Դիտել Վեկտոր էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:Vector AB from A to B.svg|280px|մինի|<math>\overrightarrow{AB}</math> վեկտոր]]
'''Վեկտոր''' ({{lang-lat|vector}}), պարզագույն դեպքում մաթեմատիկական օբյեկտ, որը բնութագրվում է մեծությամբ և ուղղությամբ։ Օրինակ, երկրաչափությունում և բնական գիտություններում վեկտորը [[էվկլիդյան տարածություն]]ում կամ [[Հարթություն|հարթության վրա]] ուղղորդված հատված է<ref>{{книга |часть=Вектор |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=1 |год=1977 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>։

Օրինակներ. [[շառավիղ-վեկտոր]], [[արագություն]], [[ուժի մոմենտ]]։ Եթե տարածությունում տրված է կոորդինատային համակարգ, ապա վեկտորը միանշանակորեն տրվում է իր [[կոորդինատ]]նեով։ Այդ պատճառով, [[մաթեմատիկա]]յում, [[ինֆորմատիկա]]յում և մյուս գիտություններում թվերի կարգավորված խումբը նույնպես հաճախ անվանում են վեկտոր։ Ավելի ընդհանուր իմաստով վեկտորը մաթեմատիկայում դիտարկվում է որպես որևէ 
[[Վեկտորական տարածություն|վեկտորական (գծային) տարածության]] տարր

Համարվում է [[Գծային հանրահաշիվ|գծային հանրահաշվի]] հիմնական հասկացություններից մեկը։ Առավել ընդհանուր սահմանման դեպքում որպես վեկտորներ են դիտարկվում գծային հանրահաշվում ուսումնասիրվող բոլոր օբյեկտները, այդ թվում՝ [[մատրից]]ները։

== Նշանակումներ ==
<math>n</math> տարրերի (բաղադրիչների) խմբով ներկայացված <math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math> վեկտորը նշանակվում է հետևյալ եղանակներով.
<math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math>:
: <math>\langle a_1, a_2, \ldots, a_n\, \rangle, \ \left ( a_1, a_2, \ldots, a_n\, \right ), \{ a_1, a_2, \ldots, a_n\, \} </math>:

Որպեսզի ընդգծվի, որ տրված է վեկտոր (այլ ոչ սկալյար), օգտագործում են գծիկ վերևից, սլաք վերևից, թավ կամ գոթական տառատեսակ.
: <math>\bar a, \ \vec a, \mathbf a, \mathfrak A, \ \mathfrak a:</math>

Վեկտորների գումարումը գրեթե միշտ նշանակվում է «պլյուս» նշանով.
: <math>\vec{a} + \vec{b}</math>:

Թվով բազմապատկումը գրվում է պարզապես, առանց հատուկ նշանի, օրինակ.
: <math>k \vec{b}</math>, 
ընդ որում այդ դեպքում թիվը գրվում է ձախից.

== Պատմություն ==
Ինտուիտիվ կերպով, վեկտորն ըմբռնվում է ինչպես մեծություն և ուղղություն ունեցող օբյեկտ։ Վեկտորական հաշվի սաղմերն ի հայտ են եկել [[Կառլ Գաուս|Գաուսի]] [[Կոմպլեքս թիվ|կոմպլեքս թվերի]] երկրաչափական մոդելի հետ, [[1831 թվական]]ին։ Վեկտորների հետ գործողությունները հրատարակել է [[Ուիլյամ Համիլտոն]]ը, ինչպես իր [[Քվատերնիոններ|քվատերնիոնյան հաշվի]] մաս (վեկտոր են կազմել քվատերնիոնի կեղծ բաղադրիչները)։ Համիլտոնն է առաջարկել '''վեկտոր''' եզրույթը ({{lang-lat|vector}}, ''կրող'') և նկարագրել է վեկտորական հաշվի որոշ գործողություններ։ Այդ ձևականությունն օգտագործեց Ջեյմս Մաքսվելն իր աշխատություններում [[էլեկտրամագնիսականություն|էլեկտրամագնիսականության]] վերաբերյալ, գիտնականների ուշադրությունը հրավիրելով նոր հաշվի վրա։ Շուտով լույս տեսան Գիբսի «Վեկտորական հաշվի տարրեր»ը (1880-ական թվականներ), ապա՝ Հեվիսայդը (1903) վեկտորական հաշվին տվեց ժամանակակից տեսքը։

