Դիտել Պի թիվ էջի վիքիկոդը

{{Տես նաև |Պի (այլ կիրառումներ)}}[[Պատկեր:Pi-unrolled-720.gif|մինի|աջից|280px|<math>\pi</math>]]
'''Պի թիվ''' կամ <font size="5"><math>\pi~</math></font>, [[մաթեմատիկական հաստատուն]], որը ցույց է տալիս [[Շրջանագիծ|շրջանագծի]] [[Երկարություն|երկարության]] հարաբերությունը [[տրամագիծ|տրամագծին]]։ Նշանակվում է [[հունական այբուբեն]]ի <math>\pi~</math> (պի) տառով։ Հին անվանումը՝ '''Լուդոլֆյան թիվ'''։{{Վիքիքաղվածք|Պի}}

== Հատկություններ ==
=== Տրանսցենդություն և իռացիոնալություն ===
* <math>\pi</math>-ն [[իռացիոնալ թիվ]] է, այսինքն՝ նրա արժեքը հնարավոր չէ ներկայացնել '''m/n''' [[կոտորակ]]ի տեսքով, որտեղ '''m'''-ը և '''n'''-ը ամբողջ թվեր են։ Հետևաբար, նրա տասական ներկայացումը երբեք չի վերջանում և չի հանդիսանում պարբերական։ <math>\pi</math> թվի իռացիոնալությունը առաջին անգամ ապացուցվել է [[Իոհան Լամբերտ]]ի կողմից [[1761]] թվականին <math>\frac{e-1}{2^n}</math> թվի տրոհումը անընդհատ կոտորակի։ [[1794]] թվականին [[Լեժանդր]]ը բերեց <math>\pi</math> և <math>\pi ^2</math> թվերի իռացիոնալության առավել խիստ ապացույց։ 
* <math>\pi</math>-ն [[տրանսցենդենտ թիվ]] է, այսինքն այն չի կարող լինել որևէ ամբողջ գործակիցներով [[բազմանդամի արմատ]]։ <math>\pi</math> թվի տրանսցենդենտությունը [[1882]] թվականին ապացուցվել է քյոնինգսբերգյան պրոֆեսորի կողմից, իսկ հետագայում մյունխենյան համալսարանից [[Ֆերդինանդ ֆոն Լինդեման]]ի կողմից։ Ապացույցը պարզեցրեց [[Ֆելիքս Կլեյն]]ը [[1894]] թվականին։
* Քանի որ [[էվկլիդյան երկրաչափություն]]ում [[Շրջան (երկրաչափություն)|շրջանի]] մակերեսը և [[շրջանագիծ|շրջանագծի]] երկարությունը [[ֆունկցիա]] են հանդիսանում <math>\pi</math> թվից, ապա <math>\pi</math> թվի տրանսցենդենտության ապացույցը վերջ դրեց [[շրջանի քառակուսացում]]ան վեճին, որը տևեց ավելի քան 2, 5 հազար տարի։
* [[1934]] թվականին [[Գելֆանդ]]ը ապացուցեց <math>e^\pi</math> թվի տրանսցենդենտությունը։ [[1996]] թվականին [[Յուրի Նեստերենկո]]ն ապացուցեց, որ ցանկացած բնական <math>n</math> թվի համար <math>\pi</math> և <math>e^{\pi\sqrt n}</math> թվերը [[հանրահաշվորեն անկախ թվեր|հանրահաշվորեն անկախ]] են, որից մասնավորապես հետևում է <math>\pi+e^\pi, \pi e^\pi</math> և <math>e^{\pi\sqrt n}</math> թվերի տրանսցենդենտությունը։
* <math>\pi</math>-ն հանդիսանում է [[պարբերությունների օղակ]]ի տարր (հետևաբար, հաշվելի և [[թվաբանական թիվ]])։ Սակայն անհայտ է, արդյոք <math>1/\pi</math>-ը պատկանում է [[պարբերությունների օղակ]]ին։

=== Ներկայացման ձևերը ===
<math>\pi</math> թիվն ունի ներկայացման բազմապիսի ձևեր՝
* [[Ֆրանսուա Վիետ]]`
:: <math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt{2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots</math>
* [[Վալլիսի բանաձև]]ը`
:: <math>\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}</math>
* [[Լայբնիցի շարք]]ը՝
:: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
* Այլ շարքեր՝
:: <math>\begin{align}
\pi &= \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \tfrac14\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right)
\end{align}</math>
:: <math> \pi=2 \sqrt{3} \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\, 3^k \, (2k+1)}</math>
* Բազմակի շարքեր՝
:: <math>\pi=8\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\, \, ]{360 \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}}</math>
* Սահմաններ՝
:: <math>\pi=\lim \limits_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}\, {2}^{4m}}{\left[ (2m )! \right] ^{2}\, m}}</math>
:: <math>\pi= \sqrt{\frac{6}{\lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{k=1 \atop p_k \in \mathbf{P}}^{n}\, \left ( 1-\frac{1}{p_{k}^2}\right ) }}\quad \to </math> այստեղ <math> p_k \, -</math>ը պարզ թվեր են։
* [[Էյլերի նույնություն]]ը՝
:: <math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math>
* Այլ կապեր [[մաթեմատիկական հաստատուն]]ների միջև՝
:: <math>\frac{\pi}{e}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} </math>
:: <math>\pi \cdot e = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>
* Այսպես կոչված «[[Պուասոնի ինտեգրալ]]» կամ «[[Գաուսի ինտեգրալ]]»՝ 
:: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}</math>
* [[Ինտեգրալային սինուս]]։
:: <math>\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi </math>
* Արտահայտություններ [[դիլոգարիթմ]]ի միջոցով։
:: <math>\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}</math>
* [[Անորոշ ինտեգրալ]]ի միջոցով՝
:: <math>\int\limits_{0}^{+\infty}{\frac{dx}{(x+1)\sqrt x}}=\pi</math>

