Դիտել Հաշվարկման դիրքային համակարգ էջի վիքիկոդը

'''Հաշվարկման Դիրքային համակարգ''' ('''դիրքային համարակալում''')- [[Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)|հաշվարկման համակարգ]] է, որտեղ թվի գրառման մեջ յուրաքանչյուր  [[Թվանշաններ|թիվ]] կախված է իր դիրքից (կարգ)։

== Պատմություն ==
''դիտել նաև'' [[Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)|տարբեր ազգերի հաշվարկման համակարգը]]

Դիրքային համարակալման գյուտը, որը հիմնված է թվերի տեղային նշանակության վրա, վերագրվում է [[շումեր]]ներին  և [[բաբելոն]]ներին։ Ավելր ուշ ժամանակահատվածում նման համարակալումը մշակվել է հնդիկների կողմից և ունեցել է անգնահատելի հետևանքներ [[քաղաքակրթության պատմություն]] մեջ։ Այսպիսի համակարգերի թվին է պատկանում [[Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)|տասական հաշվման համակարգ]]ը, որի ծագումը կապված է [[Մատների հաշվարկ|մատներով հաշվի]] հետ։ Միջին դարերի Եվրոպայում այն հայտնվեց իտալացի վաճառականների միջոցով, որոնք իրենց հերթին փոխառել էին այն արաբներից։

== Սահմանումներ ==
{{anchor|Основание системы счисления}}Հաշվարկման դիրքային համակարգը սահմանվում է <math>b > 1</math> ամբողջ թվով , որը կոչվում է հաշվարկման համակարգի '''հիմքը'''։ Հաշվարկման համակարգի <math>b</math> հիմքը անվանում են նաև '''<math>b</math> -ական''' (մասնավորապես ՝ երկուական, երեքական, տասնորդական և այլն)։

[[Ամբողջ թիվ|Ամբողջ թվ]]երը առանց <math>x</math> նշանի <math>b</math>-ական հաշվարկման համակարգում ներկայացվում են վերջավոր տեսքով [[Վեկտորական տարածություն|գծային կոմբինացիա]] <math>b</math> թվի ատիճանի<ref name="ReferenceA">''Վ.Ս.Ֆոմին'' Հաշվարկման համակարգ:— Մ.: Գիտություն, 1987. — էջ 48։ (Հանրաճանաչ դասախոսություններ մաթեմատիկայի վերաբերյալ)։</ref>։

: <math>x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k</math>, որտեղ <math>\ a_k</math> — ամբողջ թվեր են, որոնք հետևյալ <math>0 \leq a_k \le b-1.</math> անհավասարմանը  բավարարող '''թվեր''' են ։

Յուրաքանչյուր [[Գծային տարածություն#Բազիզ. Չափ|բազիսային տարր]] <math>\ b^k</math> այս դասավորությունում կոչվում է '''[[թվային կարգ|կարգավորություն]]'''( '''դիրք''' ), շարքերի ավագությունը  ու դրանց համապատասխանող թվերը որոշվում են ըստ թվերի կատեգորիայի (դիրքի) <math> \ k </math> թվով (ցուցիչի արժեքի նշանակությունը)։

<math> n </math> թվի դիրքի օգնությամբ <math>b</math>-ական հաշվարկման համակարգում կարելի է գրառել ամբողջ թվերը <math>0</math>-ից մինչև <math>b^n-1</math>, այսինքն <math>b^n</math> տարբեր թվեր։

== Թվերի գրառումը ==
Եթե անհամապատասխանություններ չկան (օրինակ, երբ բոլոր թվերը ներկայացված են որպես եզակի գրավոր նիշ), ապա <math>\ x</math> թիվը գրվում է որպես իր <math>b</math>-ական թվերի հաջորդականություն, որոնք նշված են նվազման կարգով` ձախից աջ<ref name="ReferenceA"/>։

: <math>x = a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0.</math>
Զրոյական <math>\ x</math> թվերի համար սկզբնական զրոները բաց ենք թողնում։

Հաշվառման համակարգերում` ներառյալ մինչև 36 հիմքով թվեր գրելու համար, որպես թվեր (նշան) օգտագործվում են արաբական թվերը (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) և հետո լատինական այբուբենի տառերը (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z): Որտեղ, a = 10, b = 11 և այլն, [[ISBN|երբեմն]] x = 10:

Միաժամանակ մի  քանի հաշվման համակարգերի հետ աշխատելիս համակարգերը իրարից տարբերելու համար համակարգի հիմքը սովորաբար նշվում է ներքևի ինդեքսի տեսքով, որը գրվում է տասնորդական համակարգում։

