Դիտել Պարզ թիվ էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:Primes-vs-composites.svg|thumb|[[Բաղադրյալ թիվ|Բաղադռյալ թվերը]] հնարավոր է դասավորել [[Ուղղանկյուն|ուղղանկյան]] տեսքով, բայց պարզ թվերը թվերը հնարավոր չէ։|alt=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but prime numbers cannot]]
'''Պարզ թիվ''', [[1 (թիվ)|մեկից]] մեծ [[բնական թիվ]], որը երկու ավելի փոքր բնական թվերի [[արտադրյալ]] չէ։ Մեկից մեծ բնական թիվը, որը պարզ չէ կոչվում է [[բաղադրյալ թիվ]]<ref name="Ղարագեբակյան">Գ.Ա.Ղարագեբակյան, «Թվերի տեսության դասընթաց», Էդիթ պրինտ հրատարակչություն, Երևան 2008</ref>։ Օրինակ, 5֊ը պարզ է, քանի որ այն միայն կարելի է ներկայացնել {{nowrap|1 × 5}} և {{nowrap|5 × 1}} արտադրյալների տեսքով։ Սակայն, 4֊ը բաղադրյալ է, քանի որ այն կարելի է ներկայացնել 2&nbsp;×&nbsp;2 տեսքով։ [[Թվաբանության հիմնական թեորեմ]]ի պատճառով պարզ թվերը հիմնարար դեր ունեն [[թվերի տեսություն]]ում։ Ըստ թեորեմի՝ մեկից մեծ յուրաքանչյուր <math>a</math> բնական թիվ կամ պարզ է, կամ այն վերլուծվում է պարզ թվերի արտադրյալի, այն էլ միակ ձևով, այսինքն, եթե <math>a = p_1p_2...p_n = q_1q_2...q_m</math>, որտեղ <math>p_1,p_2,....,p_n,q_1, q_2,...,q_m</math> թվերից յուրաքանչյուրը պարզ թիվ է, ընդ որում տեղի ունեն <math>p_1 \leq p_2 \leq ... \leq p_n</math> և <math>q_1 \leq q_2 \leq ... \leq q_m</math> անհավասարությունները, ապա <math>n = m</math> և <math>p_1 = q_1, p_2 = q_2, ... p_n = q_m</math>։

Տրված <math>n</math> թվի [[Պարզության ստուգում|պարզությունը ստուգելու]] համար կարելի հերթով փորձել ու տեսենել արդյոք <math>n</math>֊ը բաժանվում է 2֊ի և <math>\sqrt{n}</math> միջև ընկած որևէ ամբողջ թվի։ Այս ալգորիթմը պարզ է, բայց դանդաղ։ Ավելի արագ ալգորիթմներից են՝ Միլեր֊Ռաբինի պարզության թեստը, որը արագ է, բայց ունի սխալվելու փոքր շանս, և AKS պարզության թեստը, որը միշտ [[Բազմանդամային արագություն|բազմանդամային արագությամբ]] գտնում է ճիշտ պատասխանը, բայց ճափազանց դանդաղ է գործնականում օգտագործվելու համար։ Հատուկ տեսքի թվերի համար, ինչպես օրինակ [[Մերսենի թիվ|Մերսենի թվերը]], գոյություն ունեն ավելի արագ մեթոդներ։ 2018 թվականի դեկտեմբերի դրությամբ [[մեծագույն հայտնի պարզ թիվը]] Մերսենի թիվ է, որն ունի 24,862,048 [[Թվանշաններ|թվանշան]]<ref name="GIMPS-2018">{{Cite web |date=2018 թ․ դեկտեմբերի 21 |title=GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>82,589,933</sup>-1 |url=https://www.mersenne.org/primes/press/M82589933.html |access-date=2018 թ․ դեկտեմբերի 21 |work=Mersenne Research, Inc.}}</ref>։

Պարզ թվերն անվերջ են։ Վերջինիս ճշմարտացիության առաջին ապացույցին հանդիպում ենք [[Էվկլիդես]]ի մոտ։ Նրա ապացույցը կարճ կարելի է ձևակերպել այսպես

::: ''Պատկերացնենք, որ պարզ թվերի քանակությունը վերջավոր է։ Բոլոր պարզ թվերը բազմապատկենք իրարով ու ստացվածին գումարենք մեկ։ Ստացված թիվը չի բաժանվում մեր ունեցած և ոչ մի պարզ թվի վրա, որովհետև բաժանումից ստացված մնացորդը միշտ մեկ է լինում։ Ստացվում է, որ այդ թիվը պետք է բաժանվի մի պարզ թվի վրա, որը մենք չենք ընդգրկել մեր պարզ թվերի բազմության մեջ։ Ստացանք հակասություն։''

Պարզ թվերը բաղադրյալ թվերից բաժանող հայնտի բանաձև չկա։ Սակայն, բնական թվերի մեջ պարզ թվերի բաշխումը կարելի է վիճակագրորեն մոդելավորել։ Այս ուղղությամբ առաջին արդյունքը [[Պարզ թվերի թեորեմ]]ն էր, որն ապացուցվել է 19֊րդ դարի վերջին։ Ըստ այս թեորեմի՝ [[հավանականություն]]ը, որ պատահականորեն ընտրված մեծ թիվը պարզ կլինի հակադարձ համեմատական է իր թվանշանների քանակին, այսինքն՝ իր [[լոգարիթմ]]ին։

Պարզ թվերի հետ կապված որոշ խնդիրներ դեռ չլուծված են։ Այս խնդիրներից են՝ [[Գոլդբախի խնդիր]]ը (երկուսից մեծ յուրքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել երկու պարզ թվերի գումարի տեսքով) և [[Երկվորյակներ (մաթեմատիկա)|երկվորյակների]] ենթադրությունը (գոյություն ունե անթիվ բազմությամբ պարզ թվերի զույգեր, որոնք իրարից երկուսով են տարբերվում)։ Նման հարցերը խթանել են թվերի տեսության տարբեր բնագավառների զարգացմանը, ինչպես օրինակ [[Անալիտիկ թվերի տեսություն|անալիտիկ]] կամ [[հանրահաշվական թվերի տեսություն|հանրահաշվական]] թվերի տեսությունը։ Պարզ թվերը նաև լայն կիրառություն ունեն [[տեղեկատվական տեխնոլոգիաներ]], մասնավորապես՝ [[Հանրային բանալիների գաղտնագրություն|հանրային բանալիների գաղտնագրության]] մեջ։ [[Աբստրակտ հանրահաշիվ|Աբստրակտ հանրահաշվում]] [[պարզ տարր]]երը և [[պարզ իդեալ]]ները պարզ թվերի ընդհանրացված օբյեկտներ են։

== Սահմանում և օրինակներ ==
{{Հիմնական հոդված|Պարզ թվերի ցանկ}}
[[Բնական թիվ]]ը (1, 2, 3, 4, 5, 6 և այլն) կոչվում է ''պարզ թիվ'', եթե այն մեծ է 1֊ից և հնարավոր չէ ներկայացնել իրենից փոքր երկու բնական թվերի արտադրյալ տեսքով։ Այն թվերը, որոնք մեծ են 1֊ից և պարզ չեն կոչվում են [[բաղադրյալ թվեր]]<ref>{{Cite book |last=Gardiner |first=Anthony |author-link=Tony Gardiner |url=https://archive.org/details/mathematicalolym1997gard |title=The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996 |publisher=Oxford University Press |year=1997 |isbn=978-0-19-850105-3 |page=[https://archive.org/details/mathematicalolym1997gard/page/26 26] |url-access=registration}}</ref>։ Այլ կերպ ասած, <math>n</math>֊ը պարզ է, եթե <math>n</math> տարրերը հնարավոր չէ բաժանել մեկից մեծ տարր պարունակող ավելի փոքր հավասարաչափ խմբերի<ref>{{Cite book |last=Henderson |first=Anne |url=https://books.google.com/books?id=uy-yGVRUilMC&pg=PA62 |title=Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide |publisher=Routledge |year=2014 |isbn=978-1-136-63662-2 |edition=2nd |page=62}}</ref>, կամ հնարավոր չէ <math>n</math> կետերը դասավորել ուղղանկյան տեսքով այնպես, որ ուղղանկյան բարձրությունն ու լայնությունը ունի մեկից շատ քանակությամբ կետեր<ref>{{Cite book |last=Adler |first=Irving |author-link=Irving Adler |url=https://archive.org/details/giantgoldenbooko00adle |title=The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space |publisher=Golden Press |year=1960 |page=[https://archive.org/details/giantgoldenbooko00adle/page/16 16] |oclc=6975809 |url-access=registration}}</ref>։ Օրինակ, 1֊6 միջակայքում 2, 3 և 5 թվերը պարզ են<ref>{{Cite book |last=Leff |first=Lawrence S. |url=https://archive.org/details/barronsmathworkb00leff_0 |title=Math Workbook for the SAT I |publisher=Barron's Educational Series |year=2000 |isbn=978-0-7641-0768-9 |page=[https://archive.org/details/barronsmathworkb00leff_0/page/360 360] |url-access=registration}}</ref>, քանի որ ոչ մի թվի առանց մնացորդի չեն բաժանվում (մեկից ու իրենցից բացի)։ 1֊ը պարզ չէ ըստ սահմանման։ {{nowrap|1=4 = 2 × 2}} և {{nowrap|1=6 = 2 × 3}} թվերը բաղադրյալ են։

