Դիտել Ռյոլոյի եռանկյուն էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:Construction of Reuleaux triangle.svg|thumb|right|Ռյոլոյի եռանկյան կառուցումը]]
'''Ռյոլոյի եռանկյուն'''<ref group="*">Հանդիպում են նաև Reuleaux ազգանվան տառադարձման այլ տարբերակներ։ Օրինակ, Իսահակ Մոիսեևիչ Յագլոմն ու Վլադիմիր Գրիգորևիչ Բոլտյանսկին իրենց «Ուռուցիկ պատկերներ» գրքում անվանում են «Ռելոյի եռանկյուն».</ref>, երեք այնպիսի հավասար շրջանների [[Բազմությունների հատում|հատում]], որոնց կենտրոնները [[հավասարակողմ եռանկյուն|հավասարակողմ եռանկյան]] գագաթներ են, իսկ [[շառավիղ]]ները հավասար են այդ կանոնավոր եռանկյան կողմին<ref name="vinogradov"/>{{sfn|Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры|1951|էջ=91}}։ Ոչ հարթ փակ կորը, որը սահմանափակում է այդ պատկերը, ևս կոչվում է Ռյոլոյի եռանկյուն։

Շրջանից հետո Ռյոլոյի եռանկյունն ամենապարզ [[անփոփոխ լայնության կոր|անփոփոխ լայնության]] պատկերն է<ref name="vinogradov">{{Ռուսերեն գիրք |автор=[[Соколов, Дмитрий Дмитриевич|Соколов Д. Д.]] |заглавие=[[Математическая энциклопедия]] |ответственный=Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]] |год=1984 |часть=Постоянной ширины кривая |место={{М.}} |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]] |том=4 |страницы=519 |страниц=608 |тираж=150000}}</ref>։ Այսինքն, եթե Ռյոլոյի եռանկյանը տանենք երկու զուգահեռ հենակետային ուղիղներ<ref group="*">Հենակետային ուղիղն անցնւմ է պատկերի կողմի կետերից մեկով, առանց պատկերը մասերի բաժանելու</ref>, ապա անկախ ընտրված ուղղությունից նրանց միջև հեռավորությունն անփոփոխ կմնա{{sfn|Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры|1951|էջ=90}}։ Այդ հեռավորությունը կոչվում է Ռյոլոյի եռանկյան լայնություն։

Այլ անփոփոխ լայնության պատկերների շարքում Ռյոլոյի եռանկյունն առանձնանում է մի շարք էքստրեմալ հատկություններով՝ նվազագույն մակերեսով<ref name="vinogradov"/>, գագաթի հնարավոր նվազագույն անկյունով{{sfn|Радемахер, Тёплиц|1962|էջ=206—207|name="radtpl206207"}}, կենտրոնի նկատմամբ նվազագույն համաչափությամբ<ref name="finch">{{Ռուսերեն գիրք |автор=Finch S. R. |заглавие=Mathematical Constants |год=2003 |часть=Reuleaux Triangle Constants |ссылка часть=http://algo.inria.fr/csolve/rx.pdf |место=[[Кембридж|Cambridge]] |издательство=Cambridge University Press |pages=513—515 |allpages=624 |серия=Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 94 |isbn=0-5218-1805-2}} {{ref-en}}</ref>։ Եռանկյունը տեխնիկայում մեծ տարածում է ստացել։ Նրա հիմքով են պատրաստվել ճանկավոր ու գրեյֆերավոր մեխանիզմները, [[Վանկելի ռոտորա-մխոցային շարժիչներ]]ը, անգամ շաղափիչները, որոնք հնարավորություն են տալիս քառակուսաձև անցքեր ծակել<ref name="etude1">{{Cite web |author=[[Андреев, Николай Николаевич (математик)|Андреев Н. Н.]] |title=Круглый треугольник Рело |url=http://www.etudes.ru/ru/mov/mov001 |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67sgWfbWa?url=http://www.etudes.ru/ru/etudes/mazda/ |archivedate=2012 թ․ մայիսի 23 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |work=[[Математические этюды]]}}</ref>։

Պատկերի անվանումն առաջացել է գերմանացի մեխանիկ Ֆրանց Ռյոլոյի ազգանունից։ Նա, հավանաբար, առաջինն էր, ով ուսումնասիրեց այս եռանկյան բնութագրիչ հատկությունները և դրանք օգտագործեց իր մեխանիզմներում<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=[[:en:Clifford A. Pickover|Pickover C. A.]] |заглавие=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics |год=2009 |часть=Reuleaux Triangle |место=New York; London |издательство=Sterling |pages=266—267 |allpages=528 |isbn=1-4027-5796-4}} {{ref-en}}</ref>։

== Պատմություն ==
[[Պատկեր:Leonardo da Vinci’s Mappamundi.jpg|thumb|[[Mappa mundi|Mappamundi]]. [[Լեոնարդո դա Վինչի]], մոտավորապես 1514 թվական]]
Ռյոլոն այս պատկերի առաջին հայտնագործողը չէր, չնայած նա մանրամասնորեն ուսումնասիրել է այն։ Մասնավորապես, նա հետազոտել է այն հարցը, թե քանի կոնտակտ է ([[կինեմատիկ զույգ]]երով) անհրաժեշտ հարթ պատկերի շարժումը կանխելու համար, և քառակուսուն ներգծված կորացած եռանկյան օրինակով ցույց է տվել, որ անգամ երեք կոնտակտը կարող է բավական չլինել պատկերի շարժումը կանխելու համար{{sfn|Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux|2007|p=240}}։