=== Շղթայական կոտորակներ ===
Որպես [[իռացիոնալ թիվ]], <math>\pi</math>-ն չի կարող ներկայացվել հասարակ [[կոտորակ]]ի ձեով։ Սակայն, մյուս իռացիոնալ թվերի նման, <math>\pi</math>-ն նույնպես կարող է ներկայացվել շղթայական կոտորակի տեսքով՝
:<math>
\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}</math>

:<math>\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}</math>

=== Ռացիոնալ մոտավորություններ ===
Տարբեր ժամանակներում արվել են <math>\pi</math> թիվը հասարակ կոտորակների միջոցով ներկայացնելու փորձեր։ Դրանցից մի քանիսը ունեն հետևյալ տեսքը (կոտրակի տասնորդական արժեքի՝ <math>\pi</math>-ին համապատասխանող մասը բերված է '''թավ''' տեսքով)՝

:{|
|-
|align=right|<math>\pi</math>=
|'''3.141592653589'''
|
|-
|align=right|22/7=
|'''3.14'''285714....
| [[Արքիմեդ]] (մ.թ.ա. 3-րդ դար), հին [[հույն]] [[մաթեմատիկոս]], [[ֆիզիկոս]] և [[ինժեներ]];
|-
|align=right|377/120=
|'''3.141'''66667....
|[[Արիբախատա]] (մ.թ. 5-րդ դար), [[հնդիկ]] [[Աստղագետ (գիտնական)|աստղագետ]] և [[մաթեմատիկոս]];
|-
|align=right|355/113=
|'''3.141592'''92....
|[[Ցզու Չունչժի]] (մ.թ. 5-րդ դար), [[չինացի]] աստղագետ և [[մաթեմատիկոս]];
|-
|align=right|52163/16604=
|'''3.141592'''387....
|
|-
|align=right|103993/33102=
|'''3.141592653'''....
|
|-
|align=right|245850922/78256779=
|'''3.141592653'''....
|
|}

== π թվի արժեքը ==
<math> \pi </math>=3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Ստորակետից հետո <math>\pi~</math> թվի առաջին 1000 նիշերը<ref>[http://www.math.com/tables/constants/pi.htm PI]</ref>։

== Պատմություն ==
[[Պատկեր:Greek lc pi icon.svg|thumb|130px|Հաստատունի սիմվոլը]]

Առաջին անգամ հունարեն <math>\pi~</math> տառով այս թիվը նշանակել է [[Մեծ Բրիտանիա|բրիտանացի]] [[մաթեմատիկոս]] [[Վիլյամ Ջոնս]]ը [[1706]] թվականին, իսկ այն համընդհանուր օգտագործման դրվեց [[1737]] թվականին [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի աշխատությունից հետո։

Այս նշանակումը առաջացել է {{lang-gr|περιφέρεια}} ([[շրջանագիծ]]) և περίμετρος ([[պարագիծ]]) բառերի առաջին տառից։

<math>\pi~</math> թվի պատմությունն ընթացավ ամբողջ [[մաթեմատիկա]]յի զարգացմանը զուգահեռ։ Որոշ հեղինակներ այդ գործընթացը բաժանեցին երեք ժամանակաշրջանների՝ հնագույն ժամանակաշրջան, որի ժամանակ <math>\pi~</math>-ն ուսումնասիրվում էր [[Երկրաչափություն|երկրաչափության]] տեսանկյունից, դասական դարաշրջան, որը հաջորդեց [[17-րդ դար]]ում [[մաթեմատիկական անալիզ]]ի զարգացմանը [[Եվրոպա]]յում, և [[թվային համակարգիչներ]]ի դարաշրջան։

