Դիտել Մոդուլո գործողություն էջի վիքիկոդը

'''Մոդուլո գործողություն,''' թվաբանության մեջ վերադարձնում է բաժանման արդյունքում ստացված մնացորդը՝ նշանով, կամ առանց նշանի։

Տրված են երկու դրական թվեր՝ a և n: a մոդուլո n-ը (համակարգչային գիտության մեջ՝ a mod n) Էվկլիդյան բաժանման մնացորդն է՝ a-ն n-ի բաժանելիս, որտեղ a-ն բաժանելին է, իսկ n-ը՝ բաժանարարը<ref>{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Congruence |url=https://mathworld.wolfram.com/Congruence.html |access-date=2020 թ․ օգոստոսի 27 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref>։

Օրինակ, 5 mod 2 արտահայտության արժեքը 1 է, քանի որ 5-ը բաժանված է 2-ի, ունի քանորդ՝ 2, իսկ մնացորդը՝ 1, մինչդեռ «9 mod 3» արտահայտության արժեքը 0 է, քանի որ 9-ը բաժանված է 3-ի, ունի քանորդ՝ 3 և մնացորդ՝ 0 (3-ը 3-ի բազմապատկելուց հետո,երբ պատասխանը հանում ենք 9-ից, ստացվում է 0)։

Սովորաբար այս գործողությունը կատարվում է այնպիսի a-ով և n-ով, որ երկուսն էլ լինեն ամբողջ թվեր, սակայն շատ հաշվողական համակարգեր այժմ թույլ են տալիս a-ի և n-ի այլ տեսակներ։ n-ի ամբողջ թվային մոդուլային գործողության արժեքների միջակայքը 0-ից n-1-ն է ներառյալ (mod 1-ը միշտ 0 է, mod 0-ն որոշված չէ, ինչը կարող է հանգեցնել զրոյով բաժանման սխալի որոշ ծրագրավորման լեզուներում)։

Երբ a-ից կամ n-ից մեկը բացասական է, սահմանումը խախտվում է, և ծրագրավորման լեզուները տարբերվում են նրանով, թե ինչպես են սահմանում համակարգչի տված պատասխանը այդ իրավիճակում։

== Սահմանման տարբերակներ ==
Մաթեմատիկայում մոդուլո գործողության արդյունքը համարժեքության դաս է (ինչպես օրինակ mod 5 գործողության համար դաս 0 = {0, 5, 10, 15, …}, դաս1 = {1, 6, 11, 16, …} և այլն), և դասի ցանկացած անդամ կարող է ընտրվել որպես դասի ներկայացնող անդամ։ Այնուամենայնիվ, սովորաբար, որպես ներկայացնող ընտրվում է նվազագույն ոչ բացասական ամբողջ թիվը, որը պատկանում է այդ դասին։ Այնուամենայնիվ, հնարավոր են այլ սահմանումներ։

Համակարգիչներն ու հաշվիչներն ունեն թվեր պահելու և ներկայացնելու տարբեր եղանակներ, հետևաբար, մոդուլային գործողության նրանց սահմանումը կախված է ծրագրավորման լեզվից կամ համակարգչի սարքախմբից։

Գրեթե բոլոր հաշվողական համակարգերում q գործակիցը և a-ն բաժանած n-ի մնացորդ r-ը բավարարում են հետևյալ պայմաններին.
: {{NumBlk|:|<math>\begin{align}
&q, r \in \mathbb{Z} \\
&a = n q + r \\
&|r| < |n|
\end{align}</math>|{{EquationRef|1}}}}

Այնուամենայնիվ, սա դեռևս թողնում է նշանի անորոշություն, եթե մնացորդը զրոյական չէ. տեղի է ունենում մնացորդի համար երկու հնարավոր ընտրություն, մեկը բացասական, մյուսը դրական, և երկու հնարավոր ընտրություն գործակիցի համար։ Թվերի տեսության մեջ միշտ ընտրվում է դրական մնացորդը, իսկ հաշվարկում ծրագրավորման լեզուները ընտրում են՝ կախված լեզվից և a-ի կամ n-ի նշաններից։ Ստանդարտ [[Պասկալ (ծրագրավորման լեզու)|Pascal]]-ը և ALGOL 68-ը, օրինակ, տալիս են դրական մնացորդ (կամ 0) նույնիսկ բացասական բաժանարարների համար, իսկ որոշ ծրագրավորման լեզուներ, ինչպիսին է C90-ը, թողնում են այն իմպլեմենտացիային, երբ n-ից կամ a-ից որևէ մեկը բացասական՝ a mod 0-ն որոշված չէ համակարգերի մեծ մասում, թեև ոմանք այն սահմանում են որպես a՝
{{bulleted list
| [[File:Divmod truncated.svg|thumb|upright=1.2|{{colorbox|red}} Քանորդ ({{math|''q''}}) և {{colorbox|lightgreen}} մնացորդ ({{math|''r''}}), որպես ֆունկցիայի բաժանելիներ ({{math|''a''}}), օգտագործելով կոտորակային մասը կտրելով բաժանում]]
Շատ իմպլեմենտացիաներ օգտագործում են կոտորակային մասը կտրելով բաժանում (truncated division), որի համար որպես մնացորդ սահմանվում է․
: <math>q = \left[\frac{a}{n}\right]</math> ,
որտեղ []-ը ամբողջ մաս ֆունկցիան է։
Հավասարումից հետևում է, որ մնացորդը ունի նույն նշանը, ինչ բաժանելին․
: <math>r = a - n \left[\frac{a}{n}\right]</math>

