Դիտել Նորմալ բաշխում էջի վիքիկոդը

[[Հավանականությունների տեսություն]]ում '''Նորմալ''' (կամ '''Գաուսյան''', '''Գաուսի''', '''Լապլաս֊Գաուսի''')  '''բաշխումը''' [[Իրական թվեր|իրական արժեք]] ունեցող [[Պատահական մեծություն|պատահական մեծության]] համար հավանականության բաշխման տեսակ է։ Բաշխման [[Հավանականության խտություն|խտության ֆունկցիան]] ունի հետևյալ տեսքը՝

:<math>
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
</math>
<math>\mu</math> պարամետրը բաշխման միջինն է կամ [[մաթեմատիկական սպասում]]ը, իսկ <math>\sigma</math> պարամետրը՝ [[ստանդարտ շեղում]]ը<ref name=":0">{{Cite web|date=2020 թ․ ապրիլի 26|title=List of Probability and Statistics Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/probability-statistics-symbols/|access-date=2020 թ․ օգոստոսի 15|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>։ Բաշխման [[Դիսպերսիա (վիճակագրություն)|դիսպերսիան]] հավասար է <math>\sigma^2</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Normal Distribution|url=https://mathworld.wolfram.com/NormalDistribution.html|access-date=2020 թ․ օգոստոսի 15|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>։

Նորմալ բաշխումները կարևոր նշանակություն ունեն [[վիճակագրություն]]ում և հաճախ կիրառվում են [[Բնական գիտություն|բնական]] և [[հասարակական գիտություն]]ներում՝ իրական արժեք ունեցող անհայտ պատահական մեծությունները նկարագրելու համար<ref>[http://www.encyclopedia.com/topic/Normal_Distribution.aspx#3 ''Normal Distribution''], Gale Encyclopedia of Psychology</ref><ref>{{harvtxt |Casella |Berger |2001 |p=102 }}</ref>։ Այս բաշխումների կարևորությունը մասմաբ պայմանավորված է [[կենտրոնական սահմանային թեորեմ]]ով։ Ըստ այս թեորեմի՝ վերջավոր միջին և դիսպերսիա ունեցող պատահական մեծության ընտրույթների միջինը պատահական մեծություն է, որի բաշխումը զուգամիտում է նորմալ բաշխման, երբ ընտրույթների քանակը ձգտում է անվերջության։ Հետևաբար, ֆիզիկական մեծությունների, որոնք բազմաթիվ անկախ պրոցեսների գումար են, ինչպես օրինակ չափումների սխալը, հաճախ ունենում են գրեթե նորմալ բաշխում<ref>Lyon, A. (2014). [https://aidanlyon.com/normal_distributions.pdf Why are Normal Distributions Normal?], The British Journal for the Philosophy of Science.</ref>։

Բացի դա, նորմալ բաշխումը ունի որոշ բացառիկ հատկություններ, որոնք կարևոր են անալիտիկ ուսումնասիրություններում։ Օրինակ, նորմալ շեղումների ֆիքսված բազմության կամայական գծային կոմբինացիան նորմալ շեղում է։ Շատ արդյունքներ և մեթոդներ, ինչպես օրինակ անորոշության տարածումը կամ փոքրագույն քառակուսիների մեթոդ, հնարավոր է անալիտիկորեն դուրս բերել, երբ համապատասխան փոփոխական նորմալ բաշխված է։

== Սահմանումներ ==

=== Ստանդարտ նորմալ բաշխում ===
Նորմալ բաշխման ամենապարզ տարբերակը հայտնի է ''ստանդարտ նորմալ բաշխում'' անվամբ։ Սա այն մասնավոր դեպքն է, երբ <math>\mu=0</math>, <math>\sigma =1</math> և այն տրված է [[հավանականության խտություն]] հետևյալ ֆունկցիայով՝

:<math>
\varphi(x) = \frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac 12 x^2}\text{։}
</math>

Այս արտահայտության մեջ <math>1/\sqrt{2\pi}</math> արտադրիչը ապահովում է, որ ամբողջ առանցքի նկատմամբ <math>\varphi(x)</math> ֆունկցիայի ինտեգրալը հավասար է մեկի{{Ն|Ապացույցի համար տես [[Գաուսյան ինտեգրալ]]}}։ Ցուցիչում <math>1/2</math> արտադրիչի առկայությունը ապահովում է միավոր [[Դիսպերսիա (վիճակագրություն)|դիսպերսիա]]ն և հետևաբար՝ ստանդարտ շեղումը։ Այս ֆունկցիան սիմետրիկ է <math>x=0</math> կետի շուրջ, որտեղ է ստանում է իր առավելագույն արժեքը՝ <math>1/\sqrt{2\pi}</math>, իսկ <math>x=+1</math> և <math>x=-1</math> կետերը ֆունկցիայի [[շրջման կետ]]երն են։