=== Երկրաչափական ժամանակաշրջան ===
Այն փաստը, որ ցանկացած շրջանագծի համար նրա [[Երկարություն|երկարության]] հարաբերությունը տրամագծին նույնն է, և այդ հարաբերությանը մի փոքր մեծ է 3-ից, դեռ հայտնի էր [[Հին Եգիպտոս|հին եգիպտական]], [[հին հնդկաստան|հին հնդկական]] և [[Հին Հունաստան|հին հունական]] երկրաչափներին։ Ամենաշուտ հայտնի մոտարկումը թվարկվում է մ.թ.ա. 1900 թվականին, այն հավասար էր '''25/8''' ([[Բաբելոն]]) և '''256/81''' ([[Եգիպտոս]]), որոնք իրական արժեքից տարբերվում են ոչ ավել, քան '''1%'''-ը։ Վեդայական «[[Շատապատխա-բրախմանա]]» տեքստը տալիս է <math>\pi~</math>-ի արժեքը հավասար '''339/108 ≈ 3,139''' ։
[[Պատկեր:Archimedes pi.svg|350px|right]]
[[Պատկեր:Cutcircle2.svg|thumb|<math>\pi</math> թվի հաշվման [[Լյու Խուեա]]յի ալգորիթմը]]
Հավանաբար [[Արքիմեդ]]ն է առաջինը տվել <math>\pi</math> թվի հաշվման մաթեմատիկական եղանակը։ Դրա համար նա [[ներգծած բազմանկյուն|շրջանագծին ներգծում]] և [[արտագած բազմանկյուն|արտագծում]] էր կանոնավոր բազմանկյուններ։ Ընդունելով շրջանագծի տրամագիծը հավասար մեկ միավորի, Արքիմեդը դիտարկում էր ներգծած բազմանկյան [[պարագիծ]]ը որպես շրջանագծի երկարության ստորին գնահատական, իսկ արտագծած բազմանկյան պարագիծը՝ որպես վերին գնահատական։ Դիտարկելով [[կանոնավոր n-անկյուն|կանոնավոր 96-անկյուն]]ը Արքիմեդը ստացավ հետևյալ գնահատականը՝ <math>3+\frac{10}{71} < \pi <3+\frac{1}{7}</math> և առաջարկեց, որ <math>\pi</math>-ն մոտավորապես հավասար է '''22/7 ≈ 3,142857142857143'''։

[[Չժան Խեն]] [[2-րդ դար]]ում հստակեցրել է <math>\pi</math> թվի արժեքը, առաջարկելով նրա երկու համարժեքները՝ '''1) 92/29 ≈ 3,1724…''','''2) <math>\sqrt{10}</math> ≈ 3,1622։'''

[[Հնդկաստան]]ում [[Արիաբխատան]] և [[Բխասկարան]] օգտագործում էին '''3,1416''' մոտավոր արժեքը։ [[Վարախամիխիրան]] [[6-րդ դար]]ում «[[Պանչա-սիդդխանտիկեում]]» օգտվում էր <math>\sqrt{10}</math> մոտավոր արժեքից։

Մոտավորապես մեր թվարկության [[265]] թվին [[Վեյ թագավորություն|Վեյ թագավորության]] մաթեմատիկոս [[Լյու Խուե]]յը ներկայացրեց ցանկացած աստիճանի ճշտության <math>\pi</math> թվի հաշվման պարզ և ճշգրիտ [[իտերատիվ ալգորիթ]]մ ({{lang-en|Liu Hui's π algorithm}})։ Նա ինքնուրույն կատարեց հաշվարկ 3072-անկյունի համար և ստացավ <math>\pi</math>-ի համար հետևյալ սկզբունքը՝
: <math>\pi\approx A_{3072} = {3 \cdot 2^8\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}}}}}} \approx 3, 14159.</math>

Հետագայում Լյու Խուեյը մտածեց <math>\pi</math>-ի հաշվման արագ մեթոդ և ստացավ '''3,1416''' մոտավոր արժեքը միայն 96-անկյունով, օգտագործելով այն փաստի առավելությունը, որ իրար հաջորդող [[բազմանկյուն]]ների [[մակերես]]ների տարբերությունն իրենից ներկայացնում է [[երկրաչափական պրոգրեսիա]] '''4''' հայտարարով։

[[480]]-ական թվականներին չինացի մաթեմատիկոս [[Ցզյու Չունչժի]]ն ներկայացրեց, որ '''<math>\pi</math> ≈ 355/113''' և ցույց տվեց, որ '''3,1415926 < <math>\pi</math> < 3,1415927''', օգտվելով Լյու Խուեի ալգորիթմից 12288-անկյունի համար։ Այս արժեքը մնացել է <math>\pi</math> թվի ճշգրիտ մոտարկումն անցած 900 տարիների համար։

=== Դասական ժամանակաշրջան ===
Մինչև 2-րդ հազարամյակը հայտնի էր <math>\pi</math> թվի ոչ ավել 10 թվանշան։ Հետագայում <math>\pi</math> թվի ուսումնասիրման մեծ հաջողությունները կապվել են [[մաթեմատիկական անալիզ]]ի զարգացման հետ, հատկապես կապված [[շարքեր]]ի բացահայտման հետ, որը հնարավորություն է տալիս հաշվել <math>\pi</math> –ն ցանկացած ճշտությամբ, գումարելով շարքի ցանկալի թվով անդամները։ [[1400]]-ական թվականներին [[Սանգամագրամա]]յից [[Մադխավա]]ն գտավ այդպիսի շարքերից մեկը՝
: <math>{\pi} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots</math>

