Դիտել Լոգարիթմ էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:Binary logarithm plot with ticks.svg|250px|մինի|<math>\log_2 x</math>-ի գրաֆիկը]]
'''Լոգարիթմ''' ({{lang-gr|λόγος}} - «հարաբերություն» և ἀριθμός - «թիվ»)<ref>''Краткий словарь иностранных слов.'' М.: Русский язык, 1984.</ref>, <math>b</math> թվի լոգարիթմ <math>a</math> հիմքով, որտեղ <math>a>0, a \neq 1</math>, այն [[թիվ]]ը, որով պետք է աստիճան բարձրացնել <math>a</math> հիմքը <math>b</math> [[թիվ]]ը ստանալու համար{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|էջ=186. }}։

Այն նշանակում են <math>\log_a b</math> տեսքով և կարդում «լոգարիթմ <math>a</math> հիմքով <math>b</math>»։

[[Սահմանում]]ից հետևում է, որ <math>x=\log_a b</math> հավասարումը համարժեք է <math>a^x=b</math> հավասարմանը։

<Center>Օրինակ՝ <math>\log_2 8=3</math>, քանի որ <math>2^3=8</math>։ </Center>

Լոգարիթմի հաշվումը հաճախ անվանում են լոգարիթմում։

<math>a</math> և <math>b</math> թվերը հաճախ [[իրական թվեր]] են, սակայն կան նաև կոմպլեքս լոգարիթմներ։

Լոգարիթմները օժտված են յուրահատուկ հատկություններով, որոնք սահմանել են նրա լայն կիրառությունը դժվարին հաշվարկների հնարավոր պարզեցման մեջ{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|էջ=184-186. }}։ «Լոգարիթմների աշխարհում» բազմապատկումը փոխարինվում է շատ ավելի պարզ գումարմամբ, բաժանումը՝ հանմամբ, իսկ աստիճան բարձրացնելը և արմատ հանելը համապատասխանաբար փոխակերպվում են բազմապատկման և բաժանման աստիճանի ցուցիչի վրա։ [[Պիեր Սիմոն Լապլաս]]ը ասել է, որ լոգարիթմների հայտնագործումը՝ «կրճատելով աստղագետի աշխատանքը, կրկնապատկել է նրա կյանքը»<ref>Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. §40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.</ref>։

Լոգարիթմների սահմանումը և նրանց նշանակությունների աղյուսակը ([[եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]ի համար) առաջին անգամ հրապարակել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս [[Ջոն Նեպեր]]ը [[1614]] թվականին։ Լոգարիթմական աղյուսակները, ընդարձակված և ճշգրտված այլ մաթեմատիկոսների կողմից, համատարած օգտագործվում էին գիտական և ճարտարագիտական հաշվարկների համար ավելի քան երեք դար, մինչև հայտնվեցին [[էլեկտրոնային հաշվիչ]]ներն ու [[համակարգիչ]]ները։

Ժամանակի ընթացքում պարզվել է, որ լոգարիթմական <math>~y=\log_a x</math> ֆունկցիան անփոխարինելի է նաև մարդկային գործունեության այլ բնագավառների համար, այդ թվում՝ դիֆֆերենցիալ հավասարումների լուծման, մեծությունների նշանակությունների դասակարգման (օրինակ՝ հաճախականություն և [[ձայնի ինտենսիվություն]]), տարբեր կախույթների ապրոկսիմացիայի, տեղեկության տեսությունների, հավանականության տեսությունների և այլն։ Այս ֆունկցիան պատկանում է տարրականների շարքին, այն հակադարձ համեմատական է տիպային ֆունկցիային։ Ամենից հաճախ օգտագործվում են իրական լոգարիթմները <math>e</math> հիմքով (բնական լոգարիթմ), <math>10</math> հիմքով և <math>2</math> հիմքով։

== Իրական լոգարիթմներ ==
Իրական թվի <math>x=\log_a b</math> լոգարիթմը, ըստ սահմանման, <math>a^x=b</math> հավասարման լուծումն է։ <math>a=1</math> դեպքը հետաքրքրություն չի ներկայացնում, քանի որ այդ ժամանակ <math>b \ne 1</math> այս հավասարումը լուծում չունի, իսկ <math>b=1</math> դեպքում ցանկացած թիվ լուծում է. երկու դեպքում էլ լոգարիթմը որոշված չէ։ Նմանապես եզրակացնում ենք, որ լոգարիթմը գոյություն չունի զրոյական կամ բացասական <math>a</math>-ի դեպքում։ Բացի այդ, <math>a^x</math> ցուցչային ֆունկցիայի արժեքը միշտ դրական է, ուստի պետք է բացառել նաև բացասական <math>b</math>-ի դեպքը։ Արդյունքում ստանում ենք<ref name=KORN34/>.
<blockquote><math>\log_a b</math> արտահայտությունը որոշված է այն և միայն այն դեպքում, երբ <math>b>0, a>0, a \neq 1:</math></blockquote>
Ինչպես հայտնի է, <math>y=a^x</math> ֆունկցիան (<math>a</math>-ի համար նշված պայմանների կատարման դեպքում) գոյություն ունի, մոնոտոն է և յուրաքանչյուր արժեք ընդունում է միայն մեկ անգամ, ընդ որում՝ դրա արժեքների տիրույթը պարունակում է բոլոր դրական իրական թվերը<ref>Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 229.</ref>։ Սրանից հետևում է, որ դրական թվի իրական լոգարիթմի արժեքը միշտ գոյություն ունի և միանշանակ որոշված է։

Լայն կիրառություն ունեն հետևյալ տեսքի լոգարիթմները.
* Բնական. հիմքը հանդիսանում է [[Լեոնարդ Էյլեր|Էյլերի]] թիվը (e),
* Տասնորդական. <math>lg b</math>, հիմքը հանդիսանում է <math>10</math>-ը,
* Երկուական. <math>log_2 b</math>, հիմքը հանդիսանում է <math>2</math>-ը։
 
Սրանք լայն կիրառություն ունեն, օրինակ, [[ինֆորմատիկա]]յում, դիսկրետ մաթեմատիկայի շատ բաժիններում և այլն։

== Հատկություններ ==
=== Հիմնական լոգարիթմական նույնություններ ===
Լոգարիթմի սահմանումից հետևում է հիմնական լոգարիթմական նույնութըունը.
<math>a^{\log_a b} =b</math>
Ապացուցում։ Եթե <math>\log_a b=\log_a c</math>, ապա <math>a^{log_a b} = a^{log_a c}</math>, որտեղից հետևում է, որ <math>b=c</math>։