Ստանդարտ նորմալ բաշխման սահմանման վերաբերյալ հակասություն կա։ Ըստ [[Կառլ Գաուս]]ի սահմանման՝ ստանդարտ նորմալ բաշխումը ունի <math>\sigma^2 = 1/2</math> դիսպերսիա, այսինքն՝
:<math>\varphi(x) = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt\pi}</math>։

Իսկ ըստ [[Սթիվեն Սթիգլեր]]ի սահմանման<ref>{{harvtxt |Stigler |1982 }}</ref>՝ ստանդարտ նորմալ բաշխման դիսպերսիան հավասար է <math>\sigma^2 = 1/(2\pi)</math>, այլ կերպ ասած՝
:<math> \varphi(x) = e^{-\pi x^2}</math>։

=== Ընդհանուր նորմալ բաշխում ===
Կամայական նորմալ բաշխում ստանդարտ նորմալ բաշխման ձևափոխված տարբերակ է, որի տիրույթ ձգվել է <math>\sigma</math> անգամ (ստանդարտ շեղումը) և տեղափոխվել <math>\mu</math>-ով (միջին արժեքը)՝

:<math>
f(x \mid \mu, \sigma^2) =\frac 1 \sigma \varphi\left(\frac{x-\mu} \sigma \right)
</math>

Հավանականության խտության ֆունկցիան պետք է բազմապատկվի <math>1/\sigma</math>-ով, որպեսզի ինտեգրալը 1 մնա։ 
Եթե <math>Z</math> պատահական մեծություն ունի ստանդարտ նորմալ բաշխում, ապա <math>X=\sigma Z + \mu</math>-ը կունենա <math>\mu</math> [[Մաթեմատիկական սպասում|մաթեմատիկական սպասմամբ]] և <math>\sigma</math> ստանդարտ շեղմամբ նորմալ բաշխում։ Նմանապես, եթե <math>X</math> <math>\mu</math> և <math>\sigma^2</math> պարամետրերով պատահական մեծություն է, ապա <math>Z=(X-\mu)/\sigma</math>-ը կլինի ստանդարտ նորմալ բաշխում։ Այս ձևափոխությունը կոչվում է  <math>X</math>-ի ստանդարտացում։<!-- մեկ անգամ էլ ստուգել անգլերենի հետ -->

=== Նշանակում ===
Ստանդարտ նորմալ բաշխման հավանականության խտության ֆունկցիան հաճախ նշանակվում է հունարեն <math>\phi</math> ([[Ֆի (տառ)|Ֆի]]) տառով<ref>{{harvtxt |Halperin |Hartley |Hoel |1965 |loc=item 7 }}</ref>։ Հաճախ կիրառվում է այս տառի այլ տարբերակը՝ <math>\varphi</math>-ն։

Նորմալ բաշխումը հաճախ նշանակվում է <math>N(\mu,\sigma^2)</math> կամ <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> ձևով<ref>{{harvtxt |McPherson |1990 |p=110 }}</ref>։ Այսպիսով, եթե <math>X</math> պատահական մեծությունը <math>\mu</math> միջինով և <math>\sigma^2</math> դիսպերսիայով նորմալ բաշխված է, ապա այն գրում են որպես՝

:<math>X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>։
=== Այլ պարամետրեր ===
Որոշ հեղինակներ բաշխման լայնությունը սահմանելու համար շեղման (<math>\sigma</math>) կամ դիսպերսիայի (<math>\sigma^2</math>) փոխարեն օգտագործում են դիսպերսիայի հակադարձը՝ <math>\tau = 1/\sigma^2</math>-ն<ref>{{harvtxt |Bernardo |Smith |2000 |page=121 }}</ref>։ Այս դեպքում բաշխման բանաձևը դառնում է՝

:<math>f(x) = \sqrt{\frac\tau{2\pi}} e^{-\tau(x-\mu)^2/2}</math>։

Ըստ նրանց՝ այս ընտրությունը հաշվարկային առումով առավելություն ունի այն դեպքերում, երբ <math>\sigma</math>-ն շատ մոտ է զրոյին և պարզեցնում է բանաձևերը որոշ դեպքերում, օրինակ՝ մի քանի փոփոխականով նորմալ բաշխում ունեցող պատահական մեծությունների Բայեսյան հետևությունը<!-- ստուգել Bayesian inference -> Բայեսյան հետևություն թարգմանությունը -->։