Այս արդյունքը հայտնի է որպես [[Մադխավա-Լեյբնիցի շարք]], կամ [[Գրեգորի-Լեյբնիցի շարք]] (այն բանից հետո, երբ այն նորից հայտնաբերվեց [[Ջեյմս Գրեգորի]]ի և [[Գոտֆրիդ Լեյբնից]]ի կողմից [[17-րդ դար]]ում)։ Սակայն այս շարքը ձգտում է <math>\pi</math>-ին ավելի դանդաղ, որը բերում է մեծ թվով թվանշանների հաշվմանը պրակտիկայում, այսպես, անհրաժեշտ է հաշվել շարքի մոտավորապես '''4000''' անդամի գումար, որպեսզի Արքիմեդի արժեքի ճշտությունը բարելավվի։ 
Սակայն այն ձևափոխելով 
: <math>\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)</math>
Մադխավան կարողացավ հաշվել <math>\pi</math>–ն որպես '''3, 14159265359''', ճշգրտորեն հաշվելով թվի մեջ '''11''' թվանշան։ Այս ռեկորդը կարողացավ հաղթահարել [[պարսիկ]] մաթեմատիկոս [[Ջամաշիդ ալ Կաշին]] [[1424]] թվականին, ով իր «[[Շրջանագծի մասին տրակտատ]]ում» բերեց '''17''' նիշ, որից '''16'''-ը ճիշտ են։

Առաջին խոշոր եվրոպական ներդրումը Արքիմեդի ժամանակներից ի վեր կատարել է [[հոլանդացի]] մաթեմատիկոս [[Լյուդոլֆ վան Ցեյլեն]]ը, ով շուրջ տաս տարի է ծախսել <math>\pi</math> թվի '''20''' տասական նիշերով հաշվարկելու համար (այս արդյունքը հրապարակվել է [[1596]] թվականին)։ Օգտագործելով Արքիմեդի մեթոդը նա հասցրեց մինչև '''n'''-անկյան կրկնապատկումը, որտեղ '''n = 60•229'''։ Ներկայացնելով իր արդյունքները «[[Շրջանագծի մասին]]» («{{lang-en|Van den Circkel}}») աշխատությունում Լուդոլֆը ավարտել է այն հետևյալ բառերով՝ «Ով ունի ցանկություն, թող գնա առաջ»։ Մահից հետո նրա ձեռագրերում հայտնաբերվել են <math>\pi</math> թվի ևս '''15''' ճշգրիտ թվանշան։ Լուդոլֆը կտակեց, որ իր գտած թվանշանները փորագրվեն իր [[տապանաքար]]ի վրա։ Ի պատիվ իրեն երբեմն <math>\pi</math> թիվը անվանում էին «լուդոլֆյան թիվ» կամ «Լուդոլֆի հաստատուն»։

Մոտավորապես այդ նույն ժամանակ Եվրոպայում սկսեցին զարգանալ [[անալիզի մեթոդներ]]ը և [[անվերջ շարքեր]]ի հաշվումը։ Առաջին այդպիսի ներկայացումը եղել է [[Վիետի բանաձևը]]՝
: <math>\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots</math>, հայտնաբերված [[Ֆրանսուա Վիետ]]ի կողմից [[1593]] թվականին։

Մյուս հայտնի արդյունքը հանդիսացավ Վալլիսի բանաձևը՝ 
: <math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots</math>, որը դուրս է բերվել [[Ջոն Վալլիս]]ի կողմից [[1655]] թվականին։

Նմանատիպ արտադրյալներ են՝

{|
|-
| <math>\pi=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{3}\right )^2}</math> 
|| 
|| <math>\pi=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{2}{3}\right )^2}</math>
|-
| <math>\pi=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{4}\right )^2}</math> 
|| 
|| <math>\pi=\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{3}{4}\right )^2}</math>
|-
| <math>\pi=6\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{6}\right )^2}</math> 
|| 
|| <math>\pi=\frac{6}{5}\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{5}{6}\right )^2}</math>
|-
| <math>\pi=4\cdot\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2+k}{k^2+k+\frac{1}{4}}</math> 
|| 
|| <math>\pi=\frac{9}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{2}{9}}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{16}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{3}{16}}</math> 
|| 
|| <math>\pi=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{5}{36}}</math>
|}

Արտադրյալ, որն ապացուցում է [[E թիվ|Էյլերի թվի (<math> e </math>)]] հետ կապի նմանությունը՝

<math>\pi= 2\sqrt{3}\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k-1 \right )^{\frac 12 -k} \left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}}{2k+1}\left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>

Ներկա ժամանակներում <math>\pi</math>-ի հաշվման համար օգտագործում են [[անալիտիկ մեթոդներ]]ը, հիմնված [[նույնություն]]ների վրա։ Վերևում թվարկված բանաձևերը հաշվարկային նպատակների համար քիչ ընդունելի են, քանի որ կամ օգտագործում են դանդաղ ձգտող շարքեր, կամ պահանջում են [[քառակուսի արմատ]]ի դուրս բերման բարդ գործողություններ։