Լոգարիթմի միավորը և թիվը

<math>\log_a 1=0;\log_a a=1</math>
<center>
{| class="wikitable"
|-
! !! Բանաձև !! Օրինակ
|-
| Արտադրյալ || <cite id=labelLogarithmProducts><math> \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y) \, </math></cite>|| <math> \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5 \, </math>
|-
| Քանորդ || <math>\log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a (x) - \log_a (y) \, </math>|| <math> \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3</math>
|-
| Աստիճան || <cite id=labelLogarithmPowers><math>\log_a(x^p) = p \log_a (x) \, </math></cite>|| <math> \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \, </math>
|-
| Արմատ || <math>\log_a \sqrt[p]{x} = \frac {\log_a (x)} p \, </math>|| <math> \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5 </math>
|-
|}
</center>
Կա ակնհայտ ընդհանրացում բանաձևերի, որը տրվում է այն դեպքում, երբ թույլատրվում է բացասական արժեքների փոփոխումներ, օրինակ
: <math>\log_a |x y| = \log_a |x| + \log_a |y|</math>
: <math>\log_a \!\left|\frac x y \right| = \log_a |x| - \log_a |y|</math>
[[Արտադրյալ]]ի լոգարիթմի բանաձևերը հեշտությամբ ընդհանրացվում են կամայական թվով արտադրիչների համար։
: <math> \log_a(x_1 x_2 \dots x_n) = \log_a (x_1) + \log_a (x_2) + \dots + \log_a (x_n)</math>
: <math> \log_a |x_1 x_2 \dots x_n| = \log_a |x_1| + \log_a |x_2| + \dots + \log_a |x_n|</math>
Վերոնշյալ հատկությունները բացատրում են, թե ինչու լոգարիթմների կիրառությունը (մինչև հաշվիչների հայտնագործումը) անչափ հեշտացնում է հաշվարկները։ Օրինակ, <math>x, y</math> բազմանիշ թվերի արտադրյալը լոգարիթմական աղյուսակի օգնությամբ կատարվում է հետևյալ ալգորիթմով՝
# լոգարիթմների աղյուսակում գտնում ենք <math>x, y</math> թվերը, 
# գումարում ենք այդ լոգարիթմները, ստանում ենք (համաձայն առաջին հատկության) <math>x, y</math> արտադրյալի լոգարիթմը, 
# ըստ արտադրյալի լոգարիթմի աղյուսակներում գտնում ենք հենց արտադրյալը։
Բաժանումը, որն առանց լոգարիթմների օգնությամբ բավականին դժվար է, քան արտադրյալը, կատարվում է նույն ալգորիթմով, միայն լոգարիթմների գումարը փոխարինելով նրանց տարբերությամբ։ Նմանապես, պարզեցվել են աստիճանի բարձրացումը և արմատի հանումը։
==== Լոգարիթմի հիմքի փոխարինումը ====
<math>\log_a b\, </math> Լոգարիթմը որի հիմքը <math>a</math>-ն է, կարելի է փոխակերպել {{sfn |Корн Г., Корн Т. Справочник по математике|1973|էջ=34.|name=KORN34 }}մեկ այլ <math>c</math> հիմքի լոգարիթմի հետևյալ բանաձով՝

<math>\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}</math>

Հետևանք (երբ <math>b=c</math> ) - հիմքի և լոգարիթմվող արտահայտության տեղափոխություն՝

<math>\log_a b = \frac {1}{\log_b a}</math>

<math>\frac{1}{\log_c a} = \log_a c</math> Գործակիցը հիմքի փոխարինման բանաձևում կոչվում է '''անցման մոդուլ''' մի հիմքից մյուսին{{sfn |Элементарная математика|1976|էջ=93.}}։

=== Անհավասարություն ===
<math>\log_a{b}</math> լոգարիթմի արժեքը դրական է այն և միայն այն դեպքում, երբ <math>a, b</math> թվերը գտնվում են մեկի միևնույն կողմում (այսինքն կամ երկուսն էլ մեծ են մեկից, կամ երկուսն էլ փոքր են մեկից)։ Իսկ եթե <math>a</math>-ն և <math>b</math>-ն ընկած են մեկի տարբեր կողմերում, ապա լոգարիթմը բացասական է։

Դրական թվերի համար ցանկացած անհավասարություն կարելի է լոգարիթմել։ Այդ դեպքում եթե լոգարիթմի հիմքը մեծ է մեկից, ապա անհավասարության նշանը պահպանվում է, իսկ եթե հիմքը փոքր է մեկից, անհավասարության նշանը փոխարինվում է հակառակին։

==== Այլ հավասարություններ և հատկություններ ====
Եթե լոգարիթմի հիմքը և լոգարիթմվող արտահայտությունը պարունակում են աստիճանի բարձրացման արտահայտություն, նրանց համար կարելի է օգտագործել հետևյալ պարզ հավասարությունը՝

<math>{\log_{a^q}{b}}^p = \frac{p}{q}\log_a{b}</math>

Այս հավասարությունը միանգամից ստացվում է, եթե լոգարիթմի ձախ մասում <math>a^q</math> հիմքը փոխարինում ենք <math>a</math> հիմքով, վերևում նշված հիմքի փոխարինման բանաձևով։ Հետևանք՝

<math>\log_{a^k} b = \frac {1} {k} \log_a b; \quad \log_{\sqrt[n]{a}} b = n \log_a b; \quad \log_{a^k} b^k = \log_a b</math>

Եվս մեկ օգտակար հավասարում՝

<math>c^{\log_a b}=b^{\log_a c}</math>

Նրա ապացուցման համար կարելի է տեսնել, որ լոգարիթմի ձախ և աջ մասերը <math>a</math> հիմքով համընկնում են (հավասար են <math>~\log_a b \cdot \log_a c</math>), համաձայն լոգարիթմական հավասարության հետևում է, որ հավասարության ձախ և աջ մասերը իրար հավասար են։

== Լոգարիթմանական ֆունկցիա ==
=== Հիմնական բնութագրերը ===
[[Պատկեր:Log.png|մինի|Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը]]
[[Պատկեր:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|մինի|[[Ցուցչային ֆունկցիա]]յին հակադարձ լոգարիթմական ֆունկցիա]]
Եթե դիտարկենք լոգարիթմվող թիվը՝ որպես փոփոխական, մենք կստանանք <math>y=\log_a x</math> լոգարիթմական ֆունկցիան։ Այն որոշված է <math>~a>0;\ a \ne 1; x>0</math>-ի համար։ Արժեքների տիրույթն է՝ <math>E(y)=(-\infty; + \infty )</math>։ Այս կորը հաճախ անվանում են լոգարիթմական<ref name=MATENC>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |год=1982 |часть=Логарифмическая функция. |место=М. |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |том=3}}</ref>։ Լոգարիթմի հիմքի փոխարինման բանաձևից երևում է, որ տարբեր հիմքերով լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը մեծ է մեկից և մեկը մյուսից տարբերվում են միայն <math>y</math>-ի առանցքի նկատմամբ միայն մասշտաբով, իսկ 1-ից փոքր հիմքով գրաֆիկները հանդիսանում են նրանց հայելային արտապատկերումները հորիզոնական առանցքի նկատմամբ։

