Դիտել Ռադիան էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:Radian cropped color.svg|մինի|1 ռադիան — կենտրոնական անկյուն, որի աղեղի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին]]
[[Պատկեր:Circle radians.gif|մինի|աջ|300px|[[շրջանագիծ|շրջանագծի]] աղեղը, որի երկարությունը հավասար է [[շառավիղ|շառավղի]], պարունակում է 1 ռադիանի անկյուն։ Տրամաչափի անկյունը 2 [[պի|{{pi}}]] ռադիան է։]]
'''Ռադիան''' (նշանակումը՝ '''ռադ''', '''rad'''; [[Լատիներեն|լատ.]]՝ radius - աղեղ, շառավիղ բառից), [[Միավորների միջազգային համակարգ]]ում և [[մաթեմատիկա]]յի բազմաթիվ ոլորտներում [[անկյուն]]ների չափման միավոր։

Այն կենտրոնական անկյունը, որի հենման աղեղի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին, կոչվում է մեկ ռադիան մեծությամբ անկյուն<ref>{{Cite web |title=Ռադիան, դրական և բացասական պտույտներ. Զաբելա Աբելյան - Պաշարների շտեմարան |url=https://lib.armedu.am/resource/2008 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20171112103400/http://lib.armedu.am/resource/2008 |archive-date=2017 թ․ նոյեմբերի 12 |accessdate=2019 թ․ մարտի 2 |website=lib.armedu.am}}</ref>։ Արտահայտված աստիճաններով մեկ ռադիանը հավասար է մոտ 57.3 [[Աստիճան (երկրաչափություն)|աստիճանի]] (համաձայն {{OEIS2C|A072097}} ): Միավորը նախկինում համարվում էր SI լրացուցիչ միավոր, սակայն միավորների այս կատեգորիան վերացվել է 1995 թվականին, և ռադիանը այժմ համարվում է SI ածանցյալ միավոր<ref>{{Cite web |title=Resolution 8 of the CGPM at its 20th Meeting (1995) |url=http://www.bipm.org/en/CGPM/db/20/8/ |accessdate=2014 թ․ սեպտեմբերի 23 |publisher=[[Bureau International des Poids et Mesures]]}}</ref>։

Տարածաչափական, ոչ հարթ անկյունների չափման միավորը ՍԻ համակարգում կոչվում է [[ստեռադիան]]։

Ռադիանը հիմնականում նշանակվում է '''rad''' նշանով (Յունիկոդում՝ U+33AD ㎭)<ref>[[Unicode|Յունիկոդի]] նշանն է U+33AD ㎭ հին այլագրումների հետ համատեղելիության համար</ref>: Այլընտրանքային նշանն է՝ <sup>c</sup>, լատինական c տառի վերտողային գրառումը (անգլերեն «circular measure» «շրջանային չափ»), r տառը կամ վերտեղային {{Sup|R}}<ref name="Hall_1909"/>, բայց այդ գրառման տարբերակները հազվադեպ են օգտագործվում, քանի որ այն հեշտությամբ կարելի է շփոթել [[աստիճանի նշան]]ի (°) կամ շառավղի (r) նշանակումների հետ։ Այսպիսով, օրինակ, 1,2 ռադիանի արժեքը կարող է գրվել որպես 1,2 ռադ, 1,2&nbsp;rad, 1,2 r, 1,2 {{Sup|rad}}, 1,2 {{Sup|c}} կամ 1,2 {{Sup|R}}:

[[Պատկեր:2pi-unrolled.gif|thumb|right|2{{pi}} ռադիանի ամբողջական պտույտ (այստեղ ցուցադրված 1 շառավղով և համապատասխանաբար 2{{pi}} տրամաչափով)]]