[[Պատկեր:Lunate drawing of Leonardo da Vinci (manuscript A, folio 15v, part).jpg|thumb|left|[[Լեոնարդո դա Վինչի]], A հին ձեռագիր, 15-րդ դարի թուղթ]]
Որոշ մաթեմատիկոսներ կարծում են, որ շրջանագծի հավասար աղեղներով կառուցված եռանկյունն առաջին անգամ կիրառել է [[Լեոնարդ Էյլեր]]ը 18-րդ դարում<ref name="kmoddl">{{Cite web |author=[[Тайминя, Дайна Яновна|Taimina D.]], Henderson D. W. |title=Reuleaux Triangle |url=http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/ |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67YnnaBuG?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/ |archivedate=2012 թ․ մայիսի 10 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |work=Kinematic Models for Design Digital Library |publisher=[[Корнелльский университет|Cornell University]] |lang=en}}</ref>։ Սակայն նման պատկեր հանդիպում է նաև առավել վաղ շրջանի՝ 15-րդ դարի ձեռագրերում. այդպիսի եռանկյուններ գծագրել է նաև [[Լեոնարդո դա Վինչի]]ն։ Ռյոլոյի եռանկյունը կա նրա A և B հին ձեռագրերում, որոնք պահպանվում են Ֆրանսիայի Ինստիտուտում{{sfn|Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux|2007|p=241|name="moon"}}, ինչպես նաև Մադրիդյան կոդեքսում<ref name="kmoddl"/>։

Մոտավորապես 1514 թվականին Լեոնարդո դա Վինչին ստեղծում է որպես այդպիսին առաջին աշխարհի քարտեզներից մեկը։ Երկրագնդի մակերևույթն այդ քարտեզում հասարակածով և երկու այլ միջօրեականներով (այդ միջօրեականների հարթությունների միջև անկյունը հավասար է 90°) нբաժանված է ութ սֆերիկ եռանկյունների, որոնք քարտեզի հարթությունում պատկերված էին Ռյոլոյի եռանկյունների ձևով, որոնք յուրաքանչյուր բևեռի մոտ չորսական հավաքված են<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=[[:en:John P. Snyder|Snyder J. P.]] |заглавие=Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections |год=1997 |часть=Emergence of Map Projections: Classical Through Renaissance |место=[[Чикаго|Chicago]]; [[Лондон|London]] |издательство=University Of Chicago Press |pages=40 |allpages=384 |isbn=0-2267-6747-7}} {{ref-en}}</ref>։
:

Ավելի վաղ՝ 13-րդ դարում, [[Բրյուգգե]]ի Աստվածամոր տաճարի կառուցողները որոշ պատուհաններ կառուցել են հենց Ռյոլոյի եռանկյան ձևով<ref name="kmoddl"/>։

== Հատկություններ ==
Ռյոլոյի եռանկյունը իրենից ներկայացնում է հարթ ուռուցիկ երկրաչափական պատկեր<ref>{{Ռուսերեն գիրք |заглавие=Математический энциклопедический словарь |ответственный=Гл. ред. Ю. В. Прохоров |год=1988 |часть=Постоянной ширины кривая |издательство=Советская энциклопедия |страницы=478 |страниц=847 |тираж=150000}}</ref>։

=== Հիմնական երկրաչափական բնութագրեր ===
[[Պատկեր:Reuleaux triangle, incircle and circumcircle.svg|250px|right]]
Եթե Ռյոլոյի եռանկյան լայնությունը նշանակենք <math>a</math>, ապա նրա [[Պատկերի մակերես|մակերեսը]] հավասար կլինի<ref>{{Cite web |title=WolframAlpha: Reuleaux Triangle |url=http://www.wolframalpha.com/entities/lamina/reuleaux_triangle/ph/xf/b8/ |accessdate=2011 թ․ նոյեմբերի 18 |work=WolframAlpha |publisher=Wolfram Research |lang=en}}{{Չաշխատող արտաքին հղում|bot=InternetArchiveBot }}</ref> <math>S = {{1}\over{2}}\left(\pi - \sqrt{3}\right) \cdot a^2, </math> պարագիծը՝ <math>p = \pi a, </math> նեգծյալ շրջանագծի շառավիղը՝<math>r = \left(1 - {{1}\over{\sqrt{3}}}\right) \cdot a, </math> իսկ արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը՝ <math>R = {{a}\over{\sqrt{3}}}</math>։

==== Համաչափություն ====
Ռյոլոյի եռանկյունն ունի առանցքային համաչափություն։ Այն ունի երկրորդ կարգի երեք համաչափության առանցքներ, որոնցից յուրաքանչյուրն անցնում է եռանկյան որևէ գագաթով և հանդիպակաց աղեղի միջնակետով։ Բացի այդ Ռյոլոյի եռանկյունն ունի երրորդ կարգի ևս մեկ համաչափության առանցք, որն ուղղահայաց է եռանկյան հարթությանը և անցնում է նրա կենտրոնով<ref group="*" name="center">Ռելոյի եռանկյան կենտրոնը հավասարակողմ եռանկյան կիսորդների, բարձրությունների և միջնագծերի հատման կետն է։</ref>։ Այսպիսով, Ռյոլոյի եռանկյան համաչափության խումբը բաղկացած է վեց արտացոլումներից (ներառյալ նույնանունները) և համընկնում է հավասարակողմ եռանկյան <math>D_3</math> խմբի համաչափության հետ։

