Դիտել Մաթեմատիկա էջի վիքիկոդը

{{Աուդիո հոդված|Hy-Մաթեմատիկա (Mathematics).ogg|հունիսի 20, 2019|6377120}}
[[Պատկեր:Euclid.jpg|մինի |[[Մ.թ.ա. III դար]]ի հույն մաթեմատիկոս [[Էվկլիդես]]ը [[Ռաֆայել]]ի [[Աթենական դպրոց (Ռաֆայել)|«Աթենական դպրոց»]] նկարում<ref group="Ն">Էվկլիդեսի արտաքինի մասին տեղեկություններ չեն պահպանվել, ուստի նկարում Էվկլիդեսի արտաքինը կախված է նկարչի երևակայությունից։ (''տես [[Էվկլիդես]]'')։</ref>։]]
'''Մաթեմատիկա''' ({{lang-grc|μάθημα}}՝ գիտություն, ուսումնասիրություն բառից, հայերեն անվանումն է՝ '''Ուսողություն'''<ref>{{Cite web |title=Ժամանակակից հայոց լեզվի բացատրական բառարան, Հրաչյա Աճառյանի Անվան Լեզվի Ինստիտուտ - ուսողություն |url=http://www.nayiri.com/imagedDictionaryBrowser.jsp?dictionaryId=29&query=%D5%B8%D6%82%D5%BD%D5%B8%D5%B2%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6 |access-date=2024 թ․ հունիսի 16 |website=www.nayiri.com}}</ref>), [[գիտություն]] [[Կառուցվածք (մաթեմատիկա)|կառուցվածքների]], [[հաջորդականություն]]ների և [[հարաբերություն]]ների մասին։ Պատմականորեն ձևավորվել և զարգացել է իրական առարկաները [[հաշիվ|հաշվելու]], դրանք [[չափում|չափելու]] և դրանց ձևերը նկարագրելու [[գործողություն]]ների հիման վրա<ref>{{Cite news |title=mathematics {{!}} Definition & History |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/369194/mathematics |access-date=2018 թ․ նոյեմբերի 19 |newspaper=Encyclopedia Britannica |language=en}}</ref>։

Մաթեմատիկական օբյեկտներն ստեղծվում են իրական կամ այլ մաթեմատիկական օբյեկտների հատկություններն իդեալականացնելու և հատուկ լեզվով դրանք գրառելու ճանապարհով։ Մաթեմատիկան [[բնական գիտություններ]]ի շարքին չի դասվում, սակայն լայնորեն կիրառվում է այդ գիտություններում՝ ինչպե՛ս ճշգրիտ բովանդակություն ներկայացնելու, այնպե՛ս էլ նոր արդյունք ստանալու համար<ref>{{Cite web |title=Webster’s Online Dictionary |url=http://www.websters-online-dictionary.org/definitions/mathematics?cx=partner-pub-0939450753529744%3Av0qd01-tdlq&cof=FORID%3A9&ie=UTF-8&q=mathematics&sa=Search#922 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20131029190340/http://www.websters-online-dictionary.org/definitions/mathematics?cx=partner-pub-0939450753529744%3Av0qd01-tdlq&cof=FORID%3A9&ie=UTF-8&q=mathematics&sa=Search#922 |archive-date=2013 թ․ հոկտեմբերի 29 |accessdate=2013 թ․ հունվարի 5}}</ref>։ Մաթեմատիկան հիմնարար գիտություն է, որի միջոցով այլ գիտություններում բովանդակությունը ներկայացվում է մեկ միասնական լեզվով՝ այդ կերպ օգնելով գիտության տարբեր ճյուղերին ընդհանուր օրենքները գտնելու հարցում։

Մաթեմատիկոսները [[նմուշներ]] են որոնում և դրանք օգտագործում նոր [[վարկած]]ներ ձևակերպելու համար։ Մաթեմատիկոսները ենթադրության ճիշտ կամ սխալ լինելը որոշում են [[մաթեմատիկական ապացույց]]ի միջոցով։ Երբ մաթեմատիկական կառուցվածքներն իրական երևույթների հաջողված մոդելներ են, մաթեմատիկական դիտարկումները կարող են ապահովել բնության վերաբերյալ պատկերացումները և կանխատեսումները։ Աբստրակցիայի և տրամաբանության օգնությամբ մաթեմատիկան զարգացել է հաշվարկներից, չափումներից և ուրվագծերի և ֆիզիկական օբյեկտների շարժումների համակարգված ուսումնասիրությունից։ Պրակտիկ մաթեմատիկան մարդկային գործունեություն էր դեռևս գրառումների ժամանակներից։ Մաթեմատիկական խնդիրների լուծումները գտնելու տևողությունը կարող է տարիներ և նույնիսկ դարեր պահանջել։

Խիստ փաստարկներ առաջին անգամ հայտնվել են հունական մաթեմատիկայում, հատկապես [[Էվկլիդես]]ի «''Տարրեր''» աշխատությունում։ [[Ջուզեպե Պեանո]]յի (1858-1932), [[Դավիդ Հիլբերտ]]ի (1862-1943) և այլոց կողմից մաթեմատիկայի հիմունքների ստեղծումից ի վեր մաթեմատիկական հետազոտությունը դիտարկվում է որպես համապատասխանաբար ընտրված աքսիոմներից և սահմանումներից խիստ դեդուկցիայով դուրս բերված ճշմարտություն։ Մինչև [[Վերածնունդ]] մաթեմատիկան զարգացել է դանդաղ, այնուհետ նորարարական գիտական հայտնագործությունները բերել են մաթեմատիկական հայտնագործությունների արագ աճին, ինչը շարունակվում է մինչ օրս<ref>Eves, p. 306</ref>։

[[Գալիլեո Գալիլեյ]]ը (1564-1642) ասել է. «Տիեզերքը հնարավոր չէ կարդալ, քանի դեռ մենք չենք սովորել լեզուն և չենք ծանոթացել սիմվոլներին, որոնցով դրանք գրված են։ Այն գրված է մաթեմատիկական լեզվով, իսկ տառերն այն եռանկյունները, շրջանները և երկրաչափական այլ պատկերներն են, առանց որոնց անհնար է հասկանալ մի բառ։ Առանց դրանց՝ մարդը խճճվում է մութ լաբիրինթոսում»<ref>[[Marcus du Sautoy]], ''[http://www.bbc.co.uk/programmes/b00sr3fm A Brief History of Mathematics: 1. Newton and Leibniz] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121206092629/http://www.bbc.co.uk/programmes/b00sr3fm|date=December 6, 2012}}'', [[BBC Radio 4]], September 27, 2010.</ref>։ [[Կառլ Գաուս]]ը (1777–1855) մաթեմատիկային անդրադարձել է որպես «Գիտությունների թագուհի»<ref name="Waltershausen">Waltershausen, p. 79</ref>։ Բենիամին Փիրսը (1809-1880) մաթեմատիկան անվանել է «գիտություն, որն անհրաժեշտ եզրահանգումներ է անում»<ref>Peirce, p. 97.</ref>։ Դավիդ Հիլբերտը մաթեմատիկայի մասին ասել է. «Մենք այստեղ չենք խոսում որևէ իմաստով կամայականությունների մասին։ Մաթեմատիկան կամայականորեն սահմանված կանոններով խաղ չէ։ Այն ավելի շուտ ներքին կոնցեպտուալ համակարգ է, որը կարող է լինել միայն այդպիսին և ոչ այլ կերպ»<ref>Hilbert, D. (1919–20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), p. 14, Basel, Birkhäuser (1992).</ref>։ [[Ալբերտ Այնշտայն]]ը (1879-1955) հայտարարել է. «Քանի որ մաթեմատիկայի օրենքները վերաբերում են իրականությանը, դրանք չեն կարող ճշգրիտ լինել, և քանի որ դրանք որոշակի են, դրանք չեն կարող վերաբերել իրականությանը»<ref name=certain/>։

Մաթեմատիկան անհրաժեշտ է բազմաթիվ բնագավառներում՝ ներառյալ [[բնագիտություն]]ը, ճարտարագիտությունը, բժշկությունը, ֆինանսները և [[հասարակագիտություն]]ը։ [[Կիրառական մաթեմատիկա]]ն կատարելապես նոր ուղղությունների հիմք դրեց, ինչպիսիք են վիճակագրությունն ու [[խաղերի տեսություն]]ը։ Մաթեմատիկոսները ներգրավված են նաև [[մաքուր մաթեմատիկա]]յում (մաթեմատիկան հենց մաթեմատիկայի համար)` առանց որևէ կիրառության։ Մաքուր մաթեմատիկան կիրառական մաթեմատիկայից առանձնացնող հստակ սահման չկա, հաճախ հանդիպում են կիրառություններ, որոնք սկսվել են որպես մաքուր մաթեմատիկա<ref>Peterson, p. 12</ref>։