| [[File:Divmod floored.svg|thumb|upright=1.2|Քանորդ և մնացորդ, օգտագործելով դեպի ներքև կլորացումով բաժանում]]
Դոնալդ Կնութը<ref>{{Cite book |last=Knuth |first=Donald. E. |url=https://archive.org/details/artofcomputerpro0003knut |title=The Art of Computer Programming |publisher=Addison-Wesley |year=1972 |url-access=registration}}</ref> դեպի ներքև կլորացումով բաժանման կողմնակիցն էր, որի համար քանորդը սահմանվում է․
: <math>q = \left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor</math>,
որտեղ ⌊⌋-ը դեպի ներքև կլորացման ֆունկցիան է([[Rounding#Rounding down|rounding down]]).
Հավասարումից հետևում է, որ մնացորդը ունի նույն նշանը, ինչ բաժանելին․
: <math>r = a - n \left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor</math>

| [[File:Divmod Euclidean.svg|thumb|upright=1.2|Քանորդ և մնացորդ, օգատգործելով Էվկլիդյան բաժանում]]
Ռայմոնդ Բոութը<ref>{{Cite journal |last=Boute |first=Raymond T. |date=1992 թ․ ապրիլ |title=The Euclidean definition of the functions div and mod |url=http://portal.acm.org/citation.cfm?id=128862&coll=portal&dl=ACM |journal=ACM Transactions on Programming Languages and Systems |publisher=ACM Press (New York, NY, USA) |volume=14 |issue=2 |pages=127–144 |doi=10.1145/128861.128862 |s2cid=8321674 |hdl-access=free |hdl=1854/LU-314490}}</ref> Էվկլիդյան բաժանման կողմնակիցն էր, որի համաար քանորդը սահմանվում է․
: <math>q = \sgn(n) \left\lfloor\frac{a}{\left|n\right|}\right\rfloor =
\begin{cases}
  \left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor & \text{if } n > 0 \\
  \left\lceil\frac{a}{n}\right\rceil   & \text{if } n < 0 \\
\end{cases}</math>,
որտեղ {{math|sgn}}-ը [[sgn]] ֆունկցիան է, ⌊⌋-ը դեպի ներքև կլորացման  ֆունկցիան է, և ⌈⌉-ը դեպի վեր կլորացման ֆունկցիան է։Հետևաբար, հավասարումից հետևում է, որ մնացորդը ոչ բացասական է․
: <math>r = a - |n| \left\lfloor\frac{a}{\left|n\right|}\right\rfloor</math>

| [[File:Divmod rounding.svg|thumb|upright=1.2|Քանորդ և մնացորդ, օգտագործելով կլորացումով բաժանում]]
Common [[Լիսպ|Lisp]]-ը  և IEEE 754-ը օգտագործում են կլորացումով բաժանում, որի համար քանորդը սահմանվում է․
: <math>q = \operatorname{round}\left(\frac{a}{n}\right)</math>
որտեղ {{math|round}}-ը կլորացման ֆունկցիան է։
Հետևաբար, մնացորդը ընկած է <math>-\frac{n}{2}</math>-ի և <math>\frac{n}{2}</math>-ի միջակայքում, և նշանը համապասախանում է 0-ից աջ կամ ձախ գտնվելուն այդ միջակայքում ․
: <math>r = a - n \operatorname{round}\left(\frac{a}{n}\right)</math>

|[[File:Divmod ceiling.svg|thumb|upright=1.2|Քանորդ և մնացորդ, օգտագործելով դեպի վերև կլորացումով բաժանում]]
Common [[Լիսպ|Lisp]]-ը նաև օգտագործում է դեպի վեր կլոորացումով բաժանում, որի համար քանորդը սահմանված է․
: <math>q = \left\lceil\frac{a}{n}\right\rceil</math>,
որտեղ ⌈⌉-ը դեպի վեր կլորացման ֆունկցիան է։ Հետևաբար, հավասարումից հետևում է, որ մնացորդը ունի բաժանարարի հակառակ նշանը․
: <math>r = a - n \left\lceil\frac{a}{n}\right\rceil</math>
}}

Լեյջենն ասել է․
{{Քաղվածք|Բուտը պնդում է, որ էվկլիդեսյան բաժանումը գերազանցում է մյուսներին օրինաչափության և օգտակար մաթեմատիկական հատկությունների առումով, թեև դեպի ներքև կլորացումով բաժանումը, որի կողմնակիցն է Կնուտը, նույնպես լավ սահմանում է։ Չնայած դրա լայն տարածմանը, կոտորակային մասը կտրելով բաժանումը զիջում է մյուս սահմանումներին։|Division and Modulus for Computer Scientists''<ref name="Leijen">{{Cite document |last=Leijen |first=Daan |date=2001 թ․ դեկտեմբերի 3 |title=Division and Modulus for Computer Scientists |access-date=2014 թ․ դեկտեմբերի 25 |url=https://www.microsoft.com/en-us/research/wp-content/uploads/2016/02/divmodnote-letter.pdf}}</ref>}}

Այնուամենայնիվ կոտորակային մասը կտրելով բաժանումը բավարարում է այս նույնությանը <math>({-a})/b = {-(a/b)} = a/({-b})</math>.<ref>{{Cite web |last1=Peterson |first1=Doctor |date=2001 թ․ հուլիսի 5 |title=Mod Function and Negative Numbers |url=http://mathforum.org/library/drmath/view/52343.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20191022160922/http://mathforum.org/library/drmath/view/52343.html |archive-date=2019 թ․ հոկտեմբերի 22 |access-date=2019 թ․ հոկտեմբերի 22 |website=Math Forum - Ask Dr. Math}}</ref>

== Նշանը ==
Որոշ հաշվիչներ ունեն mod() ֆունկցիայի կոճակ, և շատ ծրագրավորման լեզուներ ունեն նմանատիպ ֆունկցիա, որն արտահայտվում է հիմնականում, որպես mod(a, n)։ Ոմանք որպես նշան օգտագործում են «%», «mod» կամ «Mod» նշանները՝ որպես մոդուլ կամ մնացորդային օպերատոր, օրինակ՝ % n կամ mod n:

Ֆունկցիան չունեցող միջավայրերը կարող են օգտագործել վերը նշված երեք սահմանումներից որևէ մեկը։

== Տարածված սխալներ ==
Երբ մոդուլային գործողության արդյունքն ունի բաժանելիի նշանը (կոտորակային մասը կտրելով բաժանման սահմանում), դա կարող է հանգեցնել սխալների։

Օրինակ, ստուգելու համար, թե արդյոք ամբողջ թիվը կենտ է, կարելի է հակված լինել ստուգելու, թե արդյոք այդ թիվը 2-ի բաժանելիս մնացորդը հավասար է 1-ի։

<syntaxhighlight lang="cpp">
bool is_odd(int n) {
    return n % 2 == 1;
}
</syntaxhighlight>

Այն լեզուներում, որտեղ մնացորդը ունի բաժանելիի նշանը, այս ալգորիթմը կտա սխալ պատասխան, որովհետև, երբ n-ը բաժանելին է և կենտ է, {{math|''n''}} mod 2 -ը կվերադարձնի −1 և վերևի ֆունկցիան կվերադարձնի false։

Այս խնդիրի լուծման համար ալգորթիմի ճիշտ ալտերնատիվն է ստուգելը, որ մնացորդը 0 չէ (քանի որ, զույգ թվերը 2-ի բաժանելիս մնացորդը 0 է անկախ նշանից)։

<syntaxhighlight lang="cpp">
bool is_odd(int n) {
    return n % 2 != 0;
}
</syntaxhighlight>

Մեկ ուրիշ տարբերակ է ստուգելը, որ մնացորդը կամ 1 է, կամ -1։

<syntaxhighlight lang="cpp">
bool is_odd(int n) {
    return n % 2 == 1 || n % 2 == -1;
}
</syntaxhighlight>

Ավելի պարզ ալտերնատիվ է վերաբերվելը n% 2-ի արդյունքին, որպես բուլյան արժեք, որտեղ ցանկացած ոչ զրոյական պատասխան վերադարձնում է true:

<syntaxhighlight lang="cpp">
bool is_odd(int n) {
    return n % 2;
}
</syntaxhighlight>

== Կատարողականության խնդիրներ ==
Մոդուլային գործողությունները կարող են իրականացվել այնպես, որ ամեն անգամ հաշվարկվը կատարվի մնացորդով բաժանումով։ Հատուկ դեպքերի համար, որոշ սարքավորումների վրա, կան ավելի արագացված տարբերակներ։ Օրինակ, 2-ի աստիճանների մնացորդը կարող է հաշվվել որպես բիթային AND գործողություն (ենթադրելով, որ x-ը դրական ամբողջ թիվ է կամ օգտագործել բոլոր սահմանումները բացի կոտորակային մասը կտրելով բաժանման սահմանումից)։
:<code>x % 2<sup>n</sup> == x & (2<sup>n</sup> - 1)</code>

Օրինակներ։
:{{code|1=x % 2 == x & 1}}
:{{code|1=x % 4 == x & 3}}
:{{code|1=x % 8 == x & 7}}

Սարքերում և ծրագրերում, որոնք ավելի արդյունավետ են իրականացնում բիթային գործողությունները, քան մոդուլոն, այս այլընտրանքային ձևերը կարող են արագացնել հաշվարկները<ref>{{Cite web |last=Horvath |first=Adam |date=2012 թ․ հուլիսի 5 |title=Faster division and modulo operation - the power of two |url=http://blog.teamleadnet.com/2012/07/faster-division-and-modulo-operation.html}}</ref>։

[[Կոմպիլյատորներ. սկզբունքներ, տեխնոլոգիաներ և գործիքներ|Կոմպիլյատորների]] օպտիմիզացիաները կարող են ճանաչել {{code|արտահայտություն % հաստատուն}} գործողությունը, որտեղ հաստատունը երկուսի աստիճան է և ավտոմատ կերպով իրականացնել դրանք որպես {{code|արտահայտություն & (հաստատուն-1)}}՝ թույլ տալով ծրագրավորողին գրել ավելի հստակ կոդ՝ առանց կատարողականությունը վատացնելու։ Այս պարզ օպտիմիզացիան հնարավոր չէ այն լեզուների համար, որոնցում մոդուլային գործողության արդյունքն ունի բաժանելիի նշան (ներառյալ [[C (ծրագրավորման լեզու)|C]]), բացառությամբ այն դեպքերի, երբ բաժանելին առանց նշանկի ամբողջ թիվ չէ։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ եթե բաժանելին բացասական է, մոդուլը բացասական կլինի, մինչդեռ {{code|& (հաստատուն-1)}} արտահայտությունը միշտ դրական կլինի։ Այս լեզուների համար համարժեքը <code>x % 2<sup>n</sup> == x < 0? x | ~(2<sup>n</sup> - 1): x & (2<sup>n</sup> - 1)</code> -ն է,որը օգտագործում է բիթային OR, NOT և AND գործողությունները։