: <math>123_{10}</math> — 123 թիվը [[Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)|տասական հաշվման համակարգ]]ում է։
: <math>173_8</math> — նույն թիվը [[հաշվարկման ութական համակարգ]]ում է։
: <math>1111011_2</math> — նույն թիվը [[հաշվարկման երկուական համակարգ]]ում է։
: <math>0001\ 0010\ 0011_{10} = 000100100011_{BCD}</math> — նույն թիվը բայց [[Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)|տասնական հաշվման համակարգեր]]ում [[երկուական կոդ]]ավորումով տասնական թիվ ([[BCD]]);
: <math>11120_{3N}</math> — նույն թիվը, բայց ոչ սիմետրիկ [[Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)|երեքական հաշվարկման համակարգ]]ում։
: <math>1iiii0_{3S} = 177770_{3S} = 122220_{3S} = +----0_{3S}</math> — նույն թիվը, բայց սիմետրիկ [[Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)|երեքական հաշվարկման համակարգ]]ում,  «i», «7», «2» և «−» նշանները նշանակում են «−1», «1»-ը և «+» նշանակում են «+1»:

Որոշ ոլորտներում կիրառվում են հատուկ օրենքներ հիմքերի նշանակման համար։ Օրինակ, ծրագրավորման դեպքում,տասնվեցական համակարգը նշվում է.

* [[Ասսեմբլեր լեզու|ասսեմբլեր]]ում և ընդհանուր գրառումներ, որոնք կապված չեն որոշակի լեզվի, h տառով ('''h'''exadecimal-ից) թվի վերջում (սինտակսիս Intel): 
* [[Պասկալ (ծրագրավորման լեզու)|Պասկալ]]ում «$» նշանը թվի սկզբում։
* [[C (ծրագրավորման լեզու)|Սի]]-ում և այլ ուրիշ լեզուների 0x կամ 0X կոմբինացիաների ( he'''x'''adecimal-ից) սկզբում։

Որոշ բարբառներում <!-- (օրինակ, [[Microchip]] ֆիրմայում) --> Սի ծրագիրը ըստ «0x» անալոգիայի «0b» նախածանցը օգտագործվում է երկուական թվեր նշելու համար  («0b» նշումը ներառված չէ ANSI C ստանդարտում)։

Ռուսերեն [[Աբակ (տախտակ)|հաշվիչ]]ների համար տասնական դիրքային համակարգում թվեր գրելու համար օգտագործվում էր այլընտրանքային համակարգի գրառում (ներկայացուցչական)  տասնական թվերի միակ ավելորդ  այլընտրանքային թվով «1111111111» = 10_ <sub> 10 </sub> ամեն ելքից։

== Օրինակներ ==
* '''2''' — [[Հաշվարկման երկուական համակարգ]] ([[դիսկրետ մաթեմատիկա]]յում, [[ինֆորմատիկա]]յում, [[ծրագրավորում]]ում)
* '''3''' — [[Հաշվարկման երեքական համակարգ]]
* '''4''' — Հաշվարկման չորսական համակարգ
* '''8''' — [[Հաշվարկման ութական համակարգ]] ([[ինֆորմատիկա]]յում)
* '''10''' —[[Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)|Հաշվարկման տասական համակարգ]]
* '''12''' — [[Հաշվարկման տասներկուական համակարգ]] (լայնորեն օգտագործվում էր հին ժամանակներում, այժմ օգտագործվում է որոշ մասնավոր տարածքներում)
* '''16''' — [[Հաշվարկման տասնվեցական համակարգ]] (առավել տարածված է [[ծրագրավորում]]ում, ինչպես նաև [[տառատեսակ]]ներում)
* '''20''' — [[Հաշվարկման քսանական համակարգ]] (օգտագործվել է [[մայա]]ների և [[Ացտեկներ|ացտեկ]]ների մոտ)
* '''40''' — Հաշվարկման քառասունական համակարգ (գտագործվում էր հին ժամանակներում, մասնավորապես, ''«сорок сороков»'' = 1600)
* '''60''' — [[Հաշվարկման վաթսունական համակարգ]] (օգտագործվում էր հին Բաբելոնում, իսկ ավելի ուշ` հին հունական աստղագետների կողմից՝ աստղերի անկյունային կոորդինատները չափելու ([[Աշխարհագրական երկայնություն|երկայնություն]] և [[Աշխարհագրական լայնություն|լայնություն]]) և ժամանակը չափելու համար)։ Այսօր այն օգտագործվում է օրվա ժամանակը չափելու մեջ։