== Երկրաչափությունում ==

Երկրաչափությունում երկրաչափության անվան տակ հասկանում են ուղղորդված հատվածներ։ Այս մեկնաբանությունը հաճախ են օգտագործում [[համակարգչային գրաֆիկա]]յում:Վեկտորների օգնությամբ կարելի է գտնել տարբեր պատկերների մակերեսներ, օրինակ, [[եռանկյուն]]ների, [[Զուգահեռագիծ|զուգահեռագծերի]], ինչպես նաև մարմինների ծավալներ. [[Տետրաեդր|քառանիստի]] և [[զուգահեռանիստ]]ի։ Երբեմն վեկտորի հետ նույնացվում է ուղղությունը։

Վեկտորը երկրաչափությունում համադրվում է տեղափոխության հետ ([[Զուգահեռ տեղափոխություն|զուգահեռ տեղափոխության]]), որը պարզաբանում է նրա նավանման ծագումը. ({{lang-lat|vector}}, ''կրող'')։ Իրոք, ցանկացած ուղղորդված հատված միանշանակորեն որոշում է հարթության կամ տարածության ինչ-որ զուգահեռ տեղափոխություն, և հակառակը, զուգահեռ տեղափոխությունը միանշանակորեն որոշում է միակ ուղղորդված վեկտորը միանշանակորեն՝ եթե միևնույն ուղղվածության և երկարության բոլոր ուղղորդված հատվածները համարենք հավասար, այսինքն, դրանք դիտարկենք որպես [[ազատ վեկտորներ]]։

Վեկտորի մեկնաբանությունը որպես տեղափոխություն թույլատրում է ներմուծել վեկտորների գումարման գործողությունը որպես երկու (կամ մի քանի) տեղափոխությունների կոմպոզիցիա (հաջորդական կիրառման), սա վերաբերում է նաև վեկտորի բազմապատկմանը թվով։

== Գծային հանրահաշվում ==
[[Գծային հանրահաշիվ|Գծային հանրահաշվում]] վեկտոր է կոչվում գծային տարածության տարրը, որը համապատասխանում է ներքևում բերված ընդհանուր սահմանմանը։ Վեկտորները կարող են տարբեր բնույթ ունենալ. ուղղորդված հատվածներ, մատրիցներ, թվեր, ֆունկցիաներ և այլն, սակայն նույն չափ ունեցող բոլոր գծային տարածությունները [[Իզոմորֆություն (մաթեմատիկա)|իզոմորֆ են]]։ Վեկտորի այս հասկացությունից առավել հաճախ օգտվում են [[գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ]]եր լուծելիս, ինչպես նաև 
[[գծային օպերատոր]]ների հետ աշխատելիս։

Հաճախ այս սահմանումն ընդլայնում են, սահմանելով [[Նորմա (մաթեմատիկա)|նորման]] և [[սկալյար արտադրյալ]]ը, որից հետո օգտագործում են [[Նորմավորված տարածություն|նորմավորված]] և [[էվկլիդյան տարածություն|էվկլիդյան]] տարածությունների հետ, սկալյար արտադրյալի հետ են կապում վեկտորների կազմած անկյան հասկացությունը, իսկ նորմայի հետ՝ վեկտորի երկարության հասկացությունը։

Շատ մաթեմատիկական օբյեկտներ (օրինակ, [[մատրից]]ները, [[տենզոր]]ները և այլն), բավարարում են [[Վեկտորական տարածություն|վեկտորական տարածության]] աքսիոմներին, այսինքն՝ հանրահաշվի տեսակետից հանդիսանում են վեկտորներ։

== Ֆունկցիոնալ անալիզում ==
[[Ֆունկցիոնալ անալիզ]]ում ուսումնասիրվում են ֆունկցիոնալ տարածությունները՝ անվերջ գծային տարածությունները:Դրանց տարրեր կարող են հանդիսանալ ֆունկցիաները։ Այսպիսի ներկայացման հիման վրա կառուցված է [[Ֆուրյեի շարքեր]]ի տեսությունը։ Գծային հանրահաշվին համանմանորեն ներմուծում են նորման, սկալյար արտադրյալը, կամ [[Մետրիկական տարածություն|մետրիկան]] ֆունկցիաների տարածության վրա։ Ֆունկցիայի՝ որպես 
[[Հիլբերտյան տարածություն|հիլբերտյան տարածության]] տարրի, հասկացության վրա, հիմնվում են [[դիֆերենցիալ հավասարում]]ների լուծման որոշ մեթոդներ, օրինակ [[վերջավոր տարրերի մեթոդ]]ը։

== Ընդհանուր սահմանում ==
Վեկտորի առավել ընդհանուր սահմանումը տրվում է [[Ընդհանուր հանրահաշիվ|ընդհանուր հանրահաշվի]] միջոցներով։

