Դիտել Ֆրակտալ էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg|մինի|250x250փքս|Մանդելբրոտի բազմությունը ֆրակտալի դասական օրինակ է<ref name="Mandelbrot1983">{{Cite book |last=Mandelbrot |first=Benoît B. |url=https://books.google.com/?id=0R2LkE3N7-oC |title=The fractal geometry of nature |publisher=Macmillan |year=1983 |isbn=978-0-7167-1186-5}}</ref><ref name="Falconer">{{Cite book |last=Falconer |first=Kenneth |title=Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications |publisher=John Wiley & Sons |year=2003 |isbn=978-0-470-84862-3 |pages=xxv |no-pp=true}}</ref><ref name="patterns">{{Cite book |last=Briggs |first=John |url=https://archive.org/details/fractalspatterns0000brig |title=Fractals:The Patterns of Chaos |publisher=Thames and Hudson |year=1992 |isbn=978-0-500-27693-8 |location=London |page=[https://archive.org/details/fractalspatterns0000brig/page/148 148]}}</ref>]]
[[Պատկեր:Romanesco broccoli (Brassica oleracea).jpg|մինի|250x250փքս|Ռմանեսկո տեսակի (''Brassica oleracea'') կաղամբի գլխի ֆրակտալ ձևը]]
'''Ֆրակտալ''' ([[Լատիներեն|լատ]].՝ fractus - մանրացված, կոտրված), [[բազմություն]], որն ունի ինքնանմանության հատկություն (օբյեկտ, որը ճշգրիտ կամ մոտավորապես համապատասխանում է ինքն իր մի մասին, այսինքն՝ ամբողջը ունի նույն ձևը, ինչ մեկ կամ մի քանի մաս)։ [[Մաթեմատիկա]]յում ֆրակտալը նշանակում է [[Էվկլիդեսյան տարածություն|էվկլիդեսյան տարածության]] կետերի բազմություն, որոնք ունեն կոտորակային մետրական չափականություն (Մինկովսկու կամ Հաուսդորֆի իմաստով) կամ տոպոլոգիականից տարբերվող մետրական չափականություն<ref name="Mandelbrot Chaos">{{Cite book |last=Mandelbrot |first=Benoît B. |title=Fractals and Chaos |publisher=Springer |year=2004 |isbn=978-0-387-20158-0 |location=Berlin |page=38 |quote=A fractal set is one for which the fractal (Hausdorff-Besicovitch) dimension strictly exceeds the topological dimension}}</ref>, այդ պատճառով դրանք պետք է տարբերվեն այլ երկրաչափական պատկերներից, որոնք սահմանափակված են սահմանափակ թվով կապերով։ Ինքնանման պատկերները, որոնք կրկնվում են վերջավոր թվով արտահայտվող անգամ, կոչվում են նախաֆրակտալներ։

Արտասովոր հատկություններով ինքնանման բազմությունների առաջին օրինակները հայտնվել են 19-րդ դարում՝ չդիֆերենցվող անընդհատ ֆունկցիաների ուսումնասիրության արդյունքում (օրինակ՝ Բոլցանոյի ֆունկցիան, Վեյերշտրասի ֆունկցիան, Կանտորի բազմությունը)<ref>{{Cite journal |last1=Segal |first1=S. L. |date=1978 թ․ հունիս |title=Riemann's example of a continuous 'nondifferentiable' function continued |journal=The Mathematical Intelligencer |volume=1 |issue=2 |pages=81–82 |doi=10.1007/BF03023065}}</ref>։ «Ֆրակտալ» տերմինը ներմուծել է [[Բենուա Մանդելբրոտ]]ը 1975 թվականին։ Այն լայն տարածում է գտել 1977 թվականին Մանդելբրոտի «Բնության ֆրակտալ երկրաչափություն» գրքի հրատարակումով։ Ֆրակտալները հատկապես մեծ ժողովրդականություն են արժանացել համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման շնորհիվ, ինչը հնարավորություն է տվել արդյունավետորեն պատկերել այս կառույցները։

«Ֆրակտալ» բառը օգտագործվում է ոչ միայն որպես մաթեմատիկական տերմին։ Ֆրակտալ կարող է կոչվել այն առարկան, որն ունի հետևյալ հատկություններից առնվազն մեկը.

* Այն բոլոր մասշտաբներում ունի ոչ տրիվիալ կառուցվածք։ Դրանով այն տարբերվում է կանոնավոր պատկերներից (օրինակ՝ շրջան, էլիպս, հարթ ֆունկցիայի [[Ֆունկցիայի գրաֆիկ|գրաֆիկ]])։ Եթե շատ մեծ մասշտաբով դիտեք սովորական ձևի փոքր հատվածը, ապա դա կարծես ուղիղ գծի հատված է։ Ֆրակտալի համար մասշտաբի բարձրացումը չի հանգեցնում կառուցվածքի պարզեցման, այսինքն՝ բոլոր մասշտաբների վրա կարելի է տեսնել հավասարապես բարդ պատկեր։
* Այն ինքնանման կամ մոտավորապես ինքնանման է։
* Այն ունի կոտորակային մետրական չափականություն կամ տոպոլոգիականից տարբերվող մետրական չափականություն։