== Պատմություն ==
{{main|Մաթեմատիկայի պատմություն}}
Մաթեմատիկայի պատմությունը կարելի է դիտել որպես մշտապես աճող [[աբստրակցիա]]ների շարք։ Առաջին աբստրակցիան, որ հավանաբար թվերի մեջ էր<ref>{{Cite journal |last1=Dehaene |first1=Stanislas |last2=Dehaene-Lambertz |first2=Ghislaine |last3=Cohen |first3=Laurent |date=1998 թ․ օգոստոս |title=Abstract representations of numbers in the animal and human brain |url=https://archive.org/details/sim_trends-in-neurosciences_1998-08_21_8/page/355 |journal=Trends in Neurosciences |volume=21 |issue=8 |pages=355–61 |doi=10.1016/S0166-2236(98)01263-6 |pmid=9720604| issn=0166-2236 }}</ref>, որ երկու խնձորների հավաքածուն և երկու նարինջների հավաքածուն (օրինակ) ընդհանուր ինչ որ բան ունեն, մասնավորապես տարրերի քանակը։
[[Պատկեր:Kapitolinischer Pythagoras adjusted.jpg|thumb|ձախից|230px|Հույն մաթեմատիկոս [[Պյութագորաս]] ({{nowrap|մ․թ․ա․ 570 –}} {{nowrap|մ․թ․ա․ 495}}), հանրահայտ [[Պյութագորասի թեորեմ]]ի հայտնագործմամբ ]]
[[Պատկեր:maya.svg|thumb|աջից|230px|[[Մայայի թվանշաններ]]]]
Ինչպես վկայում են ոսկորների վրայի նշանները, նախապատմական մարդիկ ֆիզիկական օբյեկտները հաշվելու հետ մեկտեղ, կարողանում էին նաև հաշվել աբստրակտ թվերը՝ ինչպես ժամեր&nbsp;– օրեր, եղանակներ, տարիներ.<ref>See, for example, Raymond L. Wilder, ''Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study'', ''passim''</ref>

Ավելի բարդ մաթեմատիկայի օգտագործման ապացույցներ չեն հայտնաբերվել մինչ 3000&nbsp;[[մ․թ․ա․|մ․ թ․ ա․]], երբ [[Բաբելոնի թագավորություն|բաբելոնացիները]] և եգիպտացիները հարկման և այլ ֆինանսական հաշվարկների, շենքերի և շինարարության, ինչպես նաև [[Աստղագիտություն|աստղագիտության]] համար սկսեցին օգտագործել [[թվաբանություն]], [[հանրահաշիվ]] և [[երկրաչափություն]]<ref>Kline 1990, Chapter 1.</ref>։ Մաթեմատիկան ամենից վաղ օգտագործում էին առևտրի, [[հողաչափումներ]]ի, նկարչության և [[տեքստիլ]] ձևերի մեջ։

[[Բաբելոնյան մաթեմատիկա]]յում, [[տարրական մաթեմատիկա]]ն ([[գումարում]], [[հանում]], [[բազմապատկում]] և [[բաժանում (մաթեմատիկա)|բաժանում]]) առաջինը հայտնաբերվել է հնագիտական գրվածքներում։ [[Թվեր]]ը, որ նախորդել էին գրերին և [[թվային համակարգ]]երին շատ էին և բազմազան, առաջին հայտնի գրավոր թվերը ստեղծվել էին [[Հին Եգիպտոս|եգիպտացիներ]]ի կողմից, Միջին դարերի Եգիպտոսի այդպիսի տեքստերից է [[մաթեմատիկական պապիրուսներ]]ը։

Մ․ թ․ ա․ 600 և 300&nbsp; [[Հին հույներ]]ը սկսել էին մաթեմատիկայի համակարգված ուսումնասիրություն իրենց իսկ՝ [[Հունական մաթեմատիկա]]յով<ref>"''[https://books.google.am/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA1&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140108012454/http://books.google.am/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA1&dq&hl=en |date=January 8, 2014 }}''". Thomas Little Heath (1981). {{isbn|0-486-24073-8}}</ref>։
[[Պատկեր:Persian Khwarazmi.jpg|thumb|աջից|230px|Պարսիկ մաթեմատիկոս [[Ալ-Խորեզմի]] ({{nowrap|c. 780 – c.&nbsp;850}}),  [[հանրահաշիվ]] հայտնագործողը։]]
[[Իսլամի Ոսկե դար]]ի ընթացքում, հատկապես 9-րդ և 10-րդ&nbsp;դարերում, մաթեմատիկայում հունական մաթեմատիկայի վրա հիմնված բազում կարևոր հայտնագործություններ կատարվեցին․ դրանց մեծ մասը կատարվեցին պարսիկ մաթեմատիկոսների՝ [[Ալ-Խորեզմի]]ի, [[Օմար Խայամ]]ի և [[Շարաֆ Ալ-Տուսի]]ի կողմից։

Այդ ժամանակներից ի վեր մաթեմատիկան մեծապես ընդլայնվել է, և մաթեմատիկայի և գիտության միջև պտղաբեր համագործակցություն է հաստատվել, ի օգուտ երկուսի։ Մաթեմատիկական հայտնագործությունները շարունակվում են և այսօր։ Ըստ Միխայել Սևրյուկի (''[[Ամերիկյան Մաթեմատիկական Հանրության Տեղեկագիր|Ամերիկյան Մաթեմատիկական Հանրության Տեղեկագրում]]'' հունվարի&nbsp;2006), "''[[Mathematical Reviews]]'' տվյալների բազայում 1940 թվականից ի վեր (ՄՏ-ի առաջին տպագրությունից) գրսնցվսծ հոդվածների և գրքերի քանակը գերազանցում է 1.9&nbsp;միլիոն, և ավելի քան 75&nbsp;հազար ավելանում է ամեն տարի։ Այս օվկիանոսի աշխատանքների գերակշիռ մասը նոր մաթեմատիկական թեորեմներ են և դրանց ապացույցները"։{{sfn|Sevryuk|2006|pp=101–09}}

== Ծագումնաբանություն ==
''Մաթեմատիկա'' բառը սկիզբ է առնում [[հին հունարեն]] μάθημα (''máthēma'') բառից, որ նշանակաում է "այն, ինչ սերտած է"<ref>{{Cite web |title=mathematic |url=http://www.etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130307093926/http://etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0 |archivedate=2013 թ․ մարտի 7 |publisher=[[Online Etymology Dictionary]] |df=mdy-all}}</ref>, "այն, ինչ պետք է իմանալ", հետևաբար նաև "ուսում" և "գիտություն", և ժամանակակից հունարենով պարզապես "դաս"։ ''máthēma'' բառը ծագում է μανθάνω (''manthano''), ժամանակակից հունարենով՝ μαθαίνω (''mathaino'') բառից, երկուսն էլ նշանակում են "սովորել"։ Հունաստանում "մաթեմատիկա" բառն ավելի նեղ տեխնիկական "մաթեմատիկական ուսումնասիրություն" իմաստն ունի և ուներ նույնիսկ Դասական ժամանակաշրջանում<ref>Both senses can be found in Plato. {{LSJ|maqhmatiko/s|μαθηματική|ref}}</ref>։ Դրա ածականը՝ {{lang|grc|μαθηματικός}} (''mathēmatikós'') բառը, ունի "ուսմանը վերաբերող" կամ "աշխատասեր" իմաստները. այն հետագայում նաև "մաթեմատիկական" իմաստը ստացավ։ Մասնավորապես, {{lang|grc|μαθηματικὴ τέχνη}} (''mathēmatikḗ tékhnē''), {{lang-la|ars mathematica}}, նշանակում է "մաթարվեստ":

Նմանապես, մտքի երկու գլխավոր դպրոցներից մեկը՝ [[Պյութագորասականություն]], հայտնի էր որպես ''mathēmatikoi'' (μαθηματικοί), որ ավելի շուտ նշանակում է "ուսուցիչներ", քան "մաթեմատիկոսներ" ժամանակակից իմաստով։

Լատիներենում և անգլերենում մինչ 1700-ականները ''մաթեմատիկա'' տերմինը ավելի շուտ "աստղագիտություն" էր նշանակում, քան "մաթեմատիկա". իմաստն աստիճանաբար փոխվեց ներկայիս նշանակությանը մոտավորապես 1500-ից 1800-ականներին։ Սա հանգեցրեց մի քանի սխալ թարգմանությունների․ վառ օրինակ է [[Ավրելիոս Օգոստինիոս|Սուրբ Օգոստինիոսի]]` աստղագետներին ուղղված տխրահռչակ նախազգուշացումը, որ քրիստոնjաները պետք է հեռու մնան ''մաթեմատիկայից'', նկատի ունենալով աստղագիտությունը, որը սխալմամբ հասկացվել էր որպես մաթեմատիկոսների դատապարտում<ref name="Boas">{{Cite book |author=Boas, Ralph |title=Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories by the Late Ralph P. Boas, Jr. |publisher=Cambridge University Press |year=1995 |pages=257 |chapter=What Augustine Didn't Say About Mathematicians |chapter-url=https://books.google.am/books?id=f-EWj5WtQHgC&pg=PA257 |authorlink=Ralph P. Boas Jr. |orig-year=1991}}</ref>։