Նաև կիրառվում է ստանդարտ շեղման հակադարձը՝ <math>\tau^\prime=1/\sigma</math>-ը, որի դեպքում խտության բանաձևը ստանում է հետևյալ տեսքը՝

: <math>f(x) = \frac{\tau^\prime}{\sqrt{2\pi}} e^{-(\tau^\prime)^2(x-\mu)^2/2}</math>։

Ըստ Սթիգլերի՝ այս ներկայացման առավելություններն են պարզ ու հեշտ հիշելի տեսքը և բշխման quantile-ների համար մոտարկման պարզ բանաձևերի հնարավորություն է տալիս։

Նորմալ բաշխումները ''x'' և ''x''<sup>2</sup> բնական վիճակագրությամբ ու <math> \textstyle\theta_1=\frac{\mu}{\sigma^2}</math> և <math>\textstyle\theta_2=\frac{-1}{2\sigma^2}</math> բնական պարամետրերով [[ցուցչային ընտանիք]] են կազմում<!-- հաստատ ստուգել -->։

=== Բաշխման ֆունկցիա ===
Ստանդարտ նորմալ բաշխմամբ պատահական մեծության [[բաշխման ֆունկցիա]] սովորաբար նշանակվում է հունարեն մեծատառ <math>\Phi</math> ([[Ֆի (տառ)|Ֆի]]) տառով և հավասար է հետևյալ ինտեգրալին՝ 
:<math>\Phi(x) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt</math>

Կապված <math>\operatorname{erf}(x)</math> [[Սխալների ֆունկցիա|սխալի ֆունկցիան]] ցույց է տալիս հավանականությունը, որ 0 միջինով և 1/2 դիսպերսիայով պատահական մեծության արժեքը կընկնի <math>[-x, x]</math> միջակայքում, այսինքն՝

:<math>\operatorname{erf}(x) = \frac 2 {\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2} \, dt</math>

Այս ինտեգրալները հնարավոր չէ ներկայացնել տարրական ֆունկցիաների միջոցով և սովորաբար կոչվում են [[հատուկ ֆունկցիաներ]]։ Սակայն, գոյություն ունեն բազմաթիվ թվային մոտարկումներ։

Այս երկու ֆունկցիաները սերտորեն կապված են, մասնավորապես՝

: <math> \Phi(x) = \frac{1}{2} \left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac x {\sqrt 2} \right) \right]</math>

Ընդհանուր նորմալ բաշխաման համար, որն ունի <math>f</math> խտության ֆունկցիա, <math>\mu</math> միջին և <math>\sigma</math> դիսպերսիա, բաշխման ֆունկցիան ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝

:<math>
F(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu} \sigma \right) = \frac{1}{2} \left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2 }\right)\right]
</math>

Ստանդարտ նորմալ բաշխման բաշխման ֆունկցիայի լրացումը՝ <math>Q(x) = 1 - \Phi(x)</math>-ը, հաճախ կոչվում է Q-ֆունկցիա՝ հատկապես ինժեներական գրականության մեջ<ref>{{cite web|url=http://cnx.org/content/m11537/1.2/|last=Scott|first=Clayton|first2=Robert|last2=Nowak|title=The Q-function|work=Connexions|date=2003 թ․ օգոստոսի 7}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf|last=Barak|first=Ohad|title=Q Function and Error Function|publisher=Tel Aviv University|date=2006 թ․ ապրիլի 6|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf|archivedate=2009 թ․ մարտի 25|df=mdy-all}}</ref>։ Այն ցույց է տալիս հավանականությունը, որ <math>X</math> ստանդարտ նորմալ պատահական մեծության արժեքը կգերազանցի <math>x</math>-ին, այսինքն՝ <math>Q(x) = P(X>x)</math>։ Երբեմն կիրառվում են <math>Q</math>-ֆունկցիայի այլ սահմանումներ, որոնք բոլորը <math>\Phi</math> ֆունկցիայի որևէ ձևափոխություն են<ref>{{MathWorld |urlname=NormalDistributionFunction |title=Normal Distribution Function }}</ref>։ Ստանդարտ նորմալի բաշխման ֆունկցիայի [[Ֆունկցիայի գրաֆիկ|գրաֆիկ]]ը ունի 2-րդ կարգի պտտման [[համաչափություն]] (0,1/2) կետի նկատմամբ, այսինքն՝ <math>\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)</math>։ Բաշխման ֆունկցիայի [[Ֆունկցիայի նախնական|նախնականը]] (անորոշ ինտեգրալը) ունի հետևյալ տեսքը՝

:<math>\int \Phi(x)\, dx = x\Phi(x) + \varphi(x) + C.</math>

[[Մասերով ինտեգրում|Մասերով ինտեգրման]] միջոցով նորմալ բաշխման բաշպման ֆունկցիան կարելի է արտահայտել շարքի տեսքով՝

