Դիտել Մոգական քառակուսի էջի վիքիկոդը

'''Մոգական''' կամ '''կախարդական''' քառակուսի, <math>n\times n</math> չափի [[ուղղանկյուն]] [[քառակու]]սի, որը լրացված է <math>n^2</math> թվերով այնպես, որ յուրաքանչյուր [[տող]]ում, [[սյու]]նում և երկու [[անկյունագիծ|անկյունագծերում]] թվերի գումարը նույնն է։ Եթե քառակուսու մեջ միայն տողերի և սյուների թվերի գումարներն են հավասար, այդ դեպքում այն անվանում են '''''կիսամոգական'''''։ Մոգական քառակուսին անվանում են '''''նորմալ''''', եթե այն լրացված է <math>1</math>-ից <math>n^2</math> թվերով։ Մոգական քառակուսին անվանում են '''''ասսոցիատիվ''''' կամ '''''սիմետրիկ''''', եթե ցանկացած երկու թվերի գումարը, որոնք գտնվում են քառակուսու [[կենտրոն]]ից հավասար հեռավորության վրա, հավասար են <math>n^2+1</math>-ի։

Նորմալ մոգական քառակուսիներ գոյություն ունեն բոլոր <math>n\ge 1</math> կարգերի համար, բացառությամբ <math>n=2</math>-ի, թեև <math>n=1</math> դեպքը պարզագույնն է՝ քառակուսին կազմված է մեկ թվից։ Փոքրագույն ոչպարզ դեպքը ցույց է տրված ներքևում, սակայն ունի 3-րդ կարգ։

<div class="center">
{| style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:14em;height:10em;table-layout:fixed;"
|-
|
|
|bgcolor=#f8f8f8|2
|bgcolor=#f8f8f8|7
|bgcolor=#f8f8f8|6
|<math>\rightarrow</math>
|15
|-
|
|
|bgcolor=#f8f8f8|9
|bgcolor=#f8f8f8|5
|bgcolor=#f8f8f8|1
|<math>\rightarrow</math>
|15
|-
|
|
|bgcolor=#f8f8f8|4
|bgcolor=#f8f8f8|3
|bgcolor=#f8f8f8|8
|<math>\rightarrow</math>
|15
|-
|
|<math>\swarrow</math>
|<math>\downarrow</math>
|<math>\downarrow</math>
|<math>\downarrow</math>
|<math>\searrow</math>
|
|-
|15
|
|15
|15
|15
|
|15
|}
</div>

Յուրաքանչյուր տողում, սյունում և անկյունագծերի վրա թվերի գումարը անվանում են '''''մոգական հաստատուն'''''՝ <math>M</math>։ Նորմալ մոգական քառակուսու մոգական հաստատունը կախված է միայն <math>n</math>-ից և որոշվում է <math>M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}</math> բանաձևով։

{{Hider|
 title = Ինչու է դա այդպես |
 hidden = 1 |
 title-style = text-align: left; |
 content-style = text-align: left; |
 content =
Դիցուք ունենք <math>n</math> կողմով քառակուսի։ Այդ դեպքում նրանում կլինի <math>n^2</math> թիվ։

Մի կողմից <math>1</math>-ից <math>n^2</math> թվերի գումարը հավասար է՝ <math> S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n^2 = \cfrac {n^2} {2} ( n^2 + 1 ) </math>, իսկ մյուս կողմից՝ <math> S = nM </math> (կողմերի և մոգական հաստատունի արտադրյալ)։

Հավասարեցնելով ստացված գումարները կստանանք վերևում նշված բանաձևը։
 }}
Առաջին մոգական հաստատունների արժեքները բերված են հետևյալ աղյուսակում ({{OEIS|A006003}})`

{| align="center" width="500px;" border="3"
|----- align="center"
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''Կարգ ''n'''''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | 3
| align="center" bgcolor="#AAff00" | 4
| align="center" bgcolor="#AAff00" | 5
| align="center" bgcolor="#AAff00" | 6
| align="center" bgcolor="#AAff00" | 7
| align="center" bgcolor="#AAff00" | 8
| align="center" bgcolor="#AAff00" | 9
| align="center" bgcolor="#AAff00" | 10
| align="center" bgcolor="#AAff00" | 11
| align="center" bgcolor="#AAff00" | 12
| align="center" bgcolor="#AAff00" | 13
|----- align="center"
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''M'' </sub>(n)'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''34'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''65'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''111'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''175'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''260'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''369'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''505'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''671'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''870'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''1105'''
|}
== Պատմականորեն նշանակալի մոգական քառակուսիներ ==

=== Լո Շուի քառակուսի ===
[[Պատկեր:Magic square Lo Shu.png|left|thumb|Լո Շուի պատկերը դարաշրջանի գրքում [[Мин (династия)|Мин]]]]
[[Պատկեր:Lo Shu 3x3 magic square.svg|left|thumb]]
Լո Շու ({{Չինարեն|洛書|洛书|luò shū}}) '''3×3''' չափի միակ նորմալ մոգական քառակուսին։ Առաջին պատկերը հայտնի է դարձել դեռ [[Հին Չինաստան]]ում [[Կրիաներ|կրիա]]յի պատյանի վրա, որը թվագրվում է մ.թ.ա. 2200 թվականին։