==== Կառուցումը կարկինով ====
Ռյոլոյի եռանկյուն կարելի է կառուցել օգտվելով միայն կարկինից (կարելի է նույնիսկ քանոն չօգտագործել)։ Որպեսզի կառուցենք Ռյոլոյի եռանկյունը, պետք է հետևենք շրջանագծերը գծելու հետևյալ երեք կանոններին։ Առաջին շրջանագծի կենտրոնը ընտրում ենք կամայական ձևով, երկրորդ շրջանագծի կենտրոնը պետք է գտնվի առաջին շրջանագծի վրա, իսկ երրորդ շրջանագծի կենտրոնը պետք է լինի նախորդ երկու շրջանագծերի երկու հատման կետերից որևէ մեկը։

=== Հատկություններ, որոնք ընդհանուր են հավասար լայնություն ունեցող պատկերների համար ===
Քանի որ Ռյոլոյի եռանկյան լայնությունը հաստատուն է, ապա այն օժտված է այդ դասին պատկանող բոլոր պատկերների հատկություններով։ Մասնավորապես՝
* <math>a</math> լայնություն ունեցող Ռյոլոյի եռանկյան երկու կամայական կետերի միջև հեռավորությունը չի կարող գերազանցել <math>a</math>-ն, 
* այն շրջանագծի շառավիղը, որը Ռյոլոյի եռանկյան հետ ունի ամենաքիչը երեք ընդհանուր կետ, չի գերազանցում եռանկյան լայնությունը, 
* ըստ Հանֆրիդ Լենցի թեորեմի Ռյոլոյի եռանկյունը չի կարելի բաժանել այնպիսի երկու հավասար պատկերների, որոնց տրամագիծը փոքր կլինի եռանկյան լայնությունից<ref>{{Ռուսերեն հոդված |автор=Lenz H. |заглавие=Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers |год=1955 |язык=de |место=Basel |издание=Archiv der Mathematik |издательство=Birkhäuser Verlag |номер=5 |pages=413—416 |volume=6 |issn=0003-889X |doi=10.1007/BF01900515}}</ref><ref>{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/matprosd.html |автор=Райгородский А. М. |заглавие=Проблема Борсука. Универсальные покрышки |год=2008 |издание=Математическое просвещение |издательство=МЦНМО |выпуск=12 |страницы=216 |isbn=978-5-94057-354-8}}</ref>, 
* Ռյոլոյի եռանկյանը կարելի է ներգծել քառակուսի, ինչպես նաև կանոնավոր վեցանկյուն, 
* ըստ Բարբեի թեորեմի Ռյոլոյի եռանկյան պարագծի բանաձևը գործում է այլ նույն լայնությունն ունեցող պատկերների համար<ref>{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://mathdoc.emath.fr/JMPA/PDF/JMPA_1860_2_5_A18_0.pdf |автор=Barbier E. |заглавие=Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert |год=1860 |язык=fr |место=Paris |издание=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées |издательство=Imprimerie de Mallet-Hachelier |pages=273—286 |volume=5 |issn=0021-7824}}{{Չաշխատող արտաքին հղում|bot=InternetArchiveBot }}</ref><ref name="ctk-barbier">{{Cite web |author=Bogomolny A. |title=The Theorem of Barbier |url=http://www.cut-the-knot.org/ctk/Barbier.shtml |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67sgYJnQf?url=http://www.cut-the-knot.org/ctk/Barbier.shtml |archivedate=2012 թ․ մայիսի 23 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |work=Cut the Knot |lang=en}}</ref>։

