Դիտել Պելի թիվ էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:Pell octagons.svg|thumb|300px|Կանոնավոր ութանկյան ռացիոնալ մոտարկում  (Պելի թվերով կոորդինատներով)]]
'''Պելի թիվ,''' ամբողջ թիվ, [[Քառակուսի արմատ երկուսից|երկուսից քառակուսի արմատին]] հավասար կոտորակների անվերջ շարքի մեջ մտնող, կոտորակների հայտարար։ Այդ շարքը սկսվում է հետևյալ կերպ  <math>\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \dots</math>, այսինքն, Պելի առաջին թվերը ՝ 1, 2, 5, 12 և 29 են։ Այդ նույն շարքի համարիչ են համարվում '''Պելի''' թվերին համարժեք թվերի կեսը կամ '''Պել-Լյուկի''' թվերը՝ անվերջ շարք, որը սկսվում է 2, 6, 14, 34 և 82 -ով։

Պելի թվերը և Պել-Լյուկի թվերը կարող ենք հաշվել՝ [[ֆիբոնաչիի թվեր]]ի նման, ռեկուրենտ հարաբերակցությամբ, և երկու շարքն էլ աճում են [[Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ|էքսպոնենցիալ]] ձևով, արծաթե հատման աստիճանին համեմատական՝ <math>1+\sqrt 2</math>։

Բացի կոտորակային շղթայից, Պելի թվերը կարելի է օգտագործել նաև որոշ համակցված խնդիրների թվարկման համար<ref>Например, Селлерс (''Sellers'') в 2002 году показал, что количество [[Совершенное паросочетание|совершенных паросочетаний]] в [[Декартово произведение графов|декартовом произведении]] [[Граф (математика)|путей]] и графа ''K''<sub>4</sub>-''e'' может быть вычислено как произведение числа Пелля на соответствующие число Фибоначчи</ref>։

Պելի թվերի շարքը հայտնի է հին ժամանականերից։ Ինչպես Պելի հավասարումը, այնպես էլ Պելի թվերը, [[Լեոնարդ Էյլեր|Լենարդ Էյլերի]] կողմից, սխալմամբ են վերագրված Պելին։ Դրանք իրականում Լյուկի շարքերի հետևանքներն են հանդիսանում։

== Պելի թվեր ==
Պելի թվերը տրվում են ռեկուրենտ գծային հարաբերակցությամբ՝

: <math>P_n=\begin{cases}0, n=0;\\1, n=1 \\2P_{n-1}+P_{n-2}, n>1 \end{cases}</math>

և հանդիսանում են Լյուկի շարքի մասնավոր դեպք։

Պելի առաջին մի քանի թվերը
: {{num|0}}, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … ({{OEIS|id=A000129}}).

Պելի թվերը կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով՝
: <math>P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.</math>

''n''-ի մեծ արժեքների դեպքում <math>\scriptstyle (1+\sqrt 2)^n</math> տրված արտահայտության մեջ գլխավորում է, քանի որ, Պելի թվերը մոտավոր համեմատական են [[արծաթե հատման]] աստիճաններին<math>\scriptstyle (1+\sqrt 2)</math>, համանման ձևով՝ Ֆիբոնաչիի թվերը համեմատական են [[Ոսկե հատում|ոսկե հատմանը]]։

Հնարավոր է երրորդ սահմանումը, մատրիցայի ձևով

: <math>\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n.</math>

Շատ նույնություններ կարող են ապացուցվել այս սահմանումներով, օրինակ, Ֆիբոնաչիի թվերի համար Կասինի նույնությանը համանման նույնությունը, որպես մատրիցային ձևի հետևանք բանաձև<ref>О матричной формуле и её следствиях смотрите Эрколано (Ercolano) (1979), Килик (Kilic) и Таски (Tasci) (2005). Другие тождества для чисел Пелля приведены Хорадамом (Horadam) (1971) и Бикнеллем (Bicknell) (1975).</ref>։
: <math>P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n,</math>

== [[Մոտարկումների տեսություն|Մոտարկում]] քառակուսի արմատ երկուսից ==
Պելի թվերը պատմականորեն առաջացել են երկուսից քառակուսի արմատի մոտարկումից։ Եթե երկու ''x'' և ''y'' մեծ մբողջ թվերը տալիս են Պելի հավասարման լուծում,

: <math>\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,</math>

ապա դրանց <math>\tfrac{x}{y}</math>հարաբերությունը մոտրակումն է <math>\scriptstyle\sqrt 2</math>։ Այդ տիպի մոտարկման շարքն է․
: <math>1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots</math>

որտեղ՝ յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարը Պելի թիվ է, իսկ համարիչը հավասար է Պելի թվի և իր նախորդի գումարին։ Այսպիսով, մոտարկումն ունի հետևյալ տեսքը <math>\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}</math>.