{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:10em;height:10em;table-layout:fixed;"
|----
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''4'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''2'''
|----
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''5'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''7'''
|----
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''8'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''6'''
|}

=== Կխաջուրախոյում (Հնդկաստան) հայտնաբերված մոգական քառակուսի ===
Ամենավաղ յուրահատուկ մոգական քառակուսին հայտնաբերվել է [[Հնդկաստան|հնդկական]] [[Կխաջուրախո]] քաղաքի [[9-րդ դար]]ի ձեռագրերում՝
{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:12em;height:12em;table-layout:fixed;"
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''12'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''14'''
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''2'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''8'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''11'''
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''16'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''10'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''5'''
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''6'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''4'''
|}

Սա առաջին մոգական քառակուսիներից է, որը դասվում է [[Սատանայական մոգական քառակուսի|«սատանայական» քառակուսիներ]] տարատեսակին<ref>[http://laplas.narod.ru/alfavit_1.files/pril_3.htm 404<!-- Заголовок добавлен ботом -->]{{Չաշխատող արտաքին հղում|bot=InternetArchiveBot }}</ref><ref>[http://telesmi.narod.ru/new_synthesis/page09.htm Telesmi<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref><ref>Mathline: [http://www.pbs.org/teachers/mathline/concepts/historyandmathematics/activity2.shtm    Magic Squares and Stars]{{ref-en}}</ref>։

=== Յան Խուեայի (Չինաստան) մոգական քառակուսի ===
[[13-րդ դար]]ում [[Չինաստանի Ժողովրդական Հանրապետություն|չին]] [[մաթեմատիկոս]] [[Յան Խուեա]]ն զբաղվում էր մոգական քառակուսիների կառուցման խնդիրների մեթոդներով։ Իր հետազոտությունները հետագայում շարունակեցին այլ չին մաթեմատիկոսներ։ Յան Խուեան ուսումնասիրում էր ոչ միայն երրորդ կարգի մոգական քառակուսիները, այլ նաև ավելի բարձր կարգի։ Իր որոշ մոգական քառակուսիներ շատ ավելի բարդ էին, սակայն նա միշտ տալիս էր նրանց կառուցման կանոնները։ Նա կարողացավ ստեղծել վեցերորդ կարգի մոգական քառակուսի, ընդ որում վերջինս ստացվեց գրեթե '''''ասոցիատիվ''''' (նրանում կենտրոնական հակադիր տեղադրված միայն երկու [[Թիվ|թվերի]] զույգերի գումարը հավասար չէր '''37'''-ի)<ref>В. Е. Еремеев ''«[http://science.rsuh.ru/eremeev/china/index.htm Традиционная наука Китая] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080225060319/http://science.rsuh.ru/eremeev/china/index.htm |date=2008-02-25 }}»'', Глава 5: ''Математика''.</ref>։

{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:16em;height:16em;table-layout:fixed;"
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''27'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''29'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''2'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''4'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''36'''
|----
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''20'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''22'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''31'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''18'''
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''32'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''25'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''21'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''23'''
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''14'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''16'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''34'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''30'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''12'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''5'''
|----
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''28'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''6'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''17'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''26'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''19'''
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''24'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''33'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''35'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''8'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''10'''
|}

=== Ալբրեխտ Դյուրերի քառակուսի ===
[[Պատկեր:Albrecht Dürer - Melencolia I (detail).jpg|right|thumb|Հատված Դյուրերայի «[[Մելանխոլիա (Դյուրերայի փորագրություն)|Մելանխոլիա]]» փորագրությունից]] 
'''4×4''' չափի մոգական քառակուսին, որը պատկերված է [[Ալբրեխտ Դյուրեր]]ի «[[Մելանխոլիա (փորագրություն Դյուրեր)|Մելանխոլիա]]» փորագրության վրա, համարվում է ամենավաղը [[եվրոպա]]կան [[արվեստ]]ում<ref>Н.Макарова ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/dyurer.htm Магический квадрат Дюрера]»''</ref>։ Ներքին շարքի երկու միջին թվերը ցույց են տալիս [[փորագրություն|փորագրության]] ստեղծման տարեթիվը ([[1514]])։

{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:12em;height:12em;table-layout:fixed;"
|----
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''16'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''2'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''13'''
|----
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''5'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''10'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''8'''
|----
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''6'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''12'''
|----
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''4'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''14'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''1'''
|}