Սահմանումից հետևում է, որ լոգարիթմական կապը հանդիսանում է <math>~y=a^x</math> [[ցուցչային ֆունկցիա]]յի համար [[հակադարձ ֆունկցիա]], հետևաբար նրանց գրաֆիկները սիմետրիկ են առաջին և երրորդ քարորդների կիսորդի նկատմամբ (տես նկարը)։ Ինչպես և [[ցուցչային ֆունկցիա]]ն, այնպես էլ լոգարիթմական ֆունկցիան դասվում են տրանսցենդենտ ֆունկցիաների կատեգորիային։

Ֆունկցիան հանդիսանում է խիստ աճող <math>a > 1</math>-ի դեպքում (տես հաջորդ գրաֆիկը) և խիստ նվազող <math>~0 < a < 1</math>-ի դեպքում։ Ցանկացած լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը անցնում է <math>(1;0)</math> կետով։ Ֆունկցիան անընդհատ է և անսահամանափակ դիֆերենցվող է իր որոշման ամբողջ տիրույթում։

Օրդինատների առանցքը (<math>x=0</math>) հանդիսանում է ձախ ասիմպտոտիկ ուղղահայաց, քանի որ՝

<math>\lim_{x \to 0+0} \log_a x = - \infty</math>, երբ <math>a > 1</math>;

<math>\lim_{x \to 0+0} \log_a x = + \infty</math>, երբ <math>0 < a < 1</math>։

Լոգարիթմական [[ֆունկցիայի ածանցյալ]]ը հավասար է՝

<math>\frac {d} {dx} \log_a x = \frac {1} {x \cdot \log_e a} = \frac {1} {x \cdot \ln a}</math>

[[Աբստրակտ հանրահաշիվ|Հանրահաշվի]] տեսանկյունից լոգարիթմական ֆունկցիան (միակ հնարավոր) [[Իզոմորֆություն (մաթեմատիկա)|իզոմորֆիզմ]] է դրական իրական թվերի մուլտիպլիկտիվ [[Խումբ (մաթեմատիկա)|խմբի]] և բոլոր իրական թվերի ադիտիվ խմբի համար։ Այլ բառերով, լոգարիթմական ֆունկցիան հանդիսանում է հետևյալ ֆունկցիոնալ հավասարման միակ անընդհատ լուծումը՝

<math>f(xy)=f(x)+f(y)</math>

== Պատմական ակնարկ ==
=== Նախադրյալներ ===
Լոգարիթմների գաղափարական աղբյուրը և կիրառման խթանը եղել է այն փաստը (հայտնի է եղել դեռ [[Արքիմեդես]]ին<ref name=USP9/>), որ նույն հիմքով աստիճանները բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները գումարվում են{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=206}}. <math>a^b \cdot a^c = a^{b+c}</math>: 13-րդ դարի հնդիկ մաթեմատիկոս Վիրասենան, ուսումնասիրելով աստիճանային կախվածությունները, հրապարակել է 2, 3, 4 հիմքերի համար ամբողջ թվերով ցուցիչների (այսինքն, ըստ էության, լոգարիթմների) աղյուսակը<ref>{{Citation |last=Gupta |first=R. C. |title=Students' Britannica India: Select essays |page=329 |year=2000 |editor1-last=Hoiberg |editor-first=Dale |editor2-last=Ramchandani |editor3-first=Indu |url-status=dead |contribution=History of Mathematics in India |contribution-url=https://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK |location=New Delhi |publisher=Popular Prakashan |accessdate=2022 թ․ դեկտեմբերի 14 |archivedate=2018 թ․ մարտի 17 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20180317232735/https://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false}}</ref>։

[[Պատկեր:Stifel log.jpg|մինի|340px|ձախ|Մ. Շտիֆելի լոգարիթմական աղյուսակը, «''Arithmetica integra''», 1544]]
Վճռական քայլն արվել է միջնադարյան Եվրոպայում։ [[16-րդ դար|XVI դարում]] բարդ հաշվարկների անհրաժեշտությունը արագորեն մեծացել է, և դժվարությունների մեծ մասը կապված էր բազմանիշ թվերի բազմապատկման և բաժանման, ինչպես նաև [[Արմատ (մաթեմատիկա)|արմատ]] հանելու հետ։ Դարավերջին մի քանի մաթեմատիկոսներ գրեթե միաժամանակ հանդես են եկել հետևյալ գաղափարով. ժամանակատար բազմապատկումը փոխարինել պարզ գումարումով՝ հատուկ աղյուսակների միջոցով հակադրելով [[Երկրաչափական պրոգրեսիա|երկրաչափական]] և [[Թվաբանական պրոգրեսիա|թվաբանական]] պրոգրեսիաները, ընդ որում՝ երկրաչափականը կլինի ելակետայինը{{sfn|Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=9|name=USP9}}։ Այնուհետև բաժանումը ինքնաբերաբար փոխարինվում է շատ ավելի պարզ և հուսալի հանումով, և դրանով պարզեցվում են նաև [[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճանի]] բարձրացումն ու արմատ հանելը։

Առաջին անգամ այս գաղափարը հրատարակվել է Մայքլ Շտիֆելի «''Arithmetica integra''» (1544) գրքում, որը, սակայն, լուրջ ջանքեր չի գործադրել իր գաղափարի գործնական իրականացման համար{{sfn |История математики, том II|1970|с=54—55}}<ref>{{Citation |author=Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley |title=Precalculus mathematics |page=182 |year=1972 |url=https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel |location=New York |publisher=Holt, Rinehart, Winston |isbn=978-0-03-077670-0}}</ref>։ Շտիֆելի հիմնական արժանիքը ամբողջ թվային ցուցիչներից կամայական [[Ռացիոնալ թիվ|ռացիոնալի]] անցումն է{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=210}} (այս ուղղությամբ առաջին քայլերը կատարել են [[Նիկոլայ Օրեսմ]]ը XIV դարում և Նիկոլա Շյուկեն XV դարում)։