== Հատկությունները ==
Հաշվարկման դիրքային համակարգն ունի մի շարք հատկություններ.
<!-- Из-за нескольких абзацев в последнем пункте -->
* Իրականում թվային համակարգի հիմքը միշտ գրվում է որպես 10; Օրինակ` երկուական թվային համակարգում 10 նշանակում է 2. Այս պնդումը չի տարածվում այլընտրանքային հաշվարկման համակարգի վրա, որում օգտագործում է միայն մեկ թիվ։ 
* ''b''-ական համակարգում ''x'' թվի գրառման համար հաշվարկման համակարգը պահանջում է <math>\lfloor\log_b x\rfloor + 1</math> թիվ, որտեղ <math>\lfloor\cdot\rfloor</math> նշանակում է վերցնել թվի [[ամբողջ մաս]]ը։
* Համեմատել թվերը, որոնք գրված են հաշվարկման դիրքային համակարգում կարելի է կարգերով` նախապես դրանք լրացնելով նույն քանակի զրոներով։ Այս դեպքում համեմատությունը կատարվում է ամենաբարձր կարգից մինչև ամենացածր կարգը, քանի դեռ մի կարգի թիվը մեծ չէ, քան մյուս կարգի համապատասխան թիվը։ Օրինակ՝ տասական համակարգում 321 և 312 թվերը համեմատելու համար համեմատում ենք ձախից աջ` յուրաքանչյու թվին համապատասխանող կարգի թվի հետ։
*  3 = 3 — թվերի համեմատման արդյունքը դեռ որոշված չէ։
*  2 &gt; 1 — առաջի թիվը մեծ է (անկախ մնացած թվերից).
Այսպիսով, թվերի բնական կարգը համապատասխանում է հաշվարկման դիրքային համակարգում դրանց գրառումներին [[Լեքսոգրաֆիկ կարգը|լեքսոգրաֆիկ կարգ]]ի` պայմանով, որ այդ գրառումները լրացվեն նույն քանակի զրոներով։
* Թվերով թվաբանական գործողություններ։ Հաշվարկման դիրքային համակարգը թույլ է տալիս հեշտությամբ կատարել գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում և մնացորդով բաժանում՝ իմանալով միայն [[բազմապատկման աղյուսակ]]ը, իսկ վերջին երեք գործողությունների համար նաև [[բազմապատկման աղյուսակ]]ը համապատասխան համակարգում (տե՛ս, օրինակ, [[Սյունակով բաժանում]])։

== Անցում այլ հիմքի ==
=== Անցում տասական հաշվման համակարգ ===
Եթե թիվը <math>b</math>-ական հաշվարկման համակարգում հավասար է

: <math>a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0,</math>

ապա անցումը տասական հաշվարկման համակարգ հաշվում ենք հետևյալ գումարով

: <math>\sum_{k=0}^{n-1} a_k\cdot b^k</math>

կամ, ավելի տեսողական ձևով։
: <math>a_{n-1}\cdot b^{n-1} + a_{n-2} \cdot b^{n-2} + \ldots + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0,</math>

կամ, վերջապես [[Հորների սխեմա]]յի տեսքով։
: <math>((\ldots(a_{n-1} \cdot b + a_{n-2}) \cdot b + a_{n-3}) \ldots ) \cdot b + a_0.</math>

Օրինակ`

: 101100<sub>2</sub> =
:: = 1 · 2<sup>5</sup> + 0 · 2<sup>4</sup> + 1 · 2<sup>3</sup> + 1 · 2<sup>2</sup> + 0 · 2<sup>1</sup> + 0 · 2<sup>0</sup> =
:: = 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 =
:: = 32 + 8 + 4 + 0 = 44<sub>10</sub>
; Ամբողջ մասը

# Հաջորդականորեն բաժանել տասնորդական թվի ամբողջ մասը հիմքերի, մինչև տասնորդական թիվը կհավասարվի զրոյի
# Բաժանման արդյունքում ստացված մնացորդները հանդիսանում են ցանկալի համարի թվեր։ Նոր համակարգում թվերը գրվում է սկսած վերջին մնացորդից։

; Կոտորակային մասը

# Տասնորդական թվի կոտորակային մասը բազմապատկենք այն  համակարգի հիմքով, որտեղ պետք է փոխանցենք թիվը։ Առանձնացնում ենք ամբողջ մասը։ Շարունակում ենք բազմապատկել կոտորակային մասը նոր համակարգի հիմքով, մինչև չի հավասարվի զրոյի։  
# Նոր համակարգում նշված թվերը բազմապատկման արդյունքների ամբողջ մասերն են` դրանց ստացմանը համապատասխան կարգով։