[[Պատկեր:Prime number Cuisenaire rods 7.png|thumb|upright=1.2|7֊ը պարզ է, քանի որ առանց մնացորդի չի բաժանվում 2, 3, 4, 5 կամ 6 թվերից ոչ մեկին։]]

Բնական <math>n</math> թվի [[Բաժանելիություն|բաժանարարները]] այն բնական թվերն են, որոնց <math>n</math>֊ը բաժանվում է առանց մնացորդի։ Յուրաքանչյուր <math>n</math> բնական թվի համար 1֊ը և <math>n</math>֊ը բաժանարարներ են։ Եթե թիվն ունի այլ բաժանարարներ, ապա այն պարզ չէ։ Հետևաբար, պարզ թվերի համարժեք սահմանում է հետևյալ․ ճիշտ երկու բաժանարար ունեցող թվերն են։ Քանի որ 1֊ը ունի միայն մեկ բաժանարար, այն պարզ չէ այս սահամանմամբ նույնպես<ref>{{Cite book |last1=Dudley |first1=Underwood |author-link=Underwood Dudley |url=https://archive.org/details/elementarynumber00dudl_0/page/10 |title=Elementary number theory |publisher=W.H. Freeman and Co. |year=1978 |isbn=978-0-7167-0076-0 |edition=2nd |page=[https://archive.org/details/elementarynumber00dudl_0/page/10 10] |contribution=Section 2: Unique factorization |contribution-url=https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA10}}</ref>։ Մեկ այլ համարժեք սահմանում է՝ <math>n</math>֊ը պարզ է, եթե այն մեծ է մեկից և առանց մնացորդի չի բաժանվում <math>2, 3, \dots, n-1</math> թվերից ոչ մեկին<ref>{{Cite book |last=Sierpiński |first=Wacław |author-link=Wacław Sierpiński |url=https://books.google.com/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA113 |title=Elementary Theory of Numbers |publisher=Elsevier |year=1988 |isbn=978-0-08-096019-7 |edition=2nd |series=North-Holland Mathematical Library |volume=31 |page=113}}</ref>։

Առաջին 25 պարզ թվերն են (100 փոքր բոլոր պարզ թվերը)<ref name=ziegler>{{Cite journal |last=Ziegler |first=Günter M. |author-link=Günter M. Ziegler |year=2004 |title=The great prime number record races |journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] |volume=51 |issue=4 |pages=414–416 |mr=2039814}}</ref>`
: [[2 (թիվ)|2]], [[3 (թիվ)|3]], [[Հինգ|5]], [[Յոթ|7]], [[Տասնմեկ|11]], [[Տասներեք|13]], [[Տասնյոթ|17]], [[Տասնինը|19]], [[23 (թիվ)|23]], [[29 (թիվ)|29]], [[31 (թիվ)|31]], [[37 (թիվ)|37]], [[41 (թիվ)|41]], [[43 (թիվ)|43]], [[47 (թիվ)|47]], [[53 (թիվ)|53]], [[59 (թիվ)|59]], [[61 (թիվ)|61]], [[67 (թիվ)|67]], [[71 (թիվ)|71]], [[73 (թիվ)|73]], [[79 (թիվ)|79]], [[83 (թիվ)|83]], [[89 (թիվ)|89]], [[97 (թիվ)|97]] {{OEIS|id=A000040}}:

Միակ [[Զույգ և կենտ թվեր|զույգ]] պարզ թիվը երկուսն է, քանի որ երկուսից մեծ կամայական զույգ թիվ բաժանվում է երկուսի։ Հետևաբար, 2֊ից բացի բոլոր պարզ թվերը [[Զույգ և կենտ թվեր|կենտ]] են<ref>{{Cite book |last=Stillwell |first=John |author-link=John Stillwell |url=https://books.google.com/books?id=4elkHwVS0eUC&pg=PA9 |title=Numbers and Geometry |publisher=Springer |year=1997 |isbn=978-0-387-98289-2 |series=Undergraduate Texts in Mathematics |page=9}}</ref>։ [[Տասնորդական հաշվման համակարգեր|Տասնորդական հաշվման համակարգում]] 5֊ից մեծ բոլոր պարզ թվերը ավարտվում են 1, 3, 7 կամ 9 թվանշաններով։ Մնացած բոլոր թվանշաններով ավատրվող թվերը բաղադրյալ են, քանի որ 0, 2, 4, 6 և 8 թվանշաններով ավատրվող թվերը զույգ են, իսկ 0 կամ 5 թվանշաններով ավարտվող թվերը բաժանվում են 5֊ի<ref>{{Cite book |last=Sierpiński |first=Wacław |author-link=Wacław Sierpiński |url=https://archive.org/details/selectionproblem00sier |title=A Selection of Problems in the Theory of Numbers |publisher=Macmillan |year=1964 |location=New York |page=[https://archive.org/details/selectionproblem00sier/page/n37 40] |mr=0170843 |url-access=limited}}</ref>։

Պարզ թվերի [[բազմություն]]ը հաճախ նշանակվում է <math>\mathbf{P}</math>֊ով<ref>{{Cite book |last=Nathanson |first=Melvyn B. |author-link=Melvyn B. Nathanson |title=Elementary Methods in Number Theory |publisher=Springer |year=2000 |isbn=978-0-387-22738-2 |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=195 |contribution=Notations and Conventions |mr=1732941 |contribution-url=https://books.google.com/books?id=sE7lBwAAQBAJ&pg=PP10}}</ref> կամ <math>\mathbb{P}</math>֊ով<ref>{{Cite book |last=Faticoni |first=Theodore G. |url=https://books.google.com/books?id=I433i_ZGxRsC&pg=PA44 |title=The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas |publisher=John Wiley & Sons |year=2012 |isbn=978-1-118-24382-4 |edition=2nd |series=Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts |volume=111 |page=44}}</ref>։

== Պատմություն ==
[[Պատկեր:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|thumb|[[Մաթեմատիկական պապիրուսներ]]|alt=The Rhind Mathematical Papyrus]]

Մոտ մ․թ․ա 1550 թվակաների [[Մաթեմատիկական պապիրուսներ]]ում կան պարզ և բաղադրյալ թվերի տարբեր ձևերի [[Եգիպտական կոտորակ]]ի ընդարձակումներ<ref>Bruins, Evert Marie, review in ''Mathematical Reviews'' of {{Cite journal |last=Gillings |first=R.J. |year=1974 |title=The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it? |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=12 |issue=4 |pages=291–298 |doi=10.1007/BF01307175 |mr=0497458 |s2cid=121046003}}</ref>։ Սակայն, պարզ թվերի հայտնի ամենավաղ ուսումնասիրությունները պատկանում են [[Մաթեմատիկան Հին Հունաստանում|հին հույն մաթեմատիկոսներին]], որոնք պարզ թվերը կոչում էին {{transl|grc|prōtos arithmòs}} ({{lang|grc|πρῶτος ἀριθμὸς}})։ [[Էվկլիդես]]ը իր «[[Սկզբունքներ]]» (մոտ մ․թ․ա 300) աշխատությունում ապացուցել է, որ գոյություն ունեն անթիվ բազմությամբ պարզ թվեր, ինչպես նաև [[թվաբանության հիմնական թեորեմ]]ը և նկարագրել է [[Մերսենի թիվ|Մերսենի թվից]] [[կատարյալ թիվ]] ստանալու եղանակ<ref name="stillwell-2010-p40">{{Cite book |last=Stillwell |first=John |author-link=John Stillwell |url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40 |title=Mathematics and Its History |publisher=Springer |year=2010 |isbn=978-1-4419-6052-8 |edition=3rd |series=Undergraduate Texts in Mathematics |page=40}}</ref>։ Մեկ այլ հունական հայտնագործություն է [[Էրատոսթենեսի մաղ]]ը, որը մինչև այժմ կիրառվում է պարզ թվերի ցանկեր կառուցելու համար<ref name="pomerance-sciam">{{Cite journal |last=Pomerance |first=Carl |author-link=Carl Pomerance |date=1982 թ․ դեկտեմբեր |title=The Search for Prime Numbers |url=https://archive.org/details/sim_scientific-american_1982-12_247_6/page/136 |journal=[[Scientific American]] |volume=247 |issue=6 |pages=136–147 |bibcode=1982SciAm.247f.136P |doi=10.1038/scientificamerican1282-136 |jstor=24966751}}</ref><ref name="mollin">{{Cite journal |last=Mollin |first=Richard A. |year=2002 |title=A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers) |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2002-02_75_1/page/18 |journal=Mathematics Magazine |volume=75 |issue=1 |pages=18–29 |doi=10.2307/3219180 |jstor=3219180 |mr=2107288}}</ref>։