=== Ջոն Նեփյերը և նրա «լոգարիթմների զարմանալի աղյուսակը» ===
[[Պատկեր:John Napier.jpg|thumb|220px|<center>Ջոն Նեփյեր</center>]]
1614 թվականին շոտլանդացի սիրողական մաթեմատիկոս [[Ջոն Նեփյեր]]ը հրատարակել է լատիներեն աշխատություն ''«Լոգարիթմների զարմանալի աղյուսակի նկարագրությունը»''  ({{lang-lat|Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio}}) վերնագրով։ Այն ներկայացնում էր լոգարիթմների և դրանց հատկությունների համառոտ նկարագրությունը, ինչպես նաև սինուսների, կոսինուսների և տանգենսների լոգարիթմների ութանիշ աղյուսակներ՝ 1' քայլով։ Նեփյերի առաջարկած ''լոգարիթմ'' տերմինը հաստատվել է գիտության մեջ։ Նեփյերն ուրվագծել է լոգարիթմների տեսությունը իր մյուս գրքում՝ ''«Լոգարիթմների զարմանալի աղյուսակի կառուցումը»''({{lang-lat|Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio}}), որը հետմահու հրատարակվել է 1619 թվականին նրա որդու՝ Ռոբերտի կողմից։

Դատելով փաստաթղթերից՝ Նեփյերը լոգարիթմի տեխնիկան յուրացրել է մինչև 1594 թվականը{{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=13|name=USP13 }}։ Նրա զարգացման անմիջական նպատակն է եղել հեշտացնել բարդ աստղագիտական հաշվարկները{{sfn |История математики, том II|1970|с=56}}, այդ իսկ պատճառով աղյուսակներում ներառվել են միայն [[եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]ի լոգարիթմները։

[[Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)|Ֆունկցիայի]] հասկացությունն այդ ժամանակ դեռ գոյություն չի ունեցել, և Նեփյերը [[Կինեմատիկա|կինեմատիկորեն]] է որոշել լոգարիթմը՝ համեմատելով համաչափ և լոգարիթմական-դանդաղ շարժումը. օրինակ՝ նա սահմանել է սինուսի լոգարիթմը հետևյալ կերպ<ref>{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=1672765 |автор=E. E. Swartzlander and A. G. Alexopoulos |заглавие=The Sign/Logarithm Number System |год=1975 |язык=en |издание=IEEE Transactions on Computers |тип=journal |месяц=12 |том=C—24 |номер=12 |страницы=1238—1242 |doi=10.1109/T-C.1975.224172}}</ref>.
<blockquote>Տրված սինուսի լոգարիթմը այն թիվն է, որը միշտ թվաբանորեն աճել է նույն արագությամբ, երբ լրիվ սինուսը սկսել է երկրաչափորեն նվազել։</blockquote>
Ժամանակակից նշումով Նեփյերի կինեմատիկական մոդելը կարող է ներկայացվել [[Դիֆերենցիալ հավասարումներ|դիֆերենցիալ հավասարմամբ]]{{sfn |История математики, том II|1970|с=59|name=HIST59 }}.
: <math> \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{M}</math>,
որտեղ M-ը մասշտաբային բազմապատկիչն է, որը ներդրվել է արժեքն անհրաժեշտ թվանշաններով ամբողջ թիվ դարձնելու համար ([[Տասնորդական կոտորակներ|տասնորդական թվերն]] այն ժամանակ դեռ լայնորեն չեն կիրառվել)։ Նեփյերը վերցրել է M = 10 000 000։

Ավելի ստույգ՝ Նեփյերը աղյուսակավորել է ոչ այն ֆունկցիան, որն այժմ կոչվում է լոգարիթմ։ Եթե սահմանենք նրա <math>\operatorname{LogNap}(x)</math> ֆունկցիան, ապա այն կապված է բնական լոգարիթմի հետ հետևյալ կերպ<ref name="HIST59" />.
:: <math>\operatorname{LogNap}(x) = M \cdot (\ln(M) - \ln(x))</math>
Ակնհայտ է, որ <math>\operatorname{LogNap}(M) = 0</math>, այսինքն՝ «լրիվ սինուսի» լոգարիթմը (համապատասխանում է 90 °) զրոյական է. սա այն է, ինչ Նեփյերը փնտրում էր իր սահմանմամբ։ Նա նաև ցանկանում էր, որ բոլոր լոգարիթմները դրական լինեն. հեշտ է ստուգել, որ <math>x<M</math> պայմանը բավարարված է <math>\operatorname{LogNap}(0) = \infty</math> դեպքում։

Նեփյերի լոգարիթմի հիմնական հատկությունն է՝ եթե մեծությունները կազմում են [[երկրաչափական պրոգրեսիա]], ապա դրանց լոգարիթմները կազմում են [[թվաբանական պրոգրեսիա]]։

Այնուամենայնիվ, Նեփյերի ֆունկցիայի լոգարիթմի կանոնները տարբերվում էին ժամանակակից լոգարիթմի կանոններից, ինչպիսիք են.
: <math>\operatorname{LogNap}(a \cdot b)=\operatorname{LogNap}(a)+\operatorname{LogNap}(b)-\operatorname{LogNap}(1)</math>

=== Հետագա զարգացում ===
Ինչպես շուտով պարզվել է, ալգորիթմի սխալի պատճառով Նեփյերի աղյուսակի բոլոր արժեքները վեցերորդ թվանշանից հետո սխալ թվեր էին պարունակում{{sfn|История математики, том II|1970|с=61|name=IM61}}։  Այնուամենայնիվ, դա չի խանգարել, որ հաշվարկի նոր մեթոդը լայն ժողովրդականություն ձեռք բերի, և շատ եվրոպացի մաթեմատիկոսներ զբաղվել են լոգարիթմական աղյուսակների կազմումով։  [[Յոհան Կեպլեր|Կեպլերը]] խանդավառությամբ է խոսել Նեփյերի մասին 1620 թվականին հրատարակված իր աստղագիտական գրքում (չիմանալով, որ լոգարիթմների գյուտարարն արդեն մահացել է)։  1624 թվականին Կեպլերը հրատարակել է լոգարիթմական աղյուսակների իր տարբերակը ([[Լատիներեն|լատ]].՝ ''Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos''){{sfn|Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=39}}։  Լոգարիթմների օգտագործումը Կեպլերին թույլ է տվել համեմատաբար արագ ավարտել երկար տարիների աշխատանքը Ռուդոլֆյան աղյուսակների կազմման վրա, որոնք ամրապնդել են [[Արևակենտրոն համակարգ|արևակենտրոն աստղագիտության]] հաջողությունը։