Բնության շատ օբյեկտներ ունեն ֆրակտալ հատկություններ, օրինակ՝ ծովափ, ամպեր, ծառի սաղարթ, ձյան փաթիլներ, [[արյան շրջանառության համակարգ]], ալվեոլներ։ Սակայն ֆրակտալները չեն սահմանափակվում միայն երկրաչափական նախշերով, այլ կարող են վերաբերել նաև ժամանակի ընթացքում կատարվող գործընթացներին<ref name="Gouyet" /><ref name="vicsek">{{Cite book |last=Vicsek |first=Tamás |url=https://archive.org/details/fractalgrowthphe0000vics_2edi |title=Fractal growth phenomena |publisher=World Scientific |year=1992 |isbn=978-981-02-0668-0 |location=Singapore/New Jersey |pages=31; 139–146}}</ref><ref name="time series">{{Cite book |last=Peters |first=Edgar |title=Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility |url=https://archive.org/details/chaosorderincapi0002pete |publisher=Wiley |year=1996 |isbn=978-0-471-13938-6 |location=New York}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Krapivsky |first1=P. L. |last2=Ben-Naim |first2=E. |year=1994 |title=Multiscaling in Stochastic Fractals |journal=Physics Letters A |volume=196 |issue=3–4 |page=168 |bibcode=1994PhLA..196..168K |doi=10.1016/0375-9601(94)91220-3}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Hassan |first1=M. K. |last2=Rodgers |first2=G. J. |year=1995 |title=Models of fragmentation and stochastic fractals |journal=Physics Letters A |volume=208 |issue=1–2 |page=95 |bibcode=1995PhLA..208...95H |doi=10.1016/0375-9601(95)00727-k}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Hassan |first1=M. K. |last2=Pavel |first2=N. I. |last3=Pandit |first3=R. K. |last4=Kurths |first4=J. |year=2014 |title=Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart |journal=Chaos, Solitons & Fractals |volume=60 |pages=31–39 |arxiv=1401.0249 |bibcode=2014CSF....60...31H |doi=10.1016/j.chaos.2013.12.010}}</ref>։ Տարբեր աստիճանի ինքնանմանություն ունեցող ֆրակտալ նախշեր ներկայացվել կամ ուսումնասիրվել են պատկերների, կառուցվածքների և հնչյունների մեջ<ref name="music">{{Cite journal |last1=Brothers |first1=Harlan J. |year=2007 |title=Structural Scaling in Bach's Cello Suite No. 3 |journal=Fractals |volume=15 |issue=1 |pages=89–95 |doi=10.1142/S0218348X0700337X}}</ref> և գտնվել բնության մեջ<ref name="heart">{{Cite journal |last1=Tan |first1=Can Ozan |last2=Cohen |first2=Michael A. |last3=Eckberg |first3=Dwain L. |last4=Taylor |first4=J. Andrew |year=2009 |title=Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-physiology_2009-08-01_587_15/page/n180 |journal=The Journal of Physiology |volume=587 |issue=15 |pages=3929–41 |doi=10.1113/jphysiol.2009.169219 |pmc=2746620 |pmid=19528254}}</ref><ref name="heartrate">{{Cite book |last1=Buldyrev |first1=Sergey V. |title=Fractals in Science |last2=Goldberger |first2=Ary L. |last3=Havlin |first3=Shlomo |last4=Peng |first4=Chung-Kang |last5=Stanley |first5=H. Eugene |publisher=Springer |year=1995 |editor1-last=Bunde |editor1-first=Armin |chapter=Fractals in Biology and Medicine: From DNA to the Heartbeat |access-date=2020 թ․ մայիսի 24 |editor2-last=Havlin |editor2-first=Shlomo |chapter-url=http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_f_in_s.php |archive-url=https://web.archive.org/web/20201001025131/http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_f_in_s.php |archive-date=2020 թ․ հոկտեմբերի 1 |url-status=dead}}</ref><ref name="cerebellum">{{Cite journal |last1=Liu |first1=Jing Z. |last2=Zhang |first2=Lu D. |last3=Yue |first3=Guang H. |year=2003 |title=Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging |url=https://archive.org/details/sim_biophysical-journal_2003-12_85_6/page/4041 |journal=Biophysical Journal |volume=85 |issue=6 |pages=4041–4046 |bibcode=2003BpJ....85.4041L |doi=10.1016/S0006-3495(03)74817-6 |pmc=1303704 |pmid=14645092}}</ref><ref name="neuroscience">{{Cite journal |last1=Karperien |first1=Audrey L. |last2=Jelinek |first2=Herbert F. |last3=Buchan |first3=Alastair M. |year=2008 |title=Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder |journal=Fractals |volume=16 |issue=2 |pages=103 |doi=10.1142/S0218348X08003880}}</ref><ref name="branching">{{Cite book |last1=Jelinek |first1=Herbert F. |url=https://books.google.com/?id=FFSUGQAACAAJ |title=Workshop proceedings: the Sixth Australia-Japan Joint Workshop on Intelligent and Evolutionary Systems, University House, ANU |last2=Karperien |first2=Audrey |last3=Cornforth |first3=David |last4=Cesar |first4=Roberto |last5=Leandro |first5=Jorge de Jesus Gomes |publisher=University of New South Wales |year=2002 |isbn=9780731705054 |editor=Sarker, Ruhul |chapter=MicroMod-an L-systems approach to neural modelling |oclc=224846454 |quote=Event location: Canberra, Australia |accessdate=2012 թ․ փետրվարի 3}}</ref>, տեխնոլոգիայի բնագավառում<ref name="soil">{{Cite journal |last1=Hu |first1=Shougeng |last2=Cheng |first2=Qiuming |last3=Wang |first3=Le |last4=Xie |first4=Shuyun |year=2012 |title=Multifractal characterization of urban residential land price in space and time |journal=Applied Geography |volume=34 |pages=161–170 |doi=10.1016/j.apgeog.2011.10.016}}</ref><ref name="diagnostic imaging">{{Cite journal |last1=Karperien |first1=Audrey |last2=Jelinek |first2=Herbert F. |last3=Leandro |first3=Jorge de Jesus Gomes |last4=Soares |first4=João V. B. |last5=Cesar Jr |first5=Roberto M. |last6=Luckie |first6=Alan |year=2008 |title=Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice |journal=Clinical Ophthalmology (Auckland, N.Z.) |volume=2 |issue=1 |pages=109–122 |doi=10.2147/OPTH.S1579 |pmc=2698675 |pmid=19668394}}</ref><ref name="medicine">{{Cite book |last1=Losa |first1=Gabriele A. |url=https://books.google.com/?id=t9l9GdAt95gC |title=Fractals in biology and medicine |last2=Nonnenmacher |first2=Theo F. |publisher=Springer |year=2005 |isbn=978-3-7643-7172-2}}</ref><ref name="seismology4">{{Cite journal |last1=Vannucchi |first1=Paola |last2=Leoni |first2=Lorenzo |year=2007 |title=Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing |journal=Earth and Planetary Science Letters |volume=262 |issue=3–4 |pages=413 |bibcode=2007E&PSL.262..413V |doi=10.1016/j.epsl.2007.07.056}}</ref><ref>{{Cite book |last=Sornette |first=Didier |title=Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, selforganization, and disorder: concepts and tools |publisher=Springer |year=2004 |isbn=978-3-540-40754-6 |pages=128–140}}</ref>, արվեստում<ref name="novel">{{Cite web |last=Wallace |first=David Foster |date=2006 թ․ օգոստոսի 4 |title=Bookworm on KCRW |url=http://www.kcrw.com/etc/programs/bw/bw960411david_foster_wallace |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20101111033857/http://www.kcrw.com/etc/programs/bw/bw960411david_foster_wallace |archive-date=2010 թ․ նոյեմբերի 11 |accessdate=2010 թ․ հոկտեմբերի 17 |publisher=Kcrw.com}}</ref><ref name="African art">{{Cite web |last=Eglash |first=Ron |year=1999 |title=African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design |url=http://www.rpi.edu/~eglash/eglash.dir/afractal/afractal.htm |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20180103005701/http://homepages.rpi.edu/~eglash/eglash.dir/afractal/afbook.htm |archive-date=2018 թ․ հունվարի 3 |accessdate=2010 թ․ հոկտեմբերի 17 |publisher=Rutgers University Press |location=New Brunswick}}</ref>, ճարտարապետության<ref name="springer.com 9783319324241">Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) [https://www.springer.com/gp/book/9783319324241 The Fractal Dimension of Architecture]. Birhauser, Basel. {{doi|10.1007/978-3-319-32426-5}}.</ref> և իրավունքի<ref name="legal fractal">{{Cite news |last=Stumpff |first=Andrew |year=2013 |title=The Law is a Fractal: The Attempt to Anticipate Everything |publisher=Loyola University Chicago Law Journal |page=649 |volume=44 |ssrn=2157804}}</ref> բնագավառներում։ Ֆրակտալները հատուկ նշանակություն ունեն քաոսի տեսության ոլորտում, քանի որ քաոսային գործընթացների մեծամասնության գրաֆիկները ֆրակտալներ են<ref>{{Cite web |last=Baranger |first=Michael |title=Chaos, Complexity, and Entropy: A physics talk for non-physicists |url=http://necsi.edu/projects/baranger/cce.pdf}}</ref>։