== Մաթեմատիկայի սահմանում ==
[[Պատկեր:Fibonacci.jpg|thumb|աջից|230px|[[Ֆիբոնաչի|Լեոնարդո Ֆիբոնաչի]], իտալացի մաթեմատիկոս, ով 1-ին և 4-րդ&nbsp; դարերում հնդիկ մաթեմատիկոսների հորինած [[Արաբական թվային համակարգ]]ը ներկայացրեց Արևմուտքին։]]
[[Արիստոտել]]ը մաթեմատիկան սահմանում էր որպես «քանակի գիտություն», և այս սահմանումը գերակշռում էր մինչ 18-րդ դարը<ref name=Franklin>James Franklin, "Aristotelian Realism" in ''Philosophy of Mathematics'', ed. A.D. Irvine, [https://books.google.am/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104#v=onepage&q&f=false p. 104] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150906134402/https://books.google.am/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104 |date=September 6, 2015 }}. Elsevier (2009).</ref>։ 19-րդ&nbsp;դարից սկսած, երբ մաթեմատիկայի ուսումնասիրությունը խիստ աճեց և սկսեց վերաբերել այնպիսի աբստրակտ թեմաների, ինչպես [[խմբերի տեսություն]]ը և [[պրոյեկտիվ երկրաչափություն]]ն են, որոնք քանակի և չափման հետ հստակ առնչություն չունեն, մաթեմատիկոսներն ու փիլիսոփաները սկսեցին բազում նոր սահմանումներ առաջարկել<ref name="Cajori">{{Cite book |author=Cajori, Florian |title=A History of Mathematics |publisher=American Mathematical Society (1991 reprint) |year=1893 |isbn=0-8218-2102-4 |pages=[https://books.google.am/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=PA285 285–86] |authorlink=Florian Cajori}}</ref>։ Այս սահմանումներից որոշները ընդգծում են մաթեմատիկայի դեդուկտիվ բնույթը, որոշները՝ վերացականությունը, որոշներն էլ ընդգծում են մաթեմատիկայի կոնկրետ թեմաներ։ Այսօր նույնիսկ մաթեմատիկոսների շրջանակում մաթեմատիկայի սահմանման միասնական կարծիք գոյություն չունի<ref name="Mura">{{Cite journal |author=Mura, Roberta |date=1993 թ․ դեկտեմբեր |title=Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences |journal=Educational Studies in Mathematics |volume=25 |issue=4 |pages=[https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01273907 375–385] |doi=10.1007/BF01273907 |jstor=3482762}}</ref>։ Նույնիսկ միասնական կարծիք չկա՝ մաթեմատիկան արդյոք արվեստ է, թե գիտություն<ref name="Runge">{{Cite book |author1=Tobies, Renate |title=[[Iris Runge]]: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry |author2=Helmut Neunzert |publisher=Springer |year=2012 |isbn=3-0348-0229-3 |page=[https://books.google.am/books?id=EDm0eQqFUQ4C&pg=PA9 9] |quote=[I]t is first necessary to ask what is meant by ''mathematics'' in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form. |name-list-style=yes}}</ref>։ Շատ պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսներ հետաքրքրված չեն մաթեմատիկայի սահմանմամբ կամ համարում են, որ անհնար է այն սահմանել<ref name=Mura/>։ Ոմանք պարզապես ասում են․ «Մաթեմատիկան այն է, ինչ մաթեմատիկոսներն անում են<ref name=Mura/>։»
Մաթեմատիկայի սահմանման երեք առաջատար տեսակներն են՝ [[լոգիցիզմ]], [[ինտուիցիոնիզմ]] և [[Ֆորմալիզմ (մաթեմատիկա)|ֆորմալիզմ]], որոնցից յուրաքանչյուրը պատկանում է փիլիսոփայական մտածողության տարբեր դպրոցների<ref name=Snapper>{{Cite journal |last=Snapper |first=Ernst |date=1979 թ․ սեպտեմբեր |title=The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism |journal=Mathematics Magazine |volume=52 |issue=4 |pages=207–16 |doi=10.2307/2689412 |jstor=2689412 |postscript=.}}</ref>։ Երեքն էլ լուրջ խնդիրներ ունեն, ոչ մեկը լայն տարածում չի ստացել, և հաշտեցումը թվում է անհնար<ref name=Snapper/>։

Մաթեմատիկայի վաղ սահմանումը տրամաբանական տերմիններով տրվել է [[Բենջամին Պերս]]ի «Գիտություն, որ անհրաժեշտ եզրակացություններ է անում» գրքում (1870)<ref name="Peirce">{{Cite book |author=Peirce, Benjamin |url=https://books.google.am/books?id=De0GAAAAYAAJ&pg=PA1#v=onepage&q&f=false |title=Linear Associative Algebra |year=1882 |page=1 |url-status=live |df=mdy-all |archivedate=2015 թ․ սեպտեմբերի 6 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150906135700/https://books.google.am/books?id=De0GAAAAYAAJ&pg=PA1#v=onepage&q&f=false |authorlink=Benjamin Peirce}}</ref>։ [[Բերտրան Ռասել]]ը և [[Ալֆրեդ Նորթ Ուայտհեդ]]ը ''[[Principia Mathematica]]'' աշխատությունում առաջադրեցին փիլիսոփայական ծրագիր, հայտնի որպես [[լոգիցիզմ]], և փորձեցին ապացուցել, որ մաթեմատիկական բոլոր հասկացությունները, պնդումները և սկզբունքները կարող են սահմանվել և ապացուցվել [[ձևական տրամաբանություն|ձևական տրամաբանության]] տերմիններով։ Մաթեմատիկայի տրամաբանական սահմանումը Ռասելինն է․ «Ողջ Մաթեմատիկան ձևական տրամաբանություն է» (1903)<ref name="Russell">Bertrand Russell, ''The Principles of Mathematics,'' [https://books.google.am/books?id=kj0a_aV2mxIC&pg=PA5#v=onepage&q&f=false p. 5] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150906132941/https://books.google.am/books?id=kj0a_aV2mxIC&pg=PA5 |date=September 6, 2015 }}. University Press, Cambridge (1903)</ref>։

Մաթեմատիկայի ինտուիցիոնիստական սահմանումը զարգացել էր հոլանդացի մաթեմատիկոս [[Լ.Ե.Ջ. Բրաուեր]]ի փիլիսոփայությունից, ով մաթեմատիկան նույնացնում էր որոշակի մտավոր ֆենոմենի հետ։ Ինտուիցիոնիստական սահմանման օրինակ է՝ «Մաթեմատիկան մտավոր գործունեություն է, որ բաղկացած է մեկը մյուսին հաջորդող գործողությունների շարքից»<ref name="Snapper" />։ Ինտուիցիոնիզմի առանձնահատկությունն այն է, որ այն մերժում է որոշակի մաթեմատիկական գաղափարներ, որոնք ըստ այլ սահմանումների համարվում են վավեր։ Մասնավորապես, երբ այլ մաթեմատիկական փիլիսոփայություններ թույլ են տալիս ապացուցվող օբյեկտներին գոյություն ունենալ, նույնիսկ եթե դրանք չեն կարող կառուցվել, ինտուիցիոնիզմը միայն թույլատրում է մաթեմատիկական օբյեկտներ, որոնք հնարավոր է կառուցել։

Մաթեմատիկայի ֆորմալիստական սահմանումները այն ներկայացնում են սիմվոլներով և գործողություններ կատարելու կանոններով։ [[Հասկել Կարի]]ն մաթեմատիկան սահմանել էր պարզ՝ որպես «ֆորմալ համակարգերի գիտություն»<ref name="Curry">{{Cite book |author=Curry, Haskell |title=Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics |publisher=Elsevier |year=1951 |isbn=0-444-53368-0 |page=[https://books.google.am/books?id=tZHrBQgp1bkC 56] |authorlink=Haskell Curry}}</ref>։ [[Ֆորմալ համակարգ]]ը սիմվոլների կամ ''տողերի'' և տողերից բանաձևեր կազմելու որոշ ''կանոնների'' բազմություն է։ Ֆորմալ համակարգերում ''աքսիոմ'' բառը հատուկ իմաստ ունի, որը տարբեր է «ինքնին ակնհայտ ճշմարտություն» սովորական իմաստից։ Ֆորմալ համակարգերում աքսիոմը տվյալ համակարգում ներառված տողերի կոմբինացիա է՝ առանց համակարգի կանոնների օգտագործման անհրաժեշտության։