Նեփյերի գրքի լույս տենելուց մի քանի տարի անց հայտնվել են լոգարիթմական աղյուսակներ՝ օգտագործելով լոգարիթմի ավելի ժամանակակից ըմբռնումը։  Լոնդոնում պրոֆեսոր Հենրի Բրիգսը հրապարակել է [[տասնորդական լոգարիթմներ]]ի 14 նիշանոց աղյուսակներ (1617), ընդ որում՝ ոչ թե եռանկյունաչափական ֆունկցիաների, այլ մինչև 1000 կամայական ամբողջ թվերի համար (7 տարի անց Բրիգսը թվերի թիվը հասցրել է 20000-ի)։  1619 թվականին Լոնդոնում մաթեմատիկայի ուսուցիչ Ջոն Սփայդելը ([[Անգլերեն|անգլ]].՝ ''John Speidell'') վերահրատարակել է Նեփյերի լոգարիթմական աղյուսակները, ուղղել և լրացրել այնպես, որ դրանք իրականում դարձել են բնական լոգարիթմների աղյուսակներ։  Սփայդելն ունեցել է նաև  մինչև 1000 թվերի լոգարիթմները (ընդ որում՝ միավորի լոգարիթմը, ինչպես Բրիգսի մոտ, հավասար էր զրոյի), չնայած Սփայդելը պահպանել է [[Լոգարիթմական մասշտաբ|մասշտաբավորումը]] մինչև ամբողջ թվեր{{sfn|История математики, том II|1970|с=63}}<ref>''Charles Hutton.'' [https://books.google.ru/books?id=zDMAAAAAQAAJ&pg=PA30&lpg=PA30&dq=Speidell+logarithm&source=bl&ots=okbhTbkRfc&sig=KWTXsVOdf-c2DtZLntcYTAetFUM&hl=ru&sa=X&ei=2K6JT838GoTHsgaMvaHgCw&redir_esc=y#v=onepage&q=Speidell%20logarithm&f=false Mathematical Tables.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160911171317/https://books.google.ru/books?id=zDMAAAAAQAAJ&pg=PA30&lpg=PA30&dq=Speidell+logarithm&source=bl&ots=okbhTbkRfc&sig=KWTXsVOdf-c2DtZLntcYTAetFUM&hl=ru&sa=X&ei=2K6JT838GoTHsgaMvaHgCw&redir_esc=y#v=onepage&q=Speidell%20logarithm&f=false |date=2016-09-11 }} London, 1811, p. 30.</ref>։

Շուտով պարզ է դարձել, որ լոգարիթմների տեղը մաթեմատիկայում չի սահմանափակվում հաշվողական հարմարություններով։ 1629 թվականին բելգիացի մաթեմատիկոս Գրեգուար դը Սեն Վինսենը ցույց է տվել, որ <math>y=\frac {1}{x}</math>-ի հիպերբոլի տակ գտնվող մակերեսը փոխվում է ըստ լոգարիթմական օրենքի{{sfn |История математики, том II|1970|с=133}}։  1668 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Նիկոլաս Մերկատորը (Կաուֆման) իր «Logarithmotechnia » գրքում հրատարակել է լոգարիթմի ընդլայնումը անսահման շարքում{{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=52|name=USP52 }}։ Շատ պատմաբանների կարծիքով, լոգարիթմների հայտնվելը մեծ ազդեցություն է ունեցել մաթեմատիկական բազմաթիվ հասկացությունների վրա, այդ թվում.
# [[Իռացիոնալ թիվ|Իռացիոնալ]] և [[տրանսցենդենտ թվեր]]ի ընդհանուր հասկացության ձևավորում և ճանաչում{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=51, 286, 352}},
# Ցուցչային ֆունկցիայի և թվային ֆունկցիայի ընդհանուր հասկացության, [[E (թիվ)|Էյլերի թվի]] ի հայտ գալը, տարբերությունների հավասարումների տեսության մշակումը{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=213, 217}},
# Անվերջ շարքերով աշխատանքի սկիզբը<ref name=USP52/>,
# Տարբեր տեսակների [[դիֆերենցիալ հավասարումներ]]ի լուծման ընդհանուր մեթոդներ,
# Ճշգրիտ լոգարիթմական աղյուսակների հաշվարկման համար անհրաժեշտ [[թվային մեթոդներ]]ի տեսության զգալի զարգացում։

Մինչև 19-րդ դարի վերջը լոգարիթմի ընդհանուր ընդունված գրելաձև չի եղել. a հիմքը նշվել է կամ log սիմվոլից ձախ ու վերև, կամ դրա վերևում։ Ի վերջո, մաթեմատիկոսները եկել են այն եզրակացության, որ հիմքի համար ամենահարմար տեղը գծից ներքև է՝ log սիմվոլից հետո՝ <math>\log_a b</math>: Լոգարիթմի ամենատարածված ձևերի հակիրճ նշանակումները՝ <math>\lg, \; \ln</math> տասնորդական և բնական լոգարիթմների համար, հայտնվել են շատ ավելի վաղ միանգամից մի քանի հեղինակների կողմից և վերջնականապես հաստատվել են նույնպես 19-րդ դարի վերջին<ref>{{Ռուսերեն հոդված |автор=R.C Ismail and J.N Coleman |заглавие=ROM-less LNS |год=2011 |язык=und |издание=2011 20th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH) |месяц=7 |страницы=43—51 |doi=10.1109/ARITH.2011.15}}</ref>։

Լոգարիթմի ժամանակակից ըմբռնումը՝ որպես [[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճանի]] բարձրացման հակադիր գործողություն, առաջին անգամ հայտնվել է [[Ջոն Վալլիս]]ի (1685) և [[Յոհան Բեռնուլի]]ի (1694) մոտ և վերջնական հատատվել է [[Լեոնարդ Էյլեր|Էյլերի]] կողմից։ Իր «Անվերջ փոքրերի վերլուծության ներածություն» (1748) գրքում Էյլերը տվել է ինչպես [[Ցուցչային ֆունկցիա|ցուցչային]], այնպես էլ լոգարիթմական ֆունկցիաների ժամանակակից սահմանումներ, դրանք ընդլայնել է աստիճանային շարքերում և հատուկ նշել է բնական լոգարիթմի դերը<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Рыбников К. А. |заглавие=История математики. В двух томах |год=1963 |место=М. |издательство=Изд. МГУ |том=II |страницы=25}}</ref>։ Էյլերին է պատկանում նաև լոգարիթմական ֆունկցիան կոմպլեքս տիրույթում ընդլայնելու արժանիքը։