== Օրինակներ ==
=== Արտասովոր հատկություններով ինքնանման բազմություններ մաթեմատիկայում ===
19-րդ դարի վերջից սկսած՝ մաթեմատիկայում հայտնվում են դասական վերլուծության տեսանկյունից պաթոլոգիական հատկություններ ունեցող ինքնանման առարկաների օրինակներ։ Դրանց թվին կարելի է դասել.

* Կանտորի հավաքածուն ոչ մի տեղ խիտ կենտ կատարյալ բազմություն է։ Ընթացակարգը փոփոխելով՝ կարելի է ստանալ նաև ոչ մի տեղ խիտ դրական երկարության բազմություն,
* Սերպինսկու եռանկյունին («սփռոց») և Սերպինսկու գորգ, Կանտորի բազմության անալոգները հարթության վրա,
* Մենգերի  սպունգ<ref name="Gouyet">{{Cite book |last=Gouyet |first=Jean-François |title=Physics and fractal structures |publisher=Masson Springer |year=1996 |isbn=978-0-387-94153-0 |location=Paris/New York}}</ref>, Կանտորի բազմության անալոգը եռաչափ տարածության մեջ,
* Ոչ մի տեղ չդիֆերենցվող անընդհատ ֆունցկաների՝ [[Կառլ Վայերշտրաս|Վայերշտրասի]] և Վան դեր Վարդենի օրինակները,
* Կոխի կոր, անսահման երկարության ոչ ինքնահատվող շարունակական կոր, որը չունի շոշափող ոչ մի կետում,
* Պեանոյի կոր, շարունակական կոր, որն անցնում է խորանարդի բոլոր կետերով,
* [[Բրոունյան մասնիկ]]ի հետագիծը նույնպես 1 հավանականությամբ ոչ մի կետում չի դիֆերենցվում։ Նրա Հաուսդորֆի չափը հավասար է երկուսի։

=== Ֆրակտալ կորեր ստանալու ռեկուրսիվ ընթացակարգ ===
[[Պատկեր:Koch_curve_construction.svg|մինի|257x257փքս|Կոխի կորի կառուցումը]]
Գոյություն ունի հարթության վրա ֆրակտալ կորերի ստացման պարզ [[Ռեկուրսիա|ռեկուրսիվ]] ընթացակարգ։ Որոշենք վերջավոր թվով հանգույցներով կամայական [[բեկյալ]], որը կոչվում է գեներատոր։ Հաջորդիվ դրա մեջ յուրաքանչյուր հատվածը փոխարինենք գեներատորով (ավելի ճիշտ՝ գեներատորի նման բեկյալով)։ Արդյունքում ստացված բեկյալի յուրաքանչյուր հատվածը նորից փոխարինենք գեներատորով։ Շարունակելով մինչև անսահմանություն՝ ստանում ենք ֆրակտալ կոր։ Աջ կողմում գտնվող նկարում ցույց է տրված Կոխի կորի համար այդ ընթացակարգի առաջին, երկրորդ և չորրորդ քայլերը։

Նման կորերի օրինակներն են.

* Կոխի կոր (Կոխի փաթիլ),
* Լևիի կոր,
* Մինկովսկու կոր,
* Հիլբերտի կոր,
* Վիշապի բեկյալ (կոր) (Հարթեր-Հեյթուեյի ֆրակտալ),
* Պեանոյի կոր,
* Մյակիշևի  կոր։

Նմանատիպ ընթացակարգի կիրառմամբ է ստացվում [[Պյութագորասի ծառ]]ը։

=== Ֆրակտալները որպես սեղմիչ արտացոլումների անշարժ կետ ===
Ինքնանմանության հատկությունը կարող է մաթեմատիկորեն խստորեն արտահայտվել հետևյալ կերպ։ Դիցուք <math>\psi_i,\,i=1,\dots,n</math> հարթության սեղմիչ արտացոլումներն են։ Դիտարկենք հետևյալ արտացոլումը հարթության բոլոր կոմպակտ (փակ և սահմանափակ) ենթաբազմությունների վրա. <math>\Psi\colon K\mapsto \cup_{i=1}^n\psi_i(K)</math>