Մոտ 1000 թվականին [[Մաթեմատիկան միջնադարյան իսլամում|իսլամական]] մաթեմատիկոս [[Իբն ալ-Հայթամ]]ը հայտնաբերել է [[Ուիլսոնի թեորեմ]]ը, որը <math>n</math> պարզ թիվը բնութագրում է որպես <math>(n-1)!+1</math>֊ին առանց մնացորդի բաժանվող թիվ։ Նա նաև ենթադրել է, որ բոլոր զույգ կատարյալ թվերը Էվկլիդեսի՝ Մերսենի թվերի կառուցուցմից են, սակայն չի կարողացել ապացուցել այս ենթադրությունը<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham|mode=cs1}}</ref>։ Մեկ այլ իսլամական մաթեմատիկոս՝ Իբն ալ Բաննա ալ Մարակուշին, նկատել է, որ Էրատոսթենեսի մաղը կարելի է արագացնել՝ միայն մինչև վերին սահմանի քառկուսի արմատ ընկած բաժանարաները դիտարկելու միջոցով<ref name="mollin"/>։ [[Ֆիբոնաչի]]ն իսլամական մաթեմատիկոսների հայտնագործությունները ներմուծել է Եվրոպա։ Իր «Liber Abaci» (1202) գիրքն առաջինն է, որտեղ նկարագտվել է պազության ստուգման պարզ ալգորիթմը, որտեղի ստուգվում է թե արդյոք թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է մինչև իր քառակուսի արամտը ընկած թվերից որևէ մեկին<ref name="mollin"/>։

1640 թվականին [[Պիեռ դը Ֆերմա]]ը առանց ապացույցի նկարագրել է [[Ֆերմայի փոքր թեորեմ]]ը, որը հետագայում ապացուցել են [[Գոթֆրիդ Լայբնից]]ը և [[Լեոնարդ Էյլեր]]ը<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA45 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45]</ref>։ Ֆերման նաև ուսումնասիրել է [[Ֆերմայի թիվ|Ֆերմայի թվերի]] (<math>2^{2^n}+1</math> տեսքի թվեր) պազրությունը<ref>{{Cite book |last=Sandifer |first=C. Edward |url=https://books.google.com/books?id=3c6iBQAAQBAJ&pg=PA42 |title=How Euler Did Even More |publisher=Mathematical Association of America |year=2014 |isbn=978-0-88385-584-3 |page=42}}</ref>, իսկ Մարին Մերսենը ուսումնասիրել է Մերսենի թվերը, որոնք <math>2^p-1</math> տեսքի պարզ թվեր են, որտեղ <math>p</math>֊ն պարզ է<ref>{{Cite book |last=Koshy |first=Thomas |url=https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA369 |title=Elementary Number Theory with Applications |publisher=Academic Press |year=2002 |isbn=978-0-12-421171-1 |page=369}}</ref>։ [[Քրիստիան Գոլդբախ]]ը 1742 թվականին Էյլերին ուղղված նամակում ձևակերպել է [[Գոլդբախի խնդիր]]ը, ըստ որի՝ յուրաքանչյուր զույգ թիվ հավասար է երկու պարզ թվերի գումարի<ref>{{Cite book |last=Yuan |first=Wang |url=https://books.google.com/books?id=g4jVCgAAQBAJ&pg=PA21 |title=Goldbach Conjecture |publisher=World Scientific |year=2002 |isbn=978-981-4487-52-8 |edition=2nd |series=Series In Pure Mathematics |volume=4 |page=21}}</ref>։ Էյլերը ապացուցել է Իբն ալ-Հայթամ ենթադրությունը (այժմ հայտնի է որպես [[Էվկլիդես֊Էյլերի թեորեմ]]), թե յուրաքանչյուր զույգ կատարյալ թիվ կարելի է կառուցել Մերսենի թվերից<ref name="stillwell-2010-p40"/>։ Էյլերը պարզ թվերի անվերջության և <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{11}+\cdots</math> գումարի տարամիտությունը ապացուցելու համար կիրառել է տարբեր մեթոդներ [[մաթեմատիկական անալիզ]]ից<ref>{{Cite book |last=Narkiewicz |first=Wladyslaw |title=The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood |publisher=Springer |year=2000 |isbn=978-3-540-66289-1 |series=Springer Monographs in Mathematics |page=11 |contribution=1.2 Sum of Reciprocals of Primes |contribution-url=https://books.google.com/books?id=VVr3EuiHU0YC&pg=PA11}}</ref>։ 19֊րդ դարի սկզբին [[Ադրիեն-Մարի Լեժանդր]]ը և [[Կառլ Գաուս]]ը ենթադրել են, որ երբ <math>x</math>֊ը ձգտում է անվերջության, մինչև <math>x</math> ընկած պարզ թվերի քանակը ասիմպտոտիկ է  <math>x/\log x</math>֊ին, որտեղ <math>\log x</math>֊ը <math>x</math>֊ի [[բնական լոգարիթմ]]ն է։ Պարզ թվերի այս մեծ խտության հետևանք է [[Բերտրանի պոստուլատ]]ը, ըստ որի՝ կամայական <math>n > 1</math> թվի համար <math>n</math> և <math>2n</math> միջակայքում գոյություն ունի պարզ թիվ ([[Պաֆնուտի Չեբիշև]]ը ապացուցել է սա 1852 թվականին)<ref>{{Cite journal |last=Tchebychev |first=P. |author-link=Pafnuty Chebyshev |year=1852 |title=Mémoire sur les nombres premiers. |url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A19_0.pdf |journal=Journal de mathématiques pures et appliquées |series=Série 1 |language=fr |pages=366–390}}. (Proof of the postulate: 371–382). Also see Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, pp. 15–33, 1854</ref>։ [[Բեռնարդ Ռիման]]ը զետա ֆունկցիայի վերաբերյալ իր 1859 թվականի հոդվածում ({{lang-en|On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude}}) ուրվագծել է Լեժանդրի և Գաուսի ենթադրության ապացույցը։ Չնայած, սերտորեն կապված Ռիմանի հիպոթեզը մինչև այժմ ապացուցված չէ, Ռիմանի ուրվագիծը 1896 թվականին ամբողջացրել են [[Ժակ Ադամար]]ը և [[Շառլ Ժան դը լա Վալե Պուսեն]]ը, ինչն այժմ հայտնի է որպես [[Պարզ թվերի թեորեմ]]<ref>{{Cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Number Theory |publisher=Birkhäuser |year=2000 |editor1-last=Bambah |editor1-first=R.P. |series=Trends in Mathematics |location=Basel |pages=1–14 |contribution=A centennial history of the prime number theorem |mr=1764793 |editor2-last=Dumir |editor2-first=V.C. |editor3-last=Hans-Gill |editor3-first=R.J. |contribution-url=https://books.google.com/books?id=aiDyBwAAQBAJ&pg=PA1}}</ref>։ 19-րդ դարի մեկ այլ կարևոր հայտնագործություն էր թվաբանական պրոգրեսիաների մասին Դիրիխլեի թեորեմը, ըստ որի՝ որոշակի [[թվաբանական պրոգրեսիա]]ներ պարունակում են անթիվ բազմությամբ պարզ թվեր<ref>{{Cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Introduction to Analytic Number Theory |publisher=Springer-Verlag |year=1976 |location=New York; Heidelberg |pages=146–156 |contribution=7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions |mr=0434929 |contribution-url=https://books.google.com/books?id=3yoBCAAAQBAJ&pg=PA146}}</ref>։