Առաջին արդյունավետ բանաձևը [[1706]] թվականին ստացավ [[Ջոն Մեչին]] ({{lang-en|John Machin}})՝
: <math>\frac{\pi}{4} = 4\, \mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}</math>

[[Արկտանգենս]]ը ներկայացնելով [[Թեյլորի շարք]]ով՝ 
: <math>\mathrm{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots</math>, կարելի է ստանալ արագ ձգտող շարք, որը հարմար է <math>\pi</math> թվի մեծ ճշտությամբ հաշվելու համար։

Նմանատիպ բանաձևեր ներկայումս հայտնի են որպես [[Մեչինի բանաձևեր]]ը ({{lang-en|Machin-like formula}}), որոնք օգտագործվել են վերջին մի քանի ռեկորդների սահմանման համար և մնացին լավագույնները համակարգչային դարաշրջանում <math>\pi</math> թվի արագ հաշվման համար հայտնի մեթոդներից։ Նշանավոր ռեկորդը սահմանվել է [[Իոհան Դազե]]ի ({{lang-en|Johann Dase}}) ֆենոմենալ հաշվիչով, որը [[1844]] թվականին [[Գաուս]]ի կարգադրությամբ կիրառվել է Մեչինի բանաձևը մտքում <math>\pi</math>-ն '''200''' թվանշանով հաշվելու համար։ Լավագույն արդյունքը [[19-րդ դար]]ի վերջում ստացվել է անգլիացի [[Վիլյամ Շենկս]]ի ({{lang-en|William Shanks}}) կողմից, ով '''15''' տարի ծախսեց նրա համար, որ հաշվի '''707''' թվանշան, թեև սխալի պատճառով միայն առաջին '''527'''-ն էին ճշգրիտ։ Որպեսզի խուսափեն այդպիսի սխալներից նման կարգի ժամանակակից հաշվարկները կատարվում են երկու անգամ։ Եթե արդյունքները համընկնում են, ապա նրանք մեծ հավանականությամբ ճշգրիտ են։ [[1948]] թվականին Շենկսի սխալը հայտնաբերեց առաջին համակարգիչներից մեկը, այն մի քանի ժամվա ընթացքում հաշվեց <math>\pi</math>-ն '''808''' թվանշանով։

Տեսական հաջողության [[18-րդ դար]]ում բերեց <math>\pi</math> թվի միջավայրի ընկալումը, որը հնարավոր չէր հասնել միայն թվային հաշվարկի օգնությամբ։ [[Իոհան Գենրիխ Լամբերտ]]ը ապացուցեց <math>\pi</math> թվի [[իռացիոնալ]]ությունը [[1761]] թվականին, իսկ [[Ադրիեն Մարի Լեժանդր]]ը [[1774]] թվականին ապացուցեց <math>\pi ^2</math>-ի իռացիոնալությունը։ [[1735]] թվին կապ է հաստատվել պարզ թվերի և <math>\pi</math>-ի միջև, երբ [[Լեոնարդ Էյլեր]]ը լուծեց հանրահայտ [[Բազելյան խնդիր]]ը ({{lang-en|Basel problem}})՝ 
: <math>\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots</math>, գումարի ճշգրիտ գտնելու խնդիրը, որը կազմում է <math>\frac{\pi^2}{6}</math>: Եվ Լեժամդրը, և Էյլերը ենթադրում էին, որ <math>\pi</math>-ն կարող է լինել [[տրանսցենդենտ]], որը վերջին հաշվով ապացուցվեց [[1882]] թվականին [[Ֆերդինանդ ֆոն Լինդեման]]ի կողմից։

Համարվում է, որ [[Վիլյամ Ջոնս]]ի «[[Նոր ներդրում մաթեմատիկայում]]» գիրքը [[1706]] թվականից առաջին անգամ օգտագործման մեջ դրեց հունարեն <math>\pi</math> տառը այդ հաստատունի նշանակման համար, բայց այդ գրառումն առավել հանրահայտ դարձավ նրանից հետո, երբ [[Լեոնարդ Էյլեր]]ը այն ընդունեց [[1737]] թվականին։ Նա գրեց. «Գոյություն ունեն բազմաթիվ այլ եղանականեր համապատասխան կորի երկարության կամ մակերեսի կամ հարթ պատկերի որոշման համար, որը զգալիորեն կհեշտացնի փորձը, օրինակ, շրջանում տրամագիծը հարաբերվում է շրջանագծի երկարությանը, ինչպես '''1'''-ը <math>\left(\frac{16}{5}-\frac{4}{239}\right)-\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{16}{5^3}-\frac{4}{239^3}\right)+\cdots = 3{, }14159 \cdots = \pi</math> »։