== Հատկություններ ==
Որոշ մոդուլո գործողություններ կարող են ֆակտորիզացվել և վերլուծվել, ինչպես այլ մաթեմատիկական գործողությունները։ Սա կարող է օգտակար լինել [[Գաղտնագրություն|գաղտնագրության]] ապացույցների մեջ, օրինակ օգտագործվում է [[Դիֆֆի-Հելլմանի բանալու փոխանակում|Դիֆֆի-Հելլմանի բանալու փոխանակման]] մեջ։ Այս հատկություններից որոշները պահանջում են, որ {{math|''a''}}-ն և {{math|''n''}}-ը լինեն ամբողջ թվեր․
* Նույնականություն․
** {{math|(''a'' mod ''n'') mod ''n'' {{=}} ''a'' mod ''n''}}.
** {{math|''n''{{sup|''x''}} mod ''n'' {{=}} 0}} {{math|''x''}}-ի բոլոր դրական արժեքների համար.
** Եթե {{math|''p''}}-ն պարզ թիվ է, որը {{math|''b''}}-ի բաժանարար չէ, then {{math|''ab''{{i sup|''p''−1}} mod ''p'' {{=}} ''a'' mod ''p''}}, ըստ Ֆերմայի փոքր թեորեմի.
* Հակադարձ․
** {{math|[(−''a'' mod ''n'') + (''a'' mod ''n'')] mod ''n'' {{=}} 0}}:
** {{math|''b''{{sup|−1}} mod ''n''}} նշանակում է մոդուլային բազմապատկվող հակադարձ, որը սահմանվում է, այն և միայն այն դեպքում, երբ b-ն և n-ը համեմատաբար պարզ են, որը տեղի ունի, երբ ձախ կողմը սահմանված է։ {{math|[(''b''{{sup|−1}} mod ''n'')(''b'' mod ''n'')] mod ''n'' {{=}} 1}}:
* Բաշխական․
** {{math|(''a'' + ''b'') mod ''n'' {{=}} [(''a'' mod ''n'') + (''b'' mod ''n'')] mod ''n''}}.
** {{math|''ab'' mod ''n'' {{=}} [(''a'' mod ''n'')(''b'' mod ''n'')] mod ''n''}}.
* Բաժանում (սահմանում)․ {{math|{{sfrac|''a''|''b''}} mod ''n'' {{=}} [(''a'' mod ''n'')(''b''{{sup|−1}} mod ''n'')] mod ''n''}}, երբ աջ մասը լավ սահմանված է (երբ {{math|''b''}}-ն և {{math|''n''}}-ը փոխադարձաբար պարզ են)։
* Հակադարձ բազմապատկում․ {{math|[(''ab'' mod ''n'')(''b''{{sup|−1}} mod ''n'')] mod ''n'' {{=}} ''a'' mod ''n''}}.

== Ծրագրավորման լեզուներում ==
{| class="wikitable sortable"
|+ Մոդուլո գործողությունը տարբեր ծրագրավորման լեզուներում
|-
! scope="col" | [[Ծրագրավորման լեզու|Լեզու]]
! scope="col" | Գործողություն
! scope="col" | Ամբողջ թիվ
! scope="col" | Խառը թիվ
! abbr="Sign" scope="col" | Սահմանում

|-
| ABAP
| {{code|MOD}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Էվկլիդյան

|-
| ActionScript
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | [[Ada (ծրագրավորման լեզու)|Ada]]
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով<ref name="Ada">{{Cite journal |year=2012 |title=ISO/IEC 8652:2012 - Information technology — Programming languages — Ada |publisher=[[International Organization for Standardization|ISO]], [[International Electrotechnical Commission|IEC]] |at=sec. 4.5.5 Multiplying Operators}}</ref>
|-
| {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref name="Ada" />

|-
| ALGOL 68
| {{code|÷×}}, {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Էվկլիդյան

|-
| AMPL
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| APL
| <code><nowiki>|</nowiki></code>{{efn|name=rev|Argument order reverses, i.e., <code><nowiki>α|ω</nowiki></code> computes <math>\omega\bmod\alpha</math>, the remainder when dividing {{code|ω}} by {{code|α}}.}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| AppleScript
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| AutoLISP
| {{code|(rem d n)}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| [[AWK]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| bash
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| BASIC
| {{code|Mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Որոշված չէ

|-
| bc
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="3" | [[C (programming language)|C]]{{break}}[[C++]]
| {{code|%}}, {{code|div}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով{{efn|name=c|[[C99]] and [[C++11]] define the behavior of {{code|%}} to be truncated.<ref name="C99">{{Cite web |date=2005 թ․ մայիսի 6 |title=C99 specification (ISO/IEC 9899:TC2) |url=http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/docs/n1124.pdf |access-date=2018 թ․ օգոստոսի 16 |at=sec. 6.5.5 Multiplicative operators}}</ref> The standards before then leave the behavior implementation-defined.<ref>{{Cite journal |year=2003 |title=ISO/IEC 14882:2003: Programming languages – C++ |publisher=[[International Organization for Standardization]] (ISO), [[International Electrotechnical Commission]] (IEC) |at=sec. 5.6.4 |quote=the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. .... If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined}}</ref>}}
|-
| {{code|fmod}} (C){{break}}{{code|std::fmod}} (C++)
| {{no}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite journal |year=1990 |title=ISO/IEC 9899:1990: Programming languages – C |publisher=[[International Organization for Standardization|ISO]], [[International Electrotechnical Commission|IEC]] |at=sec. 7.5.6.4 |quote=The {{math|fmod}} function returns the value {{math|x - i * y}}, for some integer {{math|i}} such that, if {{math|y}} is nonzero, the result has the same sign as {{math|x}} and magnitude less than the magnitude of {{math|y}}.}}</ref>
|-
| {{code|remainder}} (C){{break}}{{code|std::remainder}} (C++)
| {{no}}
| {{yes}}
| Կլորացումով

|-
| rowspan="2" | [[C Sharp|C#]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով
|-
| {{code|Math.IEEERemainder}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կլորացումով<ref name=".NET">{{Cite web |last=dotnet-bot |title=Math.IEEERemainder(Double, Double) Method (System) |url=https://learn.microsoft.com/en-us/dotnet/api/system.math.ieeeremainder?view=net-7.0 |access-date=2022 թ․ հոկտեմբերի 4 |website=learn.microsoft.com |language=en-us}}</ref>