=== Մաթեմատիկան որպես գիտություն ===
[[Պատկեր:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|ձախից|230px|[[Կառլ Գաուս]], հայտնի որպես մաթեմատիկայի իշխան]]
Գերմանացի մաթեմատիկոս [[Կառլ Գաուս]]ը մաթեմատիկան անվանել է «Գիտությունների թագուհի»<ref name="Waltershausen"/> Բոլորովին վերջերս [[Մարկուս դյու Սուտոյ]]ը մաթեմատիկան անվանել է «Գիտության թագուհի&nbsp;... գիտական հայտնագործությունների գլխավոր շարժիչ ուժը»<ref>{{Cite episode |title=Nicolas Bourbaki |url=http://www.bbc.co.uk/programmes/b00stcgv |access-date=2017 թ․ հոկտեմբերի 26 |series=A Brief History of Mathematics |last=du Sautoy |first=Marcus |station=BBC Radio 4 |date=2010 թ․ հունիսի 25 |time=min. 12:50 |archivedate=2016 թ․ դեկտեմբերի 16 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20161216050402/http://www.bbc.co.uk/programmes/b00stcgv |df=mdy-all |url-status=live}}</ref>։ Լատիներեն «Regina Scientiarum» բնօրինակում, ինչպես նաև գերմաներեն «Königin der Wissenschaften» տարբերակի դեպքում ''գիտություն'' բառը նշանակում է «գիտելիքի դաշտ», որը «գիտություն» բառի սկզբնական իմաստն էր անգլերենում։ Այս իմաստով մաթեմատիկան նաև գիտելիքի դաշտ է։ Բեկոնի մեթոդի, որը հակադրում էր բնական գիտությունը [[սխոլաստիկա]]յին (Առաջին սկզբունքներում ներկայացված Արիստոտելի մեթոդ), զարգացմանը հետևեց «Գիտության» իմաստի սահմանափակումը ''[[բնական գիտության]]''։ Էմպիրիկ փորձարկումների և դիտարկումների դերը մաթեմատիկայում, համեմատած բնական գիտությունների՝ կենսաբանության, քիմիայի կամ ֆիզիկայի, աննշան է։ [[Ալբերտ Այնշտայն]]ը հայտարարել է. «Քանի որ մաթեմատիկայի օրենքներն իրականությանն են վերաբերում, դրանք հավաստի չեն. քանի որ դրանք ճշգրիտ են, ապա դրանք չեն վերաբերում իրականությանը<ref name="certain">Einstein, p. 28. The quote is Einstein's answer to the question: "How can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?" This question was inspired by [[Eugene Wigner]]'s paper "[[The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences]]".</ref>»:

Շատ փիլիսոփաներ կարծում են, որ մաթեմատիկան փորձով հնարավոր չէ հերքել, և ուստի, ըստ [[Կարլ Փոփեր]]ի սահմանման, այն գիտություն չէ<ref>{{Cite book |author1=Shasha, Dennis Elliot |title=Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists |author2=Lazere, Cathy A. |publisher=Springer |year=1998 |page=228}}</ref>։ Այնուամենայնիվ, 1930-ականներին [[Գյոդելի ոչ լրիվության թեորեմ]]ը շատ մաթեմատիկոսների համոզեց, որ մաթեմատիկան չի կարելի սեղմել մինչև միայն տրամաբանության, և Կարլ Փոփերը եզրակացրեց, որ "մաթեմատիկայի տեսությունների մեծ մասը, ինչպես [[ֆիզիկա]]ն և [[կենսաբանություն]]ը, [[հիպոթեզ|հիպոթետիկա]] –[[դեդուկցիա|դեդուկցիոն]] են։ Հետևաբար մաքուր մաթեմատիկան ավելի մոտ է բնական գիտություններին, որոնց հիպոթեզները ենթադրություններ են։"<ref>Popper 1995, p. 56</ref> Այլ մտածողներ, մասնավորապես [[Իմրե Լակատոս]]ը, հերքելիության տարբերակը կիրառել են հենց մաթեմատիկայում։{{cn|date = October 2017}}

Այլընտրանքային տեսակետ կա, որ կոնկրետ գիտական ոլորտներ (օրինակ՝ [[տեսական ֆիզիկա]]) մաթեմատիկա են աքսիոմներով, որոնք իրականությանն են համապատասխանեցված։ Մաթեմատիկան շատ ընդհանրություններ ունի ֆիզիկական գիտությունների բազմաթիվ բնագավառների հետ, հատկապես ենթադրությունների [[դեդուկցիա|տրամաբանական հետևությունների հետազոտության]]։ Ինտուիցիան և փորձարկումները հիպոթեզի ձևակերպման մեջ դեր ունեն թե՛ մաթեմատիկայում, թե՛ այլ գիտություններում։ Կիրառական մաթեմատիկան շարունակում է բարձրացնել իր կարևորությունը մաթեմատիկայի ներսում, իսկ հաշվելիության և մոդելավորման դերը աճում է գիտության բազմաթիվ բնագավառներում։

== Ոգեշնչում, մաքուր և կիրառական մաթեմատիկա և գեղագիտություն ==
{{Բազմապատիկ պատկերներ
|վերնագիր = [[Իսահակ Նյուտոն]] (ձախից) և [[Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լեյբնից|Գոթֆրիդ Վիլհելմ ֆոն Լեյբնից]] (աջից), անվերջ փոքրերի մաթեմատիկական անալիզի զարգացնողները
|լայնություն = 330
|լայնություն1 = 407
|պատկեր1 = GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg
|նկարագրություն1 = Իսահակ Նյուտոն
|լայնություն2 = 420
|պատկեր2 = Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg
|նկարագրություն2 = Գոթֆրիդ Վ.  Լեյբնից}}
Մաթեմատիկան ծագում է տարբեր տեսակի խնդիրներից։ Սկզբում դրանք հայտնաբերվել են առևտրի, հողաչափության, ճարտարապետության և ավելի ուշ աստղագիտության մեջ. այսօր բոլոր գիտությունները մաթեմատիկոսների հետազոտության պրոբլեմներ են առաջադրում, և շատ պրոբլեմներ ի հայտ են գալիս հենց մաթեմատիկայում։ Օրինակ՝ [[ֆիզիկոս]] [[Ռիչարդ Ֆեյնման]]ը, օգտագործելով մաթեմատիկական հիմավորումների և ֆիզիկական պատկերացումների համադրությունը, հայտնագործեց [[քվանտային մեխանիկա]]յի [[ինտեգրալ բանաձև]]ը, և արդի [[լարերի տեսություն]]ը, դեռևս զարգացող գիտական տեսություն, որը փորձում է միավորել բնության չորս [[հիմնարար փոխազդեցություններ]]ը, շարունակում է ոգեշնչել մաթեմատիկան։

Որոշ մաթեմատիկոսներ վերաբերում են միայն այն բնագավառին, որն այն առաջացրել է։ Սակայն, շատ հաճախ, մի բնագավառում առաջացած մաթեմատիկան օգտակար է դառնում շատ ոլորտներում և միանում է մաթեմատիկական հասկացությունների ընդհանուր ֆոնդին։ Հաճախ տարբերակում են [[մաքուր մաթեմատիկա]]ն և [[կիրառական մաթեմատիկա]]ն։ Այնուամենայնիվ, մաքուր մաթեմատիկայի թեմաները հաճախ կիրառություններ են ունենում, օրինակ [[թվերի տեսություն]]ը [[կրիպտոգրաֆիա]]յում։ Այս կարևոր փաստը, որ նույնիսկ «մաքրագույն» մաթեմատիկան հաճախ գործնական կիրառություն է ունենում, այն է, որ [[Յուջին Վիգներ]]ը անվանել էր «[[Մաթեմատիկայի անտրամաբանական արդյունավետություն]]»"<ref>{{Cite journal |last=Wigner |first=Eugene |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |url=http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |url-status=dead |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=13 |issue=1 |pages=1–14 |bibcode=1960CPAM...13....1W |doi=10.1002/cpa.3160130102 |access-date=2018 թ․ փետրվարի 3 |archivedate=2011 թ․ փետրվարի 28 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |df=mdy-all}}</ref>։ Ինչպես հետազոտությունների բոլոր ոլորտներում, գիտելիքի պայթյունը գիտության դարում հանգեցրեց մասնագիտացման՝ այժմ մաթեմատիկայում հաշվվում են հարյուրավոր մասնագիտական բնագավառներ և վերջին [[մաթեմատիկական առարկայական դասակարգում]]ը 46&nbsp;էջ է զբաղեցնում<ref>{{Cite web |title=Mathematics Subject Classification 2010 |url=http://www.ams.org/mathscinet/msc/pdfs/classification2010.pdf |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110514091144/http://www.ams.org/mathscinet/msc/pdfs/classification2010.pdf |archivedate=2011 թ․ մայիսի 14 |accessdate=2010 թ․ նոյեմբերի 9 |format=PDF |df=mdy-all}}</ref>։ Կիրառական մաթեմատիկայի որոշ բնագավառներ միաձուլվել են արտաքին համապատասխան ավանդույթների հետ և դարձել են ինքնուրույն գիտության ճյուղ, ներառյալ [[վիճակագրություն]]ը, [[գործողությունների հետազոտություն]]ը և [[կոմպյուտերային գիտություն]]։

Մաթեմատիկայով զբաղվածների համար մաթեմատիկան որոշակի գեղագիտական գրավչություն ունի։ Շատ մաթեմատիկոսներ խոսում են մաթեմատիկայի ''էլեգանտության'', ներքին [[էսթետիկա]]յի և ներքին [[Գեղեցկություն|գեղեցկության]] մասին։ Պարզությունն ու ընդհանրությունը գնահատվում են։ Պարզ և էլեգանտ մաթեմատիկական ապացույցում, ինչպիսին Էվկլիդեսի պարզ թվերի անվերջ լինելու ապացույցը և Ֆուրյեի արագ ձևափոխության էլեգանտ հաշվարկային մեթոդը, որ արագացնում է հաշվարկը, գեղեցկություն կա։ [[Գոդֆրի Հարոլդ Հարդի]]ն իր ''[[Մաթեմատիկոսի ներողությունը]]'' գրքում այն համոզմունքն է արտահայտում, որ այս էսթետիկական նկատառումները բավարար են մաքուր մաթեմատիկան ուսումնասիրության հիմնավորման համար։ Նա մաթեմատիկական էսթետիկային նպաստող չափանիշներ սահմանեց՝ նշանակալիություն, անսպասելիություն, անխուսափելիություն և տնտեսություն<ref>{{Cite book |author=Hardy, G.H. |title=A Mathematician's Apology |publisher=Cambridge University Press |year=1940 |isbn=0-521-42706-1}}</ref>։ Մաթեմատիկոսները հաճախ ձգտում են գտնել հատկապես էլեգանտ ապացույցներ<ref>{{Cite book |author1=Gold, Bonnie |title=Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy |author2=Simons, Rogers A. |publisher=MAA |year=2008}}</ref><ref>{{Cite book |last1=Aigner |first1=Martin |title=Proofs from ''The Book'' |last2=Ziegler |first2=Günter&nbsp;M. |publisher=Springer |year=2001 |isbn=3-540-40460-0 |authorlink2=Günter M. Ziegler}}</ref>։ [[Զվարճալի մաթեմատիկա]]յի հանրայնությունը ևս մի ապացույց է, որ մաթեմատիկակական խնդիրներ լուծելը հաճելի զբաղմունք է։