Ցանկացած [[հորիզոնական]], [[ուղղահայաց]] և [[անկյունագիծ|անկյունագծերի]] թվերի գումարը հավասար է '''34'''-ի։ Այդ գումարը հանդիպում է նաև բոլոր անկյունային '''2x2''' չափի քառակուսիներում, կենտրոնական քառակուսիում '''(10+11+6+7)''', քառակուսու անկյունային վանդակներում '''(16+13+4+1)''', քառակուսիներում, որոնք կառուցված են ''«ձիու քայլով»'' '''(2+8+9+15 և 3+5+12+14)''', ուղղանկյուններում, որոնք ձևավորվել են հակադիր կողմերի միջին վանդակների զույգերով '''(3+2+15+14 և 5+8+9+12)'''։ Լրացուցիչ սիմետրիաների մեծ մասը կապված է նրա հետ, որ ցանկացած կենտրոնական սիմետրիկ տեղաբաշխված թվերի զույգի գումարը հավասար է '''17'''-ի։

=== Հենրի Է.Դյուդենիի և Ալլան Ու.Ջոնսոն-կրտսերի քառակուսիներ ===
Եթե '''n x n''' քառակուսային մատրիցայում մտած չէ ոչխիստ [[բնական թվեր]]ի [[շարք]]ը, ապա այդ մոգական քառակուսին կոչվում է '''''ոչավանդական'''''։ Ներքևում բերված են այդպիսի երկու մոգական քառակուսիներ, լրացված [[պարզ թվեր]]ով (թեև '''1'''-ը ժամանակակից թվերի տեսությունում չի համարվում պարզ թիվ)։ Առաջինն ունի '''n=3''' կարգ ([[Հենրի Է.Դյուդենի|Դյուդենիի]] քառակուսի), իսկ երկրորդը ('''4 x 4''' չափի)՝ [[Ալլան Ու.Ջոնսոն-կրտսեր|Ջոնսոնի]] քառակուսի։ Այդ երկու քառակուսիները մշակվել են քսաներորդ դարի սկզբին<ref>А. К. Дьюдени ''«[http://www.codenet.ru/progr/alg/chis.php Просеивание числового песка в поисках простых чисел]»''</ref>։

{| align="center"
|-
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:8em;height:8em"
|----
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''67'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''43'''
|----
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''37'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''61'''
|----
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''31'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''73'''
| align="center" bgcolor="#AAff00" | '''7'''
|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:8em"
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''61'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''19'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''37'''
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''43'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''31'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''5'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''41'''
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''73'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''29'''
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''67'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''17'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''23'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''13'''
|}
|}

Կան նմանատիպ ևս մի քանի օրինակներ՝

{| align="left" border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 17 || 89 || 71
|-
| 113 || 59 || 5
|-
| 47 || 29 || 101
|}
{| align="center" border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:30em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
|1||823||821||809||811||797||19||29||313||31||23||37
|-
|89||83||211||79||641||631||619||709||617||53||43||739
|-
|97||227||103||107||193||557||719||727||607||139||757||281
|-
|223||653||499||197||109||113||563||479||173||761||587||157
|-
|367||379||521||383||241||467||257||263||269||167||601||599
|-
|349||359||353||647||389||331||317||311||409||307||293||449
|-
|503||523||233||337||547||397||421||17||401||271||431||433
|-
|229||491||373||487||461||251||443||463||137||439||457||283
|-
|509||199||73||541||347||191||181||569||577||571||163||593
|-
|661||101||643||239||691||701||127||131||179||613||277||151
|-
|659||673||677||683||71||67||61||47||59||743||733||41
|-
|827||3||7||5||13||11||787||769||773||419||149||751
|}

Վերջին քառակուսին, որն ստեղծվել է [[1913]] թվականին [[Ջ.Ն.Մանսի]]ի կողմից, ուշագրավ է նրանով, որ այն կառուցված է '''143''' հաջորդական պարզ թվերով՝ բացառությամբ երկու դեպքի. ընդգրկվել է '''1''' թիվը, որը պարզ թիվ չի համարվում, և չի օգտագործվել միակ զույգ պարզ թիվը՝ '''2'''-ը։

== Լրացուցիչ հատկություններով քառակուսիներ ==
=== Սատանայական մոգական քառակուսի ===
'''Սատանայական քառակուսին''' կամ '''համաանկյունագծային քառակուսին''' մոգական քառակուսի է, որում մոգական հաստատունը երկու ուղղություններով նույնպես համընկնում է կոտրված անկյունագծերի թվերի գումարին (անկյունագծեր, որոնց պտտացնելու արդյունքում քառակուսուց ստացվում է [[տոռ]])։

Գոյություն ունեն '''4 x 4''' չափի պտույտների ճշտության և արտապատկերման '''48''' սատանայական քառակուսիներ։ Եթե ուշադրություն դարձնենք նաև տոռական զուգահեռ տեղափոխման համաչափությանը, ապա կմնա '''3''' իրարից տարբեր քառակուսիներ՝