Կարելի է ցույց տալ, որ <math>\Psi</math> արտացոլումը սեղմիչ արտացոլում է  [[Հաուսդորֆյան հեռավորություն|հաուսդորֆյան մետրիկի]] հետ կոմպակտների բազմության վրա։ Հետևաբար, Բանախի թեորեմի համաձայն, այս արտացոլումն ունի եզակի անշարժ կետ։ Այս ֆիքսված կետը կլինի մեր ֆրակտալը։

Վերևում նկարագրված ֆրակտալ կորերի ստացման ռեկուրսիվ ընթացակարգը տվյալ կառուցվածքի մասնավոր դեպքն է։ Դրանում բոլոր արտացոլումները <math>\psi_i,\,i=1,\dots,n</math> նմանության արտացոլումն են, իսկ <math>n</math>-ը՝ գեներատորի հանգույցների թիվը։

Սերպինսկու եռանկյան համար <math>n=3</math> և <math>\psi_1</math>, <math>\psi_2</math>, <math>\psi_3</math> արտացոլումները հեմոտետիաներ են կանոնավր եռանկյան գագաթներում գտնվող կենտրոններվ և 1/2 գործակիցով։ Հեշտ է տեսնել, որ Սերպինսկու եռանկյունին անցնում է իրեն <math>\Psi</math> արտացոլման դեպքում։

Այն դեպքում, երբ <math>\psi_i</math>  արտացոլումները նմանության վերափոխումներ են <math>r_i>0</math> գործակիցներով, <math>s</math> ֆրակտալի չափականությունը (որոշ լրացուցիչ տեխնիկական պայմաններում) կարող է հաշվարկվել որպես <math>r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s=1</math> հավասարման լուծում։ Այսպիսով, Սերպինսկու եռանկյան համար ստանում ենք՝ <math>s=\ln3/\ln2</math>։

Ըստ նույն Բանախի թեորեմի՝ սկսելով ցանկացած կոմպակտ բազմությունից և դրա նկատմամբ կիրառելով <math>\Psi</math> արտացոլման իտերացիաները, կստանանք մեր ֆրակտալին մոտ (Հաուսդորֆի մետրիկայի իմաստով) կոմպակտների հաջորդականություն։

=== Ֆրակտալները կոմպլեքս դինամիկայում ===
[[Պատկեր:Fractal_julia.png|մինի|240x240փքս|Ժյուլիայի բազմություն]]
[[Պատկեր:Julia_set_(highres_01).jpg|մինի|250x250փքս|Ժյուլիայի մեկ այլ բազմություն]]
Ֆրակտալները բնական կերպով առաջանում են ոչ գծային դինամիկ համակարգերի ուսումնասիրության ժամանակ։ Առավել ուսումնասիրվել է այն դեպքը, երբ դինամիկ համակարգը սահմանվում է բազմանդամի կամ հոլոմորֆիկ ֆունկցիայի իտերացիաներով կոմպլեքս բեկյալով հարթության վրա։ Այս ոլորտում առաջին հետազոտությունները վերաբերում են 20-րդ դարի սկզբին և կապված են Ֆաթուի և Ժուլիայի անունների հետ։

Դիցուք <math>F(z)</math> [[բազմանդամ]] է, <math>z_0</math>-ը՝ [[կոմպլեքս թիվ]]։ Դիտարկենք հետևյալ հաջորդականությունը.

: <math>z_0, z_1=F(z_0), z_2=F(F(z_0)) = F(z_1), z_3=F(F(F(z_0)))=F(z_2), ...</math>

Մեզ հետաքրքրում է այս հաջորդականության փոփոխությունը, երբ n-ը ձգտում է անսահմանության։ Այս հաջորդականությունը կարող է.

* ձգտել անսահմանության,
* ձգտել վերջնական սահմանին,
* ցույց տալ ցիկլային վարք որոշակի սահմաններում, օրինակ՝ <math>z_1, z_2, z_3, z_1, z_2, z_3, ...</math>
* վարվել քաոսային կերպով, այսինքն՝ չցուցավերել վարքի նշված 3 տեսակներից որևէ մեկ։

<math>z_0</math>-ի արժեքների բազմությունը, որոնց համար հաջորդականությունը ցույց է տալիս վարքի մեկ կոնկրետ տեսակ, ինչպես նաև կետերի բազմության երկատում տարբեր տիպերի միջև, հաճախ ունեն ֆրակտալ հատկություններ։

Այսպես, Ժուլիայի բազմությունը երկատման կետերի բազմության է <math>F(z)=z^2+c</math>  բազմանդամի համար (կամ այլ նման ֆունկցիայի), այսինքն՝ <math>z_0</math> - ի այն արժեքները, որոնց համար <math>z_n</math> հաջորդականության վարքը կարող է կտրուկ փոխվել <math>z_0</math>–ի կամայական փոքր փոփոխությունների դեպքում։

Ֆրակտալ ազմության ստացման մեկ այլ տարբերակ է պարամետրի ներմուծումը <math>F(z)</math> բազմանդամում և պարամետրի այն արժեքների բազմության դիտարկումը, որոնց դեպքում  <math>z_n</math>   հաջորդականությունը ցույց է տալիս որոշակի վարք ֆիքսված <math>z_0</math> դեպքում։ Այսպես, Մանդելբրոտի բազմությունը բոլոր այն <math>c\in\mathbb{C}</math> բազմություն է, որոնց դեպքում <math>z_n</math> <math>F(z)=z^2+c</math>-ի և <math>z_0</math>-ի համար չի ձգտում անսահմանության։

Այս տեսակի ևս մեկ հայտնի օրինակ է Նյուտոնի լողավազանները։

Տարածված է  գեղեցիկ գրաֆիկական պատկերների ստեղծումը, որը հիմնված է կոմպլեքս դինամիկայի վրա՝ հարթության կետերը գունավորելու միջոցով՝ կախված համապատասխան դինամիկ համակարգերի վարքից։ Օրինակ, Մանդելբրոտի բազմութքյան լրացման համար կարելի է գունավորել կետերը՝ կախված <math>z_n</math>-ի անսահմանության ձգտման արագությունից (որը սահմանվում է, օրինակ, ամենափոքր <math>n</math> համարը, որի դեպքում <math>|z_n|</math>  կգերազանցի <math>A</math> ֆիքսված մեծությանը)։

Բիոմորֆները ֆրակտալներ են, որոնք կառուցված են բարդ դինամիկայի հիման վրա և նման են կենդանի օրգանիզմների։

=== Ստոխաստիկ ֆրակտալներ ===
[[Պատկեր:Fractal_random.png|աջից|շրջափակել|236x236փքս|Պատահական ձևով կառուցված ֆրակտալ Ժյուլիայի բազմության հիման վրա]]
Բնական օբյեկտները հաճախ ունենում են ֆրակտալ ձև։ Դրանց մոդելավորման համար կարող են օգտագործվել ստոխաստիկ (պատահական) ֆրակտալները։ Ստոխաստիկ ֆրակտալների օրինակներ.