== Նշագրում, լեզու և խստություն ==
[[Պատկեր:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|աջխից|230px|[[Լեոնարդ Էյլեր]], ով ստեղծել և հանրայնացրել է այժմ օգտագործվող մաթեմատիկական նշումների մեծ մասը։]]

Այսօր օգտագործվող մաթեմատիկական նշագրումների մեծ մասը մինչ 16-րդ դարը դեռևս հայտնագործված չէր<ref>{{Cite web |title=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |url=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160220073955/http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |archivedate=2016 թ․ փետրվարի 20 |accessdate=2014 թ․ սեպտեմբերի 14 |df=mdy-all}}</ref>։ Մինչ այդ, մաթեմատիկան գրված էր բառերով, ինչը սահմանափակում էր մաթեմատիկական հայտնագործությունը<ref>Kline, p. 140, on [[Diophantus]]; p. 261, on [[Franciscus Vieta|Vieta]].</ref>։ Այսօր օգտագործվող նշագրումներից մեծ մասը [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի (1707–1783) ստեղծածն է։ Ժամանակակից նշագրումները մասնագետների համար մաթեմատիկան դարձնում են ավելի հեշտացված, բայց սկսնակները վհատվում են դրանց տեսքից։ Ըստ [[Բարբարա Օուկլեյ]]ի՝ սա կարելի է բացատրել մաթեմատիկական գաղափարների ''աբստրակտ'' և ավելի ''կոդավորված'' լինելով<ref>Oakley 2014, p. 16: "Focused problem solving in math and science is often more effortful than focused-mode thinking involving language and people. This may be because humans haven't evolved over the millennia to manipulate mathematical ideas, which are frequently more abstractly encrypted than those of conventional language."</ref>։ Ի տարբերություն բնական լեզվի, որտեղ մարդիկ կարող են բառին (օրինակ՝ ''կով'') համապատասխան ֆիզիկական օբյեկտ հավասարեցնել, մաթեմատիկական սիմվոլները աբստրակտ են, չունեն որևէ ֆիզիկական անալոգ<ref>Oakley 2014, p. 16: "What do I mean by abstractness? You can point to a real live ''cow'' chewing its cud in a pasture and equate it with the letters ''c–o–w'' on the page. But you can't point to a real live ''plus sign'' that the symbol '+' is modeled after – the idea underlying the plus sign is more ''abstract''."</ref>։ Մաթեմատիկական սիմվոլներն ավելի խիստ են կոդավորված, քան սովորական բառերը, այսինքն՝ մեկ սիմվոլը կարող է կոդավորել տարբեր գործողություններ կամ գաղափարներ<ref>Oakley 2014, p. 16: "By ''encryptedness'', I mean that one symbol can stand for a number of different operations or ideas, just as the multiplication sign symbolizes repeated addition."</ref>։

Մաթեմատիկական լեզուն սկսնակների համար կարող է դժվար հասկանալի լինել, քանի որ նույնիսկ սովորական տերմիններն ինչպիսիք ''կամ'' և ''միակ'', ունեն ավելի ճշգրիտ իմաստ, քան ամենօրյա խոսքում և այլ ''[[բաց]]'' և ''[[դաշտ (մաթեմատիկա)|դաշտ]]'' տերմինները վերաբերում են հատուկ մաթեմատիկական գաղափարների։ Մաթեմատիկական լեզուն ներառում է նաև շատ տերմիններ, ինչպիսիք ''[[հոմոմորֆիզմ]]ն'' ու ''[[ինտեգրալ]]ը,'' որոնք մաթեմատիկայից դուրս իմաստ չունեն։ Մաթեմատիկան ավելի ճշգրտություն է պահանջում, քան ամենօրյա խոսքը։ Այդ է պատճառը, որ մաթեմատիկան հատուկ նշագրում և տեխնիկական բառապաշար ունի։ Մաթեմատիկոսները լեզվի ճշգրտությանն ու տրամաբանությանը վորաբերում են որպես "խստության".

[[Մաթեմատիկական ապացույց]]ը հիմնականում խստության հարց է։ Մաթեմատիկոսները ցանկանում են, որ իրենց թեորեմները հետևեն աքսիոմներից համակարգված փաստարկների միջոցով։ Սպասվելիք խստության մակարդակը մաթեմատիկայում ժամանակի ընթացքում փոփոխվել է։ Հույները մանրամասն փաստարկներ էին պահանջում, սակայն [[Իսահակ Նյուտոն]]ի ժամանակ կիրառվող մեթոդներն ավելի թույլ էին։ Նյուտոնի կողմից օգտագործվող սահմանումներում ծառացած խնդիրները 19-րդ&nbsp;դարում հանգեցրին մանրակրկիտ ուսումնասիրության և ֆորմալ ապացույցի վերափոխման։ Մաթեմատիկայի մի քանի ընդհանուր սխալների պատճառը խստության հասկացության սխալ ընկալումն է։ Այսօր մաթեմատիկոսները շարունակում են վիճել [[կոմպյուտերային ապացույց]]ների վերաբերյալ։ Քանի որ խոշոր հաշվարկները դժվար է ստուգել, այդպիսի ապացույցները դժվար է ստուգել, այդպիսի ապացույցները չեն կարող խիստ լինել<ref>Ivars Peterson, ''The Mathematical Tourist'', Freeman, 1988, {{isbn|0-7167-1953-3}}. p. 4 "A few complain that the computer program can't be verified properly", (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).</ref>։

[[Աքսիոմ]]ի ավանդական իմաստն էր՝ «ինքնին ակնհայտ ճշմարտություն», բայց այն խնդրահարույց է<ref>"The method of 'postulating' what we want has many advantages; they are the same as the advantages of theft over honest toil." [[Bertrand Russell]] (1919), ''Introduction to Mathematical Philosophy'', New York and London, [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Quotations/Russell.html p. 71.] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150620162751/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Quotations/Russell.html|date=June 20, 2015}}</ref>։ Ֆորմալ մակարդակում աքսիոմը պարզապես սիմվոլների տող է, որը ներքին իմաստ ունի միայն [[աքսիոմատիկ համակարգ]]ից դուրս բերվող բոլոր բանաձևերի համատեքստում։ [[Հիլբերտի ծրագիր]]ը նպատակ էր դրել մաթեմատիկան ամբողջությամբ դնել աքսիոմատիկ բազիսի վրա, սակայն [[Գյոդելի ոչ լրիվության թեորեմ]]ի համաձայն, յուրաքանչյուր (բավականաչափ հզոր) աքսիոմատիկ համակարգ [[անկախություն (մաթեմատիկական տրամաբանություն)|անլուծելի]] բանաձևեր; ուստի մաթեմատիկայի վերջնական [[աքսիոմատիզացում]]ն անհնար է։ Այնուամենայնիվ մաթեմատիկան հաճախ պատկերացնում են որպես որոշակի աքսիոմատիզացմամբ [[բազմությունների տեսություն]], այն իմաստով, որ յուրաքանչյուր մաթեմատիկական պնդում կամ ապացույց կարելի է ներկայացնել բազմությունների տեսության բանաձևի միջոցով<ref>Patrick Suppes, ''Axiomatic Set Theory'', Dover, 1972, {{isbn|0-486-61630-4}}. p. 1, "Among the many branches of modern mathematics set theory occupies a unique place: with a few rare exceptions the entities which are studied and analyzed in mathematics may be regarded as certain particular sets or classes of objects."</ref>։

== Մաթեմատիկայի բաժիններ ==
[[Պատկեր:Abacus 6.png|thumb|աջից|230px|[[Աբակ (տախտակ)]], հին ժամանակներից օգտագործվող հաշվարկային գործիք]]
Մաթեմատիկան լայն իմաստով կարող է բաժանվել մասերի, որոնք ուսումնասիրում են քանակը, կառուցվածքը, տարածությունը և փոփոխությունը (այսինքն [[թվաբանություն]], [[հանրահաշիվ]], [[երկրաչափություն]], և [[մաթեմատիկական անալիզ]])։ Բացի այս գլխավոր պրոբլեմների, գոյություն ունեն նաև ենթաուղղություններ, որ մաթեմատիկայից տանում են դեպի այլ բնագավառների՝ [[մաթեմատիկական տրամաբանություն]], [[բազմությունների տեսություն]] (մաթեմատիկայի հիմունքներ), տարբեր գիտությունների փորձարարական մաթեմատիկա ([[կիրառական մաթեմատիկա]]), իսկ վերջերս անորոշություն մանրակրկիտ ուսումնասիրության։ Չնայած որոշ բնագավառներ կարող են կապակցված չթվալ, սակայն Լանգլանդս ծրագիրը գտել է նախկինում կապ չունեցող թվացող բաժինների, ինչպիսիք [[Գալուայի խումբ|Գալուայի խմբեր]], Ռիմանի մակերևույթի և [[թվերի տեսություն]] բաժինների միջև կապեր է հայտնաբերել։