{| align="center"
|-
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''8'''
| align="center" bgcolor="#Afff00" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#FC0000" | '''12'''
|----
| align="center" bgcolor="#FC0000" | '''14'''
| align="center" bgcolor="#Afff00" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''2'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''7'''
|----
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''4'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''5'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''16'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''9'''
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''10'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''6'''
|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#Afff00" | '''12'''
| align="center" bgcolor="#FC0000" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''14'''
|----
| align="center" bgcolor="#Afff00" | '''8'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''2'''
| align="center" bgcolor="#FC0000" | '''11'''
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''10'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''16'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''5'''
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''6'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | '''4'''
|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''8'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''14'''
|----
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''12'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''2'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''7'''
|----
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''6'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''16'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''9'''
|----
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''10'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''5'''
| align="center" bgcolor="#F0BBBB" | '''4'''
|}
|}

Համաանկյունագծային քառակուսիներ գոյություն ունեն նաև '''n>3''' չորրորդ կարգերի համար, ցանկացած կրկնակի զույգության '''n=4k (k=1, 2, 3...)''' կարգի և գոյություն չունի միակ զույգությամբ '''n=4k+2 (k=1, 2, 3, ...)''' կարգերի համար։

Չորրորդ կարգի համաանկյունագծային քառակուսիներն ունեն մի շարք լրացուցիչ հատկություններ, որոնց համար նրանց անվանում են '''կատարյալ'''։ Կենտ կարգի կատարյալ քառակուսիներ գոյություն չունեն։ Գոյություն ունեն '''4'''-ից բարձր կարգի կրկնակի զույգությամբ կատարյալ համաանկյունագծային քառակուսիներ<ref>Н.Макарова ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh.htm Совершенные магические квадраты]»''</ref>։

Հինգերորդ կարգի համաանկյունագծային քառակուսիների թիվը '''3600''' է։ Հաշվի առնելով տոռական զուգահեռ տեղափոխությունը տարբեր համաանկյունագծային քառակուսիների թիվը կազմում է '''144'''։ Նրանցից մեկը ցույց է տրված ներքևում։

{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:13em;height:13em;table-layout:fixed;"
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''24'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''8'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''17'''
|----
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''18'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''2'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''25'''
|----
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''12'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''21'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''10'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''19'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''3'''
|----
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''20'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''4'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''22'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''6'''
|----
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''23'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''16'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''5'''
| align="center" bgcolor="#CCAAAA" | '''14'''
|}

[[Պատկեր:Համաանկյունագծային քառակուսու կոտրված անկյունագծեր.JPG|centre|thumb|Համաանկյունագծային քառակուսու կոտրված անկյունագծեր]]

Եթե համաանկյունագծային քառակուսին միաժամանակ նաև ասսոցիատիվ է, այդ դեպքում նրան անվանում են '''''իդեալական'''''<ref name="9p18k">Г.Александров ''«[http://renuar911.narod.ru/Ideal_9_plus_18k.htm Идеальные магические квадраты порядка <math>n = 9 + 18 k</math>, где <math>k=2, 3, 4, \dots</math>]»''</ref>։ Ներքևում բերված է իդեալական մոգական քառակուսու օրինակ։

{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:20em;height:12em;table-layout:fixed;"
|-----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 21
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 32
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 70
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 26
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 28
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 69
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 22
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 36
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 65
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 40
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 81
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 2
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 39
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 77
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 7
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 44
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 73
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 6
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 62
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 10
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 51
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 58
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 18
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 47
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 57
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 14
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 52
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 66
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 23
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 34
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 71
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 19
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 33
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 67
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 27
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 29
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 4
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 45
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 74
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 3
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 41
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 79
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 8
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 37
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 78
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 53
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 55
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 15
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 49
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 63
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 11
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 48
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 59
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 16
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 30
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 68
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 25
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 35
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 64
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 24
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 31
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 72
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 20
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 76
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 9
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 38
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 75
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 5
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 43
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 80
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 1
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 42
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 17
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 46
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 60
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 13
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 54
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 56
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 12
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 50
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 61
|----
|}

Հայտնի է, որ գոյություն չունեն '''n=4k+2''' կարգի իդեալական մոգական քառակուսիներ և '''n=4''' կարգի քառակուսի։ Միևնույն ժամանակ գոյություն ունեն '''n=8'''<ref>H.Danielsson ''«[http://www.magic-squares.de/eigenschaften/ultramagisch/beispiel2.html Ultramagisches Quadrat 8. Ordnung]»''{{ref-de}}</ref> կարգի իդեալական քառակուսիներ։ Բաղադրյալ քառակուսիների կառուցման մեթոդները կարելի է կառուցել ութերորդ կարգի տվյալ քառակուսու '''n=8k''', '''k=5, 7, 9, ...''' և '''n=8<sup>p</sup>, p=2, 3, 4, ...'''<ref>Н.Макарова ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm Идеальные квадраты чётно-чётного порядка]»''</ref> կարգերի իդեալական քառակուսիների կառուցման համար։ [[2008]] թվականին ստեղծվել է '''n=4k, k=2, 3, 4, ...''' կարգի իդեալական քառակուսիների կառուցման կոմբինատոր մեթոդը։