* Բրոունյան շարժման հետագիծը հարթության վրա և տարածության մեջ,
* Բրոունյան շարժման հետագծի սահմանը հարթության վրա։ 2001 թվականին Լոուլերը, Շրամը և Վերները ապացուցել են Մանդելբրոտի ենթադրությունն այն մասին, որ դրա չափականությունը 4/3 է։
* Շրամ-Լյովներիի էվոլյուցիաները [[Կոնֆորմ արտապատկերում|Կոնֆորմ արտապատկերվող]] ֆրակտալ կորեր են, որոնք ծագում են [[Վիճակագրական մեխանիկա]]յի կրիտիկական երկչափական մոդելներում, օրինակ՝ Իզինգի մոդելում և պերկոլյացիայում։
* Տարբեր տեսակների պատահական ֆրակտալներ, այսինքն՝ ռեկուրսիվ ընթացակարգի միջոցով ստացված ֆրակտալներ, որտեղ ամեն քայլափոխի մտցվում է պատահական պարամետր։ Պլազման նման ֆրակտալի օգտագործման օրինակ է [[համակարգչային գրաֆիկա]]յում։

=== Բնական օբյեկտներ, որոնք ունեն ֆրակտալ  հատկություններ ===
[[Պատկեր:Gray961.png|մինի|256x256փքս|Շնչափողի և բրոնխների տեսքն առջևից]]
Բնական օբյեկտները (քվազիֆրակտալները) իդեալական վերացական ֆրակտալներից տարբերվում են ոչ լիարժեքությամբ և կառուցվածքի կրկնության անճշտությամբ։ Բնության մեջ հանդիպող ֆրակտալանման կառույցների մեծ մասը (ամպերի սահմանները, ափերի գիծը, ծառերը, բույսերի տերևները, մարջանները) քվազիֆրակտալներ են, քանի որ որոշ փոքր մասշտաբում ֆրակտալ կառուցվածքը անհետանում է։ Բնական կառույցները չեն կարող լինել իդեալական ֆրակտալներ կենդանի բջիջների չափսերի սահմանափակումների և մոլեկուլների չափերի պատճառով։

* Կենդանի բնության մեջ։
** [[Կորալ]]ներ
** [[Ծովային աստղ]]եր և [[ծովոզնիներ]]
** Ծովային խեցիներ
** Ծաղիկներ և բույսեր ([[բրոկկոլի]], [[ծաղկակաղամբ]])
** Ծառերի սաղարթներ և բույսերի տերևներ
** Մրգեր (արքայախնձոր)
** Մարդկանց և կենդանիների [[Արյան շրջանառության համակարգ|արյան շրջանառության]]
* Clouds and rainfall areas<ref>{{Cite journal |last=Lovejoy |first=Shaun |date=1982 |title=Area-perimeter relation for rain and cloud areas |journal=Science |volume=216 |issue=4542 |pages=185–187 |bibcode=1982Sci...216..185L |doi=10.1126/science.216.4542.185 |pmid=17736252}}</ref> և բրոնխների համակարգեր
** [[Միկրոֆիլամենտներ]]<ref>{{Cite journal |last=Sadegh |first=Sanaz |date=2017 |title=Plasma Membrane is Compartmentalized by a Self-Similar Cortical Actin Meshwork |journal=Physical Review X |volume=7 |issue=1 |pages=011031 |arxiv=1702.03997 |bibcode=2017PhRvX...7a1031S |doi=10.1103/PhysRevX.7.011031 |pmc=5500227 |pmid=28690919}}</ref>
** [[Ջրիմուռներ]]
** [[Սպիտակուցներ]]<ref>{{Cite journal |last1=Enright |first1=Matthew B. |last2=Leitner |first2=David M. |date=2005 թ․ հունվարի 27 |title=Mass fractal dimension and the compactness of proteins |url=https://zenodo.org/record/895378 |journal=Physical Review E |volume=71 |issue=1 |pages=011912 |bibcode=2005PhRvE..71a1912E |doi=10.1103/PhysRevE.71.011912 |pmid=15697635}}</ref>
* Անկենդան բնություն.
** Աշխարհագրական օբյեկտների սահմաններ (երկրներ, շրջաններ, քաղաքներ)
** Ջրափնյա գիծ
** Լեռնաշղթաներ
** Ձյան փաթիլներ<ref name="snowflake">{{Cite book |last1=Meyer |first1=Yves |url=https://books.google.com/?id=aHux78oQbbkC&pg=PA25&dq=snowflake+fractals+book#v=onepage |title=Progress in wavelet analysis and applications: proceedings of the International Conference "Wavelets and Applications", Toulouse, France – June 1992 |last2=Roques |first2=Sylvie |publisher=Atlantica Séguier Frontières |year=1993 |isbn=978-2-86332-130-0 |page=25 |accessdate=2011 թ․ փետրվարի 5}}</ref>
** Ամպեր
** Կայծակ
** Ձյան նախշեր պատուհանի ապակու վրա
** Բյուրեղներ<ref name="crystal">{{Cite book |last1=Carbone |first1=Alessandra |url=https://books.google.com/?id=qZHyqUli9y8C&pg=PA78&dq=crystal+fractals+book#v=onepage |title=Pattern formation in biology, vision and dynamics |last2=Gromov |first2=Mikhael |last3=Prusinkiewicz |first3=Przemyslaw |publisher=World Scientific |year=2000 |isbn=978-981-02-3792-9 |page=78}}</ref>
** Երկրաշարժներ<ref name="seismology">{{Cite journal |last1=Vannucchi |first1=Paola |last2=Leoni |first2=Lorenzo |year=2007 |title=Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing |journal=Earth and Planetary Science Letters |volume=262 |issue=3–4 |pages=413 |bibcode=2007E&PSL.262..413V |doi=10.1016/j.epsl.2007.07.056}}</ref><ref>{{Cite book |last=Sornette |first=Didier |title=Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, selforganization, and disorder: concepts and tools |publisher=Springer |year=2004 |isbn=978-3-540-40754-6 |pages=128–140}}</ref>
** [[Խզումային խախտումներ]]
** Օվկիանոսի ալիքներ<ref name="nature">{{Cite book |last=Addison |first=Paul S. |url=https://books.google.com/?id=l2E4ciBQ9qEC&pg=PA45&dq=lightning+fractals+book#v=onepage |title=Fractals and chaos: an illustrated course |publisher=CRC Press |year=1997 |isbn=978-0-7503-0400-9 |pages=44–46 |accessdate=2011 թ․ փետրվարի 5}}</ref>
** [[Սատուրնի օղակներ]]<ref>{{Cite book |last1=Takayasu |first1=H. |url=https://archive.org/details/fractalsinphysic0000taka_s1f9/page/36 |title=Fractals in the physical sciences |date=1990 |publisher=Manchester University Press |isbn=9780719034343 |location=Manchester |page=[https://archive.org/details/fractalsinphysic0000taka_s1f9/page/36 36]}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Jun |first1=Li |last2=Ostoja-Starzewski |first2=Martin |date=2015 թ․ ապրիլի 1 |title=Edges of Saturn's Rings are Fractal |journal=SpringerPlus |volume=4,158 |pages=158 |doi=10.1186/s40064-015-0926-6 |pmc=4392038 |pmid=25883885}}</ref>
** [[Ստալակտիտներ]], [[ստալագմիտներ]], հելիկտիտներ։

