm |archive-date=2015-03-02}}
* {{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/elementary.pdf |ref=Avigad |автор=Avigad, Jeremy. |заглавие=Number theory and elementary arithmetic |год=2003 |издание=Philosophia Mathematica |номер=3 |pages=257—284 |volume=11}}{{ref-en}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Boyer & Merzbach |ссылка=https://books.google.ca/books?id=BokVHiuIk9UC&source=gbs_navlinks_s |автор=Boyer C. B., Merzbach U. C. |заглавие=A History of Mathematics |год=2010 |издательство=John Wiley & Sons |allpages=640}}{{ref-en}}

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|2}}

== Արտաքին հղումներ ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html MathWorld article about arithmetic]
* [[:s:The New Student's Reference Work/Arithmetic|The New Student's Reference Work/Arithmetic]] (historical)
* [http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1293&bodyId=1422 The Great Calculation According to the Indians, of Maximus Planudes] – an early Western work on arithmetic at [https://web.archive.org/web/20070713083148/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]

{{Արտաքին հղումներ}}
{{ՀՍՀ|հատոր=4|էջ=219}}
{{Մաթեմատիկա–ներքև}}
{{Թվերի տեսություն}}

[[Կատեգորիա:Թվաբանություն]]