Ենթադրենք <math>\mathfrak F= \langle F;+, * \rangle </math> — ը որևէ [[Դաշտ (հանրահաշիվ)|դաշտ]] է <math>+</math> ադիտիվ գործողությամբ, <math>*</math> մուլտիպլիկատիվ գործողությամբ, <math>0</math> ադիտիվ միավորով և <math>1</math> մուլտիպլիկատիվ միավորով։
<math>\mathfrak V= \langle V;+ \rangle </math> — ն որևէ [[աբելյան խումբ]] է <math>\mathbf 0</math> միավորով։ Եթե գոյություն ունի այնպիսի <math>F \times V \to V</math> գործողություն, որ ցանկացած <math>a, b \in F</math> - ի և ցանկացած <math>\mathbf x, \mathbf y \in V </math> - ի համար տեղի ունեն

# <math>(a+b)\mathbf x=a\mathbf x + b\mathbf x</math>, 
# <math>a(\mathbf x + \mathbf y )=a\mathbf x + a\mathbf y</math>, 
# <math>(a*b)\mathbf x = a(b\mathbf x )</math>, 
# <math>1\mathbf x =\mathbf x</math>

հարաբերակցությունները, այդ դեպքում <math>\mathfrak V</math> - ն կոչվում է վեկտորական տարածություն <math>\mathfrak F</math> դաշտի վրա (կամ [[Վեկտորական տարածություն|գծային տարածություն]]), <math>V</math> - ի տարրերը կոչվում են ''վեկտորներ'', <math>F</math> - ի տարրերը՝ ''[[սկալյար]]ներ'', իսկ նշված <math>F \times V \to V</math> գործողությունը՝ ''վեկտորի բազմապատկումը սկալյարով''։
== Վեկտորը որպես հաջորդականություն ==
''Վեկտոր'' - համասեռ տարրերի հաջորդականություն։ Սա առավել ընդհանուր սահմանումն է այն առումով, որ ընդհանրապես կարող են տրված չլինել վեկտորական գործողություններ, դրանք կարող են ավելի քիչ լինել կամ դրանք կարող են չբավարարել [[Գծային տարածություն|
գծային տարածության]] [[աքսիոմ]]ներին։ Հենց այդ տեսքով է վեկտորը հասկացվում [[Ծրագրավորում|ծրագրավորման]] մեջ, որտեղ, որպես կանոն, նշանակվում է որպես անուն-[[իդենտիֆիկատոր]]՝ քառակուսի փակագծերով (օրինակ, ''object[]''):

Հատկությունների թվարկումը մոդելավորում է [[թվերի տեսություն]]ում օբյեկտի [[դասակարգ (մաթեմատիկա)|դասակարգի]] և [[վիճակ]]ի սահմանումը։ Վեկտորի տարրերի տեսակները որոշում են օբյեկտի դասակարգը, իսկ տարրերի արժեքները՝ նրա վիճակը։ Ի դեպ, հավանական է, որ եզրույթի օգտագործումն արդեն դուրս է գալիս հանրահաշվում, կամ մաթեմատիկայում ընդհանրապես, ընդունվածի շրջանակներից։

== Ֆիզիկական մեկնաբանություն ==

Վեկտորը, որպես միաժամանակ մեծություն (մոդուլ) և ուղղություն ունեցող կառուցվածք, [[ֆիզիկա]]յում դիտարկվում է որպես [[Արագություն|արագության]], [[Ուժ (ֆիզիկա)|ուժի]] և նրանց հետ կապված կինեմատիկական կամ դինամիկական մեծությունների 
[[մաթեմատիկական մոդել]]։ Շատ [[Դաշտ (ֆիզիկա)|ֆիզիկական դաշտերի]] (օրինակ, [[էլեկտրամագնիսական դաշտ]]ի կամ հեղուկի արագության դաշտի) մաթեմատիկական մոդելներ են համարվում [[վեկտորական դաշտ]]երը։

Բազմաչափ և անվերջ աբստրակտ վեկտորական տարածությունները օգտագործվում են [[Ժոզեֆ Լուի Լագրանժ|լագրանժյան]] և [[Ուիլյամ Համիլտոն|համիլտոնյան]] ֆորմալիզմում մեխանիկական և այլ դինամիկական համակարգերի նկատմամբ, ինչպես նաև [[քվանտային մեխանիկա]]յում։

== Ծանոթագրություններ ==
{{Ծանցանկ}}

== Գրականություն ==
* [https://feynmanlectures.caltech.edu/I_11.html The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 11: Vectors]

[[Կատեգորիա:Վեկտորներ]]
[[Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ]]