|-
| Clarion
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Clean
| {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | Clojure
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով<ref>{{Cite web |title=clojure.core - Clojure v1.10.3 API documentation |url=https://clojure.github.io/clojure/clojure.core-api.html#clojure.core/mod |access-date=2022 թ․ մարտի 16 |website=clojure.github.io}}</ref>
|-
| {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=clojure.core - Clojure v1.10.3 API documentation |url=https://clojure.github.io/clojure/clojure.core-api.html#clojure.core/rem |access-date=2022 թ․ մարտի 16 |website=clojure.github.io}}</ref>

|-
| COBOL
| {{code|FUNCTION MOD}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով{{efn|As implemented in ACUCOBOL, Micro Focus COBOL, and possible others.}}

|-
| rowspan="2" | [[CoffeeScript]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով
|-
| {{code|%%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով<ref name="CoffeeScript">[http://coffeescript.org/#operators CoffeeScript operators]</ref>

|-
| [[ColdFusion]]
| {{code|%}}, {{code|MOD}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | [[Common Lisp]]
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | Crystal
| {{code|%}}, {{code|modulo}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|remainder}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| D
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=Expressions - D Programming Language |url=https://dlang.org/spec/expression.html#mul_expressions |access-date=2021 թ․ հունիսի 1 |website=dlang.org}}</ref>

|-
| rowspan="2" | [[Dart]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Էվկլիդյան<ref>{{Cite web |title=operator % method - num class - dart:core library - Dart API |url=https://api.dart.dev/stable/2.13.1/dart-core/num/operator_modulo.html |access-date=2021 թ․ հունիսի 1 |website=api.dart.dev}}</ref>
|-
| {{code|remainder()}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=remainder method - num class - dart:core library - Dart API |url=https://api.dart.dev/stable/2.13.1/dart-core/num/remainder.html |access-date=2021 թ․ հունիսի 1 |website=api.dart.dev}}</ref>

|-
| Eiffel
| {{code|\\}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | Elixir
| {{code|rem/2}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=Kernel — Elixir v1.11.3 |url=https://hexdocs.pm/elixir/Kernel.html#rem/2 |access-date=2021 թ․ հունվարի 28 |website=hexdocs.pm}}</ref>
|-
| {{code|Integer.mod/2}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով<ref>{{Cite web |title=Integer — Elixir v1.11.3 |url=https://hexdocs.pm/elixir/Integer.html#mod/2 |access-date=2021 թ․ հունվարի 28 |website=hexdocs.pm}}</ref>

|-
| rowspan="2" | Elm
| {{code|modBy}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով<ref>{{Cite web |title=Basics - core 1.0.5 |url=https://package.elm-lang.org/packages/elm/core/latest/Basics#modBy |access-date=2022 թ․ մարտի 16 |website=package.elm-lang.org}}</ref>
|-
| {{code|remainderBy}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=Basics - core 1.0.5 |url=https://package.elm-lang.org/packages/elm/core/latest/Basics#remainderBy |access-date=2022 թ․ մարտի 16 |website=package.elm-lang.org}}</ref>

|-
| rowspan="2" | Erlang
| {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով
|-
| {{code|math:fmod/2}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | Euphoria
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|remainder}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | F#
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով
|-
| {{code|Math.IEEERemainder}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կլորացումով<ref name=".NET" />

|-
| Factor
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| FileMaker
| {{code|Mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| rowspan="3" | Forth
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Implementation defined
|-
| {{code|fm/mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|sm/rem}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | Fortran
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով
|-
| {{code|modulo}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| Frink
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| rowspan="2" | GLSL
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Որոշված չէ<ref>{{Cite web |title=GLSL Language Specification, Version 4.50.7 |url=https://www.khronos.org/registry/OpenGL/specs/gl/GLSLangSpec.4.50.pdf |at=section 5.9 Expressions |quote=If both operands are non-negative, then the remainder is non-negative. Results are undefined if one or both operands are negative.}}</ref>
|-
| {{code|mod}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով<ref>{{Cite web |title=GLSL Language Specification, Version 4.50.7 |url=https://www.khronos.org/registry/OpenGL/specs/gl/GLSLangSpec.4.50.pdf |at=section 8.3 Common Functions}}</ref>

|-
| GameMaker Studio (GML)
| {{code|mod}}, {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="4" | GDScript (Godot)
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով
|-
| {{code|fmod}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով
|-
| {{code|posmod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|fposmod}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| rowspan="3" | Go
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=The Go Programming Language Specification - The Go Programming Language |url=https://go.dev/ref/spec#Integer_operators |access-date=2022 թ․ փետրվարի 28 |website=go.dev}}</ref>
|-
| {{code|math.Mod}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=math package - math - pkg.go.dev |url=https://pkg.go.dev/math#Mod |access-date=2022 թ․ փետրվարի 28 |website=pkg.go.dev}}</ref>
|-
| {{code|big.Int.Mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Էվկլիդյան<ref>{{Cite web |title=big package - math/big - pkg.go.dev |url=https://pkg.go.dev/math/big#Int.Mod |access-date=2022 թ․ փետրվարի 28 |website=pkg.go.dev}}</ref>