: <math>\sqrt 2\approx\frac{577}{408}</math> տեսքի մոտարկումները հայտնի էր Ք․ա երրորդ-չորրորդ դարերում Հնդկաստանի մաթեմատիկոսներին<ref>Это записано в [[Shulba Sutras]]. Смотрите, например, Дутка (Dutka) (1986), который цитировал Тибаута (Thibaut) (1875)</ref>։

Ք․ա. հինգերորդ դարի հունական մաթեմատիկոսները նույնպես գիտեին այդ մոտարկման մասին<ref>Смотри Кнорра (Knorr) (1976) со ссылкой на пятое столетие, что соответствует утверждению [[Прокл]]а, что числа были открыты [[Пифагорейцы|пифагорейцами]]. Для более полного исследования о более поздних знаниях греков об этих числах смотри Томпсона (Thompson) (1929), Ведова (Vedova) (1951), Риденхоура (Ridenhour) (1986), Кнорра (Knorr) (1998), и Филепа (Filep) (1999).</ref>։ [[Պլատոն]]ը(''Plato'') հղում է կատարում համարիչներին, որպես ռացիոնալ տրամագծեր<ref>Например, в [[Государство (Платон)|'''Государстве''' Платона]] имеется ссылка на «рациональный диаметр пяти», под которым [[Платон]] подразумевал 7, числитель приближения 7/5.</ref>։ Մեր թվարկության հինգերորդ դարում Թեոնոս Սմիրնացին օգտագործել է կողմ և տրամագիծ եզրերը, որպեսզի նկարագրի այդ շարքի հայտարարներն ու համարիչները<ref>{{Cite web |title=A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid - Sir Thomas Little Heath - Google Books |url=https://books.google.com/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA112 |accessdate=2013 թ․ հունվարի 28}}</ref>։

Այդ մոտարկումները կարելի է ստանալ <math>\scriptstyle\sqrt 2</math> շղթայական կոտորակից․
: <math>\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots\,}}}}}.</math>

== [[Պյութագորասի եռյակ]]ներ ==
[[Պատկեր:Pell right triangles.svg|thumb|300px|Համարյա հավասար էջերով  և ամբողջ կոորդինատներովեռանկյուններ(ստեղծված են Պելի թվերով)։]]

''a'', ''b'', ''c''  կողմերով Պյութագորասի եռանկյան համար Մարտինեսը (Martin 1875) գրում է, որ Պելի թվերով կարելի է կառուցել պյութագորասյան եռյակ, որոնցում  ''a'' և ''b'' տարբերվում են մեկով։ Ապա կարելի է կառուցել համարյա հավասարասրուն եռանկյուն, որում եռյակն ունի հետևյալ տեսքը․
: <math>(2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1}).</math>

Պյութագորասի եռյակը ստացվում է հետևյալ կերպ․
: (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

== Հաշվարկներ և կապեր ==
Այս աղյուսակը տալիս է մի քանի արծաթե հատումների առաջին աստիճանները <math>\delta=\delta_S=1+\sqrt2</math> և դրա հետ կապված <math>\bar{\delta}=1-\sqrt{2}</math>.
{| class="wikitable"
|-
! <math> n </math>
! <math>(1+\sqrt{2})^n</math>
! <math>(1-\sqrt{2})^n</math>
|-
| 0
| <math>1+0\sqrt{2}=1.0</math>
| <math>1-0\sqrt{2}=1.0</math>
|-
| 1
| <math>1+1\sqrt{2}=2.41421\ldots</math>
| <math>1-1\sqrt{2}=-0.41421\ldots</math>
|-
| 2
| <math>3+2\sqrt{2}=5.82842\ldots</math>
| <math>3-2\sqrt{2}=0.17157\ldots</math>
|-
| 3
| <math>7+5\sqrt{2}=14.07106\ldots</math>
| <math>7-5\sqrt{2}=-0.07106\ldots</math>
|-
| 4
| <math>17+12\sqrt{2}=33.97056\ldots</math>
| <math>17-12\sqrt{2}=0.02943\ldots</math>
|-
| 5
| <math>41+29\sqrt{2}=82.01219\ldots</math>
| <math>41-29\sqrt{2}=-0.01219\ldots</math>
|-
| 6
| <math>99+70\sqrt{2}=197.9949\ldots</math>
| <math>99-70\sqrt{2}=0.0050\ldots</math>
|-
| 7
| <math>239+169\sqrt{2}=478.00209\ldots</math>
| <math>239-169\sqrt{2}=-0.00209\ldots</math>
|-
| 8
| <math>577+408\sqrt{2}=1153.99913\ldots</math>
| <math>577-408\sqrt{2}=0.00086\ldots</math>
|-
| 9
| <math>1393+985\sqrt{2}=2786.00035\ldots</math>
| <math>1393-985\sqrt{2}=-0.00035\ldots</math>
|-
| 10
| <math>3363+2378\sqrt{2}=6725.99985\ldots</math>
| <math>3363-2378\sqrt{2}=0.00014\ldots</math>
|-
| 11
| <math>8119+5741\sqrt{2}=16238.00006\ldots</math>
| <math>8119-5741\sqrt{2}=-0.00006\ldots</math>
|-
| 12
| <math>19601+13860\sqrt{2}=39201.99997\ldots</math>
| <math>19601-13860\sqrt{2}=0.00002\ldots</math>
|}

