Դիտել Սահման (մաթեմատիկա) էջի վիքիկոդը

{{այլ|սահման (այլ կիրառումներ)}}
{{dablink|Տես նաև՝ հաջորդականության սահման և [[ֆունկցիայի սահման]]։}}
'''Սահման''', արժեք [[մաթեմատիկա]]յում, որին [[Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)|ֆունկցիան]] կամ [[Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)|հաջորդականությունը]] «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի<ref>{{cite book |last=Stewart |first=James |authorlink=Ջեյմս Ստյուարդ (մաթեմատիկոս) |year=2008 |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=6th |publisher=[[Brooks/Cole]] |isbn=978-0-495-01166-8}}</ref>։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտագործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ [[Անընդհատ արտապատկերում|անընդհատություն]]ը, [[ածանցյալ]]ը և [[ինտեգրալ]]ը։

[[Հաջորդականության սահման]]ի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է [[կատեգորիաների տեսություն|կատեգորիաների տեսության]] [[սահման (կատեգորիաների տեսություն)|սահմանի]] և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝
:<math> \lim_{x \to c} f(x) = L,</math>
և կարդացվում է «<math>f(x)</math> ֆունկցիայի սահմանը, երբ <math>x</math>-ը ձգտում է <math>c</math>-ի հավասար է <math>L</math>-ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝
:<math>f(x) \to L \text{ as } x \to c</math>։

== Ֆունկցիայի սահման ==
{{main|Ֆունկցիայի սահման}}
[[Պատկեր:Límite 01.svg|thumb|Whenever a point {{mvar|x}} is within a distance {{mvar|δ}} of {{mvar|c}}, the value {{math|''f''(''x'')}} is within a distance {{mvar|ε}} of {{mvar|L}}.]]
[[Պատկեր:Limit-at-infinity-graph.png|thumb|For all {{math|''x'' > ''S''}}, the value {{math|''f''(''x'')}} is within a distance {{mvar|ε}} of {{math|''L''}}.]]
Ենթադրենք <math>f</math>-ը իրական ֆունկցիա է իսկ <math>c</math>-ն՝ [[իրական թիվ]]։ Հետևյալ արտահայտությունը

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

ինտուիտիվ նշանակում է, որ <math>f(x)</math> ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ <math>L</math>-ին՝ <math>x</math> թիվը <math>c</math>-ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ «<math>f(x)</math> ֆունկցիայի սահմանը, երբ <math>x</math>-ը ձգտում է <math>c</math>-ի հավասար է <math>L</math>-ի»։

1821 թվականի [[Օգյուստեն Լուի Կոշի]]ն<ref name=Larson>{{cite book |last1=Larson |first1=Ron |authorlink1=Ron Larson (mathematician) |last2=Edwards |first2=Bruce H. |year=2010 |title=Calculus of a single variable |edition=Ninth |publisher=[[Brooks/Cole]], [[Cengage Learning]] |isbn=978-0-547-20998-2}}</ref>, հետագայում [[Կառլ Վայերշտրաս]]ը ձևակերպել են ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, որ այժմ հայտնի է [[սահմանի (ε, δ) սահմանում]] անվամբ։ Այս սահմանումը օգտագործում է հունարենի փոքրատառ [[ε]] տառը՝ կամայական դրական փոքր թիվ ներկայացնելու համար, հետևաբար՝ <math>f(x)</math> ֆունկցիան կամայական չափով մոտենում է <math>L</math>-ին նշանակում է, որ <math>f(x)</math> ֆունկցիան, ի վերջո, գտնվում է <math>(L-\epsilon, L + \epsilon)</math> միջակայքում, ինչը նաև կարելի է գրառել բացարձակ արժեքի նշանակմամբ՝ <math>|f(x) - L| < \epsilon</math><ref name=Larson/> Այս դեպքում «<math>x</math>-ը ձգտում է <math>c</math>-ին» արտահայտությունը նշանակում է, որ մենք նկատի ունենք <math>x</math>-ի այն արժեքները, որոնց հեռավորությունը <math>c</math>-ից ավելի փոքր է, քան {{math|[[δ]]}}-ն (հունարենի այբբենարանի փոքրատառ դելտա տառը)։ Այլ կերպ ասած, այն <math>x</math>-երը, որոնք գտնվում են <math>(c - \delta, c + \delta)</math> կամ <math>(c, c + \delta)</math> միջակայքում, ինչը կարելի է գրել <math>0 < |x-c| < \delta</math> տեսքով։ Արտահայտության առաջին անհավասարությունը <math>0 < |x-c|</math> կարևոր է, քանի որ այն ցույց է տալիս, որ <math>x \neq c</math><ref name=Larson/>։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե <math>f(c) \neq L</math>։ Տրված <math>f</math> ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել <math>c</math> կետում։

Օրինակ, եթե

:<math> f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} </math>

ուրեմն <math>f(1)</math>-ը սահմանված չէ, բայց երբ <math>x</math>-ը ձգտում է <math>1</math>-ի, <math>f(x)</math>-ը ձգտում է <math>2</math>-ի.

{| class="wikitable"
|''f''(0.9)||''f''(0.99)||''f''(0.999)|| ''f''(1.0) ||''f''(1.001)||''f''(1.01)||''f''(1.1)
|-
|    1.900 ||     1.990 ||      1.999 ||  սահմանված չէ ||      2.001 ||     2.010 ||    2.100
|}

Հետևաբար, <math>f(x)</math>-ի արժեքը կարող է <math>2</math>-ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ <math>x</math> ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած, <math> \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2</math>։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական <math>x</math> թվի համար <math>\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x+1</math>։

Քանի որ <math>x+1</math> ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել <math>x=1</math> արժեքը, հետևաբար՝ <math>\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 1+1 = 2</math>։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝
:<math>f(x) = {2x-1 \over x}</math>
* ''f''(100) = 1.9900
* ''f''(1000) = 1.9990
* ''f''(10000) = 1.99990

Շատ մեծ <math>x</math> արժեքների դեպքում <math>f(x)</math> ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ <math>f(x)</math> ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ <math>x</math>-ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝
:<math> \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{x} = 2</math>։

== Հաջորդականության սահման ==
{{main|Հաջորդականության սահման}}

Ենթադրենք <math>a_1, a_2, ...</math>-ը [[իրական թվեր]]ի [[Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)|հաջորդականություն]] է։ Ասում են, որ <math>L</math> իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե

:<math> \lim_{n \to \infty} a_n = L </math>,

որը կարդում են՝
:<math>a_n</math> հաջորդականությանը սահմանը, երբ <math>n</math>-ը ձգտում է անվերջության, <math>L</math> է։

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ 
:Կամայական <math>\epsilon > 0</math> իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի <math>N</math> բնական թիվ, որ բոլոր <math>n > N</math> թվերի համար ճիշտ է <math>|a_n - L| < \epsilon</math> արտահայտությունը։

Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ <math>|a_n - L|</math> բացարձակ արժեքը <math>a_n</math>-ի և <math>L</math>-ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են [[զուգամետ հաջորդականություն]]ներ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ <math>a_n</math> հաջորդականության սահմանը, երբ <math>n</math>-ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ <math>n</math> բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

== Արտաքին հղումներ ==
* {{MathWorld |title=Limit |urlname=Limit}}
* [http://www.mathwords.com/l/limit.htm Mathwords: Limit],

{{Արտաքին հղումներ}}

[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ]]
[[Կատեգորիա:Սահման (մաթեմատիկա)]]
[[Կատեգորիա:Իրական անալիզ]]