Շատ մաթեմատիկոսներ փորձել են մշակել պարզության ստուգման մեթոդներ այն դեպքերի համար, երբ բոլոր հնարավոր բաժանարարների ստուգումը գործնականում կիրառելի չէ։ Հատուկ տեսքի թվերի պարզությունն ստուգող մեթոդներից են՝ [[Պեպինի թեստ]]ը Ֆրամայի թվերի համար (1877)<ref>{{Cite book |last=Chabert |first=Jean-Luc |url=https://books.google.com/books?id=XcDqCAAAQBAJ&pg=PA261 |title=A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip |publisher=Springer |year=2012 |isbn=978-3-642-18192-4 |page=261}}</ref>, [[Պրոտի թեորեմ]]ը (մոտ 1878 թվական)<ref>{{Cite book |last=Rosen |first=Kenneth H. |title=Elementary Number Theory and Its Applications |publisher=Addison-Wesley |year=2000 |isbn=978-0-201-87073-2 |edition=4th |page=342 |contribution=Theorem 9.20. Proth's Primality Test}}</ref>, [[Լուկաս֊Լեմարի թեստ]]ը (1856) և ընհանրացված [[Լուկասի պարզության թեստ]]ը<ref name="mollin"/>։

1951 թվականից սկսած բոլոր [[մեծագույն հայտնի պարզ թիվը|մեծագույն հայտնի պարզ թվերը]] հայտնաբերվել են [[Համակարգիչ|համակարգչային]] թեստերի միջոցով{{efn|A 44-digit prime number found in 1951 by Aimé Ferrier with a mechanical calculator remains the largest prime not to have been found with the aid of electronic computers.<ref>{{Cite book |last1=Cooper |first1=S. Barry |url=https://books.google.com/books?id=h12cCwAAQBAJ&pg=PA37 |title=The Once and Future Turing |last2=Hodges |first2=Andrew |publisher=Cambridge University Press |year=2016 |isbn=978-1-107-01083-3 |pages=37–38}}</ref>}}։ Ավելի մեծ պարզ թվերի որոնումը հետաքրքրություն է առաջացրել մաթեմատիկայից դուրս այլ բնագավառներում նույնպես՝ GIMPS֊ի և բաշխված հաշվարկման միջոցով<ref name=ziegler/><ref>{{harvnb|Rosen|2000}}, p. 245.</ref>։ Այն միտքը, թե պարզ թվերը [[մաքուր մաթեմատիկա]]յից դուրս կիրառություն չունեն{{efn|name="pure"|For instance, Beiler writes that number theorist [[Էռնստ Էդուարդ Կումմեր]] loved his [[ideal number]]s, closely related to the primes, "because they had not soiled themselves with any practical applications"<ref>{{Cite book |last=Beiler |first=Albert H. |url=https://books.google.com/books?id=NbbbL9gMJ88C&pg=PA2 |title=Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains |publisher=Dover |year=1999 |isbn=978-0-486-21096-4 |page=2 |oclc=444171535 |orig-year=1966}}</ref>, and Katz writes that [[Էդմունդ Լանդաու]], known for his work on the distribution of primes, "loathed practical applications of mathematics", and for this reason avoided subjects such as [[Երկրաչափություն]] that had already shown themselves to be useful.<ref>{{Cite journal |last=Katz |first=Shaul |year=2004 |title=Berlin roots&nbsp;– Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem |journal=Science in Context |volume=17 |issue=1–2 |pages=199–234 |doi=10.1017/S0269889704000092 |mr=2089305 |s2cid=145575536}}</ref>}} փշրվել է 1970֊ականներին, երբ ստեղծվեցին [[հանրային բանալիների գաղտնագրություն]]ը և [[RSA]]֊ը՝ օգտվելով պարզ թվերից<ref name="ent-7">{{Cite book |last1=Kraft |first1=James S. |url=https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA7 |title=Elementary Number Theory |last2=Washington |first2=Lawrence C. |publisher=CRC Press |year=2014 |isbn=978-1-4987-0269-0 |series=Textbooks in mathematics |page=7}}</ref>։

Պարզության ստուգման աճող գործնական կարևորությունը հանգեցրել է բարելավված մեթոդների ստեղծման, որոնք կարող են ստուգել կամայական տեսքի ավելի մեծ թվեր<ref name="pomerance-sciam"/><ref>{{Cite book |last=Bauer |first=Craig P. |url=https://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA468 |title=Secret History: The Story of Cryptology |publisher=CRC Press |year=2013 |isbn=978-1-4665-6186-1 |series=Discrete Mathematics and Its Applications |page=468}}</ref><ref>{{Cite book |last1=Klee |first1=Victor |author1-link=Victor Klee |url=https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA224 |title=Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory |last2=Wagon |first2=Stan |author2-link=Stan Wagon |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |isbn=978-0-88385-315-3 |series=Dolciani mathematical expositions |volume=11 |page=224}}</ref>։ Պարզ թվերի մաթեմատիկական տեսության վերջին կարևոր արդյունքներից են Գրին֊Տաո թեորեմը (2004), ըստ որի՝ գոյություն ունեն կամայական երկարությամբ պարզ թվերի թվաբանական պրոգրեսիաներ և Յիտանգ Ժանգի 2013 ապացույցը, որ սահմանափակ հեռավորությամբ պարզ թվերի քանակն անվերջ է<ref name="neale-18-47">{{harvnb|Neale|2017}}, pp. 18, 47.</ref>։

=== Մեկի պարզություն ===
Հին հույս մաթեմատիկոսներից շատերը մեկը թիվ չէին համարում<ref name="crxk-34">{{Cite journal |last1=Caldwell |first1=Chris K. |last2=Reddick |first2=Angela |last3=Xiong |first3=Yeng |last4=Keller |first4=Wilfrid |year=2012 |title=The history of the primality of one: a selection of sources |url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell2/cald6.html |journal=[[Journal of Integer Sequences]] |volume=15 |issue=9 |page=Article 12.9.8 |mr=3005523}} For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on the status of 1 and 2, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.</ref><ref>{{Cite book |last=Tarán |first=Leonardo |url=https://books.google.com/books?id=cUPXqSb7V1wC&pg=PA35 |title=Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary |publisher=Brill |year=1981 |isbn=978-90-04-06505-5 |series=Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy |volume=39 |pages=35–38}}</ref>, հետևաբար՝ չէին դիտարկում դրա պարզության հարցը։ Հույն և հետագայում հռոմեացի գիտնականներից որոշները, որոնց թվում էին [[Նիկոմաքոս]]ը, [[Յամբլիքոս]]ը, [[Բոետիոս]]ը և [[Կասիոդորուս]]ը, պարզ թվերը համարում էին կենտ թվերի ենթաբազմություն և նրանք երկուսը նույնպես պարզ չէին համարում։ Սակայն, Էվկլիդեսն ու հույն մաթեմատիկոսների մեծ մասը երկուսը պարզ էին համարում։ Միջնադարի իսլամական մաթեմատիկոսները հիմնականում հետևում էին հույներին և մեկը թիվ չէին համարում<ref name="crxk-34"/>։ Միջնադարում և վերանծննդի դարաշրջանում մաթեմատիկոսները սկսեցին մեկը թիվ համարել, և նրանցից որոշներն այն ներառում էին պարզ թվերի մեջ<ref>{{harvnb|Caldwell|Reddick|Xiong|Keller|2012}}, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.</ref>։ 18֊րդ դարի կեսին [[Քրիստիան Գոլդբախ]]ը [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի հետ նամակագրությունում մեկը համարել է պարզ թիվ, սակայն, Էյլերը մեկը պարզ թիվ չէր համարում<ref>{{harvnb|Caldwell|Reddick|Xiong|Keller|2012}}, p. 15.</ref>։ 19֊րդ դարում շատ մաթեմատիկոսներ դեռ մեկը համարում էին պարզ<ref name="cx"/>, իսկ մեկը ներառող պարզ թվերի ցանկեր հրատարակվել են մինչև 1956 թվական<ref>{{Cite book |last=Riesel |first=Hans |author-link=Hans Riesel |url=https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA36 |title=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization |publisher=Birkhäuser |year=1994 |isbn=978-0-8176-3743-9 |edition=2nd |location=Basel, Switzerland |page=36 |doi=10.1007/978-1-4612-0251-6 |mr=1292250}}</ref><ref name="cg-bon-129-130">{{Cite book |last1=Conway |first1=John Horton |author1-link=John Horton Conway |url=https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw |title=The Book of Numbers |last2=Guy |first2=Richard K. |author2-link=Richard K. Guy |publisher=Copernicus |year=1996 |isbn=978-0-387-97993-9 |location=New York |pages=[https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/129 129–130] |doi=10.1007/978-1-4612-4072-3 |mr=1411676 |url-access=registration}}</ref>։