:<math>\Phi(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2} \left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{3\cdot 5} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!!} + \cdots\right]</math>,

որտեղ <math>!!</math>-ը կրկնակի ֆակտորիալի նշանն է։

Մեծ ''x''-երի համար բաշխման ֆունկցիայի ասիմպտոտիկ վերլուծումը նույնպես հնարավոր է ստանալ մասերով ինտեգրման միջոցով<ref>{{AS ref|26, eqn 26.2.12|932}}</ref>։

==== Ստանդարտ շեղում ====
{{further|Միջակայքի գնահատում}}
[[Պատկեր:Standard deviation diagram.svg|thumb|350px]]

Նորմալ բաշխումից վերցված արժեքների մոտ 68 տոկոսը միջինից հեռու են մեկ ստանդարտ շեղումով` ''σ''-ով, մոտ 95 տոկոսը՝ երկու ստանդարտ շեղումով և մոտ 99.7 տոկոսը՝ երեք ստանդարտ շեղումով։ Այս փաստը առավել հայտնի է ''[[երեք սիգմայի կանոն]]'' կամ 68-95-99.7 կանոն անվամբ։

Ընդհանուր դեպքում հավանականությունը, որ նորմալ բաշխմամբ պատահական մեծության արժեքը կընկնի  <math>\mu-n\sigma</math> և <math>\mu+n\sigma</math> միջակայքերում տրվում է հետևյալ բանաձևով՝
:<math>
F(\mu+n\sigma) - F(\mu-n\sigma) = \Phi(n)-\Phi(-n) = \operatorname{erf} \left(\frac{n}{\sqrt{2}}\right)
</math>։

Հետևյալ աղբյուսակում տրված է <math>n=1,2,\ldots , 6</math> արժեքների դեպքում ստացվող արդյունքը (12 [[իմաստալից թվանշաններ]]ի ճշտությամբ)<ref>{{cite web|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5B{N(Erf(n/Sqrt(2)),+12),+N(1-Erf(n/Sqrt(2)),+12),+N(1/(1-Erf(n/Sqrt(2))),+12)},+{n,1,6}%5D |title=Wolfram&#124;Alpha: Computational Knowledge Engine |website=Wolframalpha.com |date= |accessdate=2017 թ․ մարտի 3}}</ref>՝

{| class="wikitable" style="text-align:center;margin-left:24pt"
|- "
! <math>n</math> !! <math>p= F(\mu+n\sigma) - F(\mu-n\sigma)</math> !! <math>\text{i.e. }1-p</math>!! <math>\text{or }1\text{ in }p</math> !! [[OEIS]]
|-
|1 || {{val|0.682689492137}} || {{val|0.317310507863}} ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | {{val|3}} || style="text-align: left; width: 9em;" | {{#invoke:Gapnum|main|.15148718753}}
|}
|| {{OEIS2C|A178647}}
|-
|2 || {{val|0.954499736104}} || {{val|0.045500263896}} ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | {{val|21}} || style="text-align: left; width: 9em;" | {{#invoke:Gapnum|main|.9778945080}}
|}
|| {{OEIS2C|A110894}}
|-
|3 || {{val|0.997300203937}} || {{val|0.002699796063}} ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | {{val|370}} || style="text-align: left; width: 9em;" | {{#invoke:Gapnum|main|.398347345}}
|}
|| {{OEIS2C|A270712}}
|-
|4 || {{val|0.999936657516}} || {{val|0.000063342484}} ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | {{val|15787}} || style="text-align: left; width: 9em;" | {{#invoke:Gapnum|main|.1927673}}
|}
|-
|5 || {{val|0.999999426697}} || {{val|0.000000573303}} ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | {{val|1744277}} || style="text-align: left; width: 9em;" | {{#invoke:Gapnum|main|.89362}}
|}
|-
|6 || {{val|0.999999998027}} || {{val|0.000000001973}} ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | {{val|506797345}} || style="text-align: left; width: 9em;" | {{#invoke:Gapnum|main|.897}}
|}
|}

Մեծ <math>n</math>-երի համար կարելի է մոտարկել <math>1 - p \approx \frac{e^{-n^2/2}}{n\sqrt{\pi/2}}</math>-ով։

== Նշումներ ==
{{նցանկ}}

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

[[Կատեգորիա:Նորմալ բաշխում| ]]
[[Կատեգորիա:Անընդհատ բաշխումներ]]
[[Կատեգորիա:Էքսպոնենցիալ ընտանիքի բաշխումներ]]
[[Կատեգորիա:Կայուն բաշխումներ]]