=== Հիմունքներ և փիլիսոփայություն ===
[[Մաթեմատիկայի հիմունքներ]]ը հստակեցնելու համար մշակվել են [[մաթեմատիկական տրամաբանություն]] և [[բազմությունների տեսություն]] ճյուղերը։ Մաթեմատիկական տրամաբանությունը ներառում է [[տրամաբանություն|տրամաբանության]] մաթեմատիկական ուսումնասիրությունը և ձևական տրամաբանության կիրառումը մաթեմատիկայի այլ բնագավառներում; բազմությունների տեսությունը մաթեմատիկայի ճյուղ է, որ բազմություններ կամ օբյեկտների հավաքածուներ է ուսումնասիրում։ [[Կատեգորիաների տեսություն]]ը, որ աբստրակտ մոտեցմամբ զբաղվում է [[մաթեմատիկական կառուցվածք]]ներով և դրանց միջև եղած կապերով, դեռևս զարգացման փուլում է։ «Հիմունքների ճգնաժամը» արտահայտությունը նկարագրում է մոտավորապես 1900–1930 թվականներին տեղի ունեցած մաթեմատիկայի խիստ հիմքերի փնտրտուկը<ref>Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, ''A History of Mathematics'', Oxford University Press, 2005.</ref>։ Մաթեմատիկայի հիմունքների վերաբերյալ որոշ անհամաձայնություններ շարունակում են մնալ նաև այսօր։ Հիմունքների ճգնաժամը ժամանակին առաջացել է մի շարք հակասությունների պատճառով, ներառյալ Կանտորի տեսության և Բրաուեր-Հիլբերտի հակասությունները։

Մաթեմատիկական տրամաբանությունը մաթեմատիկան դնում է խիստ աքսիոմատիկ շրջանակում և ուսումնասիրում հետևանքները։ Այն Գյոդելի ոչ լրիվության թեորեմի միջավայրն է, որը (ոչ ֆորմալ) ենթադրում է, որ ցանկացած արդյունավետ [[ֆորմալ համակարգ]], որում հիմնական թվաբանությունն առկա է, եթե ''ճիշտ են'' (այսինքն, բոլոր թեորեմները, որ կարելի է ապացուցել, ճիշտ են), անպայման ''լրիվ չեն'' (այսինքն, կան ճիշտ թեորեմներ, որոնք հնարավոր չի ապացուցել ''այդ համակարգում'')։ Գյոդելը ցույց է տվել, որ ինչպիսին էլ լինի որպես հիմք վերցրած թվային-տեսական աքսիոմաների հավաքածուն, կարելի է կառուցել ճիշտ թվային-տեսական փաստերի ֆորմալ պնդում, որը հնարավոր չի դուրս բերել տրված աքսիոմներից։ Հետևաբար, ոչ մի ֆորմալ համակարգ չի կարող լիովին աքսիոմատիզացնել թվերի տեսությունը։ Ժամանակակից տրամաբանությունը բաղկացած է [[հաշվարկելիության տեսություն]], [[մոդելների տեսություն]], [[ապացույցների տեսություն]] կատեգորիաների տեսություն բաժիններից։

[[Տեսական ինֆորմատիկա]]ն ներառում է հաշվարկելիության տեսությունը, [[բարդությունների տեսություն]]ը, և [[ինֆորմացիոն տեսություն]]ը։ Հաշվարկելիության տեսությունը ուսումնասիրում է կոմպյուտերների տարբեր տեսական մոդելների, այդ թվում ամենահայտնի մոդելի՝ Թյուրինգի մեքենաների սահմանափակումները։ Բարդությունների տեսությունը ուսումնասիրում է կոմպյուտերի վրա խնդիրների լուծման ծախսատարությունը, որոշ պրոբլեմների լուծումն այնքան ժամանակ և հիշողություն են պահանջում, որ իրականում նրանց լուծումը կարող է անիրականալի լինել։ Այդպիսի պրոբլեմներից ամենահայտնին "[[P = NP հատընտիրի պրոբլեմ]]ն" է [[Հազարամյակի մրցանակային խնդիրներ]]ի ցանկից<ref>[https://web.archive.org/web/20131014194456/http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ Clay Mathematics Institute], P=NP, claymath.org</ref>։ Ի վերջո, Ինֆորմացիոն տեսությունը գործ ունի տվյալների քանակի հետ, որը կարող է պահվել տվյալ կրիչի վրա, և հետևաբար գործ ունի [[տվյալների սեղմում]] և [[Էնտրոպիա (ինֆորմացիոն տեսություն)|էնտրոպիա]] հասկացությունների հետ։
:{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|<math>p \Rightarrow q </math>|| [[Պատկեր:Venn A intersect B.svg|128px]] || [[Պատկեր:Commutative diagram for morphism.svg|96px]] || [[Պատկեր:DFAexample.svg|96px]]
|-
|[[Մաթեմատիկական տրամաբանություն]] || [[Բազմությունների տեսություն]] || [[Կատեգորիաների տեսություն]] || [[Ալգորիթմների տեսություն]]
|}

=== Մաքուր մաթեմատիկա ===
==== Քանակ ====
{{Main|Թվաբանություն}}
<!--This section is linked from [[List of basic mathematics topics]]-->
Քանակի ուսումնասիրությունը սկսվում է թվերով, սկզբում ծանոթություն [[բնական թվեր]]ի և [[ամբողջ թվեր]]ի և դրանց նկատմամբ գործողությունների, որոնք նկարագրվում են [[թվաբանություն]]ում։ Ամբողջ թվերի ավելի խորը հատկանիշներն ուսումնասիրվում են թվերի տեսության մեջ, որից հայտնի արդյունք կարելի է նշել [[Ֆերմայի մեծ թեորեմ]]ը։[[երկվորյակներ (մաթեմատիկա)|երկվորյակներ]]ի հիպոթեզը և [[Գոլդբախի հիպոթեզ]]ը երկու չլուծված խնդիրներ են թվերի տեսությունում։

Թվային համակարգի զարգացմանը զուգահեռ թվերը ճանաչվեցին որպես ռացիոնալ թվերի ենթաբազմություն ("[[Կոտորակ (մաթեմատիկա)|Կոտորակներ]]")։ Դրանք, իրենց հերթին, ընդգրկված են իրական թվերի մեջ, որոնք օգտագործվում են [[անընդհատ ֆունկցիա|անընդհատ]] մեծություններ ներկայացնելու համար։ Իրական թվերը ընդհանրացվել են [[կոմպլեքս թվեր]]ի։ Սրանք թվերի հիերարխիայի առաջին քայլերն են, որոնք շարունակում են ներառել [[քվատերնիոն]]ներ և [[օկտոնիոն]]ներ։ Բնական թվերի դիտարկումը նույնպես հանգեցնում է [[տրանսֆինիտ թվեր]]ի, որոնք ձևավորում են «[[անսահմանություն]]» հասկացությունը։ Համաձայն [[հանրահաշվի հիմնական թեորեմ]]ի մեկ անհայտով կոմպլեքս գործակիցներով հավասարումների բոլոր լուծումները կոմպլեքս թվեր են, անկախ աստիճանից։ Ուսումնասիրության մեկ այլ բնագավառ բազմությունների չափն է, որը նկարագրվում է կարդինալ թվով։ Սրանց մեջ են մտնում ալեֆ թվերը, որոնք հնարավորություն են տալիս անվերջ մեծ բազմությունների չափերի իմաստալից համեմատություն։

:{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
|<math>1, 2, 3,\ldots</math> || <math>\ldots,-2, -1, 0, 1, 2\,\ldots</math> || <math> -2, \frac{2}{3}, 1.21</math> || <math>-e, \sqrt{2}, 3, \pi</math> || <math>2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}</math>
|-
|[[Բնական թվեր]]|| [[Ամբողջ թվեր]] || [[Ռացիոնալ թվեր]] || [[Իրական թվեր]] || [[Կոմպլեքս թվեր]]
|}