=== Համակարգչային հաշվարկների դարաշրջանը ===
Թվային տեխնիկայի դարաշրջանում [[20-րդ դար]]ում բերեցին հաշվարկային նոր ռեկորդների ի հայտ գալուն։ [[Ջոն ֆոն Նեյման]]ը և այլք [[1949]] թվականին օգտագործեցին [[ԷԹԻՀ]] (էլեկտրոնային թվային ինտեգրատոր և հաշվարկիչ) <math>\pi</math> թվի '''2037''' թվանշանի հաշվարկման համար, որը տևեց '''70''' ժամ։ Եվս մեկ հազար թվանշանով ավել ստացվեց հաջորդ տասնամյակում, իսկ միլիոներորդ նշագիծը գերազանցվեց [[1973]] թվականին։ Այս գործընթացը տեղի ունեցավ ոչ միայն էլ ավելի արագագործ ապարատային ապահովման շնորհիվ, այլ նաև [[ալգորիթմ]]ների շնորհիվ։ Կարևորագույն արդյունքներից մեկն էլ [[1960]] թվականին [[Ֆուրիե]]ի արագ ձևափոխման ստացումն էր, որը հնարավորություն տվեց արագ կատարել [[թվաբանական գործողություններ]] շատ մեծ թվերի հետ։
[[20-րդ դար]]ի սկզբներին հնդիկ մաթեմատիկոս [[Սրինիվասա Ռամանուջան]] հայտնաբերեց բազմաթիվ նոր բանաձևեր <math>\pi</math>-ի համար, որոնցից մի քանիսը հայտնի դարձան իրենց էլեգանտությամբ և մաթեմատիկական խորությամբ։ Դրանցից մի բանաձևն է հետևյալ շարքը՝
: <math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}</math> :

[[Չուդնովսկի եղբայրներ]]ը [[1987]] թվականին գտան նմանատիպ մեկ այլ բանաձև՝ 
: <math>\frac{1}{\pi} = \frac{1}{426880 \sqrt{10005}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}</math>,

որը տալիս է մոտավորապես '''14''' թվանշան շարքի յուրաքանչյուր անդամի համար։ Չուդնովսկիները [[1980]]-ական թվականների վերջերին օգտագործեցին այդ բանաձևերը նրա համար, որպեսզի սահմանեն մի քանի ռեկորդներ <math>\pi</math> թվի հաշվարկման համար, հաշվի առնելով այն, որ [[1989]] թվականին արդեն ստացվել էր նրա տասական ներկայացման '''1 011 196 691''' թվանշան։ Այս բանաձևը օգտագործվում է ծրագրերում, որոնք հաշվում են <math>\pi</math>-ն [[անհատական համակարգիչ]]ների վրա, ի տարբերություն գերարագ համակարգիչների, որոնք սահմանում են ժամանակակից ռեկորդները։

Միևնույն ժամանակ որպես հաջորդականություն մեծացնում է նաև ֆիքսված մեծությամբ յուրաքանչյուր հաջորդ անդամի ճշտությունը, գոյություն ունեն [[իտերատիվ ալգորիթմներ]], որոնք յուրաքանչյուր քայլում բազմապատկում են ճիշտ թվանշանների քանակը, պահանջելով իհարկե, բարձր հաշվարկային ծախսեր յուրաքանչյուր նմանատիպ քայլերի համար։

Այդ առումով մեծ առաջընթաց կատարվեց [[1975]] թվականին, երբ [[Ռիչարդ Բրենտ]]ը և [[Յուջին Սալամին]] ([[Eugene Salamin (mathematician)]]) իրարից անկախ հայտնաբերեցին [[Բրենտ-Սալամինի ալգորիթմ]]ը ({{lang-en|Gauss–Legendre algorithm}}), որը օգտագործելով միայն թվաբանությունը, յուրաքանչյուր քայլում կրկնապատկում է հայտնի նշանների քանակը<ref>{{Citation |last=Brent |first=Richard |title=Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation |periodical=Analytic Computational Complexity |pages=151–176 |year=1975 |editor-last=Traub |editor-first=J F |url=http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html |url-status=dead |publication-place=New York |publisher=Academic Press |accessdate=2014 թ․ հոկտեմբերի 20 |archivedate=2008 թ․ հուլիսի 23 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080723170157/http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html}} {{ref-en}}</ref>։ Ալգորիթմը կազմվում է սկզբնական արժեքների տեղադրումից 
: <math>a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1</math>

և իտերացիայից՝ 
: <math>a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}</math>
: <math>t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n</math>,

քանի դեռ ''a<sub>n</sub>'' և ''b<sub>n</sub>'' չեն դառնում բավականին մոտիկ։ Այդ դեպքում <math>\pi</math>-ի գնահատականը տրվում է հետևյալ բանաձևով՝ 
: <math>\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}</math> :

Այս սխեմայի օգտագործմամբ '''25''' իտերացիան բավական է '''45''' միլիոն տասական նշանների ստացման համար։