|-
| Groovy
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="3" | Haskell
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով<ref name="Haskell 2010">{{Cite web |title=6 Predefined Types and Classes |url=https://www.haskell.org/onlinereport/haskell2010/haskellch6.html#x13-1370006.4.2 |access-date=2022 թ․ մայիսի 22 |website=www.haskell.org}}</ref>
|-
| {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref name="Haskell 2010" />
|-
| {{code|Data.Fixed.mod'}} ([[Glasgow Haskell Compiler|GHC]])
| {{no}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| Haxe
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| HLSL
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Որոշված չէ<ref>{{Cite web |author=<!--Not stated--> |title=Operators |url=https://docs.microsoft.com/en-us/windows/win32/direct3dhlsl/dx-graphics-hlsl-operators#additive-and-multiplicative-operators |access-date=2021 թ․ հուլիսի 19 |publisher=[[Microsoft]] |quote=The % operator is defined only in cases where either both sides are positive or both sides are negative. Unlike C, it also operates on floating-point data types, as well as integers.}}</ref>

|-
| J
| <code><nowiki>|</nowiki></code>{{efn|name=rev}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| rowspan="2" | [[Ջավա|Java]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով
|-
| {{code|Math.floorMod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| [[JavaScript]]{{break}}[[TypeScript]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | Julia
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով<ref>{{Cite web |title=Mathematics · The Julia Language |url=https://docs.julialang.org/en/v1/base/math/#Base.mod |access-date=2021 թ․ նոյեմբերի 20 |website=docs.julialang.org}}</ref>
|-
| {{code|%}}, {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=Mathematics · The Julia Language |url=https://docs.julialang.org/en/v1/base/math/#Base.rem |access-date=2021 թ․ նոյեմբերի 20 |website=docs.julialang.org}}</ref>

|-
| rowspan="2" | [[Kotlin]]
| {{code|%}}, {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=rem - Kotlin Programming Language |url=https://kotlinlang.org/api/latest/jvm/stdlib/kotlin/-int/rem.html |access-date=2021 թ․ մայիսի 5 |website=Kotlin |language=en}}</ref>
|-
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով<ref>{{Cite web |title=mod - Kotlin Programming Language |url=https://kotlinlang.org/api/latest/jvm/stdlib/kotlin/mod.html |access-date=2021 թ․ մայիսի 5 |website=Kotlin |language=en}}</ref>

|-
| rowspan="2" | ksh
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով 
|-
| {{code|fmod}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| [[LabVIEW]]
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| [[LibreOffice]]
| {{code|1==MOD()}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| rowspan="2" | Logo
| {{code|MODULO}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|REMAINDER}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| [[Lua (ծրագրավորման լեզու)|Lua]] 5
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| [[Lua (ծրագրավորման լեզու)|Lua]] 4
| {{code|mod(x,y)}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Liberty BASIC
| {{code|MOD}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Mathcad
| {{code|mod(x,y)}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| rowspan="3" | Maple
| {{code|e mod m}} (by default), {{code|modp(e, m)}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Էվկլիդյան
|-
| {{code|mods(e, m)}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կլորացումով
|-
| {{code|frem(e, m)}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կլորացումով

|-
| Mathematica
| {{code|Mod[a, b]}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| rowspan="2" | MATLAB
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | Maxima
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|remainder}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| [[Maya Embedded Language]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| [[Microsoft Excel]]
| {{code|1==MOD()}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| Minitab
| {{code|MOD}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| rowspan="2" | [[Modula-2]]
| {{code|MOD}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|REM}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| MUMPS
| {{code|#}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| rowspan="2" | Netwide Assembler (NASM, NASMX)
| {{code|%}}, {{code|div}} (unsigned)
| {{yes}}
| {{no}}
| {{N/A}}
|-
| {{code|%%}} (signed)
| {{yes}}
| {{no}}
| Implementation-defined<ref>{{Cite web |title=Chapter 3: The NASM Language |url=https://nasm.us/doc/nasmdoc3.html#section-3.5.11 |website=NASM - The Netwide Assembler version 2.15.05}}</ref>

|-
| Nim
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| [[Oberon (ծրագրավորման լեզու)|Oberon]]
| {{code|MOD}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով-like{{efn|Divisor must be positive, otherwise undefined.}}

|-
| [[Objective-C]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով (same as C99)

|-
| Object Pascal, Delphi
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | OCaml
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=OCaml library : Stdlib |url=https://ocaml.org/releases/4.13/api/Stdlib.html#VAL(mod) |access-date=2022 թ․ փետրվարի 19 |website=ocaml.org}}</ref>
|-
| {{code|mod_float}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=OCaml library : Stdlib |url=https://ocaml.org/releases/4.13/api/Stdlib.html#VALmod_float |access-date=2022 թ․ փետրվարի 19 |website=ocaml.org}}</ref>

|-
| Occam
| {{code|\}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| [[Պասկալ (ծրագրավորման լեզու)|Pascal]] (ISO-7185 and -10206)
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Էվկլիդյանի նման{{efn|1=As discussed by Boute, ISO Pascal's definitions of {{code|div}} and {{code|mod}} do not obey the Division Identity of {{math|1=''D'' = ''d'' · (''D'' / ''d'') + ''D'' % ''d''}}, and are thus fundamentally broken.}}

|-
| Programming Code Advanced ([[Principal component analysis|PCA]])
| {{code|\}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Որոշված չէ

|-
| rowspan="2" | [[Perl]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով{{efn|Perl usually uses arithmetic modulo operator that is machine-independent. For examples and exceptions, see the Perl documentation on multiplicative operators.<ref>[http://perldoc.perl.org/perlop.html#Multiplicative-Operators Perl documentation]</ref>}}
|-
| {{code|POSIX::fmod}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | Phix
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|remainder}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | [[PHP]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=PHP: Arithmetic Operators - Manual |url=https://www.php.net/manual/en/language.operators.arithmetic.php |access-date=2021 թ․ նոյեմբերի 20 |website=www.php.net}}</ref>
|-
| {{code|fmod}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=PHP: fmod - Manual |url=https://www.php.net/manual/en/function.fmod.php |access-date=2021 թ․ նոյեմբերի 20 |website=www.php.net}}</ref>