Եթե պարզ թվերը վերասահմանվեն այնպես, որ ներառեն մեկը, պարզ թվերի վերաբերյալ շատ պնդումներ ավելի անհարմար տեսք կստանան։ Օրինակ, թվաբանության հիմնական թեորեմը պետք է վերաձևակերպվի պարզ բաժանարարներից մեկը առանձնացնելու համար, քանի որ մեկը ներառելու դեպքում վերլուծումը միակը չի լինի<ref name="cx">{{Cite journal |last1=Caldwell |first1=Chris K. |last2=Xiong |first2=Yeng |year=2012 |title=What is the smallest prime? |url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.pdf |journal=[[Journal of Integer Sequences]] |volume=15 |issue=9 |page=Article 12.9.7 |mr=3005530}}</ref>։ Նմանապես, [[Էրատոսթենեսի մաղ]]ը ճիշտ չի աշխատի, եթե այն մեկը դիտարկի որպես պարզ թիվ, քանի որ այն կհեռացնի մեկի բոլոր արտադրյալները, այսինքն՝ բոլոր թվերը<ref name="cg-bon-129-130"/>։ Պարզ թվերի այլ՝ ավելի տեխնիական հատկություններ նույնպես ճիշտ չեն լինի․ օրինակ, [[Էյլերի ֆունկցիա|Էյլերի <math>\varphi(n)</math> ֆունկցիա]]ն կամ [[բաժանարարների գումարի ֆունկցիա]]ն<ref>For the totient, see {{harvnb|Sierpiński|1988}}, [https://books.google.com/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA245 p. 245]. For the sum of divisors, see {{Cite book |last=Sandifer |first=C. Edward |url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA59 |title=How Euler Did It |publisher=Mathematical Association of America |year=2007 |isbn=978-0-88385-563-8 |series=MAA Spectrum |page=59}}</ref>։ 20֊րդ դարի սկզբին մաթեմատիկոսները սկսեցին համաձայնվել, որ մեկը չպետք է ներառվի պարզ թվերի մեջ<ref name="cx"/>։

== Տարրական հատկություններ ==
=== Եզակի վերլուծում ===
{{Հիմնական հոդված|Թվաբանության հիմնական թեորեմ}}

Թիվը պարզ թվերի արտադրյալ տեսքով գրելը կոչվում է թվի վերլուծում պարզ պարտադրիչների։ Օրինակ,

:<math>\begin{align}
   34866 &= 2\times 3\times 3\times 13 \times 149\\
   &=2\times 3^2\times 13 \times 149.
 \end{align}</math>

Արտադրյալ անդամները կոչվում են պարզ արտադրիչներ։ Նույն պարզ արտադրիչը կարող է հանդիպել մեկի ավելի անգամ․ վերևի օրինակում երեքը հանդիպում է երկու անգամ։ Երբ պարզ թիվը հանդիպում է մի քանի անգամ, [[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճանի]] օգնությամբ կարելի է դրանք հավաքել և ավելի սեղմ գրել․ օրինակ, վերևում <math>3 \times 3</math>֊ի փոխարեն գրվել է <math>3^2</math>՝ երեքի [[թվի քառակուսի|քառակուսին]] նշելու համար։

Մաթեմատիկայում և թվերի տեսությունում պարզ թվերի կարևորությունը պայմանավորված է թվաբանության հիմնարար թեորեմով<ref>{{Cite book |last=Smith |first=Karl J. |url=https://books.google.com/books?id=Di0HyCgDYq8C&pg=PA188 |title=The Nature of Mathematics |publisher=Cengage Learning |year=2011 |isbn=978-0-538-73758-6 |edition=12th |page=188}}</ref>։ Ըստ այս թեորեմի, մեկի մեծ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել մեկ կամ ավելի պարզ թվերի արտադրյալի տեսքով։ Ընդ որում, այս ներկայացումը եզակի է, այսինքն՝ երկու կամայական վերլուծում կունեն նույն պարզ թվերը նույն քանակով, չնայած նրանց հերաթականությունը կարող է տարբեր լինել<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA16 Section 2, Theorem 2, p. 16]; {{Cite book |last=Neale |first=Vicky |author-link=Vicky Neale |title=Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers |title-link=Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers |publisher=Oxford University Press |year=2017 |isbn=978-0-19-109243-5 |at=[https://books.google.com/books?id=T7Q1DwAAQBAJ&pg=PA107 p. 107]}}</ref>։ Այսպիսով, պարզ թվերը կարելի է համարել բնական թվերի «հիմնական շինանյութ»<ref>{{Cite book |last=du Sautoy |first=Marcus |author-link=Marcus du Sautoy |url=https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa |title=The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics |publisher=Harper Collins |year=2003 |isbn=978-0-06-093558-0 |page=[https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa/page/23 23] |url-access=registration}}</ref>։

Պարզ արտադրիչների վերլուծման եզակիության ապացույցներից որոշները օգտագործում են Էվկլիդեսի լեմման, ըստ որի՝ եթե <math>p</math>֊ն պարզ թիվ է և <math>a</math> ու <math>b</math> ամբողջ թվերի <math>ab</math> արտադրյալը բաժանվում է <math>p</math>֊ի, ապա <math>a</math>֊ն կամ <math>b</math>֊ն (կամ երկուսն էլ) բաժանվում են <math>p</math>֊ի<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA15 Section 2, Lemma 5, p. 15]; {{Cite book |last=Higgins |first=Peter M. |url=https://books.google.com/books?id=LeYH8P8S9oQC&pg=PA77 |title=Mathematics for the Curious |publisher=Oxford University Press |year=1998 |isbn=978-0-19-150050-3 |pages=77–78}}</ref>։ Եթե թիվը բաժանվում է <math>p</math>֊ի և թվի բաժանարարներից գոնե մեկը նույնպես բաժանվում է <math>p</math>֊ի, ապա <math>p</math>֊ն պարզ է<ref>{{Cite book |last=Rotman |first=Joseph J. |url=https://archive.org/details/firstcourseinabs0000rotm_e5g6 |title=A First Course in Abstract Algebra |publisher=Prentice Hall |year=2000 |isbn=978-0-13-011584-3 |edition=2nd |at=Problem 1.40, p. 56}}</ref>։

=== Անսահմանություն ===
{{Հիմնական հոդված|Էվկլիդեսի թեորեմ}}
Գոյություն ունեն [[Անվերջություն (մաթեմատիկա)|անթիվ բազմությամբ]] պարզ թվեր։ Այլ կերպ ասած

: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

հաջորդականությունը վերջ չունի։ Այս պնդումը կոչվում է Էվկլիդեսի թեորեմ՝ ի պատիվ հին հույն մաթեմատիկոս [[Էվկլիդես]]ի, քանի որ պնդման հայտնի ամենահին ապացույցը պատկանոմ է նրան։ Գոյություն ունեն այս պնդման շատ այլ ապացույցներ, այդ ավում՝ [[Մաթեմատիկական անալիզ|անալիտիկ]] ապացույց [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի կողմից, [[Քրիստիան Գոլդբախ|Գոլդբախի]] ապացույց հիմված [[Ֆերմայի թիվ|Ֆերմայի թվերի]] վրա<ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0722.pdf Letter] in Latin from Goldbach to Euler, July 1730.</ref>, ընդհանուր տոպոլոգիայի միջոցով [[Հիլել Ֆուրստենբերգ]]ի ապացույցը<ref>{{Cite journal |last1=Furstenberg |first1=Harry |author1-link=Hillel Furstenberg |year=1955 |title=On the infinitude of primes |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1955-05_62_5/page/353 |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=62 |issue=5 |pages=353 |doi=10.2307/2307043 |jstor=2307043 |mr=0068566}}
</ref> և [[Էռնստ Էդուարդ Կումմեր]]ի էլեգանտ ապացույցը<ref>{{Cite book |last1=Ribenboim |first1=Paulo |author1-link=Paulo Ribenboim |url=https://books.google.com/books?id=SvnTBwAAQBAJ&pg=PA5 |title=The little book of bigger primes |publisher=Springer-Verlag |year=2004 |isbn=978-0-387-20169-6 |location=Berlin; New York |page=4}}</ref>։