Գործակիցները իրենցից ներկայացնում են <math>H_n</math>Պելի թվերի զուգորդող թվերը և հանդիսանում են <math>H^2-2P^2=\pm1</math>հավասարման լուծումները։

Քառակուսի եռանկյուն թիվը՝ դա <math>N=\frac{t(t+1)}{2}=s^2</math>է, համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան թվերը հանդիսանում են <math>a^2+b^2=c^2</math>ամբողջ լուծումներ,որտեղ <math>a+1=b</math>։

Այս աղյուսակը [[Զույգ և կենտ թվեր|կենտ]] <math>H_n</math>թվերի բաշխումը երկու համարյա հավասար մասերի։ Դրանք քառակուսի եռանկյուն թվեր են, եթե ''n'' [[Զույգ և կենտ թվեր|զույգ]] է, և համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան եռյակ, եթե ''n'' կենտ է։

{| class="wikitable"
|-
! <math> n </math>
! <math> H_n </math>
! <math> P_n </math>
!t
!t+1
!s
|a
|b
|c
|-
|0
|1
|0
|0
|0
|0
|-
|1
|1
|1
|
|
|
|0
|1
|1
|-
|2
|3
|2
|1
|2
|1
|-
|3
|7
|5
|
|
|
|3
|4
|5
|-
|4
|17
|12
|8
|9
|6
|-
|5
|41
|29
|
|
|
|20
|21
|29
|-
|6
|99
|70
|49
|50
|35
|-
|7
|239
|169
|
|
|
|119
|120
|169
|-
|8
|577
|408
|288
|289
|204
|-
|9
|1393
|985
|
|
|
|696
|697
|985
|-
|10
|3363
|2378
|1681
|1682
|1189
|-
|11
|8119
|5741
|
|
|
|4059
|4060
|5741
|-
|12
|19601
|13860
|9800
|9801
|6930
|}

=== [[Սահմանում]] ===
<math>H_n</math>Պելի թվին կից թվերը և <math>P_n</math>Պելի թվերին կից թվերը կարելի է ստանալ, մի քանի համարժեք ձևերով։

''Աստիճան բարձրացնենք․''

: <math>(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt{2}</math>

: <math>(1-\sqrt2)^n=H_n-P_n\sqrt{2}.</math>

Որտեղից հետևում է․

: <math>H_n=\frac{(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n}{2}.</math>

և
: <math>P_n\sqrt2=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2}.</math>

''զույգ ռեկուրենտ հարաբերություններ․''

: <math>H_n=\begin{cases}1, n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1}, n>0\end{cases}</math>
: <math>P_n=\begin{cases}0, n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}, n>0\end{cases}</math>

կամ մատրիցային ձևով․

: <math>\begin{pmatrix} H_n \\ P_n  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} H_{n-1} \\ P_{n-1}  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix}.</math>

Այսպիսով՝

: <math> \begin{pmatrix} H_n & 2P_n \\ P_n & H_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n .</math>