=== Էքստրեմալ հատկություններ ===
==== Նվազագույն մակերես ====
<math>a</math> հաստատուն լայնություն ունեցող պատկերներից նվազագույն մակերեսն ունի Ռյոլոյի եռնակյունը։ Այս պնդումը կրում է Բլաշկե-Լեբեգի թեորեմ անվանումը<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Берже М. |заглавие=Геометрия |ответственный=Пер. с франц. Ю. Н. Сударева, А. В. Пажитнова, С. В. Чмутова |год=1984 |оригинал=Géométrie |издательство=Мир |том=1 |страницы=529—531 |страниц=560}}</ref>։ Թեորեմն անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Վիլհելմ Յոհան Բլաշկեի (տպագրել է այս թեորեմը [[1915]] թվականին<ref>{{Ռուսերեն հոդված |автор=Blaschke W. |заглавие=Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts |год=1915 |язык=de |место=Leipzig |издание=Mathematische Annalen |издательство=Druck und Verlag von B. G. Teubner |номер=4 |pages=504—513 |volume=76 |issn=0025-5831 |doi=10.1007/BF01458221}}</ref>) և ֆրանսիացի մաթեմատիկոս [[Հենրի Լեբեգ]]ի (սահմանել է այս թեորեմը [[1914]] թվականին<ref>{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1914__42__v1_0 |автор=Lebesgue H. |заглавие=Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constant |год=1914 |язык=fr |издание=Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes Rendus des Séances |pages=72—76 |volume=42}}</ref>) պատվին։ Տարբեր ժամանակաշրջաններում այս թեորեմը փորձել են ապացուցել Մացուսաբուրո Ֆուձիվարան ([[1927]] և [[1931]] թվականներ<ref>{{Ռուսերեն հոդված |автор=Fujiwara M. |заглавие=Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area |год=1927 |язык=en |место=Tokyo |издание=Proceedings of the Imperial Academy |издательство=Japan Academy |номер=6 |pages=307—309 |volume=3 |issn=0369-9846 |doi=10.2183/pjab1912.3.307}}</ref><ref>{{Ռուսերեն հոդված |автор=Fujiwara M. |заглавие=Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area, II |год=1931 |язык=en |место=Tokyo |издание=Proceedings of the Imperial Academy |издательство=Japan Academy |номер=8 |pages=300—302 |volume=7 |issn=0369-9846 |doi=10.2183/pjab1912.7.300}}</ref>), Անթոն Մեյերը ([[1935]] թվական<ref>{{Ռուսերեն հոդված |автор=Mayer A. E. |заглавие=Der Inhalt der Gleichdicke: Abschätzungen für ebene Gleichdicke |год=1935 |язык=de |место=Berlin |издание=Mathematische Annalen |издательство=Verlag von Julius Springer |номер=1 |pages=97—127 |volume=110 |issn=0025-5831 |doi=10.1007/BF01448020}}</ref>), Հարոլդ Էգլստոնը ([[1952]] թվական<ref>{{Ռուսերեն հոդված |автор=Eggleston H. G. |заглавие=A Proof of Blaschke’s Theorem on the Reuleaux Triangle |год=1952 |язык=en |место=London |издание=Quarterly Journal of Mathematics |издательство=Oxford University Press |номер=1 |pages=296—297 |volume=3 |issn=0033-5606 |doi=10.1093/qmath/3.1.296}}</ref>), Աբրամ Բեզիմովիչը ([[1963]] թվական<ref>{{Ռուսերեն հոդված |автор=Besicovitch A. S. |заглавие=Minimum Area of a Set of Constant Width |год=1963 |язык=en |место=Providence |издание=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics |издательство=American Mathematical Society |pages=13—14 |volume=7 (Convexity) |isbn=0-8218-1407-9 |issn=0082-0717}}</ref>), Դոնալդ Չակերիանը ([[1966]] թվական<ref name="chakerian">{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102993951 |автор=Chakerian G. D. |заглавие=Sets of Constant Width |год=1966 |язык=en |место=Berkeley |издание=Pacific Journal of Mathematics |издательство=Pacific Journal of Mathematics Corporation |номер=1 |pages=13—21 |volume=19 |issn=0030-8730}}</ref>), Էվանս Հարելը ([[2002]] թվական<ref>{{Ռուսերեն հոդված |автор=Harrell E. M. |заглавие=A Direct Proof of a Theorem of Blaschke and Lebesgue |год=2002 |язык=en |место=St. Louis |издание=Journal of Geometric Analysis |издательство=Mathematica Josephina |номер=1 |pages=81—88 |volume=12 |issn=1050-6926 |doi=10.1007/BF02930861}}</ref>) և այլ մաթեմատիկոսներ։

Որպեսզի գտնենք Ռյոլոյի եռանկյան մակերեսը, անհրաժեշտ է գումարել ներքին հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը՝ <math>S_\triangle = {{\sqrt{3}}\over{4}} \cdot a^2</math>, 60° անկյան վրա հենված երեք մնացած նույնատիպ շրջանագծային [[Սեգմենտ (երկրաչափություն)|սեգմենտների]] գումարային մակերեսի հետ՝ <math>(S_{seg} = {{a^2}\over{2}} \left({{\pi}\over{3}} - \sin{{\pi}\over{3}}\right) = {\left({{\pi}\over{6}} - {{\sqrt{3}}\over{4}}\right) \cdot a^2})</math>։
Մակերեսի համար կստանանք հետևյալ արտահայտությունը՝ <math>S_{rt} = S_\triangle + 3S_{seg} = {{1}\over{2}}\left(\pi - \sqrt{3}\right) \cdot a^2 = a^2 \cdot 0{, }70477\ldots</math><ref name="wolfram">{{Cite web |author=Weisstein E. W. |title=Reuleaux Triangle |url=http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html |accessdate=2011 թ․ նոյեմբերի 6 |work=Wolfram MathWorld |lang=en}}</ref>։

Շրջանագիծն այն պատկերն է, որն օժտված է հակառակ էքստրեմալ հատկություններով։ <math>a</math> լայնություն ունեցող շրջանագծի մակերեսը հավասար է <math>S_\circ = a^2 \cdot {{\pi}\over{4}} = a^2 \cdot 0{, }78539\ldots</math>, որը համարվում է մաքսիմալ մակերես այն պատկերների համար, որոնք ունեն հաստատուն <math>a</math> լայնություն<ref>{{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1973/04/p29.htm |автор=Болтянский В. Г. |заглавие=О вращении отрезка |год=1973 |издание=Квант |издательство=Наука |номер=4 |страницы=29 |issn=0130-2221}}</ref><ref group="*">Սա երկու թեորեմների` Դիդոնի խնդրի և Բարբեի թեորեմի հետևանք է։</ref>։ Համապատասխան Ռյոլոյի եռանկյան մակերեսը փոքր է շրջանագծի մակերեսից ≈10, 27 %-ով։ Այս սահմաններում են ընկնում մնացած երկրաչափական պատկերների մակերեսները։
 