; Օրինակ
<math>44_{10}</math> անցնենք երկուական համակարգ։
 44 բաժանում ենք 2. քանորդ 22, մնացորդ 0
 22 բաժանում ենք 2. քանորդ 11, մնացորդ 0
 11 բաժանում ենք 2. քանորդ  5, մնացորդ 1
  5 բաժանում ենք 2. քանորդ  2, մնացորդ 1
  2 բաժանում ենք 2. քանորդ  1, մնացորդ 0
  1 բաժանում ենք 2. քանորդ  0, մնացորդ 1
Քանորդը հավասար է զրո, բաժանումը ավարտված է։ Հիմա գրենք բոլոր մնացորդները ներքևից վերև կստանանք <math>101100_2</math> թիվը։

=== Անցում երկուական հաշվման համակարգից ութական և տասնվեցական համակարգեր ===
Այս տեսակի գործողությունների համար կա պարզեցված ալգորիթմ։

Ութականի  համար` մենք բաժանում ենք փոխանցվող թիվը 2 հիմքով որոշակի քանակի (2-ը բարձրացվում է այն աստիճանի, որը պահանջվում է, որպեսզի ստանանք այն համակարգի հիմքը, որին պատրաստվում ենք փոխանցել (2³ = 8), այս դեպքում ՝ 3, այսինքն ՝ եռյակ)։ Մենք վերափոխում ենք եռյակները ըստ եռյակների աղյուսակի.

 000 0 100 4
 001 1 101 5
 010 2 110 6
 011 3 111 7

Տասնվեցական  համար` մենք բաժանում ենք փոխանցվող թիվը 2 հիմքով որոշակի քանակի (2-ը բարձրացվում է այն աստիճանի, որը պահանջվում է, որպեսզի ստանանք այն համակարգի հիմքը, որին պատրաստվում ենք փոխանցել (2<sup>4</sup>=16), այս դեպքում ՝ 4, այսինքն ՝ քառյակ)։ Մենք վերափոխում ենք քառյակները ըստ քառյակների աղյուսակի.

 0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 
 0001 1 0101 5 1001 9 1101 D
 0010 2 0110 6 1010 A 1110 E
 0011 3 0111 7 1011 B 1111 F

Օրինակ.
 վերափոխել 101100<sub>2</sub>
 Ութական — 101 100 → 54<sub>8</sub>
 Տասնվեցական — 0010 1100 → 2C<sub>16</sub>

=== Անցում ութական և տասնվեցական համակարգերից երկուական ===
Այս տեսակի գործողությունների համար կա պարզեցված ալգորիթմ-դարձգիր։

ՈՒթականի համար — վերափոխենք աղյուսակը եռյակ տեսքի
 0 000 4 100
 1 001 5 101
 2 010 6 110
 3 011 7 111

Տասնվեցականի համար — վերափոխենք աղյուսակը քառյակ տեսքի 
 0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 
 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
 3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Օրինակ`
 վերափոխենք
 54<sub>8</sub> → 101 100
 2C<sub>16</sub> → 0010 1100

=== Անցում 2-ական համակարգից 8-ական և 16-ական համակարգ ===
Անցումը երկուական թվային համակարգի կոտորակային մասից 8 և 16 հիմքերով թվային համակարգերի կատարվում է նույն կերպ, ինչպես և թվի ամբողջ մասերը, բացառությամբ այն բանի որ բաժանումը  օկտավայի և քառյակի վրա անցնում է տասնորդական կետի աջ կողմում, բացակայող կարգերը լրացվում են զրոներով աջից։ Օրինակ, վերը նշված 1100,011<sub>2</sub> թիվը կունենա 14,3<sub>8</sub> կամ C,6<sub>16</sub> տեսքը։

=== Անցումը կամայական հաշվարկման համակարգից տասական ===
Դիտարկենք 2-ական 1100,011<sub>2</sub> թվի անցումը տասականի։ Թվի ամբողջ մասը հավասար է 12-ի (դիտենք վերև), իսկ անցումը կատորակային մասի դիտարկենք մանրամասնորեն

: <math> 0,011 = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} = 0 + 0,25 + 0,125 = 0,375.</math>

Այսպիսով 1100,011<sub>2</sub> = 12,375<sub>10</sub>.