== Պատմություն ==
Անկյան աստիճանի փոխարեն ռադիանով չափման գաղափարը վերագրվում է Ռոջեր Քոթսին<ref>{{Cite web |last=O'Connor |first=J. J. |last2=Robertson |first2=E. F. |date=February 2005 |title=Biography of Roger Cotes |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Cotes.html |url-status=dead |archive-url=https://www.webcitation.org/6AuwvrfcU?url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Cotes.html |archive-date=2012 թ․ սեպտեմբերի 24 |accessdate=2019 թ․ մարտի 2 |website=The MacTutor History of Mathematics}}</ref><ref>Ռոջեր Քոթսը մահացավ 1716–ին։ 1722 թվականին, իր մորաքրոջ տղեն Ռոբերտ Սմիթը հավաքել և հարապարակել էր Քոթսի մաթեմատիկական աշխատանքները գրքի տեսքով, որն անվանել էր ''Harmonia mensurarum''։  Խմբագրողի կողմից մեկնաբանության բաժնում, նա առաջին անգամ տալիս է ռադիանը արժեքը անկյուններով։Տես՝ Roger Cotes with Robert Smith, ed., ''Harmonia mensurarum'' … (Cambridge, England:  1722), chapter: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, [https://books.google.com/books?id=J6BGAAAAcAAJ&pg=RA1-PA95#v=onepage&q&f=false top of page 95] էջ 95–ում, այն հատվածից հետո, որբ նա նշում է, որ 180° կհամապատասխանի π (3.14159…) երկարությանը (այսինքն {{pi}} ռադիանի), Սմիթը գրում է․  ''"Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 &c. "'' (Whence the unit of trigonometric measure, 57.2957795130… [degrees per radian], will appear.)</ref>։ 1714 թվականին նա առանց ռադիան անվանում տալու, նկարագրում է նման չափումների գաղափարը և նշում, որ դա բնական միավոր կլիներ։ Անկյունները աղեղի երկարությամբ չափելու գաղափարը մինչ այդ օգտագործվում էր այլ մաթեմատիկոսների կողմից։  Օրինակ, ալ-Կաշին (մոտ 1400 թվականին), օգտագործել էր այսպես կոչված ''տրամաչափի մասեր'' միավորը'',''  որտեղ մեկ տրամագծի մասը հավասար էր {{Sfrac|1|60}} ռադիանի և նաև կիրառվում էր, տրամաչափի մասի 60–րդ մասեր<ref>{{Cite book |last=Luckey |first=Paul |title=Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi |publisher=Akademie Verlag |year=1953 |editor-last=Siggel |editor-first=A. |location=Berlin |pages=40 |trans-title=Treatise on the Circumference of al-Kashi |issue=6 |orig-year=Translation of 1424 book}}</ref>։

''Ռադիան'' եզրույթը առաջին անգամ տպված վիճակում հանդիպում է 1873 թվականի հունիսի 5-ին, [[Բելֆաստ]]ի Քվինս համալսարանի քննական հարցաշարում, որի հեղինակն էր ֆիզիկոս և ճարտարագետ Ջեյմս Թոմսոնը ([[Ուիլյամ Թոմսոն|Լորդ Քելվինի]] եղբայրը)։ Նա օգտագործում էր այդ տերմինը դեռ 1871 թվականին, իսկ 1869 թվականին Թոմաս Մուիրը (Սուրբ Էնդրյուսի համալսարան) տատանվում էր «ռադ», «ռադիալ» և «ռադիան» տարբերակների միջև։ 1874 թվականին, Ջեյմս Թոմսոնի հետ խորհրդակցելուց հետո, Մուիրը անցավ ''ռադիան'' տարբերակին<ref>{{Cite book |last=Cajori |first=Florian |author-link=Florian Cajori |title=History of Mathematical Notations |year=1929 |isbn=0-486-67766-4 |volume=2 |pages=147–148}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Muir |first=Thos. |year=1910 |title=The Term "Radian" in Trigonometry |url=https://archive.org/details/sim_nature-uk_1910-04-07_83_2110/page/n4 |journal=Nature |volume=83 |issue=2110 |pages=156 |bibcode=1910Natur..83..156M |doi=10.1038/083156a0}}{{Cite journal |last=Thomson |first=James |year=1910 |title=The Term "Radian" in Trigonometry |url=https://archive.org/details/sim_nature-uk_1910-04-21_83_2112/page/n5 |journal=Nature |volume=83 |issue=2112 |pages=217 |bibcode=1910Natur..83..217T |doi=10.1038/083217c0}}{{Cite journal |last=Muir |first=Thos. |year=1910 |title=The Term "Radian" in Trigonometry |url=https://archive.org/details/sim_nature-uk_1910-06-16_83_2120/page/n7 |journal=Nature |volume=83 |issue=2120 |pages=459–460 |bibcode=1910Natur..83..459M |doi=10.1038/083459d0}}</ref><ref>{{Cite web |last=Miller |first=Jeff |date=2009 թ․ նոյեմբերի 23 |title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics |url=http://jeff560.tripod.com/r.html |accessdate=2011 թ․ սեպտեմբերի 30}}</ref>։

== Փոխարկում ==
[[Պատկեր:Degree-Radian Conversion.svg|thumb|300px|Անկյունների և ռադիանների միջև փոխարկման [[Նոմոգրաֆիա|Նոմոգրամմա]]]]