==== Կառուցվածք ====
{{Main|Հանրահաշիվ}}
<!--This section is linked from [[List of basic mathematics topics]]-->
Շատ մաթեմատիկական օբյեկտներ, ինչպիսիք թվերի և [[Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)|ֆունկցիաների]] [[բազմություն (մաթեմատիկա)|բազմություններն]] են, որպես [[Գործողություն (մաթեմատիկա)|գործողությունների]] կամ բազմության վրա սահմանված [[Հարաբերություններ (մաթեմատիկա)|հարաբերությունների]] արդյունք ներքին կառուցվածք են դրսևորում։ Այնուհետ մաթեմատիկան ուսումնասիրում է այդ բազմությունների հատկությունները, որոնք կարող են արտահայտվել այդ կառուցվածքի տերմիններով; օրինակ, [[թվերի տեսություն]]ը ուսումնասիրում է [[ամբողջ թվեր]]ի բազմության այն հատկությունները, որ կարող են արտահայտվել թվաբանական գործողություններով։ Ավելին, հաճախ է պատահում, որ տարբեր այդպիսի կառուցվածք ունեցող բազմություններ նմանատիպ հատկություններ են դրսևորում, որը հնարավորություն է ստեղծում աբստրակցիայի հաջորդ քայլում կառուցվածքների դասի համար աքսիոմներ ամրագրել և այնուհետ ուսումնասիրել այդ աքսիոմներին բավարարող կառուցվածքների ողջ դասը։ Այսպիսով կարելի է ուսումնասիրել [[Խումբ (մաթեմատիկա)|խմբեր]], [[Օղակ (մաթեմատիկա)|օղակներ]], [[Դաշտ (մաթեմատիկա)|դաշտեր]] և այլ աբստրակտ համակարգեր; այսպիսի համատեղ ուսումնասիրությունները (հանրահաշվական գործողություններով սահմանված կառուցվածքների համար) կազմում են [[Աբստրակտ հանրահաշիվ|աբստրակտ հանրահաշվի]] տիրույթը։

Իր լայն ընդհանրությամբ աբստրակտ հանրահաշիվը հաճախ կարող է կիրառվել առերևույթ կապ չունեցող խնդիրների նկատմամբ; 
քանոնի և կարկինի օգնությամբ կառուցողական հնագույն խնդիրների մեծ մասը վերջնականապես լուծում ստացան օգտվելով [[Գալուայի թեորեմ]]ից, որը ներառում է դաշտերի տեսությունը և խմբերի տեսությունը։ Հանրահաշվի տեսության մեկ այլ օրինակ է [[գծային հանրահաշիվ]]ը, որը վեկտորական տարածության ընդհանուր ուսումնասիրությունն է։ Վեկտորական տարածության տարրերը կոչվում են վեկտորներ, որոնք ունեն քանակ և ուղղություն և կարող են օգտագործվել տարածության մեջ կետերի միջև հարաբերությունները մոդելավորելու համար։ Սա մի օրինակ է նախնական ոչ կապակցված բնագավառներ՝ երկրաչափությունը և հանրահաշիվը, ժամանակակից մաթեմատիկայում խիստ փոխկապակցված են։ [[Կոմբինատորիկա]]ն ուսումնասիրում է տվյալ կառուցվածքին համապատասխան օբյեկտների քանակի թվարկման ուղիները։
:{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|<math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> || [[Պատկեր:Elliptic curve simple.svg|96px]] || [[Պատկեր:Rubik's cube.svg|96px]] || [[Պատկեր:Group diagdram D6.svg|96px]] || [[Պատկեր:Lattice of the divisibility of 60.svg|96px]] || [[Պատկեր:Braid-modular-group-cover.svg|96px]]
|-
|[[Կոմբինատորիկա]] || [[Թվերի տեսություն]] || [[Խմբերի տեսություն]] || [[Գրաֆների տեսություն]] || [[Կարգավորման տեսություն]] || [[Հանրահաշիվ]]
|}

==== Տարածություն ====
{{Main|Երկրաչափություն}}
Տիեզերքի ուսումնասիրությունը սկսվում է երկրաչափությունից&nbsp;– մասնավորապես Էվկլիդեսյան երկրաչափությունից, որը միավորում է տարածությունն ու թվերը և ներառում է հայտնի Պյութագորասի թեորեմը։

Եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի ճյուղ է, որը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջոցով ուսումնասիրում է եռանկյան կողմերի և անկյունների հարաբերությունները։ Տարածության ժամանակակից ուսումնասիրություններն ընդհանրացնում են այս գաղափարները ներառելու բարձր-չափանի երկրաչափությունը՝ ոչ-Էվկլիդեսյան երկրաչափություն և տոպոլոգիա։ Քանակը և տարածությունը դեր ունեն անալիտիկ երկրաչափության, դիֆերենցիալ երկրաչափության և հանրահաշվական երկրաչափությունում։ Ուռուցիկ երկրաչափություն|Ուռուցիկ և [[դիսկրետ երկրաչափություն]]ը մշակվել են թվերի երկրաչափության և ֆունկցիոնալ անալիզի խնդիրները լուծելու համար, սակայն այժմ դիտարկվում են օպտիմիզացիայի և ինֆորմատիկայի կիրառություններում։ Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ ուսումնասիրում է [[շերտավորում]] հասկացողություն և [[բազմաձևություններ]]ի հաշիվ, մասնավորապես, [[վեկտորական հաշիվ|վեկտորային]] և [[տենզորային հաշիվ]]։ Հանրահաշվական երկրաչափությունում երկրաչափական օբյեկտները ներկայացվում են որպես բազմանդամային հավասարումների լուծումների բազմություն, որտեղ զուգակցում են քանակի և տարածության հասկացությունները, և միաժամանակ տոպոլոգիական խմբերի ուսումնասիրությունը, որոնք միավորում են կառուցվածքն ու տարածությունը։ Լի խմբերը օգտագործվում են ուսումնասիրելու տարածությունը, կառուցվածքը և փոփոխությունները։ Տոպոլոգիան իր բոլոր բազմաթիվ դրսևորումներով 20-րդ դարի մաթեմատիկայում ամենամեծ աճն է ունեցել, այն ներառում է [[ընդհանուր տոպոլոգիա]]ն, [[բազմությունների ընդհանուր տոպոլոգիա]]ն, [[հանրահաշվական տոպոլոգիա]]ն և [[դիֆերենցիալ տոպոլոգիա]]ն։ Մասնավորապես, ժամանակակից տոպոլոգիայի օրինակներ են՝ [[մետրիկական տեսություն]], [[բազմությունների աքսիոմատիկ տեսություն]], [[Հոմոտոպիա]] և [[Մորսի տեսություն]]։ Տոպոլոգիան նաև ներառում է այժմ լուծված [[Պուանկարեի հիպոթեզ]]ը և դեռևս չլուծված [[Հոջի հիպոթեզ]]ը։ Երկրաչափության և տոպոլոգիայի այլ արդյունքներ, ներառյալ [[չորս գույների թեորեմ]]ը և [[Կեպլերի հիպոթեզ]]ը, ապացուցվել են միայն կոմպյուտերի օգնությամբ։

:{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|[[Պատկեր:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|96px]] || [[Պատկեր:Sinusvåg 400px.png|96px]] || [[Պատկեր:Hyperbolic triangle.svg|96px]] || [[Պատկեր:Torus.png|96px]] || [[Պատկեր:Mandel zoom 07 satellite.jpg|96px]] || [[Պատկեր:Measure illustration.png|70px]]
|-
|[[Երկրաչափություն]] || [[Եռանկյունաչափություն]] || [[Դիֆերենցիալ երկրաչափություն]] || [[Տոպոլոգիա]] || [[Ֆրակտալ երկրաչափություն]] || [[Չափերի տեսություն]]
|}

==== Փոփոխություն ====
{{Main|Մաթեմատիկական անալիզ}}
<!--This section is linked from [[List of basic mathematics topics]]-->
Փոփոխությունների ըմբռնումն ու նկարագրությունը Understanding and describing change is a common theme in the [[բնական գիտություն]]ների ընդհանուր թեման է, իսկ մաթեմատիկական անալիզը մշակվել է դրանք ուսումնասիրելու համար որպես հզոր գործիք։ Ֆունկցիան այստեղ առաջացել է որպես քանակի փոփոխության կենտրոնական հասկացություն։ Իրական թվերի և իրական փոփոխականների ֆունկցիաների խորը ուսումնասիրությունը հայտնի է որպես իրական անալիզ, իսկ կոմպլեքս թվերի դաշտինը՝ համապատասխանաբար, որպես կոմպլեքս անալիզ։ [[Ֆունկցիոնալ անալիզ]]ը կենտրոնանում է (հիմնականում անվերջ-չափանի) ֆունկցիաների տարածության վրա։ Ֆունկցիոնալ անալիզի բազմաթիվ կիրառություններից է [[քվանտային մեխանիկա]]ն։ Բազմաթիվ պրոբլեմներ կապված են քանակի և դրա փոփոխության արագությամբ և դրանք ուսումնասիրվում են որպես [[դիֆերենցիալ հավասարում]]ներ։ Բնության բազմաթիվ երևույթներ կարող են ներկայացվել [[դինամիկ համակարգ]]երի, քաոսային տեսության միջոցով, որը թույլ է տալիս ճշգրիտ որոշել, որ այս համակարգերից շատերը ցուցաբերում են դեռևս անկանխատեսելի դետերմինացված վարքագիծ։

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
|-
|[[Պատկեր:Integral as region under curve.svg|96px]] || [[Պատկեր:Vector field.svg|96px]] || [[Պատկեր:Navier Stokes Laminar.svg|96px]] || [[Պատկեր:Limitcycle.svg|96px]] || [[Պատկեր:Lorenz attractor.svg|96px]] || [[Պատկեր:Conformal grid after Möbius transformation.svg|96px]]
|-
|[[Հաշիվ]] || [[Վեկտորական հաշիվ]]|| [[Դիֆերենցիալ հավասարում]]ներ || [[Դինամիկ համակարգ]]եր || [[Քաոսային տեսություն]] || [[Կոմպլեքս անալիզ]]
|}