=== Լոգարիթմի ընդլայնում դեպի կոմպլեքս տիրույթ ===
Լոգարիթմները [[Կոմպլեքս թիվ|կոմպլեքս թվերի]] վրա ընդլայնելու առաջին փորձերն արվել են 17-18-րդ դարերի վերջում՝ [[Գոթֆրիդ Լայբնից|Լայբնիցի]] և [[Յոհան Բեռնուլի]]ի կողմից, բայց նրանք չեն կարողացել ստեղծել ամբողջական տեսություն առաջին հերթին այն պատճառով, որ լոգարիթմի գաղափարը դեռևս հստակ չէր սահմանված{{sfn |История математики, том III|1972|с=325-328|name=IM3-325 }}։ Այս թեմայի շուրջ քննարկումները սկզբում ծավալվել են Լայբնիցի և Բեռնուլիի, իսկ 18-րդ դարի կեսերին՝ [[Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբեր|դ'Ալմբերի]] և [[Լեոնարդ Էյլեր|Էյլերի]] միջև։ Բեռնուլին և դ'Ալեմբերը հավատում էին, որ <math>\log(-x) = \log(x)</math>, մինչդեռ Լայբնիցը պնդում էր, որ բացասական թվի լոգարիթմը երևակայական թիվ է<ref name=IM3-325/>։ Բացասական և կոմպլեքս թվերի լոգարիթմների ամբողջական տեսությունը հրապարակվել է Էյլերի կողմից 1747-1751 թվականներին և ըստ էության չի տարբերվում ժամանակակիցից<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Рыбников К. А. |заглавие=История математики. В двух томах |год=1963 |место=М. |издательство=Изд. МГУ |том=II |страницы=27, 230—231}}</ref>։ Թեև վեճը շարունակվել է (դ'Ալեմբերը պաշտպանել է իր տեսակետը և մանրամասն փաստարկել այն իր «Հանրագիտարանի» հոդվածում և այլ աշխատություններում), 18-րդ դարի վերջում Էյլերի մոտեցումը համընդհանուր ընդունելություն է գտել։

19-րդ դարում՝ կոմպլեքս անալիզի զարգացման հետ մեկտեղ, բարդ լոգարիթմի ուսումնասիրությունը խթանել է նոր հայտնագործությունների կատարումը։ [[Կառլ Գաուս]]ը 1811 թվականին մշակել է լոգարիթմական ֆունկցիայի բազմարժեքության ամբողջական տեսությունը{{sfn |Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций|1981|с=122-123}}, որը սահմանվում է որպես <math>\frac{1}{z}</math>-ի ինտեգրալ։ [[Բեռնարդ Ռիման]]ը, հենվելով այս և նմանատիպ ֆունկցիաների մասին արդեն հայտնի փաստերի վրա, կառուցել է [[Ռիմանյան մակերևույթ|Ռիմանի մակերևույթների]] ընդհանուր տեսությունը։

[[Կոնֆորմ արտապատկերում]]ների տեսության զարգացումը ցույց է տվել, որ [[Քարտեզագրություն|քարտեզագրության]] մեջ [[Մերկատորի պրոյեկցիա]]ն, որն առաջացել է նույնիսկ մինչև լոգարիթմների հայտնաբերումը (1550 թվականին), կարելի է բնութագրել որպես կոմպլեքս լոգարիթմ<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-2.htm |автор=Клейн Ф. |заглавие=Элементарная математика с точки зрения высшей |год=1987 |место=М. |издательство=Наука |том=II. Геометрия |страницы=159—161 |страниц=416 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151016185026/http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-2.htm |archive-date=2015-10-16}}</ref>։

== Գործնական կիրառություններ ==
=== Լոգարիթմական հարաբերությունները գիտության և բնության մեջ ===
Լոգարիթմական ֆունկցիաները չափազանց տարածված են թե՛ մաթեմատիկայում, թե՛ բնական գիտությունների մեջ։ Հաճախ լոգարիթմները հայտնվում են այնտեղ, որտեղ տեղի է ունենում ինքնանմանություն, այսինքն՝ ինչ-որ առարկա հետևողականորեն վերարտադրվում է փոքրացված կամ մեծացված մասշտաբով, օրինակ՝ [[Ռեկուրսիա|ռեկուրսիվ]] ալգորիթմները, [[ֆրակտալ]]ները կամ կակղամորթերի խեցիները։

==== Թվերի տեսություն ====
[[Պարզ թվերի թեորեմ|Պարզ թվերի]] ասիմպտոտ բաշխումը ենթարկվում է պարզ օրենքների<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Дербишир, Джон. |заглавие=Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике |год=2010 |издательство=Астрель |страниц=464 |isbn=978-5-271-25422-2}}</ref>։
* 1-ից մինչև <math>n</math> միջակայքում պարզ թվերի քանակը մոտավորապես հավասար է <math>\frac{n}{\ln n}</math>,
* k-րդ պարզ թիվը մոտավորապես հավասար է <math>k \ln k</math>,
Ավելի ճշգրիտ գնահատումներն օգտագործում են ինտեգրալ լոգարիթմը։

Հաճախ խնդիր է առաջանում գնահատել շատ մեծ թիվ, օրինակ՝ մեծ համարով Մերսենի թիվը կամ ֆակտորիալը։ Դրա համար հարմար կլինի թիվը մոտավորապես գրել էքսպոնենտալ ձևաչափով, այսինքն՝ մանտիսի և տասնորդական կարգի տեսքով։

Խնդիրը հեշտությամբ լուծվում է լոգարիթմների օգտագործմամբ։ Որպես օրինակ դիտարկենք Մերսենի 44-րդ թիվը <math>M=2^{32582657} - 1</math>. 
: <math>\lg M \approx 32582657 \cdot \lg 2 \approx 9808357{,}09543</math>
Հետևաբար, արդյունքի մանտիսը հավասար է <math>10^{0{,}09543} \approx 1{,}25</math>։ Արդյունքում կստանանք.
: <math>M \approx 1{,}25\cdot 10^{9808357}</math>

==== Մաթեմատիկական անալիզ ====
{{also|Լոգարիթմական ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ}}
Լոգարիթմները հաճախ կիրառվում են [[ինտեգրալ]]ներ գտնելու և [[դիֆերենցիալ հավասարումներ]]ի լուծման ժամանակ, օրինակ՝
: <math>\int {\operatorname{tg} x} \, dx = -\ln |\cos x| + C; \quad \int {\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}} = -\ln \ \left|\ x+\sqrt{x^2+a}\ \right| + C</math>