Նման ձևով կատարվում է ցանկացած հաշվարկման համակարգի անցումը, միայն «2» -ի փոխարեն դրվում է տվյալ համակարգի հիմքը։

Անցման հարմարության համար ամբողջական և կոտորակային մասերը անցում են կատարում առանձին, և արդյունքը այնուհետև միացնում են։

=== Տասական համակարգի անցումը կամայական համակարգի ===
Կոտորակային մասի անցումը այլ հաշվարկային համակարգեր անհրաժեշտ է ամբողջ մասը զրոյացնել և սկսել արդյունքը բազմապատկել ստացված թվի հաշվարկման համակարգի հիմքով, որով ուզում եք անցում կատարել։ Եթե բազմապատկման արդյունքում ամբողջ թվով մասերը նորից հայտնվում են, ապա դրանք պետք է կրկնակի վերածել զրոյի ՝ նախապես հիշելով (գրառելով) արդյունքում ստացված ամբողջ թիվ արժեքը։ Գործողությունը ավարտվում է, երբ կոտորակային մասը ամբողջությամբ դառնում է զրո։ Ստորև բերված է թվի անցման օրինակ `103,625 <sub> 10 </sub> 2-ական հաշվարկման համակարգ։
 
Անցում կատարենք ամբողջ մասը ըստ կանոնի, ներկայացված վերևում, ստանում ենք 103<sub>10</sub> = 1100111<sub>2</sub>.
 0,625 բազմապատկենք 2. կոտորակային մաս 0,250. ամբողջ մաս 1.
 0,250 բազմապատկենք 2. կոտորակային մաս 0,500. ամբողջ մաս 0.
 0,500 բազմապատկենք 2. կոտորակային մաս 0,000. ամբողջ մաս 1.
Այսպիսով վերևից ներքև ստանում ենք 101<sub>2</sub> թիվը։ Դրա համար 103,625<sub>10</sub> = 1100111,101<sub>2</sub>

Նման ձևով կատարվում է անցում ցանկացած հիմքով հաշվարկման համակարգի։

Անմիջապես պետք է նշել, որ այս օրինակը հատուկ ընտրված է, ընդհանուր պարագայում շատ հազվադեպ է հնարավոր ավարտել անցումը թվի կոտորակային մասից տասական համակարգից այլ հաշվարկման համակարգեր, դրա համար ճնշող մեծամասնության դեպքում անցումը կարող է իրականացվել շատ փոքր սխալի միջոցով։ Ստորակետից հետո որքան շատ թիվ կա, այնքան ավելի ճշգրիտ է մոտարկման արդյունքը։ Այս բառերը ստուգելը շատ հեշտ է, եթե փորձեք, օրինակ, փոխել 0.626 թիվը երկուական կոդով։

== Փոփոխություններ և ընդհանրացումներ ==
=== Ռացիոնալ թվերի գրառումը ===

<math> x </math> [[Ռացիոնալ թիվ]]ը  <math> b </math>-ական հաշվարկման համակարգում ներկայացված է գծային կոմբինացիայի տեսքով (ընդհանուր առմամբ, անվերջ) <math>b</math> թվի աստիճանի։
: <math>x = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots)_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{\infty} c_k b^{-k}</math>
որտեղ <math> a_k </math> թվերն են [[Ամբողջ մաս]]ի (մինչև ստորակետը), <math> c_k </math> թվերն են [[Տասնորդական մաս]]ի (ստորակետից հետո), <math> n </math> - ամբողջ թիվ թվանշանների տեղը։

<math> b </math>-ական հաշվարկման համակարգում վերջնական գրառումը տարածվում է միայն ռացիոնալ թվերին՝ ներկայացված հետևյալ տեսքով` <math>\frac{q}{b^m}</math>, որտեղ <math> m </math> և <math> q </math> ամբողջ թվերն են.
: <math>\frac{q}{b^m} = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{m} c_k b^{-k},</math>

որտեղ <math>(a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0)_b</math> и <math>(c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b</math> ներկայացնում են <math>b</math>-ական գրառումները համապատասխանաբար [[Մնացորդով բաժանում|քանորդի և բաժանման մնացորդի]]  <math>q</math>-ն  <math>b^m</math>-ի։

Ռացիոնալ թվերը, որոնք չեն կարող ներկայացվել <math>\frac{q}{b^m}</math> տեսքով, գրվում են որպես [[պարբերական կոտորակ]]ներ։