Յուրաքանչյուր քայլում ճշտությունը չորս անգամ մեծացնելու համար նմանատիպ ալգորիթմ գտնվել է [[Ջոնաթան Բորուեյն]]ի ({{lang-en|Jonathan Borwein}}) և [[Պիտեր Բորուեյն]]ի ({{lang-en|Peter Borwein}}) կողմից։ Այդ մեթոդների օգնությամբ [[Յասումասա Կանադա]]ն և իր խումբը սկսած [[1980]] թվականից սահմանեցին <math>\pi</math> թվի հաշվման բազմաթիվ ռեկորդներ մինչև '''206 158 430 000''' նշան [[1999]] թվականին։ [[2002]] թվականին Կանադան և իր խումբը սահմանեցին նոր ռեկորդ՝ '''1 241 100 000 000''' տասական նիշ։ Թերևս Կանադայի բազմաթիվ նախորդ ռեկորդները սահմանվել են [[Բրենտ-Սալամինի ալգորիթմ]]ի օգնությամբ, [[2002]] թվականի հաշվարկում օգտագործվել են մեչինովսկիների երկու բանաձևերը, որոնք աշխատում էին դանդաղ, սակայն կտրուկ նվազեցնում են հիշողության օգտագործումը։ Հաշվարկները կատարվել են '''64''' հանգույցով [[Hitachi]] գերարագ համակարգչով '''1''' տերաբայտ [[օպերատիվ հիշողություն|օպերատիվ հիշողությամբ]], որն ընդունակ էր կատարելու '''2''' տրիլիոն գործողություն վայրկյանում։

Վերջին ժամանակներում կարևորագույն զարգացում ստացավ [[Բեյլ-Բորուեյն-Պլաֆֆի բանաձև]]ը՝ ստեղծված [[1997]] թվականին Ս[[այմոն Պլաֆֆ]]ի կողմից ({{lang-en|Simon Plouffe}}) և կոչվեց հոդվածի հեղինակի անունով, որում նա առաջին անգամ էր հրապարակվել։ Այդ բանաձևն էր՝
: <math>\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)</math>,

հատկանշական է այն, որ այն հնարավորություն է տալիս առանձնացնել <math>\pi</math> թվի ցանկացած կոնկրետ [[Հաշվարկման տասնվեցական համակարգ|տասնվեցական]] կամ երկուական թիվ առանց նախորդների հաշվման։ [[1998]]-ից [[2000]] թվականներին [[PiHex]]-ի բաժանված պրոյեկտը օգտագործեց [[Ֆաբրիս Բելար]]ի ձևափոխված բանաձևը <math>\pi</math> թվի կվադրիլիոններորդ բիտի հաշվան համար, որը պարզվեց զրո էր<ref>{{Cite web |author=[[Фабрис Беллар|Fabrice Bellard]]. |title=A new formula to compute the n<sup>th</sup> binary digit of pi |url=http://bellard.org/pi/pi_bin/pi_bin.html |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/617AsLjCD?url=http://bellard.org/pi/pi_bin/pi_bin.html |archivedate=2011 թ․ օգոստոսի 21 |accessdate=11 января 2010 |language=en}}</ref>։

[[2006]] թվականին [[Սայմոն Պլաֆֆ]]ը օգտագործելով [[PSQL]]-ը գտավ մի շարք գեղեցիկ բանաձևեր<ref>{{Cite web |author=Simon Plouffe. |title=Indentities inspired by Ramanujan’s Notebooks (part 2) |url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf |url-status=dead |archiveurl=https://www.webcitation.org/617AtFW4Y?url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf |archivedate=2011 թ․ օգոստոսի 21 |accessdate=11 января 2010 |language=en}}</ref>։ Ենթադրենք ''q'' = [[Գելֆանդի հաստատուն|e<sup>π</sup>]], այդ դեպքում 
: <math>\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

: <math>\frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

և այլ տեսքի 
: <math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right) </math>
որտեղ ''q'' = [[Գելֆանդի հաստատուն|''e''<sup>π</sup>]], , <math>k</math>–ն [[կենտ թիվ]] է, և <math>a, b, c</math>-ն [[ռացիոնալ թիվ|ռացիոնալ թվեր]] են։ Եթե <math>k</math>-ն <math>4m+3</math> տեսքի է, ապա այդ բանաձևը ունի բավականին պարզ տեսք՝

: <math>p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

ռացիոնալ <math>p</math>-ի համար, որի հայտարարը թիվ է, լավ ներկայացված արտադրիչների տեսքով, թերևս ճշգրիտ ապացույցը ներկայացված չէ։

[[2009]] թվականի օգոստոսին ճապոնական [[Ցուկուբո համալսարան]]ի գիտնականները հաշվարկեցին տասական կարգի '''2 576 980 377 524'''-ից հաջորդականություն<ref>{{Cite web |title=Установлен новый рекорд точности вычисления числа π |url=http://science.compulenta.ru/451031/ |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20090822131356/http://science.compulenta.ru/451031/ |archive-date=2009 թ․ օգոստոսի 22 |accessdate=2014 թ․ հոկտեմբերի 20}}</ref>։

[[2009]] թվականի [[դեկտեմբերի 31]]-ին ֆրանսիացի ծրագրավորող [[Ֆաբրիս Բելլար]]ը անհատական համակարգչի վրա հաշվարկել է տասական կարգի '''2 699 999 990 000'''-ից հաջորդականություն<ref>[http://bellard.org/pi/pi2700e9/ Pi Computation Record]</ref>։