{|class = wikitable style="text-align:center;"
|+ Տարածված անկյունների փոխարկում
|-
! [[Պտույտ (երկրաչափություն)|Պտույտ]]
! Ռադիան
! [[Աստիճան (երկրաչափություն)|Աստիճան]]
! [[Գռադիան]]
|-
| 0
| 0
| 0°
| 0<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|1|24}}
| {{sfrac|π|12}}
| 15°
| {{sfrac|16|2|3}}<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|1|12}}
| {{sfrac|π|6}}
| 30°
| {{sfrac|33|1|3}}<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|1|10}}
| {{sfrac|π|5}}
| 36°
| 40<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|1|8}}
| {{sfrac|π|4}}
| 45°
| 50<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|1|2π}}
| 1
| ~ 57.3°
| ~ 63.7<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|1|6}}
| {{sfrac|π|3}}
| 60°
| {{sfrac|66|2|3}}<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|1|5}}
| {{sfrac|2π|5}}
| 72°
| 80<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|1|4}}
| {{sfrac|π|2}}
| 90°
| 100<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|1|3}}
| {{sfrac|2π|3}}
| 120°
| {{sfrac|133|1|3}}<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|2|5}}
| {{sfrac|4π|5}}
| 144°
| 160<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|1|2}}
| π
| 180°
| 200<sup>g</sup>
|-
| {{sfrac|3|4}}
| {{sfrac|3π|2}}
| 270°
| 300<sup>g</sup>
|-
| 1
| 2π
| 360°
| 400<sup>g</sup>
|}

=== Ռադիանների և անկյունների միջև փոխարկում ===
Ինչպես նշվել է մեկ ռադիանը հավասար է 180/π աստիճանի։ Այդպիսով, ռադիանը աստիճանով փոխարկելու համար, այն պետք է բազմապատկել 180/π.

:<math> \text{անկյունը աստիճանով} = \text{անկյունը ռադիանով} \cdot \frac {180^\circ} {\pi}</math>

Օրինակ՝
:<math>1 \text{ rad} = 1 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57.2958^\circ </math>
:<math>2.5 \text{ rad} = 2.5 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx 143.2394^\circ </math>
:<math>\frac {\pi} {3} \text{ rad} = \frac {\pi} {3} \cdot \frac {180^\circ} {\pi} = 60^\circ </math>

Հակառակը՝ աստիճանը ռադիանով փախարկելու համար այն պետք է բազմապատկել π/180։

:<math> \text{անկյունը ռադիանով} = \text{անկյունը աստիճանով} \cdot \frac {\pi} {180^\circ}</math>

Օրինակ՝

:<math>1^\circ = 1 \cdot \frac {\pi} {180^\circ} \approx 0.0175 \text{ rad}</math>
:<math>23^\circ = 23 \cdot \frac {\pi} {180^\circ} \approx 0.4014 \text{ rad}</math>

Ռադիանները կարելի է փոխարկել պտույտներով (ամբողջական 360° պտույտով) ռադիանով արժեքը բաժանելով 2π–ով։

==== Ռադիանի աստիճանի փոխարկման դուրսբերում ====
Շրջանագծի պարագիծը հավասար է <math>2\pi r</math>, որտեղ <math>r</math> շրջանագծի շառավիղն է։

Այսպիսով ճիշտ է հետևյալ հավասարումը՝

<math>360^\circ \iff 2\pi r</math>{{pad|4em}}[Քանի որ անհրաժեշտ է <math>360^\circ</math> պտույտ, ամբողջ շրջան նկարելու համար]

Ըստ ռադիանի սահմանման, ամբողջ պտույտը հավասար է

:<math>\frac{2\pi r}{r} \text{ rad}</math>

:<math>= 2\pi \text{ rad}</math>

Համադրելով վերևի 2 հարաբերությունները, կստանանք՝

:<math>2\pi \text{ rad} = 360^\circ</math>

:<math>\Rrightarrow 1 \text{ rad} = \frac{360^\circ}{2\pi}</math>

:<math>\Rrightarrow 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi}</math>

=== Ռադիանից գռադիանի փոխարկում ===
<math>2\pi</math> ռադիանը հավասար է մեկ պտույտի, որը ըստ սահմանման հավասար է 400 [[Գռադիան]]ի (400<sup>g</sup>)։ Այսպիսով, ռադիանոց գռադիան փոխակերպելու համար պետք է բազմատկել <math>200/\pi</math>–ով, իսկ գռադիաններից ռադիանների փոխարկելու համար բազմապատկել <math>\pi/200</math>։

Օրինակ՝

:<math>1.2 \text{ rad} = 1.2 \cdot \frac {200^\text{g}} {\pi} \approx 76.3944^\text{g}</math>
:<math>50^\text{g} = 50 \cdot \frac {\pi} {200^\text{g}} \approx 0.7854 \text{ rad}</math>