== Մոգական քառակուսիների կառուցումը ==
=== Կտուրների մեթոդը ===
''Նկարագրված է [[Յու.Վ.Չերբակով]]ի «Մոգական մատրիցաների տեսությունում»''։

Տրված կենտ '''n''' թվի համար գծենք '''n x n''' չափի քառակուսային աղյուսակ։ Այդ աղյուսակի բոլոր չորս կողմերում կառուցենք [[կտուր]]ներ (փոքր [[բուրգ]]եր)։ Արդյունքում կստանանք [[աստիճան]]ային սիմետրիկ պատկեր։
{| cellpadding="10" align="center"
|-
|
{| style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:18em;height:18em;table-layout:fixed;"
|-
|bgcolor=#f8f8f8|<math>Y</math>
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|4
||
||
||
||
||
|bgcolor=#ddddff|5
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|3
||
||
||
||
|bgcolor=#ddddff|4
||
|bgcolor=#ddddff|10
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|2
||
||
||
|bgcolor=#f8f8f8|3
||
|bgcolor=#f8f8f8|9
||
|bgcolor=#f8f8f8|15
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|1
||
||
|bgcolor=#ffffdd|2
||
|bgcolor=#f8f8f8|8
||
|bgcolor=#f8f8f8|14
||
|bgcolor=#ddffdd|20
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|0
||
|bgcolor=#ffffdd|1
||
|bgcolor=#f8f8f8|7
||
|bgcolor=#f8f8f8|13
||
|bgcolor=#f8f8f8|19
||
|bgcolor=#ddffdd|25
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-1
||
||
|bgcolor=#ffffdd|6
||
|bgcolor=#f8f8f8|12
||
|bgcolor=#f8f8f8|18
||
|bgcolor=#ddffdd|24
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-2
||
||
||
|bgcolor=#f8f8f8|11
||
|bgcolor=#f8f8f8|17
||
|bgcolor=#f8f8f8|23
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-3
||
||
||
||
|bgcolor=#ffdddd|16
||
|bgcolor=#ffdddd|22
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-4
||
||
||
||
||
|bgcolor=#ffdddd|21
||
||
||
||
|-
||<font color=#ffffff>.</font>
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
||
|bgcolor=#f8f8f8|<math>X</math>
|bgcolor=#f8f8f8|-4
|bgcolor=#f8f8f8|-3
|bgcolor=#f8f8f8|-2
|bgcolor=#f8f8f8|-1
|bgcolor=#f8f8f8|0
|bgcolor=#f8f8f8|1
|bgcolor=#f8f8f8|2
|bgcolor=#f8f8f8|3
|bgcolor=#f8f8f8|4
|}
|}
Սկսելով աստիճանային պատկերի ձախ գագաթից լրացնենք նրա անկյունագծային շարքերը <math>1</math>-ից <math>N^2</math> բնական թվերով։

Դրանից հետո թվերի '''n'''-րդ կարգի դասական մատրիցա ստանալու համար, որոնք գտնվում են կտուրների վրա, տեղադրենք '''n x n''' չափի աղյուսակի այն տեղերում, որոնցում նրանք կարող էին գտնվել, եթե տեղափոխենք նրանք կտուրների հետ միասին այնքան, քանի դեռ կտուրի հիմքը չի միացել աղյուսակի հակառակ կողմին։
{| cellpadding="10" align="center"
|-
|
{| style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:18em;height:18em;table-layout:fixed;"
|-
|bgcolor=#f8f8f8|<math>Y</math>
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|4
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|3
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|2
||
||
||
|bgcolor=#f8f8f8|3
|bgcolor=#ffdddd|16
|bgcolor=#f8f8f8|9
|bgcolor=#ffdddd|22
|bgcolor=#f8f8f8|15
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|1
||
||
||
|bgcolor=#ddffdd|20
|bgcolor=#f8f8f8|8
|bgcolor=#ffdddd|21
|bgcolor=#f8f8f8|14
|bgcolor=#ffffdd|2
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|0
||
||
||
|bgcolor=#f8f8f8|7
|bgcolor=#ddffdd|25
|bgcolor=#f8f8f8|13
|bgcolor=#ffffdd|1
|bgcolor=#f8f8f8|19
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-1
||
||
||
|bgcolor=#ddffdd|24
|bgcolor=#f8f8f8|12
|bgcolor=#ddddff|5
|bgcolor=#f8f8f8|18
|bgcolor=#ffffdd|6
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-2
||
||
||
|bgcolor=#f8f8f8|11
|bgcolor=#ddddff|4
|bgcolor=#f8f8f8|17
|bgcolor=#ddddff|10
|bgcolor=#f8f8f8|23
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-3
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-4
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
||<font color=#ffffff>.</font>
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
||
|bgcolor=#f8f8f8|<math>X</math>
|bgcolor=#f8f8f8|-4
|bgcolor=#f8f8f8|-3
|bgcolor=#f8f8f8|-2
|bgcolor=#f8f8f8|-1
|bgcolor=#f8f8f8|0
|bgcolor=#f8f8f8|1
|bgcolor=#f8f8f8|2
|bgcolor=#f8f8f8|3
|bgcolor=#f8f8f8|4
|}
|}
<br />
{| cellpadding="10" align="center"
|-
|
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:10em;height:10em;table-layout:fixed;"
|-
|3||16||9||22||15
|-
|20||8||21||14||2
|-
|7||25||13||1||19
|-
|24||12||5||18||6
|-
|11||4||17||10||23
|}
|}
=== Այլ եղանակներ ===
Մոգական քառակուսիների կառուցման կանոնները բաժանվում են երեք կատեգորիաների կախված իրենց կարգից՝ կենտ է, հավասար է կենտ թվի կրկնապատիկին կամ հավասար է կենտ թվի քառապատիկին։ Բոլոր քառակուսիների կառուցման ընդհանուր մեթոդ հայտնի չէ, թեև հաճախ կիրառվում են տարբեր սխեմաներ<ref>Энциклопедия ''«Кругосвет»'': ''«[http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm Магический квадрат] »''.</ref><ref>Н. Макарова ''«[http://www.natalimak1.narod.ru/metody1.htm Методы построения магических квадратов (обзорная статья)]»''</ref>։ Գտնել <math>n</math>-րդ կարգի բոլոր մոգական քառակուսիները հնարավոր է միայն <math>n\le 4</math>-ի համար, դրա համար մեծ հետաքրքրություն է ներկայացնում մոգական քառակուսիների կառուցման մասնավոր ընթացակարգեր <math>n>4</math>-ի համար։ Ամենահեշտ ձևն է մշակել կենտ կարգի մոգական քառակուսիներ։ Անհրաժեշտ է <math>(i, j)</math> կոորդինատն ունեցող դաշտում տեղադրել 
: <math>1+((i-j+(n-1)/2)\bmod n)n+((i+j+(n+1)/2)\bmod n)</math>