=== Սիմետրիկ հաշվարկման համակարգ ===
'' 'Սիմետրիկ (հավասարակշռված, դիրքային) հաշվարկման համակարգերը' '' տարբերվում են նրանով, որ օգտագործում են թվեր ոչ թե <math>\{0, 1, \ldots, b-1\}</math>, բազմանդամներից, այլ<math>\left\{0-\left(\tfrac{b-1}{2}\right),1 -\left(\tfrac{b-1}{2}\right), \ldots,(b-1)-\left(\tfrac{b-1}{2}\right)\right\}</math> բազմանդամներից։  Որպեսզի թվերը լինեն ամբողջ, պետք է  <math>b</math>- ն լինի կենտ։ Սիմետրիկ հաշվարկման համակարգերում չի պահանջում թվի նշանի լրացուցիչ նշանակումներ<ref>{{գիրք|հեղինակ=Ս.Բ.Գաշկով|заглавие=Թվային համակարգերը և դրանց կիրառումը |սերիա=[[Գրադարան «Մաթեմատիկական կրթություն»]] |թողարկում=29 |թիվ=2004 |isbn=5-94057-146-8 |էջ=52 |ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php#book-29 }} {{Cite web |title=Արխիվացված պատճենը |url=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php |archive-url=https://web.archive.org/web/20140112045039/http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php |archive-date=2014 թ․ հունվարի 12 |accessdate=2020 թ․ հուլիսի 11}}</ref>։ Բացի այդ, սիմետրիկ համակարգերում հաշվարկներն ավելի հարմար են, քանի որ դրանք չեն պահանջում հատուկ կլորացման կանոններ- դա տանում է պարզապես լրացուցիչ դիրքերի հեռացման, ինչը կտրուկ նվազեցնում է հաշվարկման համակարգված սխալները։

Առավել հաճախ օգտագործվող սիմետրիկ [[Հաշվարկման երեքական համակարգ]] <math>\{-1,0,1\}</math> թվերով։ Այն օգտագործվում է [[Երեքական լոգիկա]]յում և տեխնիկապես իրականացվել է «[[Сетунь (համակարգիչ)|Сетунь]]» համակարգչային մեքենայում։

=== Բացասական հիմքեր ===
Կան դիրքավորման համակարգեր, որոնք ունեն բացասական հիմքեր, որոնք կոչվում են [[Բացասական հիմքով դիրքային հաշվարկման համակարգ]]։

* '''-2''' — [[բացասական հիմքով-երկուական հաշվարկման համակարգան]]
* '''-3''' — բացասական հիմքով երեքական հաշվարկման համակարգան
* '''-10''' — բացասական հիմքով-տասական հաշվարկման համակարգան

=== Ոչ ամբողջ թվային հիմքեր ===
Երբեմն դիտարկվում են նաև դիրքային հաշվարկման համակարգերը ոչ ամբողջ թվային հիմքերով. [[Ռացիոնալ թիվ|ռացիոնալ]], [[Իռացիոնալ թիվ|իռացիոնալ]], [[Տրանսցենդենտ թվեր|տրանսցենդենտ]]։

Նման հաշվարկման համակարգերի օրինակներն են հանդիսանում.
* եթե ''b'' = ⅓ - ռացիոնալ կոտորակային հիմքով հաշվարկման համակարգ, որը թույլ է տալիս եռյակ հակադարձելի [[Ռեգիստր (այլ կիրառումներ)|ռեգիստրի]] առանցքների վրա կատարել բազմապատկում և բաժանում ամբողջ թվերով։
* եթե ''b'' = ½ - հաշվարկման համակարգ ռացիոնալ կոտորակային հիմքերով։
* եթե '' b '' = [[Ոսկե հատում|φ = 1.61 ...]] [[Ժորժ Բերգման|Բերգման]]ի իռացիոնալ հիմքով հաշվարկման համակարգն է, որը հավասար է «[[Ոսկե հատում|ոսկե հատ]]մանը»<ref>Ա. Վ. Նիկիտին [http://andrejnikitin.narod.ru/matematika2.htm Բերգմանի համակարգ].</ref>