== Ռադիաններով չափման առավելությունները ==
[[Պատկեր:Radian-common.svg|thumb|357px|right|Մի քանի տարածված անկյուններ՝ չափված ռադիաններով։ Պատկերված բոլոր մեծ բազմանկյունները [[կանոնավոր բազմանկյուն]] են։]]

[[Մաթեմատիկական անալիզ]]ում և կիրառական երկրաչափությունից բացի, մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր ճյուղերում անկյունները չափվում են ռադիաններով։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ ռադիանները մաթեմատիկորեն «բնական» են, ինչը թույլ է տալիս ավելի պարզ և գեղեցիկ տեսքով գրառել մի շարք կարևոր արտահայտություններ։

Օրինակ, [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]ը ավելի պարզ և գեղեցիկ տեսք են ստանում, երբ արգումենտները արտահայտված են ռադիաններով։ Օրինակ [[ֆունկցիայի սահման]]ը ստանում է հետևյալ տեսքը՝

:<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1,</math>

ինչը հանդիսանում է շատ այլ արտահայտությունների հիմքը՝

:<math>\frac{d}{dx} \sin x = \cos x</math>
:<math>\frac{d^2}{dx^2} \sin x = -\sin x.</math>

Այս և այլ հատկությունների հաշվին, եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հայտնվում են լուծումներում, որոնք առաջին հայացքից կապ չունեն ֆունկցիաների երկրաչափական իմաստի հետ (օրինակ դիֆֆերենցիալ հավասարուման մեջ՝ <math> \frac{d^2 y}{dx^2} = -y </math> կամ ինտեգրալի վերլուծության՝ <math> \int \frac{dx}{1+x^2} </math>)։ Բոլոր նման դեպքերում ֆունկցիաների արգումենտները առավել բնական տեսք են ստանում, երբ գրված են ռադիանով չափված անկյան ձևով։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները նաև պարզ ու գեղեցիկ տեսք են ստանում հաջորդականությունների մեջ։ Օրինակ այս sin&nbsp;''x''–ի [[Թեյլորի շարք]]ում՝

:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots .</math>

Եթե ''x'' արտահայտված լիներ աստիճաններով, ապա շարքը կունենա դժվար ընթեռնելի տեսք և կներառի π/180–ի աստիճաններով բազմապատկիչներ՝ եթե ''x'' աստիճանով արժեքն է, ապա ռադիաններով արժեք կլինի {{nowrap|1=''y'' = π ''x'' / 180}}, և այդպիսով կստանանք

:<math>\sin x_\mathrm{deg} = \sin y_\mathrm{rad} = \frac{\pi}{180} x - \left (\frac{\pi}{180} \right )^3\ \frac{x^3}{3!} + \left (\frac{\pi}{180} \right )^5\ \frac{x^5}{5!} - \left (\frac{\pi}{180} \right )^7\ \frac{x^7}{7!} + \cdots .</math>

Սինուսի, կոսինուսի և [[ցուցչային ֆունկցիա]]յի միջև մաթեմատիկայում կարևոր հարաբերությունը (օրինակ՝ [[Էյլերի բանաձև]]ը) կրկին ֆունկցիաների արգումենտները ռադիաններով արտահայտված լինելու դեպքում ստանում են ավելի գեղեցիկ տեսք, և դժվարընթեռնելի են այլապես։

== Ծանոթագրություններ և նշումներ ==
{{ծանցանկ|refs=
<ref name="Hall_1909">{{Cite book |author-last1=Hall |author-first1=Arthur Graham |url=https://archive.org/stream/planetrigonometr00hallrich#page/n88/mode/1up |title=Trigonometry |author-last2=Frink |author-first2=Fred Goodrich |date=January 1909 |publisher=[[Henry Holt and Company]] / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA |volume=Part I: Plane Trigonometry |location=Ann Arbor, Michigan, USA |publication-place=New York, USA |page=73 |chapter=Chapter VII. The General Angle [55] Signs and Limitations in Value. Exercise XV. |access-date=2017 թ․ օգոստոսի 12 |url-status=live}}</ref>
}}

== Տես նաև ==
* [[Ստեռադիան]]

== Արտաքին հղումներ ==
* [https://hy.khanacademy.org/math/algebra2/trig-functions#intro-to-radians-alg2 Ռադիանը ՔանԱկադեմիա Հայաստանում]

{{ՍԻ համակարգի չափման միավորներ}}

[[Կատեգորիա:Չափման միավորներ]]
[[Կատեգորիա:Միավորների միջազգային համակարգ]]