Առավել հեշտ է կառուցել քառակուսին հետևյալ ձևով։ Վերցնենք <math>n x n</math> մատրիցան։ Նրա ներսում ստեղծվում է աստիճանային [[շեղանկյուն]]։ Նրանում բջիջները ձախից վերև անկյունագծով լրացվում է հաջորդական կենտ թվերով։ Որոշվում է կենտրոնի բջջի <math>C</math> արժեքը։ Այդ դեպքում մոգական քառակուսու անկյուններում արժեքները կլինեն այսպիսին՝ վերին աջ բջիջը՝ <math>C-1</math>, ներքևի ձախ բջիջը՝ <math>C+1</math>, ներքևի աջ բջիջը՝ <math>C-n</math>, վերևի աջ բջիջը՝ <math>C+n</math>։ Աստիճանային անկյունային [[եռանկյուն]]ներում դատարկ բջիջները լրացվում են հաշվի առնելով հետևյալ պարզ կանոնները՝ 1) տողերով՝ թվերը ձախից աջ մեծացվում են <math>n+1</math> քայլով, 2) սյուներով՝ թվերը վերևից ներքև մեծացվում են <math>n-1</math> քայլով։

Մշակված են ալգորիթմներ համաանկյունագծային քառակուսիներ<ref>Г.Александров ''«[http://renuar911.narod.ru/ideal_mk.html Метод построения идеального магического квадрата нечётного порядка]»''</ref><ref>Г.Александров
* ''«[http://renuar911.narod.ru/1.htm Идеальный panmagic]»''
* ''«[http://renuar911.narod.ru/MS4k_pan.html Пандиагональный квадрат порядка 4k]»''
* ''«[http://renuar911.narod.ru/Pan_4k.htm Программа на Yabasic для построения пандиагонального квадрата порядка n = 4]»''</ref>, ինչպես նաև <math>9x9</math> չափի իդեալական մոգական քառակուսիներ կառուցելու համար<ref>Г.Александров
* ''«[http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9.html Идеальный магический квадрат 9 x 9]»''
* ''«[http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9_2.html Еще один идеальный квадрат 9 x 9]»''</ref>։
<ref>Н.Макарова ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm Магические квадраты девятого порядка]»''</ref> Այդ արդյունքները հնարավորություն են տալիս կառուցել <math>n=9(2k + 1), k=0, 1, 2, 3, \dots</math><ref name="9p18k"/><ref>Н.Макарова ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal9.htm Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных девяти]»''</ref> կարգի իդեալական մոգական քառակուսիներ։ Գոյություն ունեն նաև ընդհանուր մեթոդներ կենտ <math>n>3</math><ref>Г.Александров
* ''«[http://renuar911.narod.ru/IMSb.html Идеальные магические квадраты]»''
* ''«[http://renuar911.narod.ru/IMS21_5.html Пять примеров идеальных магических квадратов 21x21]»''
* ''«[http://renuar911.narod.ru/IMS-D.html Идеальные магические квадраты любого нечётного порядка n>3]»''</ref>
<ref>Н. Макарова
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm Идеальные магические квадраты. Метод качелей]»''
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm Метод построения идеальных магических квадратов нечётного порядка с помощью латинских квадратов]»''</ref> կարգի իդեալական մոգական քառակուսիներ ձևավորելու համար։ Մշակվել են <math> n=8k, k=1, 2, 3, \dots</math><ref>Н.Макарова ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch1.htm Метод построения идеальных квадратов порядка n = 8k]»''</ref> կարգի իդեալական մոգական քառակուսիների և կատարյալ մոգական քառակուսիների ստեղծման մեթոդներ<ref>Н. Макарова
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm Метод построения совершенных магических квадратов из обратимых]»''
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/latsov.htm Метод построения совершенных магических квадратов с помощью обобщённых латинских квадратов]»''
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh1.htm Построение совершенных магических квадратов методом качелей]»''</ref>։ Զույգ-կենտ կարգի համաանկյունագծային և իդեալական քառակուսիների ձևավորումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե նրանք ոչավանդական են<ref>Е.Слкуни ''«[http://www.iatp.am/slkuni/gre-la.htm Нетрадиционные пандиагональные магические квадраты 6-го порядка]»''</ref><ref>Н.Макарова
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/netradic.htm Нетрадиционные магические квадраты]»''
* ''«[http://www.natalimak1.narod.ru/netradic1.htm Метод построения нетрадиционных идеальных квадратов порядка n=4k+2]»''.</ref>։
<ref>Г.Александров ''«[http://renuar911.narod.ru/ideal_netra.html Идеальный нетрадиционный магический квадрат порядка n=4k+2]</ref> Ամեն դեպքում, կարելի է գտնել գրեթե համաանկյունագծային քառակուսիներ<ref>Г.Александров ''»[http://renuar911.narod.ru/magicProstChetn.mht Почти пандиагональные магические квадраты порядка 4k+2]"''</ref>։ Գտնվել են իդեալական-կատարյալ մոգական քառակուսիների հատուկ խումբ (ավանդդական և ոչավանդական)<ref>Г.Александров ''«[http://renuar911.narod.ru/ideal_sov.html Идеальный совершенный магический квадрат четного порядка]</ref>։.

== Ավելի բարդ քառակուսիների օրինակներ ==

Խիստ մեթոդաբանորեն մշակվել են կենտ կարգի և կրկնակի զույգության կարգի մոգական քառակուսիներ<ref>http://bspu.ab.ru/~festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf{{Չաշխատող արտաքին հղում|bot=InternetArchiveBot }}</ref>։ Միայնակ զույգության կարգի քառակուսիների ֆորմալացումը ավելի բարդ է, ինչը ցույց են տալիս հետևյալ սխեմաները՝

{| align="center"
| style="padding:0 1em" |
{| border="3" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:11em;height:8em"
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 18
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 24
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''5'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 6
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 12
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 22
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 16
|-----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''19'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''25'''
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 10
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''17'''
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''23'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 4
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 14
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 20
| align="center" bgcolor="#FFC000" | '''21'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 2
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 8
|}
| style="padding:0 2em" |
{| border="3" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:17em;height:8em"
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 64
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 2
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 3
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 61
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 60
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 6
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 7
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 57
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 9
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 55
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 54
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 12
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 13
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 51
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 50
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 16
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 17
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 47
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 46
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 20
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 21
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 43
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 42
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 24
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 40
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 26
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 27