==== Հավանականությունների տեսություն և վիճակագրություն ====
[[Պատկեր:Rozklad benforda.svg|thumb|300px |<center>Բենֆորդի բաշխում. հորիզոնական շարքում տրված են առաջին թվերը, ուղղահայաց՝ դրանց հայտնվելու հավանականությունը</center>]]
[[Վիճակագրություն|Վիճակագրության]] և [[Հավանականությունների տեսություն|հավանականությունների տեսության]] մեջ լոգարիթմը ներառված է գործնականում կարևոր հավանականության բաշխումների շարքում։ Օրինակ՝ լոգարիթմական բաշխումն<ref>{{Cite web |author=Weisstein, Eric W. |title=Log-Series Distribution |url=http://mathworld.wolfram.com/Log-SeriesDistribution.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20120511060156/http://mathworld.wolfram.com/Log-SeriesDistribution.html |archive-date=2012 թ․ մայիսի 11 |accessdate=2012 թ․ ապրիլի 26 |publisher=MathWorld |language=en}}</ref> օգտագործվում է [[գենետիկա]]յում և [[ֆիզիկա]]յում։ Լոգնորմալ բաշխումը հաճախ տեղի է ունենում այն իրավիճակներում, երբ հետազոտվող մեծությունը մի քանի անկախ դրական պատահական փոփոխականների արտադրյալ է<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |год=1982 |часть=Логарифмически нормальное распределение |место=М. |издательство=[[Բոլշայա ռոսիյսկայա էնցիկլոպեդիա (հրատարակչություն)|Советская Энциклопедия]] |том=3}}</ref>։

[[Բենֆորդի օրենք]]ը («առաջին նիշի օրենք») նկարագրում է իրական մեծությունները չափելիս որոշակի առաջին նշանակալի թվանշանի առաջացման հավանականությունը։

Անհայտ պարամետրը գնահատելու համար լայնորեն կիրառվում են առավելագույն ճշմարտանմանության մեթոդը և դրա հետ կապված ճշմարտանմանության լոգարիթմական ֆունկցիան<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |год=1982 |часть=Максимального правдоподобия метод |место=М. |издательство=[[Բոլշայա ռոսիյսկայա էնցիկլոպեդիա (հրատարակչություն)|Советская Энциклопедия]] |том=3}}</ref>։

==== Ինֆորմատիկա և հաշվողական մաթեմատիկա ====
Ինֆորմատիկա – [[Տեղեկատվության չափման միավորներ|տեղեկատվության չափման միավոր]] ([[բիթ]])։ Օրինակ՝ համակարգչում <math>N</math> բնական թիվը (համակարգչի համար սովորական երկուական ձևաչափով) պահպանելու համար անհրաժեշտ է <math>\log_2 N + 1</math> բիթ։

Տեղեկատվական էնտրոպիան տեղեկատվության քանակի չափումն է։

«Բաժանիր և տիրիր» սկզբունքի վրա հիմնված [[Ռեկուրսիա|ռեկուրսիվ ալգորիթմների]] ասիմպտոտիկ բարդության գնահատում<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=https://archive.org/details/algorithmicsspir00hare_065 |автор=Harel, David; Feldman, Yishai A. |заглавие=Algorithmics: the spirit of computing |год=2004 |место=New York |издательство=Addison-Wesley |pages=[https://archive.org/details/algorithmicsspir00hare_065/page/143 143] |isbn=978-0-321-11784-7}}</ref>, ինչպիսիք են [[արագ տեսակավորում]]ը, Ֆուրիեի արագ փոխակերպումը և այլն։

Սովորաբար թվային արժեքները պահվում են համակարգչի կամ մասնագիտացված պրոցեսորի հիշողության մեջ՝ լողացող ստորակետի ձևաչափով։ Եթե, այնուամենայնիվ, տվյալների խմբի համար գումարումը և հանումը հազվադեպ են կատարվում, իսկ բազմապատկումը, բաժանումը, աստիճանի բարձրացումը և արմատ հանելը շատ ավելի հաճախ, ապա իմաստ ունի դիտարկել այդպիսի տվյալները [[Հաշվարկման լոգարիթմական համակարգ|լոգարիթմական ձևաչափով]] պահպանելու հնարավորությունը։ Այս դեպքում թվի փոխարեն պահվում է նրա մոդուլի լոգարիթմը և նշանը, և լոգարիթմի հատկությունների շնորհիվ հաշվարկների արագությունը զգալիորեն մեծանում է<ref>{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=ELLEAK000007000002000056000001 |автор=N. G. Kingsburg, P. J. W. Rayner |заглавие=Digital filtering using logarithmic arithmetic |год=1971 |язык=en |издание=Electronics Letters |тип=journal |месяц=1 |число=28 |том=7 |страницы=55}}</ref>։ Պահպանման լոգարիթմական ձևաչափը օգտագործվել է մի քանի համակարգերում, որտեղ ապացուցել է նրա արդյունավետությունը<ref>{{Ռուսերեն հոդված |автор=R. C. Ismail and J. N. Coleman |заглавие=ROM-less LNS |год=2011 |язык=und |издание=2011 20th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH) |месяц=7 |страницы=43—51 |doi=10.1109/ARITH.2011.15}}</ref><ref>{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=4042464 |автор=Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk |заглавие=Comparing Floating-point and Logarithmic Number Representations for Reconfigurable Acceleration |год=2006 |язык=en |издание=IEEE Conference on Field Programmable Technology |тип=journal |месяц=12 |страницы=337 |doi=10.1109/FPT.2006.270342}}</ref>։

==== Մեխանիկա և ֆիզիկա ====
[[Բոլցմանի հաստատուն|Բոլցմանի սկզբունքը]] [[Վիճակագրական ֆիզիկա|վիճակագրական]] թերմոդինամիկայի մեջ թերմոդինամիկական համակարգի վիճակի կարևորագույն գործառույթներից է, որը բնութագրում է դրա աստիճանը։

Հրթիռի [[արագություն]]ը հաշվարկվելու համար օգտագործվում է [[Ցիոլկովսկու հավասարում|Ցիոլկովսկու բանաձևը]]։

==== Քիմիա և ֆիզիկական քիմիա ====
[[Նեռնստի հավասարում]]ն արտահայտում է համակարգի [[Օքսիդա-վերականգնման պոտենցիալ]]ի և էլեկտրաքիմիական հավասարման մեջ ներառված նյութերի ակտիվության, ինչպես նաև օքսիդա-վերականգնման զույգերի ստանդարտ [[Նորմալ պոտենցիալ|էլեկտրոդային պոտենցիալների]] կապը։