[[Պատկեր:Rotation of Reuleaux triangle.gif|thumb|Ռյոլոյի եռանկյան գլորումը քառակուսու մեջ]]

=== Գլորում քառակուսիով ===
Կամայական հաստատուն լայնությամբ պատկեր կարող է ներգծվել այնպիսի քառակուսու, որի կողմը հավասար է պատկերի լայնությանը, ընդ որում քառակուսու գագաթների ուղղությունը կարելի է ընտրել կամայական ձևով<ref group="*">Յուրաքանչյուր պատկեր, որին կարելի է արտագծել քառակուսի, համարվում է հաստատուն լայնությամբ պատկեր։</ref>։ Ռյոլոյի եռանկյանը կարելի է արտագծել քառակուսի, որի մեջ այն կգլորվի՝ անընդհատ շոշափելով բոլոր չորս կողմերը<ref name="etude42">{{Cite web |author=Андреев Н. Н. |title=Изобретая колесо |url=http://www.etudes.ru/ru/mov/mov042/ |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67sgYxf9e?url=http://www.etudes.ru/ru/etudes/koleso/ |archivedate=2012 թ․ մայիսի 23 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |work=Математические этюды}}</ref>։

Գլորման ընթացքում եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթ «անցնում է» քառակուսու պարագծին մոտ «ճանապարհ»։ Շեղումը հիմնականում գրանցվում է քառակուսու անկյուններում, որտեղ եռանկյան գագաթը գծում է էլիպսի աղեղ։ Այդ էլիպսի կենտրոնը գտնվում է քառակուսու հանդիպակաց անկյունում, իսկ նրա [[Մեծ կիսաառանցք|մեծ]] և [[Էլիպս|փոքր]] առանցքները քառակուսու կողմերի նկատմամբ թեքված են 45° անկյան տակ և հավասար են՝ <math>a\cdot\left(\sqrt{3}\pm1\right), </math> որտեղ <math>a</math>-ն՝ եռանկյան լայնությունն է<ref name="etude17">{{Cite web |author=Андреев Н. Н. |title=Сверление квадратных отверстий |url=http://www.etudes.ru/ru/mov/mov017/ |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67sgZw0sV?url=http://www.etudes.ru/ru/etudes/drill/ |archivedate=2012 թ․ մայիսի 23 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |work=Математические этюды}}</ref>։ Չորս էլիպսներից յուրաքանչյուրը շոշափում է քառակուսու երկու կից կողմերը քառակուսու անկյունից <math>a \cdot \left(1 - {{\sqrt{3}}\over{2}}\right) = a \cdot 0{, }13397\ldots</math> հեռավորության վրա<ref name="wolfram" />։

<div class="center"><div class="thumb tnone"><div class="thumbinner" style="width:600px">
{|-valign="top"
 |align="center" width="300px" |[[Պատկեր:Reuleaux triangle rotation corners.svg|230px]]
 | align="center" width="300px" |[[Պատկեր:Reuleaux shape corner.svg|230px]]
 |-
 |valign="top"|<div class="thumbcaption">Էլիպս (ընդգծված է կարմիր գույնով), որը Ռյոլոյի եռանկյան քառակուսիով գլորվելու ժամանակ գծում է պատկերի եզրերից մեկը (նրա սահմանը ցուցադրված է սև գույնով)</div>
 |valign="top"|<div class="thumbcaption">Պատկերի գլորումից առաջացած անկյունը, պատկերված են նաև եռանկյան և քառակուսու հատման կետերը</div>
 |}
</div></div></div>

Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնը շարժվում է չորս միատեսակ էլիպսների աղեղներով առաջացած հետագծով։ Այդ էլիպսների կենտրոնները տեղակայված են քառակուսու գագաթներում, իսկ առանցքները թեքված են քառակուսու կողմերի նկատմամբ 45° անկյան տակ և հավասար են<ref name="etude17" />` <math>a\cdot\left(1\pm{{1}\over\sqrt{3}}\right)</math>:

Սովորաբար իրականության մեջ կենտրոնի շարժման հետագիծը համարում են ոչ թե չորս միատեսակ էլիպսների աղեղներով առաջացած պատկերը, այլ նրա մակերեսին մոտ շրջանագիծը<ref>{{Ռուսերեն հոդված |автор=Белильцев В. |заглавие=Плюс геометрия! |год=1982 |издание=Техника и наука |издательство=Профиздат |номер=7 |страницы=14 |issn=0321-3269}}</ref>։