[[2010]] թվականի [[օգոստոսի 2]]-ին ամերիկացի ուսանող Ալեքսանդր Յին և ճապոնացի հետազոտող [[Սիգերու Կոնդո]]ն հաշվել են ստորակետից հետո '''5''' տրիլիոն թվանշանների ճշտության հաջորդականություն<ref>{{Cite web |title=Число «Пи» рассчитано с рекордной точностью |url=http://science.compulenta.ru/552828/ |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20130307140240/http://science.compulenta.ru/552828 |archive-date=2013 թ․ մարտի 7 |accessdate=2014 թ․ հոկտեմբերի 20}}</ref><ref name="Рекорд">[http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/announce_en.html 5 Trillion Digits of Pi — New World Record]{{ref-en}}</ref>։

[[2011]] թվականի [[հոկտեմբերի 19]]-ին Ալեքսանդր Յին և Սիգերու Կոնդոն հաշվել են ստորակետից հետո '''10''' տրիլիոն թվանշանների ճշտության հաջորդականություն<ref>{{Cite web |title=Определено 10 триллионов цифр десятичного разложения для π |url=http://iscience.ru/2011/10/20/opredeleno-10-trillionov-cifr-desyatichnogo-razlozheniya-dlya-%CF%80/ |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20180725122041/http://iscience.ru/2011/10/20/opredeleno-10-trillionov-cifr-desyatichnogo-razlozheniya-dlya-%CF%80/ |archive-date=2018 թ․ հուլիսի 25 |accessdate=2022 թ․ մայիսի 26}}</ref><ref name="pi-10t">[http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html Round 2… 10 Trillion Digits of Pi]</ref>։

== Ուշագրավ փաստեր ==
* [[2010]] թվականի դրությամբ հաշվարկված է ստորակետից հետո հինգ տրիլիոն թվանշան։
* [[2011]] թվականի դրությամբ հաշվարկված է ստորակետից հետո տասը տրիլիոն թվանշան։
* [[Մարտի 14]]-ին նշվում է [[պի թվի օրը]]։
* <math>\pi</math> թվի հետ է կապված նաև [[հուլիսի 22]]-ը՝ «Մոտավոր <math>\pi</math> թվի օրը» ({{lang-en|Pi Approximation Day}}), այն բանի շնորհիվ, որ ամսաթվերի եվրոպական ձևաչափով այդ օրը գրվում է '''22/7''', իսկ այդ տեսքով գրված կոտորակը համապատասխանում է <math>\pi</math>-ի մոտավոր արժեքին։
* Պի թվի առաջին տասը նիշերը հիշելու համար կա հայերեն բանաստեղծություն (ըստ բառերում տառերի քանակի). 
:3.141592653 = Ահա և հեշտ և սիրով սովորեցիր մի պիտանի խրթին թիվ

== Չլուծված պրոբլեմներ ==
* Հայտնի չէ, հանդիսանում են արդյոք <math>\pi</math> և <math>e</math> թվերը [[հանրահաշվորեն անկախ]]։
* Հայտնի չէ հետևյալ թվերից յուրաքանչյուրի ճշգրիտ [[իռացիոնալության չափ]]ը՝ <math>\pi</math> և <math>\pi ^ 2</math>, սակայն հայտնի է, որ <math>\pi</math>-ի համար այն չի գերազանցում 7, 6063-ը։
* Անհայտ է հետևյալ թվերից յուրաքանչյուրի [[իռացիոնալության չա]]փը՝ <math>\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, e^{\pi^2}, e^e, 2^e</math> ։ Նույնիսկ նրանցից յուրաքանչյուրի համար հայտնի չէ, հանդիսանում են [[ռացիոնալ թիվ]], [[Հանրահաշվական թիվ|հանրահաշվորեն իռացիոնալ]] կամ [[տրանսցենդենտ]] թիվ<ref>[[:en:Irrational number#Open questions]]</ref><ref>[http://www.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf Some unsolved problems in number theory]</ref><ref>{{Cite web |title=An introduction to irrationality and transcendence methods |url=http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20130517183134/http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf |archive-date=2013 թ․ մայիսի 17 |accessdate=2014 թ․ հոկտեմբերի 15}}</ref>։
* Հայտնի չէ, հանդիսանում է արդյոք [[ամբողջ թիվ]] <math>{}^n \pi </math>-ն որևէ դրական ամբողջ <math>n</math>-ի համար (տես [[Տետրացիա]])։
* Հայտնի չէ, պատկանում է արդյոք <math>\frac{1}{\pi}</math> - ն [[պարբերությունների օղակ]]ին։
* Մինչ օրս ոչինչ հայտնի չէ <math>\pi</math> թվի նորմալության մասին, հայտնի չէ նույնիսկ, 0-9 թվանշաններից որն է <math>\pi</math> թվի տասական ներկայացման մեջ կրկնվում անվերջ անգամ։

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|2}}
{{Թվեր հատուկ անուններով}}

[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական հաստատուններ]]
[[Կատեգորիա:Պի| ]]