|-
| PIC BASIC Pro
| {{code|\\}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| PL/I
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով (ANSI PL/I)

|-
| PowerShell
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Programming Code (PRC)
| {{code|MATH.OP - 'MOD; (\)'}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Որոշված չէ

|-
| Progress
| {{code|modulo}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2"| Prolog ([https://www.iso.org/standard/21413.html ISO 1995])
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| PureBasic
| {{code|%}}, {{code|Mod(x,y)}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| PureScript
| {{code|`mod`}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Էվկլիդյան<ref name="purescript_euclid">{{Cite web |title=EuclideanRing |url=https://pursuit.purescript.org/packages/purescript-prelude/5.0.1/docs/Data.EuclideanRing#t:EuclideanRing}}</ref>

|-
| rowspan="2" | Pure Data
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով (same as C)
|-
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| rowspan="2" | [[Python]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|math.fmod}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Q#
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |last=QuantumWriter |title=Expressions |url=https://docs.microsoft.com/en-us/quantum/quantum-qr-expressions?view=qsharp-preview#numeric-expressions |access-date=2018 թ․ հուլիսի 11 |website=docs.microsoft.com |language=en-us}}</ref>

|-
| [[R (ծրագրավորման լեզու)|R]]
| {{code|%%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով<ref>{{Cite web |title=R: Arithmetic Operators |url=https://search.r-project.org/R/refmans/base/html/Arithmetic.html |access-date=2022 թ․ դեկտեմբերի 24 |website=search.r-project.org}}</ref>

|-
| rowspan="2" |Racket
| {{code|modulo}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|remainder}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Raku
| {{code|%}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| RealBasic
| {{code|MOD}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Reason
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| [[Rexx]]
| {{code|//}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| RPG
| {{code|%REM}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | [[Ruby (ծրագրավորման լեզու)|Ruby]]
| {{code|%}}, {{code|modulo()}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|remainder()}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | Rust
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով
|-
| {{code|rem_euclid()}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Էվկլիդյան<ref name="rust_rem_euclid">{{Cite web |title=F32 - Rust |url=https://doc.rust-lang.org/std/primitive.f32.html#method.rem_euclid}}</ref>

|-
| SAS
| {{code|MOD}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Scala
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | Scheme
| {{code|modulo}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|remainder}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="4" | Scheme R<sup>6</sup>RS
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Էվկլիդյան<ref name="r6rs">{{Cite web |title=r6rs.org |url=http://www.r6rs.org/final/html/r6rs/r6rs-Z-H-14.html#node_sec_11.7.3.1 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20180315134554/http://www.r6rs.org/final/html/r6rs/r6rs-Z-H-14.html#node_sec_11.7.3.1 |archive-date=2018 թ․ մարտի 15 |accessdate=2023 թ․ օգոստոսի 22}}</ref>
|-
| {{code|mod0}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կլորացումով<ref name="r6rs"/>
|-
| {{code|flmod}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Էվկլիդյան
|-
| {{code|flmod0}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կլորացումով

|-
| [[Scratch]]
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| rowspan="2" | Seed7
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | SenseTalk
| {{code|modulo}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| {{Code|sh}} (POSIX) (includes bash, mksh, &c.)
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով (same as C)<ref>{{Cite web |title=Shell Command Language |url=https://pubs.opengroup.org/onlinepubs/9699919799/utilities/V3_chap02.html#tag_18_06_04 |access-date=2021 թ․ փետրվարի 5 |website=pubs.opengroup.org}}</ref>

|-
| rowspan="2" | [[Smalltalk]]
| {{code|\\}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|rem:}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Snap!
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| Spin
| {{code|//}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| Solidity
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| [[SQL]] ([[SQL:1999]])
| {{code|mod(x,y)}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| [[SQL]] (SQL:2011)
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="3" | [[Standard ML]]
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|Int.rem}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով
|-
| {{code|Real.rem}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Stata
| {{code|mod(x,y)}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Էվկլիդյան

|-
| rowspan="3" | [[Swift (ծրագրավորման լեզու)|Swift]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=Apple Developer Documentation |url=https://developer.apple.com/documentation/swift/binaryinteger/2885003 |access-date=2021 թ․ նոյեմբերի 20 |website=developer.apple.com}}</ref>
|-
| {{code|remainder(dividingBy:)}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կլորացումով<ref>{{Cite web |title=Apple Developer Documentation |url=https://developer.apple.com/documentation/swift/floatingpoint/3017981-remainder |access-date=2021 թ․ նոյեմբերի 20 |website=developer.apple.com}}</ref>
|-
| {{code|truncatingRemainder(dividingBy:)}}
| {{no}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=Apple Developer Documentation |url=https://developer.apple.com/documentation/swift/floatingpoint/3017995-truncatingremainder |access-date=2021 թ․ նոյեմբերի 20 |website=developer.apple.com}}</ref>

|-
| [[Tcl]]
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| tcsh
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Torque
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| Turing
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| Verilog (2001)
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | VHDL
| {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Դեպի ներքև կլորացումով
|-
| {{code|rem}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| VimL
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| [[Visual Basic .NET|Visual Basic]]
| {{code|Mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | WebAssembly
| {{code|i32.rem_u}}, {{code|i64.rem_u}} (unsigned)
| {{yes}}
| {{no}}
| {{N/A}}<ref>{{Cite web |title=Numerics — WebAssembly 1.1 (Draft 2022-03-02) |url=https://webassembly.github.io/spec/core/exec/numerics.html#op-irem-u |access-date=2022 թ․ մարտի 16 |website=webassembly.github.io}}</ref>
|-
| {{code|i32.rem_s}}, {{code|i64.rem_s}} (signed)
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=Numerics — WebAssembly 1.1 (Draft 2022-03-02) |url=https://webassembly.github.io/spec/core/exec/numerics.html#op-irem-s |access-date=2022 թ․ մարտի 16 |website=webassembly.github.io}}</ref>