<div class="center"><div class="thumb tnone"><div class="thumbinner" style="width:600px">
{|-valign="top"
 | align="center" width="300px" |[[Պատկեր:Reuleaux triangle rotation center.svg|230px]]
 | align="center" width="300px" |[[Պատկեր:Trajectory of center of rotating Reuleaux triangle.svg|230px]]
 |-
 | valign="top" |<div class="thumbcaption">Էլիպս (ընդգծված է կարմիր գույնով), որն ընդգրկում է Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնի անցած ճանապարհի մեկ չորրորդ մասը</div> 
 | valign="top" |<div class="thumbcaption">Սա այն հետագիծն է, որով շարժվում է Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնը, կապույտով ընդգծված է իդեալականացված շրջանագիծը, իսկ սևով՝ էլիպսը</div>
 |}
</div></div></div>

Գլորումով պայմանավորված յուրաքանչյուր ազատ անկյան մասի մակերեսը հավասար<ref name="klee">{{Ռուսերեն գիրք |автор=Klee V., Wagon S. |заглавие=Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory |год=1996 |место=Washington D.C. |издательство=Mathematical Association of America |pages=22 |allpages=356 |серия=Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 11 |isbn=0-8838-5315-9}}{{ref-en}}</ref> է <math>\beta = a^2 \cdot \left(1 - {{\sqrt{3}}\over{2}} - {{\pi}\over{24}}\right)</math>։ Քառակուսու մակերեսից հանելով այս մակերեսը, կարելի է ստանալ այն պատկերի մակերեսը, որն առաջանում է Ռյոլոյի եռանկյունը քառակուսու մեջ գլորվելուց հետո, այսպիսով<ref name="wolfram" /><ref name="klee" /><ref>{{Cite web |author=Wilson R. G. |title=A066666: Decimal Expansion of Area Cut Out by a Rotating Reuleaux Triangle |url=http://oeis.org/A066666 |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67sgaz8kf?url=http://oeis.org/A066666 |archivedate=2012 թ․ մայիսի 23 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |work=OEIS |lang=en}}</ref>` <math>a^2 - 4\beta = a^2 \cdot \left(2\sqrt{3} + {{\pi}\over{6}} - 3\right) = a^2 \cdot 0{, }98770\ldots</math>:

Այս մակերեսը տարբերվում է քառակուսու մակերեսից ≈1, 2 %-ով, այդ իսկ պատճառով Ռյոլոյի եռանկյան մոդելով ստեղծում են շաղափիչներ, որոնցից հնարավոր է ստանալ համարյա քառակուսի անցքեր<ref name="etude17" />։

== Կիրառությունը ==
=== Քառակուսաձև անցքերի բացումը ===
{{Հատված
 | Բովանդակություն=

«Մենք բոլորս լսել ենք [[մանեկադարձիչ]]ների մասին, որոնք նախատեսված են ձախ պարուրակով [[մանեկ]]ների համար, որոնք հանգույցի մասում ամրացված են ջրատար և այլ խողովակներին։ Մենք նմանատիպ իրերը ծիծաղելի էինք համարում և հրաժարվում էնք անգամ հավատալ, որ մի օր իրականում կհանդիպենք դրանց։ Եվ հանկարծ ի հայտ է գալիս գործիք, որը քառակուսաձև անցքեր է բացում։» 
 | Վերնագիր = <small>Watts Brothers Tool Works ընկերության գովազդային թերթիկ<ref>Цитата по книге {{Ռուսերեն գիրք |автор=[[Гарднер, Мартин|Гарднер М.]] |заглавие=Математические досуги |ответственный=Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. А. Я. Смородинского |год=1972 |место={{М.}} |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]] |страницы=292 |страниц=496}}</ref><ref group="*">Օրիգինալ տեքստը՝ ''«We have all heard about left-handed monkey wrenches, fur-lined bathtubs, cast-iron bananas. We have all classed these things with the ridiculous and refused to believe that anything like that could ever happen, and right then along comes a tool that drills square holes!»''</ref></small>
 | Հավասարեցում = right
 | Լայնություն = 260px
 | Վերնագիրը ներքևից = 0
 | Տառատեսակի չափ  = 8pt
 | Ֆոն = #E0E9FF;
}}

Ֆրեզերը, որոնցում կիրառված է կտրող սուր ծայրերով Ռյոլոյի եռանկյուն, հնարավորություն են տալիս ստանալ քառակուսաձև անցքեր։ Նմանատիպ անցքերը սովորական քառակուսուց տարբերվում են փոքր-ինչ կլորացած գագաթներով<ref name="nkj">{{Ռուսերեն գիրք |автор=Егупова М. |заглавие=Можно ли просверлить квадратное отверстие? |год=2010 |издание=[[Наука и жизнь]] |место={{М.}} |издательство=[[Автономная некоммерческая организация|АНО]] «Редакция журнала „Наука и жизнь“» |страницы=84—85 |issn=0028-1263 |номер=5}}</ref>։ Այսպիսի ֆրեզների մյուս յուրահատկությունն այն է, որ նրանց կենտրոնը պտտվելիս անշարժ չի մնում, ինչպես առօրյայում կիրառվող պարուրաձև շաղափների դեպքում։ Այս դեպքում կենտրոնը գծում է կոր, որը կազմված է չորս [[էլիպս]]ային աղեղներից։ Այդ իսկ պատճառով պատրոնը, որին ամրացված է ֆրեզը չպետք է խոչընդոտի այդ շարժմանը<ref name="etude17"/>։