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

== Գրականություն ==
<div class="references-small" style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Bicknell, Marjorie |заглавие=A primer on the Pell sequence and related sequences |год=1975 |издание=[[Fibonacci Quarterly]] |том=13 |выпуск=4 |страницы=345—349 |mr=0387173}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Cohn, J. H. E. |заглавие=Perfect Pell powers |год=1996 |издание=[[Glasgow Mathematical Journal]] |том=38 |выпуск=1 |страницы=19—20 |doi=10.1017/S0017089500031207 |mr=1373953}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Dutka, Jacques |заглавие=On square roots and their representations |год=1986 |издание=[[Archive for History of Exact Sciences]] |том=36 |выпуск=1 |страницы=21—39 |doi=10.1007/BF00357439 |mr=0863340}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Ercolano, Joseph |заглавие=Matrix generators of Pell sequences |год=1979 |издание=[[Fibonacci Quarterly]] |том=17 |выпуск=1 |страницы=71—77 |mr=0525602}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Filep, László |заглавие=Pythagorean side and diagonal numbers |год=1999 |издание=[[Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis]] |том=15 |страницы=1–7 |url=http://www.emis.de/journals/AMAPN/vol15/filep.pdf}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Horadam, A. F. |заглавие=Pell identities |год=1971 |издание=[[Fibonacci Quarterly]] |том=9 |выпуск=3 |страницы=245—252, 263 |mr=0308029}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Kilic, Emrah; Tasci, Dursun |заглавие=The linear algebra of the Pell matrix |год=2005 |издание=[[Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana]], Tercera Serie |том=11 |выпуск=2 |страницы=163—174 |mr=2207722}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Knorr, Wilbur |заглавие=Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation |год=1976 |издание=[[Archive for History of Exact Sciences]] |том=15 |выпуск=2 |страницы=115—140 |doi=10.1007/BF00348496 |mr=0497462}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Knorr, Wilbur |заглавие="Rational diameters" and the discovery of incommensurability |год=1998 |издание=[[American Mathematical Monthly]] |том=105 |выпуск=5 |страницы=421—429 |doi=10.2307/3109803}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=[[Кнут, Дональд Эрвин|Knuth, Donald E.]] |заглавие=Leaper graphs |год=1994 |издание=[[The Mathematical Gazette]] |том=78 |выпуск=483 |страницы=274—297 |doi=10.2307/3620202 |arxiv=math.CO/9411240}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=[[Artemas Martin|Martin, Artemas]] |заглавие=Rational right angled triangles nearly isosceles |год=1875 |издание=[[Annals of Mathematics|The Analyst]] |том=3 |выпуск=2 |страницы=47—50 |doi=10.2307/2635906 |jstor=2635906}}
* {{Ռուսերեն գիրք |автор=Pethő, A. |заглавие=Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991) |год=1992 |издательство=Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland |страницы=561—568 |mr=1218218 |вклад=The Pell sequence contains only trivial perfect powers}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Ridenhour, J. R. |заглавие=Ladder approximations of irrational numbers |издание=[[Mathematics Magazine]] |том=59 |выпуск=2 |страницы=95—105 |doi=10.2307/2690427 |jstor=2690427 |year=1986}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Santana, S. F.; Diaz-Barrero, J. L. |заглавие=Some properties of sums involving Pell numbers |год=2006 |издание=[[Missouri Journal of Mathematical Sciences]] |том=18 |выпуск=1 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20070508133004/http://www.math-cs.cmsu.edu/~mjms/2006.1/diazbar.pdf |archivedate=2007-05-08 |url=http://www.math-cs.cmsu.edu/~mjms/2006.1/diazbar.pdf}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Sellers, James A. |заглавие=Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers |год=2002 |издание=[[Journal of Integer Sequences]] |том=5 |mr=1919941 |url=http://www.emis.de/journals/JIS/VOL5/Sellers/sellers4.pdf}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Sesskin, Sam |заглавие=A «converse» to Fermat's last theorem? |год=1962 |издание=[[Mathematics Magazine]] |том=35 |выпуск=4 |страницы=215—217 |doi=10.2307/2688551 |jstor=2688551}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Thibaut, George |заглавие=On the Súlvasútras |год=1875 |издание=[[Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal]] |том=44 |страницы=227—275}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Thompson, D'Arcy Wentworth |заглавие=III.—Excess and defect: or the little more and the little less |год=1929 |издание=[[Mind (journal)|Mind: New Series]] |том=38 |выпуск=149 |страницы=43—55 |jstor=2249223}}
* {{Ռուսերեն հոդված |автор=Vedova, G. C. |заглавие=Notes on Theon of Smyrna |год=1951 |издание=[[American Mathematical Monthly]] |том=58 |выпуск=10 |страницы=675—683 |doi=10.2307/2307978 |jstor=2307978}}
</div>

[[Կատեգորիա:Ամբողջ թվերի հաջորդականություններ]]
[[Կատեգորիա:Թվերի տեսություն]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկայի չլուծված խնդիրներ]]
[[Կատեգորիա:Շղթայական կոտորակներ]]
[[Կատեգորիա:Պարզ թվերի տեսություն]]
[[Կատեգորիա:Ռեկուրսիա]]