== Կիրառություն ==
=== Արվեստ ===
1999 թվականից ավելի քան 10 գիտական խմբեր իրականացրել են ֆրակտալ վերլուծություն Ջեքսոն Փոլոքի (1912-1956) ավելի քան 50 գեղանկարների վերաբերյալ, որոնք ստեղծվել են ներկն ուղղակիորեն հորիզոնական կտավների վրա լցնելով<ref>{{Cite journal |last=Taylor |first=R. P. |display-authors=etal |year=1999 |title=Fractal Analysis of Pollock's Drip Paintings |journal=Nature |volume=399 |issue=6735 |page=422 |bibcode=1999Natur.399..422T |doi=10.1038/20833}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Mureika |first1=J. R. |last2=Dyer |first2=C. C. |last3=Cupchik |first3=G. C. |year=2005 |title=Multifractal Structure in Nonrepresentational Art |journal=Physical Review E |volume=72 |issue=4 |pages=046101–1–15 |arxiv=physics/0506063 |bibcode=2005PhRvE..72d6101M |doi=10.1103/PhysRevE.72.046101 |pmid=16383462}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Redies |first1=C. |last2=Hasenstein |first2=J. |last3=Denzler |first3=J. |year=2007 |title=Fractal-Like Image Statistics in Visual Art: Similarity to Natural Scenes |journal=Spatial Vision |volume=21 |issue=1 |pages=137–148 |doi=10.1163/156856807782753921 |pmid=18073055}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Lee |first1=S. |last2=Olsen |first2=S. |last3=Gooch |first3=B. |year=2007 |title=Simulating and Analyzing Jackson Pollock's Paintings |journal=Journal of Mathematics and the Arts |volume=1 |issue=2 |pages=73–83 |citeseerx=10.1.1.141.7470 |doi=10.1080/17513470701451253}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Alvarez-Ramirez |first1=J. |last2=Ibarra-Valdez |first2=C. |last3=Rodriguez |first3=E. |last4=Dagdug |first4=L. |year=2008 |title=1/f-Noise Structure in Pollock's Drip Paintings |journal=Physica A |volume=387 |issue=1 |pages=281–295 |bibcode=2008PhyA..387..281A |doi=10.1016/j.physa.2007.08.047}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Graham |first1=D. J. |last2=Field |first2=D. J. |year=2008 |title=Variations in Intensity for Representative and Abstract Art, and for Art from Eastern and Western Hemispheres |url=http://redwood.psych.cornell.edu/papers/graham-field-perception-2008.pdf |journal=Perception |volume=37 |issue=9 |pages=1341–1352 |citeseerx=10.1.1.193.4596 |doi=10.1068/p5971 |pmid=18986061}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Alvarez-Ramirez |first1=J. |last2=Echeverria |first2=J. C. |last3=Rodriguez |first3=E. |year=2008 |title=Performance of a high-dimensional R/S method for Hurst exponent estimation |journal=Physica A |volume=387 |issue=26 |pages=6452–6462 |bibcode=2008PhyA..387.6452A |doi=10.1016/j.physa.2008.08.014}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Coddington |first1=J. |last2=Elton |first2=J. |last3=Rockmore |first3=D. |last4=Wang |first4=Y. |year=2008 |title=Multifractal Analysis and Authentication of Jackson Pollock Paintings |journal=Proceedings of SPIE |volume=6810 |issue=68100F |pages=1–12 |bibcode=2008SPIE.6810E..0FC |doi=10.1117/12.765015}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Al-Ayyoub |first1=M. |last2=Irfan |first2=M. T. |last3=Stork |first3=D. G. |year=2009 |title=Boosting Multi-Feature Visual Texture Classifiers for the Authentification of Jackson Pollock's Drip Paintings |journal=SPIE Proceedings on Computer Vision and Image Analysis of Art II |series=Computer Vision and Image Analysis of Art II |volume=7869 |issue=78690H |pages=78690H |bibcode=2011SPIE.7869E..0HA |doi=10.1117/12.873142}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Mureika |first1=J. R. |last2=Taylor |first2=R. P. |year=2013 |title=The Abstract Expressionists and Les Automatistes: multi-fractal depth? |journal=Signal Processing |volume=93 |issue=3 |page=573 |doi=10.1016/j.sigpro.2012.05.002}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Taylor |first1=R. P. |display-authors=etal |year=2005 |title=Authenticating Pollock Paintings Using Fractal Geometry |journal=Pattern Recognition Letters |volume=28 |issue=6 |pages=695–702 |doi=10.1016/j.patrec.2006.08.012}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Jones-Smith |first1=K. |display-authors=etal |year=2006 |title=Fractal Analysis: Revisiting Pollock's Paintings |journal=Nature |volume=444 |issue=7119 |pages=E9–10 |bibcode=2006Natur.444E...9J |doi=10.1038/nature05398 |pmid=17136047}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Taylor |first1=R. P. |display-authors=etal |year=2006 |title=Fractal Analysis: Revisiting Pollock's Paintings (Reply) |journal=Nature |volume=444 |issue=7119 |pages=E10–11 |bibcode=2006Natur.444E..10T |doi=10.1038/nature05399}}</ref>։ Կոգնիտիվ նեյրոկենսաբանները ցույց են տվել, որ Փոլոքի ֆրակտալները նույնքան են նվազեցնում սթրեսը դիտորդների մոտ, որքան համակարգչի կողմից ստեղծված ֆրակտալներն ու բնության ֆրակտալները<ref>{{Cite journal |last1=Taylor |first1=R. P. |last2=Spehar |first2=B. |last3=Van Donkelaar |first3=P. |last4=Hagerhall |first4=C. M. |year=2011 |title=Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock's Fractals |journal=Frontiers in Human Neuroscience |volume=5 |pages=1–13 |doi=10.3389/fnhum.2011.00060 |pmc=3124832 |pmid=21734876}}</ref>։