=== Կոմպլեքս հիմքեր ===
Դիրքային հաշվարկման համակարգի հիմքերը կարող են լինել նաև [[Կոմպլեքս թիվ|կոմպլեքս]]<ref name="Khmelnik1">{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s4.zip |автор=Խմելնիկ Ս.Ի. |заглавие=Специализированная ЦВМ для операций с комплексными числами |год=1964 |издание=Ռադիոէլեկտրոնիկայի հարցեր |выпуск=2 |հատոր=XII}}{{Недоступная ссылка|date=Май 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref><ref name="Knuth">{{Ռուսերեն հոդված |автор=Knuth D. E. |заглавие=An Imaginary Number System |год=1960 |издание=Communication of the ACM |том=3 |номер=4 |страницы=245—247 |doi=10.1145/367177.367233}}</ref> թվեր։
Դրա հետ մեկտեղ թվերը ունեն [[Վերջավոր բազմություն|վերջավոր բազմության]] որոշակի իմաստ, որոնք  բավարարում են այն պայմաններին, որոնք թույլ են տալիս կատարել թվաբանական գործողություններ ուղղակիորեն հենց այդ հաշվարկման համակարգերի թվերով։
Մասնավորապես` կոմպլեքս հիմքով դիրքային հաշվարկման համակարգում կարելի է առանձնացնել երկուական, որոնցում օգտագործվում են ընդամենը երկու թիվ` 0 և 1։

;Օրինակներ`
Այսուհետ դիրքային հաշվարկման համակարգը կգրենք հետևյալ կերպ` <math>\langle \rho,A \rangle</math>,որտեղ <math>\rho</math> -հաշվարկման համակարգի հիմքն է, իսկ ''A'' -թվերի բազմությունը։ Մասնավորապես ''A'' բազմությունը կարող է ունենալ հետևյալ տեսքը

* <math>B_R = \{ 0, 1, 2,\dots, R-1 \},</math>
* <math>D_R = \{-r_1,-r_1+1,\dots, -1,0,1,\dots,r_2-1,r_2 \},</math> որտեղ <math>r_1, r_2\geq 0</math> և <math>R =r_1+r_2+1</math>. եթե <math>r_1=0</math> բազմությունը <math>D_R</math> վերածվում է <math>B_R</math> բազմության։

Կոմպլեքս հիմքով հաշվարկման համակարգի օրինակներ հանդիսանում են (հետագայում ''j'' — [[Կեղծ միավոր]])։

* <math>\langle \rho=j\sqrt{R},B_R \rangle.</math><ref name="Knuth"/>
** Օրինակ։ <math>\langle \rho=\pm j\sqrt{2},\{0,1\} \rangle;</math>
* <math>\langle \rho=\sqrt{2}e^{\pm j \pi / 2},B_2 \rangle.</math><ref name="Khmelnik1"/>
** Օրինակ։ <math>\langle \rho=-1\pm j,\{0,1\} \rangle;</math>
* <math>\langle \rho=2e^{j \pi / 3}, \{0,1,e^{2j \pi / 3},e^{-2j \pi / 3}\} \rangle;</math><ref name="Khmelnik2"/>
* <math>\langle \rho=\sqrt{R},B_R \rangle,</math> որտեղ <math>\varphi=\pm \arccos{(-\beta/2\sqrt{R})}</math>, <math>\beta<\min\{ R, 2\sqrt{R}\}</math> — ամբողջ դրական թիվ է, որը կարող է ունենալ մի քանի նշանակություն տրված ''R'' համար;<ref name="Khmelnik3">{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s5.zip |автор=Խմելնիկ Ս.Ի. |заглавие=Կոմպլեքս թվերի դիրքային կոդավորում |издание=Ռադիոէլեկտրոնիկայի  հարցեր |թիվ=1966 |թողարկում=9 |հատոր=XII}}{{Недоступная ссылка|date=Май 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>
* <math>\langle\rho=-R, A_R^2 \rangle,</math> որտեղ բազմությունը <math>A_R^2</math> կազմված է կոմպլեքս թվերից <math>r_m=\alpha_m^1 + j\alpha_m^2</math> տեսքի, իսկ թիվը <math>\alpha_m \in B_R.</math> Օրինակ։ <math>\langle -2, \{0,1,j,1+j\} \rangle;</math><ref name="Khmelnik2">{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://www.lulu.com/content/94846 |автор=Խմելնիկ Ս.Ի. |заглавие=Կոմպլեքս թվերի և վեկտորների կոդավորում |издание=Mathematics in Computers |место=Իզրաել |isbn=978-0-557-74692-7 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080617202512/http://www.lulu.com/content/94846 |archive-date=2008-06-17 |թիվ=2004}}</ref>
* <math>\langle \rho=\rho_2^{ },\{0,1\} \rangle,</math> որտեղ <math>\rho_2=\begin{cases}(-2)^{1/2} & \mbox{if}\ m\ \mbox{even},\\ j(-2)^{(m-1)/2m} & \mbox{if}\ m\ \mbox{odd}.\end{cases}</math> .<ref name="Khmelnik4">{{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://worldwide.espacenet.com/publicationDetails/biblio?DB=EPODOC&adjacent=true&locale=en_EP&FT=D&date=20030814&CC=US&NR=2003154226A1&KC=A1 |автор=Խմելնիկ Ս.Ի |заглавие=Method and system for processing complex numbers |год=2001 |издание=Patent USA, US2003154226 (A1) |archive-date=2023-01-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230109170033/https://worldwide.espacenet.com/publicationDetails/biblio?DB=EPODOC&adjacent=true&locale=en_EP&FT=D&date=20030814&CC=US&NR=2003154226A1&KC=A1 }}</ref>