Առաջին անգամ նման կառուցվածք ստացավ ԱՄՆ-ում աշխատող անգլիացի ինժեներ Գարի Ուատսը։ Անցք բացելու համար նա օգտագործում էր քառակուսաձև կտրվածքով ուղղիչ շաբլոնը, որում շարժվում էր շաղափը, որում տեղադրված էր «լողացող պատրոն»<ref name="nkj"/>։ Պատրոնի պատենտներն<ref>{{Cite web |author=Watts H. J. |title=U.S. patent 1, 241, 175 (Floating Tool-Chuck) |url=http://www.google.com/patents/US1241175 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |lang=en}}</ref> ու շաղափը<ref>{{Cite web |author=Watts H. J. |title=U.S. patent 1, 241, 176 (Drill or Boring Member) |url=http://www.google.com/patents/US1241176 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |lang=en}}</ref> ստացվել էին Ուատսի կողմից, 1917 թվականին։ Նոր նմանատիպ շաղափիչների վաճառքն իրականացնում էր {{iw|Watts Brothers Tool Works||en|Watts Brothers Tool Works}}{{sfn|Smith. Drilling Square Holes|1993}}<ref>{{Ռուսերեն գիրք |автор=Darling D. J. |заглавие=The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes |год=2004 |часть=Reuleaux Triangle |место=[[Хобокен (Нью-Джерси)|Hoboken]] |издательство=Wiley |pages=272 |allpages=400 |isbn=0-4712-7047-4}} {{ref-en}}</ref>։ Այս հայտնագործություն հիման վրա 1978 թվականին ԱՄՆ-ն ևս մի պատենտ թողարկեց<ref>{{Cite web |author=Morrell R. J., Gunn J. A., Gore G. D. |title=U.S. patent 4, 074, 778 (Square Hole Drill) |url=http://www.google.com/patents/US4074778 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |lang=en}}</ref>։

=== Վանկելի շարժիչ ===
[[Պատկեր:Wankel Cycle anim.gif|200px|մինի|ձախից|Վանկելի շարժիչի աշխատանքի սխեման]]
Կիրառության այլ օրինակ կարելի է գտնել [[Ռոտորամխոցային շարժիչ|Վանկելի շարժիչ]]ում. այստեղ ռոտորը Ռյոլոյի եռանկյան ձևով է<ref name="etude1"/>։ Այն պտտվում է էպիտրոհոիդային ձևի խցի ներսում<ref name="polytech">{{Ռուսերեն գիրք |заглавие=Политехнический словарь |ответственный=Редкол.: [[Ишлинский, Александр Юльевич|А. Ю. Ишлинский]] (гл. ред.) и др. |год=1989 |часть=Ванкеля двигатель |издание=3-е изд., перераб. и доп |место={{М.}} |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]] |страницы=72 |страниц=656 |isbn=5-8527-0003-7}}</ref>։ Ռոտորի գլանը կոպտորեն միացված է ատամնանիվի, որը կապված է այլ անշարժ ատամնանիվի։ Նման եռանիստ ռոտորը գլորվում է ատամնանիվի շուրջը անընդհատ հպվելով շարժիչի պատերին՝ առաջացնելով փոփոխական ծավալներով երեք խոռոչ, որոնցից յուրաքանչյուրը հերթով դառնում է այրման խցիկ<ref name="etude1"/>։ Այդպիսի կառուցվածքի շնորհիվ շարժիչը երեք լիարժեք աշխատանքային ցիկլ է իրականացնում մեկ պտույտի ընթացքում։

Վանկելի շարժիչը հնարավորություն է տալիս իրականացնել յուրաքանչյուր քառատակտ ջերմադինամիկական ցիկլ առտանց գազաբաշխման մեխանիզմի կիրառության։ Խառնուրդաձևավորումը, այրումը, յուղումը, սառեցումը և անկումը այստեղ կատարվում է նույն սկզբունքով, ինչպես մյուս [[ներքին այրման շարժիչ]]ներում<ref name="polytech"/>։

== Մեկնաբանություններ ==
{{Ծանցանկ|group=*}}

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|2}}

== Գրականություն ==
=== Ռուսերեն լեզվով ===
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Радемахер, Тёплиц |ссылка=http://math.ru/lib/bib-mat-kr/10 |автор=Радемахер Г., [[Тёплиц, Отто|Тёплиц О.]] |заглавие=Числа и фигуры. Опыты математического мышления |ответственный=Пер. с нем. В. И. Контовта |год=1962 |часть=Кривые постоянной ширины |место={{М.}} |издательство=[[Физматлит|Физматгиз]] |страницы=195—211 |страниц=263 |серия=«Библиотека математического кружка», выпуск 10 |тираж=40 000}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-mat-kr/4-figures.htm |автор=[[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]], [[Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.]] |заглавие=Выпуклые фигуры |год=1951 |часть=Фигуры постоянной ширины |место={{М.}}—{{Л.}} |издательство=[[Физматлит|ГТТИ]] |страницы=90—105 |страниц=343 |серия=«Библиотека математического кружка», выпуск 4 |тираж=25000}}