[[Էվկլիդեսի թեորեմ|Էվկլիդեսի ապացույցը]]<ref>[[Սկզբունքներ|Euclid's ''Elements'']], Book IX, Proposition 20. See [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html David Joyce's English translation of Euclid's proof] or {{Cite book |last=Williamson |first=James |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=umn.31951000084215o;view=1up;seq=95 |title=The Elements of Euclid, With Dissertations |publisher=[[Օքսֆորդի համալսարանի հրատարակչություն]] |year=1782 |location=Oxford |page=63 |oclc=642232959}}</ref> ցույց է տալիս, որ պարզ թվերի կամայական վերջավոր ցանկ թերի է։ Սա ցույց տալու համար պետք է ցանկի բոլոր թվերը բազմապատկել և արդյունքին գումարել մեկ։ Եթե տրված ցանկը պարունակում է <math>p_1,p_2,\ldots, p_n,</math> պարզ թվերը, ապա ստացված թիվը հավասար է՝

: <math> N = 1 + p_1\cdot p_2\cdots p_n. </math>

Ըստ թվաբանության հիմնական թեորեմի <math>N</math>֊ը հնարավոր է վերլուծել պարզ արտադրիչների՝

: <math> N =  p'_1\cdot p'_2\cdots p'_m </math>։

<math>N</math>֊ը առանց մնացորդի բաժանվում է այս արտադրիչներից յուրաքանչյուրին, բայց եթե <math>N</math>֊ը բաժանենք տրված ցանկի պարզ թվերից յուրաքանչյուրին, մեկ մնացորդ կմնա, հետևաբար՝ <math>N</math>֊ի պարզ արտադրիչներից ոչ մեկը տրված ցանկում չկա։ Քանի որ բոլոր պարզ թվերի պարունակող վերջավոր ցանկ գոյություն չունի, ուրեմն գոյություն ունեն անթիվ բազմությամբ պարզ թվեր։

Ամենափոքր պարզ թվերի արտադրյալին մեկ գումարելով ստացված թվերը կոչվում են [[Էդկլիդեսի թվեր]]<ref>{{Cite book |last=Vardi |first=Ilan |title=Computational Recreations in Mathematica |publisher=Addison-Wesley |year=1991 |isbn=978-0-201-52989-0 |pages=82–89}}</ref>։ Այս թվերից առաջին հինգը պարզ են, բայց վեցերորդը՝

:<math>1+\big(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\big) = 30031 = 59\cdot 509,</math>

բաղադրյալ է։

=== Պարզ թվերի բանաձև ===
{{Հիմնական հոդված|Պարզ թվերի բանաձև}}
Պարզ թվերի էֆեկտիվ բանաձև գոյություն չունի։ Օրինակ, գոյություն չունի ոչ հաստատուն [[բազմանդամ]], որի բոլոր արժեքները պարզ թվեր են<ref name="matiyasevich"/>։ Սակայն, գոյություն ունեն բազմաթիվ արտահայտություններ, որոնք պարունակում են բոլոր պարզ թվեր կամ պարունակում են միայն պարզ թվեր։ Այս արտահայտություններից մեկը հիմնված է Ուիլսոնի թեորեմի վրա և գեներացնում է երկու թիվ բազմաթիվ անգամ, բայց մնացած բոլոր պարզ թվերը ճիշտ մեկ անգամ<ref>{{Cite journal |last=Mackinnon |first=Nick |date=1987 թ․ հունիս |title=Prime number formulae |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1987-06_71_456/page/113 |journal=[[The Mathematical Gazette]] |volume=71 |issue=456 |pages=113–114 |doi=10.2307/3616496 |jstor=3616496 |s2cid=171537609}}</ref>։ Գոյություն ունի ինը փոփախականով և մեկ պարամետրով [[Դիոֆանտյան հավասարում]] հետևյալ հատկությամբ՝ պարամետրը պարզ է այն  և միայն այն դեպքում, երբ արդյունքում ստացված հավասարումների համակարգի ունի բնական թվերով լուծում։ Սրա միջոցով հնարավոր է ստանալ բանաձև, որի բոլոր դրական արժեքները պարզ կլինեն<ref name="matiyasevich">{{Cite book |last=Matiyasevich |first=Yuri V. |author-link=Yuri Matiyasevich |title=Kvant Selecta: Algebra and Analysis |publisher=[[American Mathematical Society]] |year=1999 |isbn=978-0-8218-1915-9 |editor1-last=Tabachnikov |editor1-first=Serge |editor-link1=Sergei Tabachnikov |volume=II |pages=13–24 |chapter=Formulas for prime numbers |chapter-url=https://books.google.com/books?id=oLKlk5o6WroC&pg=PA13}}</ref>։

Պարզ թվեր գեներացնող այլ բանաձևեր կարելի է ստանալ Միլսի կամ Ռայթ թեորեմներից։ Ըստ սրա, գոյություն ունեն իրական <math>A>1</math> և <math>\mu</math> թվեր, այնպես որ

:<math>\left \lfloor A^{3^n}\right \rfloor \text{ և } \left \lfloor 2^{\cdots^{2^{2^\mu}}} \right \rfloor</math>

պարզ թվեր են կամայական բնական <math>n</math>֊ի համար (առաջին բանաձև) և կամայական թվով ցուցիչների համար (երկրորդ բանաձև)<ref>{{Cite journal |last=Wright |first=E.M. |author-link=E. M. Wright |year=1951 |title=A prime-representing function |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1951-11_58_9/page/616 |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=58 |issue=9 |pages=616–618 |doi=10.2307/2306356 |jstor=2306356}}</ref>։ Այստեղ <math>\lfloor {}\cdot{} \rfloor</math>֊ով նշանակված է [[ամբողջ մաս]]ը։ Սակայն, սրանք նոր պարզ թվեր գեներացնելու համար օգտակար չեն, քանի որ <math>A</math> կամ <math>\mu</math> թվերը գտնելու համար նախ և առաջ պետք է ունենալ պարզ թվերի ցանկ<ref name="matiyasevich"/>։

=== Բաց խնդիրներ ===
Պարզ թվերի վերաբերյալ բազմաթիվ ենթադրություններ կան։ Այս ենթադրություններ հաճախ ունեն պարզ ձևակերպում, բայց չեն ապացուցվել տասնամյակներ շարունակ․ օրինակ՝ 1912 թվականից առաջարկված [[Լանդաուի խնդիրներ|Լանդաուի չորս խնդիրները]] դեռ չեն լուծվել<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PR7 p. vii].</ref>։ Նրանցից մեկը [[Գոլդբախի խնդիր]]ն է, ըստ որի երկուսից մեծ կամայական <math>n</math> զույգ թիվ կարելի է գրելու երկու պարզ թվերի գումարի տեսքով<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PA105 C1 Goldbach's conjecture, pp. 105–107].</ref>։ 2014 թվականի դրությամբ այս պնդումը ստուգվել և հաստատվել է մինչև <math>n=4\cdot 10^{18}</math> թվերի համար<ref>{{Cite journal |last1=Oliveira e Silva |first1=Tomás |last2=Herzog |first2=Siegfried |last3=Pardi |first3=Silvio |year=2014 |title=Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot10^{18}</math> |journal=[[Mathematics of Computation]] |volume=83 |issue=288 |pages=2033–2060 |doi=10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 |mr=3194140 |doi-access=free}}</ref>։ Սակայն, առնչվող Վինոգրադովի թեորեմը ապացուցվել է, ըստ որի՝ բավարար մեծ յուրաքանչյուր կենտ թիվ կարելի ներկայացնել երեք պարզ թվերի գումարի տեսքով<ref>{{harvnb|Tao|2009}}, [https://books.google.com/books?id=NxnVAwAAQBAJ&pg=PA239 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247]. See especially p.&nbsp;239.</ref>։ Ըստ Չենի թերոեմը, որը նույնպես ապացուցվել է, բավարար մեծ յուրաքանչյուր զույգ թիվ կարելի է ներկայացնել պարզ և [[կիսապարզ թիվ|կիսապարզ թվի]] (կիսապարզ են կոչվում երկու պարզ թվերի արտադրյալները) գումարի տեսքով<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, p. 159.</ref>։ Նաև հայտնի է, որ 10֊ից մեծ կամայական զույգ թիվ կարելի է ներկայացնել վեց պարզ թվերի գումարի տեսքով<ref>{{Cite journal |last=Ramaré |first=Olivier |year=1995 |title=On Šnirel'man's constant |url=https://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0 |url-status=dead |journal=Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa |volume=22 |issue=4 |pages=645–706 |mr=1375315 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220209175544/http://www.numdam.org/item/?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0 |archive-date=2022 թ․ փետրվարի 9 |access-date=2018 թ․ հունվարի 23}}</ref>։ Նման հարցերով զբաղվող մաթեմատիկայի ճյուղը կոչվում է [[թվերի ադիտիվ տեսության]]<ref>{{Cite book |last=Rassias |first=Michael Th. |url=https://books.google.com/books?id=ibwpDwAAQBAJ&pg=PP6 |title=Goldbach's Problem: Selected Topics |publisher=Springer |year=2017 |isbn=978-3-319-57912-2 |location=Cham |page=vii |doi=10.1007/978-3-319-57914-6 |mr=3674356}}</ref>։