Լոգարիթմը օգտագործվում է այնպիսի մեծությունների սահմանումներում, ինչպիսիք են ավտոպրոտոլիզի հաստատունի ինդեքսը (մոլեկուլի ինքնաիոնացում) և [[Ջրածնային ցուցիչ|ջրածնային ինդեքսը]] (լուծույթի թթվայնությունը)։

==== Հոգեբանություն և ֆիզիոլոգիա ====
Շատ երևույթների մարդկային ընկալումը հարմար է նկարագրել լոգարիթմական օրենքով։

[[Ֆեխներ-Վեբերի օրենք|Վեբեր Ֆեխների օրենքը]] էմպիրիկ հոգեֆիզիոլոգիական օրենք է, ըստ որի՝ զգայության ինտենսիվությունը համաչափ է գրգռիչի ինտենսիվության լոգարիթմին, օրինակ՝ [[Ձայնի բարձրություն|ձայնի բարձրության]], լույսի [[Պայծառություն|պայծառության]]<ref>{{Cite web |last=Головин С. Ю. |title=ЗАКОН ВЕБЕРА-ФЕХНЕРА // Словарь практического психолога |url=http://vocabulary.ru/dictionary/25/word/zakon-vebera-fehnera |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67yuMtdPX?url=http://vocabulary.ru/dictionary/25/word/zakon-vebera-fehnera |archivedate=2012 թ․ մայիսի 27 |accessdate=2012 թ․ ապրիլի 17}}</ref><ref>{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://rus.625-net.ru/audioproducer/1999/06/2.htm |автор=Ирина Алдошина. |заглавие=Основы психоакустики |год=1999 |издание=Звукорежиссёр |выпуск=6 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120424170846/http://rus.625-net.ru/audioproducer/1999/06/2.htm |archivedate=2012-04-24}}</ref>։<!--

Ֆիթսի օրենքը. որքան հեռու կամ ավելի ճշգրիտ է կատարվում մարմնի շարժումը, այնքան ավելի շատ ուղղում է անհրաժեշտ դրա իրականացման համար և ավելի երկար է  կատարվում այդ ուղղումը։ -->

Ընտրության առկայության դեպքում որոշում կայացնելու ժամանակը կարելի է գնահատել Հիկի օրենքի համաձայն<ref>{{Cite web |title=Закон Фиттса // Психологическая энциклопедия |url=http://enc-dic.com/enc_psy/Fittsa-Zakon-29473.html |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67yuO0iyM?url=http://enc-dic.com/enc_psy/Fittsa-Zakon-29473.html |archivedate=2012 թ․ մայիսի 27 |accessdate=2012 թ․ ապրիլի 17}}</ref>։

==== Կենսաբանություն ====
Մի շարք կենսաբանական ձևեր նման են [[լոգարիթմական պարույր]]ի<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://reslib.com/card/Matematicheskij_enciklopedicheskij_slovarj |заглавие=Математический энциклопедический словарь |ответственный=Гл. ред. Ю. В. Прохоров |год=1988 |часть=Логарифмическая спираль |ссылка часть=http://reslib.com/book/Matematicheskij_enciklopedicheskij_slovarj#327 |место=М. |издательство=[[Բոլշայա ռոսիյսկայա էնցիկլոպեդիա (հրատարակչություն)|Советская энциклопедия]] |страницы=328 |страниц=847 |isbn=5-85270-278-1}}</ref>՝ կորի, որի դեպքում յուրաքանչյուր կետով անցնող [[շոշափող]]ը նուն կետով անցնող շառավիղ-վեկտորի հետ կազմում է անույն այնկյունը, այսինքն՝ շառավիղի աճը շրջանագծի միավորի երկարության համար հաստատուն է։
<gallery widths="180" heights="200">
Պատկեր:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|<center>Նաուտիլուսի խեցի</center>
Պատկեր:Pflanze-Sonnenblume1-Asio.JPG|<center>Արևածաղկի սերմերի դասավորությունը</center>
Պատկեր:Romanesco broccoli (Brassica oleracea).jpg|<center>Ռոմանեսկո (կաղամբ)</center>
</gallery>

==== Երաժշտության տեսություն ====
Որոշելու համար, թե քանի մասի պետք է բաժանել [[օկտավա]]ն, պահանջվում է գտնել ռացիոնալ մոտարկումը <math>\log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585</math> համար։ Եթե այդ թիվը դարձնենք [[շղթայական կոտորակ]], ապա երրորդ կոտորակը (7/12) թույլ է տալիս հիմնավորել օկտավայի դասական բաժանումը 12 կիսատոնների<ref name=Shilov>''Шилов Г. Е.'' [http://www.math.ru/lib/book/plm/v37.djvu Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140222071112/http://www.math.ru/lib/book/plm/v37.djvu |date=2014-02-22 }} М.: Физматгиз, 1963. 20 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 37.</ref>։

==== Այլ ====
Օլիմպիական համակարգում խաղերի պտույտների թիվը հավասար է մրցույթի մասնակիցների թվի երկուական լոգարիթմին՝ կլորացված մինչև մոտակա մեծ ամբողջ թիվը<ref>{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://elibrary.udsu.ru/xmlui/bitstream/handle/123456789/8185/2011348.pdf?sequence=1 |автор=Харин А. А. |заглавие=Организация и проведение соревнований. Методическое пособие |год=2011 |место=Ижевск |издательство=УдГУ |страницы=27}}</ref>։

=== Լոգարիթմական քանոն ===
{{main|Լոգարիթմական քանոն}}
1620-ական թվականներին Էդմունդ Ուինգեյթը և Ուիլյամ Օտրեդը հայտնագործել են առաջին լոգարիթմական քանոնը, որը մինչև գրպանի հաշվիչների հայտնվելը ծառայել է որպես ինժեների անփոխարինելի հաշվարկային գործիք{{sfn |История математики, том II|1970|с=65-66}}։ Այս կոմպակտ գործիքի օգնությամբ կարելի է արագ կատարել բոլոր հանրահաշվական գործողությունները, այդ թվում՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների մասնակցությամբ<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Березин С. И. |заглавие=Счётная логарифмическая линейка |год=1968 |место=М. |издательство=Машиностроение}}</ref>։ Հաշվարկների ճշգրտությունը մոտ 3 թվանշան է։
[[Պատկեր:Sliderule 2005.jpg|thumb|600px|center|Լոգարիթմական քանոն, բազմապատկում 1,3 × 2 կամ բաժանում 2,6 / 2]]

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|2}}
{{ՀՍՀ|հատոր=4|էջ=650}}

[[Կատեգորիա:Լոգարիթմներ]]