; Երկուական կոմպլեքս հաշվարկման համակարգ

Ներքևում թվարկված են հիմքերը երկուական դիրքային հաշվարկման համակարգի և թվարկված 2, −2 և −1 թվերը նրանցում։

* <math>\rho=2</math>: <math>2=(10)_{\rho}</math> (Բնական հիմքով հաշվարկման համակարգ);
* <math>\rho=-2</math>: <math>2=(110)_{\rho}</math>, <math>-2=(10)_{\rho}</math>, <math>-1=11_{\rho}</math> (Բացասական հիմքով դիրքային հաշվարկման համակարգ);
* <math>\rho=-\rho_2</math>: <math>2=(10100)_{\rho}</math>, <math>-2=(100)_{\rho}</math>, <math>-1=101_{\rho}</math> (Կոմպլեքս հիմքով հաշվարկման համակարգ);
* <math>\rho=j\sqrt{2}</math>: <math>2=(10100)_{\rho}</math>, <math>-2=(100)_{\rho}</math>, <math>-1=(101)_{\rho}</math> (Կոմպլեքս հիմքով հաշվարկման համակարգ);
* <math>\rho=-1+j</math>: <math>2=(1100)_{\rho}</math>, <math>-2=(11100)_{\rho}</math>, <math>-1=(11101)_{\rho}</math> (Կոմպլեքս հիմքով հաշվարկման համակարգ);
* <math>\rho=\frac{-1+j\sqrt{7}}2</math>: <math>2=(1010)_{\rho}</math>, <math>-2=(110)_{\rho}</math>, <math>-1=(111)_{\rho}</math> (Կոմպլեքս հիմքով հաշվարկման համակարգ

=== Ոչ ցուցչային ֆունկցիայի հաշվարկման համակարգ ===
Մասնավոր դեպքում [[Ցուցչային ֆունկցիա|ցուցչային]] հաշվարկման համակարգ հանդիսանում են դիրքային հաշվարկման համակարգերը [[Ցուցչային ֆունկցիա|ցուցչային կախվածութ]]յամբ։ Ցուցչային կախվածության փոխարեն կարող են լինել նաև ուրիշ կախվածություններ։ Օրինակ`[[Օպերատոր (մաթեմատիկա)|հիպերօպերատոր]] հաշվարկման համակարգը <br />
:<math>{\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a \uparrow\uparrow b = \atop {\ }} \quad {\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}  \atop {b\mbox{ times}}} \quad {=a\to b\to 2 \atop {\ } }</math>
թույլ է տալիս գրել մեծ դիապազոնային թվերը նույն թվի նշանով։

== Արտաքին հղումներ ==
* {{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1970/06/sistemy_schisleniya.htm |автор=Ի. Յագլոմ |заглавие=Հաշվարկման համակարգ |год=1970 |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=6 |էջ=2—10}}
* {{Ռուսերեն գիրք |заглавие=Введение в информатику. Լաբորատոր աշխատանքներ |ответственный=Հեղինակ Ա. Պ. Շեստակով |год=1999 |часть=Դիրքային հաշվարկման համակարգ։ Մի դիրքային համակարգից թվերի փոխանցումը այլ համակարգ:Թվաբանական գործողություններ դիրքային հաշվարկման համակարգի թվերով |ссылка часть=http://comp-science.narod.ru/Progr/Syst_Sch.html |место=Պերմ |издательство=Պերմ}}
* {{Ռուսերեն գիրք |автор=Պասպելով Դ. Ա. |заглавие=Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия |издание=Բարձրագույն դպրոց |թիվ=1970}}

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

{{Մաթեմատիկա–ներքև}}

[[Կատեգորիա:Թվեր]]
[[Կատեգորիա:Թվերի տեսություն]]
[[Կատեգորիա:Հաշվարկման համակարգեր]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]