=== Անգլերեն լեզվով ===
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Eggleston. Convexity |автор=Eggleston H. G. |заглавие=Convexity |год=1958 |часть=Sets of Constant Width |место=[[Лондон|London]] |издательство=Cambridge University Press |pages=122—131 |allpages=136 |серия=Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47 |isbn=0-5210-7734-6}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions |автор=[[Гарднер, Мартин|Gardner M.]] |заглавие=The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions |год=1991 |часть=Curves of Constant Width |место=[[Чикаго|Chicago]]; [[Лондон|London]] |издательство=University of Chicago Press |pages=212—221 |allpages=264 |isbn=978-0-2262-8256-5}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://people.fh-landshut.de/~gleiss/forum99/reul.eps |автор=Gleißner W., Zeitler H. |заглавие=The Reuleaux Triangle and Its Center of Mass |год=2000 |издание=Results in Mathematics |pages=335—344 |volume=37 |archive-url=https://web.archive.org/web/20071204160158/http://people.fh-landshut.de/~gleiss/forum99/reul.eps |archive-date=2007-12-04 |issn=1422-6383 |номер=3—4}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux |автор=Moon F. C. |заглавие=The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century |год=2007 |часть=Curves of Constant Breadth |место=[[Дордрехт|Dordrecht]] |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |pages=239—241 |allpages=451 |серия=History of Mechanism and Machine Science, Vol. 2 |isbn=978-1-4020-5598-0}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Peterson. Mathematical Treks |автор=Peterson I. |заглавие=Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles |год=2002 |часть=Rolling with Reuleaux |место=[[Вашингтон (округ Колумбия)|Washington D.C.]] |издательство=[[Математическая ассоциация Америки|Mathematical Association of America]] |pages=141—144 |allpages=180 |серия=Spectrum Series |isbn=0-8838-5537-2}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://ebooks.library.cornell.edu/k/kmoddl/toc_reuleaux2.html |автор=[[Рёло, Франц|Reuleaux F.]] |заглавие=The Kinematics of Machinery. Outlines of a Theory of Machines |ответственный=Tr. and ed. by [[:en:Alexander Kennedy|Alexander B. W. Kennedy]] |год=1876 |часть=Pairs of Elements |место=[[Лондон|London]] |издательство=Macmillan and Co |pages=86—168 |allpages=622}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Smith. Drilling Square Holes |ссылка=http://upper.us.edu/faculty/smith/reuleaux.htm |автор=Smith S. |заглавие=Drilling Square Holes |год=1993 |издание=Mathematics Teacher |место=[[Рестон (Виргиния)|Reston]] |издательство=National Council of Teachers of Mathematics |pages=579—583 |volume=86 |archive-url=https://web.archive.org/web/20050404213308/http://upper.us.edu/faculty/smith/reuleaux.htm |archive-date=2005-04-04 |issn=0025-5769 |номер=7}}

== Արտաքին հղումներ ==
* «Մաթեմատիկական էտյուդներ» շարքի Ռյոլոյի եռանկյանը նվիրված հոլովակների սերիա.
** «[http://www.etudes.ru/ru/mov/mov001/ Ռյոլոյի կլոր եռանկյուն]»
** «[http://www.etudes.ru/ru/mov/mov017/ Քառակուսաձև անցքերի բացում]»
** «[http://www.etudes.ru/ru/mov/mov042/ Հայտնագործելով անիվը]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120528120040/http://www.etudes.ru/ru/etudes/koleso/ |date=2012-05-28 }}»
* {{Cite web |author=Bogomolny A. |title=Shapes of Constant Width |url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cwidth.shtml |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67YibSAna?url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cwidth.shtml |archivedate=2012 թ․ մայիսի 10 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |work=Cut the Knot |lang=en}}
* {{Cite web |author=Eppstein D. |title=Reuleaux Triangles |url=http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/reuleaux.html |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67YnCK3Av?url=http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/reuleaux.html |archivedate=2012 թ․ մայիսի 10 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |work=Geometry Junkyard |lang=en}}
* {{Cite web |author=Kunkel P. |title=Reuleaux Triangle |url=http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67YnmYMdT?url=http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm |archivedate=2012 թ․ մայիսի 10 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |work=Whistler Alley Mathematics |lang=en}}
* {{Cite web |author=Peterson I. |title=Rolling with Reuleaux |url=http://www.maa.org/mathland/mathland_10_21.html |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67Ynn6YK8?url=http://www.maa.org/mathland/mathland_10_21.html |archivedate=2012 թ․ մայիսի 10 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |work=Ivars Peterson’s MathLand |publisher=[[Математическая ассоциация Америки|Mathematical Association of America]] |lang=en}}
* {{Cite web |author=[[Тайминя, Дайна|Taimina D.]], Henderson D. W. |title=Reuleaux Triangle |url=http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/ |url-status=live |archiveurl=https://www.webcitation.org/67YnnaBuG?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/ |archivedate=2012 թ․ մայիսի 10 |accessdate=2011 թ․ հոկտեմբերի 11 |work=Kinematic Models for Design Digital Library |publisher=[[Корнелльский университет|Cornell University]] |lang=en}}
* {{Cite web |author=[[:en:Eric W. Weisstein|Weisstein E. W.]] |title=Reuleaux Triangle |url=http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html |accessdate=2011 թ․ նոյեմբերի 6 |work=Wolfram [[MathWorld]] |lang=en}}

[[Կատեգորիա:Երկրաչափական պատկերներ]]
[[Կատեգորիա:Կորեր]]