=== Կիրառական մաթեմատիկա ===
{{Main|Կիրառական մաթեմատիկա}}
[[Կիրառական մաթեմատիկա]]ն վերաբերում է գիտության, ճարտարագիտության, բիզնեսի և արդյունաբերության մեջ սովորաբար օգտագործվող մաթեմատիկական մեթոդներին։ Այսպիսով, "կիրառական մաթեմատիկան" մասնագիտացված գիտելիքներով [[մաթեմատիկական գիտություն]] է։ ''Կիրառական մաթեմատիկա'' տերմինը նաև նկարագրում է մասնագիտական ուղղվածությունը, որտեղ մաթեմատիկոսներն աշխատում են պրակտիկ պրոբլեմների վրա, որպես պրակտիկ պրոբլեմների վրա կենտրոնացած մասնագիտություն ''կիրառական մաթեմատիկան'' զբաղվում է գիտության, ճարտարագիտության և մաթեմատիկական պրակտիկայի տարբեր ճյուղերի "մաթեմատիկական մոդելների ձևակերպմամբ, ուսումնասիրությամբ և օգտագործմամբ։

Անցյալում պրակտիկ կիրառություններն են նպաստել մաթեմատիկական տեսությունների զարգացմանը, որոնք հետագայում դառնում էին մաքուր մաթեմատիկայի ուսումնասիրության առարկա, որտեղ մաթեմատիկան զարգանում է հիմնականում իր համար։ Այսպիսով կիրառական մաթեմատիկան կենսականորեն կապված է [[մաքուր մաթեմատիկա]]յի հետազոտությունների հետ։

==== Վիճակագրություն և որոշումների կայացման այլ գիտություններ ====
{{Main|Վիճակագրություն}}
Կիրառական մաթեմատիկան նշանակալիորեն հատվում է վիճակագրության ուղղության, հատկապես հավանականությունների տեսության, հետ, որի տեսությունը մաթեմատիկորեն ձևակերպված է։ Վիճակագրողները (աշխատելով որպես հետազոտական նախագծի հատված) պատահական ընտրության և պատահական փորձերի մշակման հետ "ստեղծում են տվյալներ, որ իմաստ ունեն";<ref>[[C.R. Rao|Rao, C.R.]] (1997) ''Statistics and Truth: Putting Chance to Work'', World Scientific. {{isbn|981-02-3111-3}}</ref> վիճակագրական ընտրության կամ փորձի մշակումը որոշում է տվյալների վերլուծությունը (մինչ տվյալները հասանելի լինելը)։ Փորձարկումների և օրինակների տվյալները վերանայելիս կամ դիտարկումների տվյալները վերլուծելիս, վիճակագիրները, օգտագործելով վիճակագրական մոդելավորումը և հետևությունների տեսությունը, մոդելի ընտրությամբ և գնահատմամբ, "տվյալներին իմաստ են տալիս"։ Վիճակագրությունը ավելի շուտ առանձին ուղղություն է, քան կիրառական մաթեմատիկայի ճյուղ։ Հետազոտող ֆիզիկոսների ու ինֆորմատիկայով զբաղվող գիտնականների նման հետազոտող վիճակագիրները մաթեմատիկոս գիտնականներ են։ Շատ վիճակագիրներ ունեն մաթեմատիկայի աստիճաններ և որոշ վիճակագիրներ նաև մաթեմատիկոսներ են։

==== Հաշվողական մաթեմատիկա ====
[[Հաշվողական մաթեմատիկա]]ն մաթեմատիկական պրոբլեմների լուծման համար առաջարկում և ուսումնասիրում է այնպիսի մեթոդներ, որոնք սովորաբար չափազանց մեծ են մարդկային թվային ունակության համար։ Թվային անալիզը ուսումնասիրում է մաթեմատիկական անալիզի պրոբլեմները օգտագործելով [[ֆունկցիոնալ անալիզ]] և [[մոտարկումների տեսություն]]; թվային անալիզը ներառում է [[մոտարկումներ]]ի ուսումնասիրությունը և լայն իմաստով [[դիսկրետիզացում]]ը, հատուկ ուշադրություն դարձնելով մոտարկման սխալների վրա։ Թվային անալիզը և ավելի լայն գիտական հաշվարկները ուսումնասիրում են նաև մաթեմատիկական գիտության ոչ անալիտիկ թեմաները, հատկապես ալգորիթմական մատրիցային և [[գրաֆների տեսություն]]ը։

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:0 auto" cellspacing="20"
|-
|[[Պատկեր:Arbitrary-gametree-solved.svg|96px]]|| [[Պատկեր:BernoullisLawDerivationDiagram.svg|96px]] || [[Պատկեր:Composite trapezoidal rule illustration small.svg|96px]] || [[Պատկեր:Maximum boxed.png|96px]] || [[Պատկեր:Two red dice 01.svg|96px]] || [[Պատկեր:Oldfaithful3.png|96px]] || [[Պատկեր:Caesar3.svg|96px]]
|-
|[[Խաղերի տեսություն]] || [[Հեղուկի դինամիկա]] || [[Թվային մեթոդներ]] || [[Մաթեմատիկական օպտիմիզացում]] || [[Հավանականությունների տեսություն]] || [[Վիճակագրություն]] || [[Կրիպտոգրաֆիա]]
|-
|[[Պատկեր:Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png|96px]] || [[Պատկեր:Gravitation space source.png|96px]] || [[Պատկեր:CH4-structure.svg|96px]] || [[Պատկեր:Signal transduction pathways.svg|96px]] || [[Պատկեր:GDP PPP Per Capita IMF 2008.svg|96px]] || [[Պատկեր:Simple feedback control loop2.svg|96px]]
|-
|[[Ֆինանսների մաթեմատիկա]] || [[Մաթեմատիկական ֆիզիկա]] || [[Մաթեմատիկական քիմիա]] || [[Մաթեմատիկական կենսաբանություն]]|| [[Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն]] || [[Կառավարման տեսություն]]
|}

== Մաթեմատիկական մրցանակներ ==
Մաթեմատիկայի ամենահեղինակավոր մրցանակը [[Ֆիլդսյան մրցանակ]]ն է,{{sfn|Monastyrsky|2001|p=1|ps=: "The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics."}}{{sfn|Riehm|2002|pp=778–82}} որ հիմնադրվել է 1936 թվականին և տրվում է չորս տարին մեկ (բացի II համաշխարհային պատերազմի տարիներին) ամենաշատը չորս անհատի։ Ֆիլդսյան մեդալը հաճախ դիտարկվում է Նոբելյան մրցանակի մաթեմատիկական էկվիվալենտ։

[[Մաթեմատիկայի Վոլֆի մրցանակ]]ը, հիմնված 1978 թվականին, ճանաչում է ձեռքբերումները կենդանության օրոք, և մեկ այլ միջազգային մրցանակ՝ [[Աբելի մրցանակ]]ը հիմնվել է 2003 թվականին։ [[Չերնի մրցանակ]]ը հիմնվել է 2010 թվականին կենդանության օրոք հաջողությունները ճանաչելու համար։ Այս մրցանակները տրվում են կոնկրետ նորարարական աշխատանքի կամ կոնկրետ բնագավառում չլուծված հայտնի խնդրի լուծման համար։

23 հայտնի [[բաց պրոբլեմներ]]ի ցանկը, որ կոչվում է «[[Հիլբերտի պրոբլեմներ]]», կազմվել է 1900 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս [[Դավիդ Հիլբերտ]]ի կողմից։ Այս ցուցակը մաթեմատիկոսների շրջանում մեծ հեղինակություն է վայելում և դրանցից այժմ արդեն լուծված են։ 2000 թվականին հրապարակվել է յոթ կարևորագույն պրոբլեմների՝ «[[Հազարամյակի մրցանակային խնդիրներ]]»" նոր ցուցակը։ Յուրաքանչյուր պրոբլեմի լուծման համար նախատեսված է 1&nbsp;միլիոն դոլարի մրցանակ, որոնցից միայն մեկն է ([[Ռիմանի հիպոթեզ]]ը) կրկնվում Հիլբերտի պրոբլեմների մեջ։

== Տես նաև ==
* [[Մաթեմատիկայի պատմություն]]ը
* [[Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն]]
* [[Մաթեմատիկական թեմաների ցանկ]]
* [[Մաթեմատիկա և արվեստ]]
* [[Տարրական մաթեմատիկա]]
* [[Մաթեմատիկայի ազգային թանգարան]]
* [[Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի կապը]]
* [[Գիտություն, Տեխնիկա, Ճարտարագիտություն և Մաթեմատիկա]]

== Նշումներ ==
{{ծանցանկ|group="Ն"}}

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

{{վիքիքաղվածք}}

{{Արտաքին հղումներ}}

{{Մաթեմատիկա–ներքև}}
{{Պորտալ|Մաթեմատիկա|գույն=1}}
{{Շաբաթվա հոդված նախագծի մասնակից|2018|[[Կաղապար:Շաբաթվա հոդված/Շաբաթ 47, 2018 թ.|47-րդ]]}}

[[Կատեգորիա:Հիմնական թեմատիկ հոդվածներ]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա| ]]