|-
| [[Ասսեմբլեր լեզու|x86 assembly]]
| {{code|IDIV}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Կոտորակային մասը կտրելով

|-
| rowspan="2" | XBase++
| {{code|%}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով
|-
| {{code|Mod()}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Դեպի ներքև կլորացումով

|-
| Zig
| {{code|%}},
{{code|@mod}}, {{code|@rem}}
| {{yes}}
| {{yes}}
| Կոտորակային մասը կտրելով<ref>{{Cite web |title=Zig Documentation |url=https://ziglang.org/documentation/0.10.0/#Table-of-Operators |access-date=2022 թ․ դեկտեմբերի 18 |website=Zig Programming Language}}</ref>

|-
| Z3 theorem prover
| {{code|div}}, {{code|mod}}
| {{yes}}
| {{no}}
| Էվկլիդյան
|}

Շատ համակարգչային համակարգեր ապահովում են {{code|divmod}} ֆունկցիոնալություն, որը վերադարձնում է քանորդը և մնացորդը միաժամանակ։ Օրինակները ներառում են [[X86|x86 ճարտարապետության]] {{code|IDIV}} հրահանգը, [[C (ծրագրավորման լեզու)|C ծրագրավորման լեզվի]] {{code|div()}} ֆունկցիան և [[Python]]-ի {{code|divmod()}} ֆունկցիան։

== Ընդհանրացումներ ==
=== Մոդուլոն լրացյալով ===
Երբեմն օգտակար է, որ մոդուլոյի արդյունքը ընկած լինի ոչ թե 0-ի և n-1-ի, այլ d-ի և d + n-1-ի միջև։ Այդ դեպքում d-ն կոչվում է ''լրացյալ''։ Թվում է, թե այս գործողության համար ստանդարտ նշում չկա, ուստի եկեք պայմանականորեն օգտագործենք {{math|''a'' mod<sub>''d''</sub> ''n''}}-ը։ Այսպիսով, մենք ունենք հետևյալ սահմանումը. {{math|1=''x'' mod ''n'' = ''a'' mod ''n''}}, երբ d ≤ x ≤ d + n − 1 և x mod n = a mod n: Ակնհայտ է, որ սովորական մոդոյի գործողությունը համապատասխանում է զրո լրացյալին. {{math|1=''a'' mod ''n'' = ''a'' mod<sub>0</sub> ''n''}}: Լրացյալով մոդուլոյի աշխատանքը կապված է դեպի ներքև կլորացման ֆունկցիայի հետ հետևյալ կերպ.
::<math>a \operatorname{mod}_d n = a - n \left\lfloor\frac{a-d}{n}\right\rfloor.</math>

Լրացյալով մոդուլոն {{math|''a'' mod<sub>''d''</sub> ''n''}} իմպլեմենտացված է Mathematica լեզվում, որպես {{code|Mod[a, n, d]}}&thinsp;.<ref name="Mathematica Mod">{{Cite web |author=<!--Not stated--> |date=2020 |title=Mod |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/Mod.html |access-date=2020 թ․ ապրիլի 8 |website=Wolfram Language & System Documentation Center |publisher=[[Wolfram Research]]}}</ref>

=== Մոդուլո գործողության իմպլեմենտացիան, օգտագործելով կոտորակային մասը կտրելով բաժանում ===
Չնայած Կնութի Դեպի ներքև կլորացումով բաժանման և Էվկլիդյան բաժանման մաթեմատիկական գեղեցությանը, ծրագրավորման լեզուներում ընդհանուր առմամբ շատ ավելի տարածված է բաժանման վրա հիմնված մոդուլ գտնելը։ Լեյջենը տրամադրում է հետևյալ ալգորիթմները կոտորակային մասը կտրելով ամբողջ թվի բաժանումը հաշվարկելու համար<ref name="Leijen" />.

<syntaxhighlight lang="c">
/* Euclidean and Floored divmod, in the style of C's ldiv() */
typedef struct {
  /* This structure is part of the C stdlib.h, but is reproduced here for clarity */
  long int quot;
  long int rem;
} ldiv_t;

/* Euclidean division */
inline ldiv_t ldivE(long numer, long denom) {
  /* The C99 and C++11 languages define both of these as truncating. */
  long q = numer / denom;
  long r = numer % denom;
  if (r < 0) {
    if (denom > 0) {
      q = q - 1;
      r = r + denom;
    } else {
      q = q + 1;
      r = r - denom;
    }
  }
  return (ldiv_t){.quot = q, .rem = r};
}

/* Floored division */
inline ldiv_t ldivF(long numer, long denom) {
  long q = numer / denom;
  long r = numer % denom;
  if ((r > 0 && denom < 0) || (r < 0 && denom > 0)) {
    q = q - 1;
    r = r + denom;
  }
  return (ldiv_t){.quot = q, .rem = r};
}
</syntaxhighlight>

Երկու դեպքում էլ մնացորդը կարող է հաշվարկվել քանորդից անկախ, բայց ոչ հակառակը։

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|2}}

== Նշումներ ==
{{Նցանկ}}

== Արտաքին հղումներ ==
* [http://www.rlefebvre.ca/modulorama.htm Modulorama], բազմապատկման աղյուսակների անիմացիոն ցուցադրում (բացատրված է ֆրանսերենով)

[[Կատեգորիա:Ծրագրավորում]]
[[Կատեգորիա:Բաժանում]]
[[Կատեգորիա:Տեսական ինֆորմատիկա]]
[[Կատեգորիա:Ամառային երիտասարդական վիքիճամբարի հոդվածներ]]