=== Բնական գիտություններ ===
Ֆիզիկայում ֆրակտալները բնականորեն ձևավորվում են ոչ գծային գործընթացների մոդելավորման ժամանակ, ինչպիսիք են հեղուկի [[Մրրկային շարժում|մրրկային]] հոսքը, [[Դիֆուզիա|դիֆուզիոն]]-[[Ադսորբում|ադսորբման]] բարդ գործընթացները, կրակը, ամպերը և այլն։ Ֆրակտալներն օգտագործվում է ծակոտկեն նյութերի մոդելավորման մեջ, օրինակ՝ նավթաքիմիական նյութերում։ Կենսաբանության մեջ դրանք օգտագործվում են [[պոպուլյացիա]]ների մոդելավորելու և ներքին օրգանների համակարգերը (արյունատար անոթների համակարգը) նկարագրելու համար։ Կոխի կորի ստեղծումուց հետո առաջարկվել է այն օգտագործել ափագծի երկարությունը հաշվարկելու համար։

=== Ռադիոտեխնիկա ===
==== Ֆրակտալ ալեհավաքներ ====
Ֆրակտալ երկրաչափության օգտագործումը ալեհավաքների նախագծման ժամանակ առաջին անգամ կիրառվել է ամերիկացի ինժեներ Նաթան Քոենի կողմից, որն այն ժամանակ ապրում էր [[Բոստոն]]ի կենտրոնում, որտեղ արգելված էր արտաքին ալեհավաքների տեղադրումը շենքի վրա։ Նաթանն ալյումինե փայլաթիթեղից կտրել է Կոխի կորի տեսքով կազմվածքը և այն փակցրել թղթի վրա, այնուհետև միացրել [[ռադիոընդունիչ]]ին։

Քոենը հիմնել է իր սեփական ընկերությունը և սկսել իր ալեհավաքների սերիական թողարկումը։ Այդ ժամանակներից ի վեր ֆրակտալ ալեհավաքները տեսությունը շարունակում է ինտենսիվորեն զարգանալ<ref>Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569</ref><ref>Крупенин С. В. Фрактальные излучающие структуры и аналоговая модель фрактального импеданса. Дис. канд. физ.-мат. наук : 01.04.03, 01.04.04 / [Место защиты: Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. Физ. фак.].- Москва, 2009.- 157 с.</ref>
<ref>Бабичев Д. А. Разработка и исследование микрополосковой антенны на основе фрактального подхода. Дис. канд. техн. наук:
 - 05.12.07. [Место защиты: С.-Петерб. гос. электротехн. ун-т (ЛЭТИ)]. - Санкт-Петербург, 2016. - 104 с. [http://www.eltech.ru/assets/files/nauka/dissertacii/2016/Babichev/16.09.22-(dissertaciya).pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180619073957/http://www.eltech.ru/assets/files/nauka/dissertacii/2016/Babichev/16.09.22-(dissertaciya).pdf |date=2018-06-19 }}</ref>։ Նման ալեհավաքների առավելությունն այն է, որ դրանք բազմաբնույթ են և համեմատաբար լայնաշերտ։

=== Ինֆորմատիկա ===
==== Պատկերի սեղմում ====
[[Պատկեր:Fractal tree (Plate b - 3).jpg|thumb|250px|right|Ֆրակտալ ծառ]] 
Գոյություն ունեն ֆրակտալների միջոցով պատկերի սեղմման ալգորիթմներ։ Դրանք հիմնված են այն գաղափարի վրա, որ պատկերի փոխարեն կարելի է պահպանել սեղմող արտացոլումը, որի համար այդ պատկերը (կամ դրան մոտ պատկեր) անշարժ կետ է։ Այս ալգորիթմի տարբերակներից մեկն օգտագործվել է<ref name="ComputerworldFractal">[http://www.osp.ru/cw/1996/06/10229/ Фрактальное сжатие изображений] на [[Computerworld Россия]]</ref> [[Microsoft]] ընկերության կողմից իր հանրագիտարանը հրատարակելիս, սակայն այդ ալգորիթմները մեծ տարածում չեն ստացել։

==== Համակարգչային գրաֆիկա ====
[[Պատկեր:Fractal tree.png|frame|Ֆրակտալ ծառ]] 
Ֆրակտալները լայնորեն կիրառվում են [[համակարգչային գրաֆիկա]]յում բնական օբյեկտների պատկերներ կառուցելու համար, ինչպիսիք են ծառերը, թփերը, լեռնային լանդշաֆտները, ծովերի մակերևույթները և այլն։ Կան բազմաթիվ ծրագրեր, որոնք ծառայում են Ֆրակտալ պատկերների գեներացման համար։