Մի շարք բաց խնդիրներ կապված են պարզ թվերի հեռավորության՝ երկու հաջորդական պարզ թվերի տարբերության հետ։ <math>n!+2,n!+3,\dots,n!+n</math> հաջորդականությունից ակնհայտ է, որ գայություն ունեն կամայական հեռավորությամբ հաջորդական պարզ թվեր, քանի որ կամայական <math>n</math> բնական թվի համար այն պարունակում է <math>n-1</math> բաղադրյալ թիվ (<math>n!+2</math>-ը բաժանվում է <math>2</math>, քանի որ և՛ <math>n!</math>֊ը, և՛ <math>2</math>֊ը բաժանվում են <math>2</math>֊ի, <math>n!+3</math>-ը բաժանվում է <math>3</math>, քանի որ և՛ <math>n!</math>֊ը, և՛ <math>3</math>֊ը բաժանվում են <math>3</math>֊ի, և այլն)<ref>{{harvnb|Koshy|2002}}, [https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA109 Theorem 2.14, p. 109]. {{harvnb|Riesel|1994}} gives a similar argument using the [[primorial]] in place of the factorial.</ref>։ Սակայն, մեծ հեռավերությամբ պարզ թվեր կարող են հանդիպել շատ ավելի վաղ<ref name="riesel-gaps">{{harvnb|Riesel|1994}}, "[https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA78 Large gaps between consecutive primes]", pp. 78–79.</ref>։ Օրինակ, 8 հեռավերությամբ առաջին հաջորդական պարզ թվերը 89֊ն ու 97֊ն են<ref>{{Cite OEIS|A100964|name=Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n}}</ref>, ինչը <math>8!=40320</math>֊ից շատ ավելի փոքր է։ Ենթադրվում է, որ գոյություն ունեն անթիվ հազմությամբ [[Երկվորյակներ (մաթեմատիկա)|երկվորյակ պարզ թվեր]]։ [[Պոլինյակի ենթադրություն|Պոլինյակի ենթադրության]] համաձայն կամայական դրական <math>k</math> ամբողջ թվի համար գոյություն ունեն անթիվ բազմությամբ <math>2k</math> հեռավորությամբ հաջորդական պարզ թվեր<ref name="rib-gaps">{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Gaps between primes, pp. 186–192.</ref>։ [[Անդրիցայի ենթադրություն]]ը<ref name="rib-gaps"/>, [[Բրոկարի ենթադրություն]]ը<ref name="rib-183">{{harvnb|Ribenboim|2004}}, p. 183.</ref>, [[Լեժանդրի ենթադրություն]]ը<ref name="chan">{{Cite journal |last=Chan |first=Joel |date=1996 թ․ փետրվար |title=Prime time! |journal=Math Horizons |volume=3 |issue=3 |pages=23–25 |doi=10.1080/10724117.1996.11974965 |jstor=25678057}} Note that Chan lists Legendre's conjecture as "Sierpinski's Postulate".</ref> և [[Օփերմանի ենթադրություն]]ը<ref name="rib-183"/> պնդում են, որ <math>1</math> և <math>n</math> թվերի միջև ընկած հաջորդական պարզ թվերի ամենամեծ հեռավորությունը չպետք է գերազանցի մոտավորապես <math>\sqrt{n}</math>֊ը։ Այս պնդումը հետևում է [[Ռիմանի հիպոթեզ]]ից։ Իսկ ըստ [[Կրամերի ենթադրություն|Կրամերի ենթադրության]]՝ այդ վերին սահմանը հավասար է <math>O((\log n)^2)</math>֊ի<ref name="rib-gaps"/>։

== Անալիտիկ հատկություններ ==
[[Թվերի անալիտիկ տեսություն]]ը [[թվերի տեսություն|թվերի տեսության]] բաժին է, որը [[մաթեմատիկական անալիզ]]ի մեթոդների միջոցով, ինչպես օրինակ [[անընդհատ ֆունկցիաներ]], [[Սահման (մաթեմատիկա)|սահմաններ]] և [[անվերջ շարք]]եր,  փորձում է լուծել ամբողջ թվերի վերաբերյալ խնդիրներ։ Այս բանագավառի առաջին արդյունքներից էր [[Բազելի խնդիր|Բազելի խնդրի]] լուծումը [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի կողմից։ Խնդիրը պահանջում է գտնել <math>1+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{16}+\dots,</math> անվերջ գումարի արժեքը, որն այժմ հայտնի է [[Ռիմանի զետա ֆունկցիա]]յի <math>\zeta(2)</math> արժեք։ Այս ֆունկցիան սերտորեն կապված է պարզ թվերի և մաթեմատիկայի ամենակարևոր չլուծված խնդիրներից մեկը՝ [[Ռիմանի հիպոթեզ]]ի հետ։ Էյլերը ցույց է տվել, որ <math>\zeta(2)=\pi^2/6</math><ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA205 Chapter 35, Estimating the Basel problem, pp. 205–208].</ref>։ Այս թվի հակադարձը՝ <math>6/\pi^2</math>-ը, հավասար է սահմանային հավանականությանը, որ մեծ միջակայքից հավասարաչափ բաշխմամաբ ընտրված պատահական երկու թվերը [[Փոխադարձ պարզ թվեր|փոխադարձ պարզ]] կլինեն (չունենան ընդհանուր բաժանարարներ)<ref>{{Cite book |last1=Ogilvy |first1=C.S. |author1-link=C. Stanley Ogilvy |url=https://books.google.com/books?id=efbaDLlTXvMC&pg=PA29 |title=Excursions in Number Theory |last2=Anderson |first2=J.T. |publisher=Dover Publications Inc. |year=1988 |isbn=978-0-486-25778-5 |pages=29–35}}</ref>։

[[Պարզ թվերի թեորեմ]]ը նկարագրում է պարզ թվերի ասիմպտոտ բաշխումը դրական ամբողջ թվերի մեջ, սակայն <math>n</math>-րդ պարզ թվի համար էֆեկտիվ բանաձև հայտնի չէ։ Ըստ թվաբանական պրոգրեսիաների մասին Դիրիխլեի թեորեմի՝ եթե <math>a</math>-ն և <math>b</math>-ն փոխադարձ պարզ թվեր են, ապա

:<math>p(n) = a + bn</math>

գծային բազմանդամները ընդունում անթիվ բազմությամբ պարզ արժեքներ։ Ըստ թեորեմի ավելի խիստ տարբերակի՝ այս պարզ թվերի հակադարձերի գումարը՝ <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{19}+\frac{1}{23}+\frac{1}{31}+\frac{1}{43}+\frac{1}{47}+\frac{1}{59}+\frac{1}{67}+\cdots</math>-ը տարամետ է, և որ նույն <math>b</math>-ով կազմված տարբեր գծային բազմանդամներ ունեն մոտավորապես նույն համամասնությամբ պարզ թվեր։

Ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամների դեպքում պարզ թվերի բաշխման վերաբերյալ առաջ են քաշվել տարբեր ենթադրություններ, սակայն դրանք ապացուցված չեն։ Անհայտ է, թե արդյոք գոյություն ունի քառակուսային բազմանդամ, որը ամբողջ արգումենտների դեպքում անթիվ բազմությամբ պարզ արժեքներ է ընդունում։

=== Էյլերի թեորեմի անալիտիկ ապացույց ===
[[Պարզ թվերի հակադարձերի գումարի տարամիտություն|Պարզ թվերի անվերջության Էյլերի ապացույցը]] դիտարկում է պարզ թվերի հակադարձերի գումարը,

:<math>\frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \frac 1 7 + \cdots + \frac 1 p\text{։}</math>

Էյլերը ցույց է տվել, որ կամայական <math>x</math> [[Իրական թվեր|իրական թվի]] համար գոյություն ունի <math>p</math> պարզ թիվ, որի համար գումարը մեծ է <math>x</math>-ից<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Section 1.6, Theorem 1.13</ref>։ Սա ցույց է տալիս, որ գոյություն ունեն անթիվ քանակությամբ պարզ թվեր, քանի որ եթե պարզ թվերի քանակը սահմանակ լիներ, գումարը վերջավոր կլիներ և գոյություն կունենար այս գումարից մեծ որևէ <math>x</math>։ Այս գումարի աճի արագությունը նկարագրում է [[Մերտենսի երկրորդ թեորեմ]]ը<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Section 4.8, Theorem 4.12</ref>։ Համեմատության համար