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 37
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 36
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 30
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 31
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 33
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 32
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 34
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 35
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 29
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 28
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 38
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 39
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 25
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 41
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 23
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 22
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 44
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 45
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 19
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 18
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 48
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 49
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 15
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 14
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 52
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 53
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 11
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 10
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 56
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 8
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 58
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 59
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 5
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 4
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 62
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 63
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 1
|}
| style="padding:0 2em" |
{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:23em;height:12em;table-layout:fixed;"
|-----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 100
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 99
| align="center" bgcolor="#Afff00" | 93
| align="center" bgcolor="#FC0000" | 7
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 5
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 6
| align="center" bgcolor="#FC0000" | 4
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 8
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 92
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 91
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 11
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 89
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 88
| align="center" bgcolor="#Afff00" | 84
| align="center" bgcolor="#FC0000" | 16
| align="center" bgcolor="#FC0000" | 15
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 17
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 83
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 82
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 20
|----
| align="center" bgcolor="#FC0000" | 30
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 22
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 78
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 77
| align="center" bgcolor="#Afff00" | 75
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 26
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 74
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 73
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 29
| align="center" bgcolor="#FC0000" | 21
|----
| align="center" bgcolor="#Afff00" | 61
| align="center" bgcolor="#FC0000" | 39
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 33
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 67
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 66
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 65
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 64
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 38
| align="center" bgcolor="#FC0000" | 32
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 40
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 60
| align="center" bgcolor="#Afff00" | 52
| align="center" bgcolor="#FC0000" | 48
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 44
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 56
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 55
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 47
| align="center" bgcolor="#FC0000" | 43
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 49
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 51
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 50
| align="center" bgcolor="#Afff00" | 42
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 53
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 54
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 46
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 45
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 57
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 58
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 59
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 41
|----
| align="center" bgcolor="#Afff00" | 31
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 62
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 63
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 37
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 36
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 35
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 34
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 68
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 69
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 70
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 71
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 72
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 28
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 27
| align="center" bgcolor="#Afff00" | 25
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 76
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 24
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 23
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 79
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 80
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 81
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 19
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 18
| align="center" bgcolor="#Afff00" | 14
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 85
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 86
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 87
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 13
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 12
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 90
|----
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 10
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 9
| align="center" bgcolor="#Afff00" | 3
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 94
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 95
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 96
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 97
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 98
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 2
| align="center" bgcolor="#FFC000" | 1
|}
|}