==== Ապակենտրոնացված ցանցեր ====
Netsukuku ցանցում [[Այ-փի հասցեներ|IP հասցեներ]]ի նշանակման համակարգն օգտագործում է տեղեկատվության ֆրակտալ սեղմման սկզբունքը ցանցի հանգույցների մասին տեղեկատվության կոմպակտ պահպանման համար։ Netsukuku ցանցի յուրաքանչյուր հանգույց պահպանում է միայն 4 ԿԲ տեղեկատվություն հարևան հանգույցների կարգավիճակի մասին, միևնույն ժամանակ, ցանկացած նոր հանգույց միանում է ընդհանուր ցանցին առանց IP-հասցեների բաշխման կենտրոնական կարգավորման անհրաժեշտության, ինչը, օրինակ, բնորոշ է ինտերնետին։ Այսպիսով, տեղեկատվության ֆրակտալ սեղմման սկզբունքը երաշխավորում է ամբողջովին ապակենտրոնացված, և, հետևաբար, ամբողջ ցանցի առավել կայուն աշխատանքը։

== Նկարներ ==
<gallery>
Image:Wires Apophysis Fractal Flame.jpg
Image:Red Vortex Apophysis Fractal Flame.jpg
Image:Glue1 800x600.jpg
Պատկեր: Mandelpart2.jpg
Պատկեր: Young star )fractaldancer(.jpg
Պատկեր:Fracal XaoS "Fantastic insect".png
Պատկեր:Fractal Xaos psychedelic.png
File:Fractal Galaxy.jpg
File:Julia001-3.png
File:Fractal Julia.jpg
Պատկեր:Mandelbrot Set Image 02 by Aokoroko.jpg
Պատկեր:Mandelbrot Set Image 04 by Aokoroko.jpg
Պատկեր:Mandelbrot Set Image 11 by Aokoroko.jpg
Պատկեր:Mandelbrot Set Image 01 by Aokoroko.jpg
Պատկեր:Mandelbrot Set Color Cycling Animation 400px 2.gif
Պատկեր:Mandelbrot Set Color Cycling Animation 400px 3.gif
Պատկեր:Mandelbrot Set Color Cycling Animation 400px.gif
Պատկեր:Mandelbrot_Set_Image_03_by_Aokoroko.jpg
Պատկեր:Mandelbrot Set Image 12 by Aokoroko.jpg 
Պատկեր:Mandelbrot Set Image 09 by Aokoroko.jpg 
Պատկեր:Mandelbrot Set Image 21 by Aokoroko.png 
Պատկեր:Mandelbrot Set Image 23 by Aokoroko.png 
Պատկեր:Mandelbrot Set Image 26 by Aokoroko.png 
</gallery>

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|2}}

== Գրականություն ==
{{refbegin|2}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ссылка=http://www.mccme.ru/dubna/2007/notes/kirillov-preprint.pdf |автор=А. А. Кириллов |заглавие=Повесть о двух фракталах |год=2007 |издание=Летняя школа «Современная математика» |место=Дубна}}
* ''Мандельброт Б.'' Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
* Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. — М.: «Мир», 1993.
* ''Федер Е.'' Фракталы. — М: «Мир», 1991.
* Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
* Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
* ''Цицин Ф. А.'' [http://www.delphis.ru/journal/article/fraktalnaya-vselennaya Фрактальная вселенная] // «Дельфис» — № 11(3) — 1997.
* Фракталы в физике. ''Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985''. — М.: «Мир», 1988.
* ''Маврикиди Ф. И.'' [http://www.delphis.ru/journal/article/fraktaly-postigaya-vzaimosvyazannyi-mir Фракталы: постигая взаимосвязанный мир] // «Дельфис» — № 23(3) — 2000.
* {{Ռուսերեն գիրք |автор=Шредер М. |заглавие=Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая |год=2001 |место=Ижевск |издательство=«РХД»}}
* Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
* {{Ռուսերեն գիրք |автор=Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон |заглавие=(Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах |год=2006 |оригинал=The Misbehavior of Markets |место=М. |издательство=«Вильямс» |страниц=400 |isbn=5-8459-0922-8}}
* Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
* М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
* ''Маврикиди Ф. И.'' [http://www.delphis.ru/journal/article/fraktalnaya-matematika-i-priroda-peremen Фрактальная математика и природа перемен] // «Дельфис» — № 54(2) — 2008.
* Липов А. Н. Фракталы. Памяти Бенуа Мандельброта // Философия и культура № 9 (33) 2010. № 8. С. 39-54.
{{refend}}

== Արտաքին հղումներ ==
* [https://codemore.ru/2014/10/09/l-systems.html Системы Линденмайера (L-Системы).] Онлайн инструмент для генерации геометрических фракталов.
* [http://habrahabr.ru/post/194406/ Фракталы в простых числах] — Статья Сергея Герасимова на habrahabr
* [https://codemore.ru/2014/01/19/fractals.html Статья о фракталах.] Приведены примеры расчёта и построения графической интерпретации некоторых алгебраических и геометрических фракталов. Имеются ссылки на онлайн генераторы и исходные коды на C#.
* Надежда Атаева, [http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/ataeva/fractals1.html Фрактальные множества] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110616044227/http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/ataeva/fractals1.html |date=2011-06-16 }} (Санкт-Петербургский государственный университет: ПМ-ПУ)
* [http://lenta.ru/photo/2009/12/07/fractal/ Обаяние самоподобия]. Лампочка Мандельброта и многое другое в галерее фракталов от Ленты. Ру // Лента. Ру, 27 фото.
* [http://www.programmersclub.ru/gambler-fractali2/ Фракталы — геометрия природы]. Реализация фракталов в delphi и многое другое в [http://www.programmersclub.ru/ Клубе программистов].
* «Фракталы. Поиски новых размерностей» ({{lang-en|Fractals. Hunting The Hidden Dimension}}) — научно-популярный фильм, снятый в 2008 г.
* [http://elementy.ru/posters/fractals#f= Фракталы] на Элементы.ру
* {{Cite web |author=J. J. O'Connor, E. F. Robertson |date=2009-02 |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/fractals.html%7Ctitle=A History of Fractal Geometry |work=MacTutor History of Mathematics archive |publisher=School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland}}{{Չաշխատող արտաքին հղում|bot=InternetArchiveBot }}
{{Արտաքին հղումներ}}

[[Կատեգորիա:Քաոսի տեսություն]]
[[Կատեգորիա:Ֆրակտալներ]]