:<math>\frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots + \frac 1 {n^2}</math>

գումարը չի ձգտում անվերջության, երբ <math>n</math>-ը ձգտում է անվերջության (տես [[Բազելի խնդիր]])։ Այս իմաստով, պարզ թվերը ավելի հաճախ են հանդիպում, քան բնական թվերի քառակուսիները, չնայած երկու բազմություններն էլ անվերջ են<ref name="mtb-invitation">{{Cite book |last1=Miller |first1=Steven J. |url=https://books.google.com/books?id=kLz4z8iwKiwC&pg=PA43 |title=An Invitation to Modern Number Theory |last2=Takloo-Bighash |first2=Ramin |publisher=Princeton University Press |year=2006 |isbn=978-0-691-12060-7 |pages=43–44}}</ref>։ Ըստ [[Բրունի թեորեմ]]ի՝ [[Երկվորյակներ (մաթեմատիկա)|երկվորյակ]] պարզ թվերի հակադիրների

:<math> \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) +  \cdots, </math>

գումարը վերջավոր է։ Բրունի թեորեմի պատճառով հնարավոր չէ Էյլերի մեթոդի միջոցով ապացուցել երկվորյակ պարզ թվերի անվերջության ենթադրությունը<ref name="mtb-invitation"/>։

=== Տրված թվից փոքր պարզ թվերի քանակ ===
{{Հիմնական|Պարզ թվերի թեորեմ}}
[[Պատկեր:Prime-counting relative error.svg|thumb|upright=1.6|Պարզ թվերի քանակը մոտարկող <math>\tfrac{n}{\log n}</math> և <math>\operatorname{Li}(n)</math> ֆունկցիաների սխալը։ Երկու ֆունկցիաների սխալներն էլ ձգտում են զրոյի, երբ <math>n</math>-ը ձգտում է անվերջության, բայց լոգարիթմական ֆունկցիան ավելի արագ է զուգամիտում զրոյի։]]
Պարզ թվերի բաշխման <math>\pi(n)</math> ֆունկցիան սահմանված է որպես <math>n</math>-ը չգերազանցող պարզ թվերի քանակ<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA6 p.&nbsp;6].</ref>։ Օրինակ, <math>\pi(11)=5</math>, քանի որ գոյություն ունի 11-ից փոքր կամ հավասար 5 պարզ թիվ։ [[Մեյսել-Լեմերի ալգորիթմ]]ի միջոցով հնարավոր է հաշվել <math>\pi(n)</math>-ի արժեքը ավելի արագ, քան մինչև <math>n</math> բոլոր պարզ թվեր հաշվելը<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA152 Section 3.7, Counting primes, pp. 152–162].</ref>։ [[Պարզ թվերի թեորեմ]]ը ցույց է տալիս, որ <math>\pi(n)</math>-ը ասիմպտոտիկ է <math>n/\log n</math>-ին, ինչը նշանակվում է՝

:<math>\pi(n) \sim \frac{n}{\log n},</math>

և նշանակում է, որ <math>\pi(n)</math>-ի և աջ կոտորակի հարաբերությունը ձգտում է 1-ի, երբ <math>n</math>-ը ջգտում է անվերջության<ref name="cranpom10">{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA10 p.&nbsp;10].</ref>։ Սա նշանակում է, որ պատահականորեն ընտրված <math>n</math>-ից փոքր թվի պարզ լինելու հավանականությունը մոտավորապես հակադարձ համեմատական է թվի թվանշանների քանակին<ref>{{Cite book |last=du Sautoy |first=Marcus |author-link=Marcus du Sautoy |title=The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life |publisher=St. Martin's Press |year=2011 |isbn=978-0-230-12028-0 |pages=50–52 |contribution=What are the odds that your telephone number is prime? |contribution-url=https://books.google.com/books?id=snaUbkIb8SEC&pg=PA50}}</ref>։ Դա նաև նշանակում է, որ <math>n</math>-րդ պարզ թիվը համեմատական է <math>n\log n</math>-ին<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Section 4.6, Theorem 4.7</ref>, հետևաբար՝ հաջորդական պարզ թվերի տարբերության միջինը համեմատական է <math>\log n</math>-ի<ref name="riesel-gaps"/>։ <math>\pi(n)</math>-ի ավելի ճշգրիտ մոտարկում տրվում է հետևյալ լոգարիթմական ինտեգրալով<ref name="cranpom10"/>՝
:<math>\pi(n)\sim \operatorname{Li}(n) = \int_2^n \frac{dt}{\log t}\text{։}</math>

=== Թվաբանական պրոգրեսիաներ ===
{{Հիմնական հոդված|թվաբանական պրոգրեսիաների մասին Դիրիխլեի թեորեմ|Գրին-Տաո թեորեմ}}
[[Թվաբանական պրոգրեսիա]]ն թվերի վերջավոր կամ անվերջ հաջորդականություն է, որի բոլոր հաջորդական անդամները նույն տարբերությունն ունեն<ref>{{Cite book |last1=Gelfand |first1=I.M. |author1-link=Israel Gelfand |url=https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA37 |title=Algebra |last2=Shen |first2=Alexander |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-8176-3677-7 |page=37}}</ref>։ Այս տարբերությունը կոչվում է հաջորդականության տարբերություն<ref>{{Cite book |last=Mollin |first=Richard A. |url=https://books.google.com/books?id=Fsaa3MUUQYkC&pg=PA76 |title=Fundamental Number Theory with Applications |publisher=CRC Press |year=1997 |isbn=978-0-8493-3987-5 |series=Discrete Mathematics and Its Applications |page=76}}</ref>։ Օրինակ՝

:3, 12, 21, 30, 39, ...,

անվերջ թվաբանական հաջորդականություն է, որի տարբերությունը 9 է։ Սահմանումից հետևում է, որ թվաբանական պրոգրեսիայի կամայական անդամի և տարբերության հարաբերության մնացորդը նույնն է, այս դեպքում՝ 3։ Քանի որ և՛ տարբերությունը, և՛ մնացորդը բաժանվում են 3-ի, հետևաբար հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ բաժանվում է 3-ի։ Սա նշանակում է, որ հաջորդականությունը պարունակում է միայն մեկ պարզ թիվ՝ 3-ը։ Ընդհանուր դեպքում,

:<math>a, a+q, a+2q, a+3q, \dots</math>

անվերջ հաջորդականությունը կարող է պարունակել մեկից ավելի պարզ թվեր, եթե դրա <math>a</math> մնացորդը և <math>q</math> տարբերությունը փոխադարձ պարզ են։ Թվաբանական պրոգրեսիաների մասին Դիրիխլեի թեորեմը ցույց է տալիս, որ եթե դրանք պարզ են, ապա հաջորդականությունը պարունակում է անթիվ բազմությամբ պարզ թվեր<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA Theorem 1.1.5, p. 12].</ref>։

{{Wide image|Prime numbers in arithmetic progression mod&nbsp;9 zoom in.png|815px|Պարզ թվերը 9 տարբերությամբ թվաբանական պրոգրեսիայում։ Բարակ հորիզոնական գոտու յուրաքանչյուր տող ցույց է տալիս 9 հնարավոր մնացորդներից մեկը, իսկ պարզ թվերը ներկված են կարմիրով։ 0, 3 կամ 6 մնացորդով պրոգրեսիաները պարունակում են միայն մեկ պարզ թիվ՝ 3, իսկ 2, 4, 5, 7 և 8 մնացորդով պրոգրեսիաները պարունակում են անթիվ բազմությամբ պարզ թվեր։|alt=Prime numbers in arithmetic progression mod 9}}

[[Գրին-Տաո թեորեմ]]ը ցույց է տալիս, որ գոյություն ունեն միայն պարզ թվեր պարունակող կամայական երկարությամբ թվաբանական հաջորդականություններ<ref name="neale-18-47"/><ref>{{Cite journal |last1=Green |first1=Ben |author1-link=Ben J. Green |last2=Tao |first2=Terence |author2-link=Terence Tao |year=2008 |title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions |url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2008-03_167_2/page/481 |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=167 |issue=2 |pages=481–547 |arxiv=math.NT/0404188 |doi=10.4007/annals.2008.167.481 |s2cid=1883951}}</ref>։

== Նշումներ ==
{{նցանկ}}

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

{{Թվերի տեսություն}}

[[Կատեգորիա:Պարզ թվեր| ]]