Գոյություն ունեն մոգական քառակուսիներ կառուցելու մի քանի տասնյակ այլ մեթոդներ։

== Շախմատային մոտեցում ==
Հայտնի է, որ [[շախմատ]]ը, ինչպես նաև մոգական քառակուսիները, առաջացել են [[Հնդկաստան]]ում տասնյակ [[դար]]եր առաջ։ Պատահական չէ, որ մոգական քառակուսիների կառուցումն առաջացել է շախմատային մոտեցման գաղափարից։ Առաջին անգամ այս միտքը տվել է [[Էյլեր]]ը։ Նա փորձեց ստանալ ամբողջ մոգական քառակուսին ձիու անընդհատ քայլերի միջոցով։ Սակայն այն նրան չհաջողվեց, քանի որ գլխավոր անկյունագծերում թվերի գումարը տարբերվում էր մոգական հաստատունից։ Այնուամենայնիվ, շախմատային տրոհումը թույլ է տալիս ստեղծել ցանկացած մոգական քառակուսի։ Թվերը լցվում են կանոնավոր և տող առ տող՝ հաշվի առնելով դաշտերի գույները։
== Տես նաև ==
* [[Մոգական վեցանկյուն]]
* [[Լատինական քառակուսի]]
* [[Պալինդրոմ]]
* [[Սուպերմոգական քառակուսի]]
* [[Մոգական խորանարդ]]
* [[Սուպերմոգական խորանարդ]]
* [[Թվային գլուխկոտրուկ]]
* [[Շրջանակային մոգական քառակուսիներ]]
== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|2}}

==Գրականություն==
* Я. В. Успенский Избранные математические развлечения. - Сеятель, 1924.
* Б. А. Кордемский Математическая смекалка. - М.։ ГИФМЛ, 1958. - 576 с.
* М. М. Постников Магические квадраты. - М.։ Наука, 1964.
* Н. М. Рудин От магического квадрата к шахматам. - М.։ Физкультура и спорт, 1969.
* Е. Я. Гуревич Тайна древнего талисмана. - М.։ Наука, 1969.
* М. Гарднер Математические досуги. - М.։ Мир, 1972.
* Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. - М.։ Педагогика, 1989. - 352 с. - ISBN 5-7155-0218-7.
* Ю. В. Чебраков Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. - СПб.։ СПб гос. техн. ун-т, 1995.
* Ю. В. Чебраков Теория магических матриц. - СПб., 2008.
* М. Гарднер Глава 17. Магические квадраты и кубы // Путешествие во времени. - М.։ Мир, 1990.
* Чирказов Д. Буквенные магические квадраты как симметричные текстовые массивы. // Современные научные исследования и инновации. – № 11 Ноябрь 2012

== Արտաքին հղումներ ==

* М. Гарднер ''»[http://vadda.livejournal.com/45317.html Рецензия на книгу Кэтлин Оллереншоу и Дэвида Бри]"''{{ref-ru}}
* H. Heinz [https://web.archive.org/web/20010426154801/http://www.geocities.com/~harveyh/transform.htm Magic Squares, Magic Stars & Other Patterns]{{ref-en}}
* Н. Скрябина, В.Дубовской [http://www.dubovskoy.net/MAGIC/magic%20SQ.doc Магические квадраты] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110428054645/http://www.dubovskoy.net/MAGIC/magic%20SQ.doc |date=2011-04-28 }}{{ref-ru}}
* [http://chess7.narod.ru/ Шахматный подход]{{ref-ru}}
* [http://www.natalimak1.narod.ru/netrpr.htm Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел]{{ref-ru}}
* [http://www.natalimak1.narod.ru/sqmin1.htm Наименьшие магические квадраты из простых чисел]{{ref-ru}}
* «[http://www.natalimak1.narod.ru/formul.htm Общие формулы магических квадратов.]»{{ref-ru}}

[[Կատեգորիա:Թվերի տեսություն]]
[[Կատեգորիա:Մատրից]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկայի չլուծված խնդիրներ]]