Դիտել Պորտալ:Մաթեմատիկա/Ընտրյալ հոդված էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:ApolloniusTheoremProof.svg|աջից|150px|Ապոլոնիուսի թեորեմի ապացույցը]]
'''Ապոլոնիուսի թեորեմը''' կապ է հաստատում [[եռանկյուն|եռանկյան]] միջնագծի և նրա կողմերի երկարությունների միջև։

Ցանկացած ''ABC'' եռանկյան համար, որտեղ ''AD''-ն միջնագիծ է, 
:<math>AB^2 + AC^2 = 2(AD^2+BD^2).\,</math>
Սա Ստյուարտի թեորմեի մասնավոր դեպք է։ Հավասարասրուն եռանկյան դեպքում այն վերածվում է [[Պյութագորասի թեորեմ]]ի։ Քանի որ զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվելիս կիսում են իրար, Ապոլոնիուսի թեորեմը համարժեք է զուգահեռագծերի օրենքին։

Թեորեմը իր անունը կրում է հին հույն գիտնական Ապոլոնիուսի պատվին։

Այս թեորեմը կարելի է դիտարկել որպես Ստյուարտի թեորեմ մասնավոր դեպք, այն կարելի է ապացուցել վեկտորների միջոցով։
Ստորև բերվում է մեկ այլ ապացույց, որն օգտագործում է [[կոսինուսների թեորեմ]]ը։

Դիցուք ''a''-ն, ''b''-ն և ''c''-ն որևէ եռանկյան կողմերն են, իսկ ''d''-ն ''a''-ին տարված միջնագիծն է։ Միջնագիծը ''a''-ն կբաժանի երկու ''m = 1/2 a'' երկարությամբ հատվածների։ ''a''-ի և ''d''-ի միջև ընկած անկյունը նշանակենք θ, իսկ θ′-ով նշանակենք նրա կից անկյունը (հետևաբար, cos θ′ = −cos θ)։ Օգտվենք [[կոսինուսների թեորեմ]]ից՝ θ և θ′ անկյունների համար.
:<math>
\begin{align}
b^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta' \\
&= m^2 + d^2 + 2dm\cos\theta.\, \end{align}
</math>

Այս երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանանք
:<math>b^2 + c^2 = 2m^2 + 2d^2\,</math>
որն էլ որ պահանջվում էր ապացուցել։ '''([[Ապոլոնիուսի թեորեմ |մանրամասն․․․]])'''