Դիտել 0,(9) էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:999 Perspective 2.svg|300px|right]]

'''0,(9)''' կամ '''0,999…''' (<math style="position:relative;top:-.35em"> 0.\bar{9} , 0.\dot{9}</math>) («զրո ամբողջ ինը պարբերական»), պարբերական տասնորդական կոտորակ, որն իրենից ներկայացնում է [[1]] թիվը։ Այլ բառերով՝ 
: <math>1=0{,}(9).</math>
Այս հավասարությունն ունի մի քանի մաթեմատիկական ապացույցներ՝ հիմնված տեսական սահմանների վրա։

== Ապացույցներ==

=== Հանրահաշվական ===

==== [[Սյունակով բաժանում]] ====
Հաճախ ռացիոնալ կոտորակը կարող է ներկայացվել տասնորդական տեսքով միայն անվերջ պոչով։ Օգտագործելով սյունակով բաժանումը՝ երկու ամբողջական թվերի բաժանումը, օրինակ՝ <math>\frac{1}{3}</math> բերում է անվերջ 0,333… տասնորդական գրառմամբ, որտեղ թվերը անվերջ կրկնվում են։ Այդկերպ հեշտ ապացուցվում է 0,999… = 1 հավասարությունը։ 3-ը 3-ի բազմապատկումը բերում է 9-ի յուրաքանչյուր շարքում, այդ իսկ պատճառով 3 × 0,333… համարժեք է 0,999…։ Եվ 3 × {{frac|1|3}} համարժեք է 1-ի, այդ իսկ պատճառով 0,999… = 1<ref name="CME">cf. with the binary version of the same argument in [[Silvanus P. Thompson]], ''Calculus made easy'', St. Martin’s Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.</ref>։

{| style="wikitable"
|<math>1 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot 0{,}333\ldots = 0{,}999\ldots = 0{,}(9);</math>
|width="10px"|
|width="10px" style="border-left:1px solid silver;"|
|<math>1 = 9 \cdot \frac{1}{9} = 9 \cdot 0{,}111\ldots = 0{,}999\ldots = 0{,}(9).</math>
|}

==== Թվերի տեղաշարժում ====
Երբ տասնորդական գրառմամբ թիվը բազմապատկվում է 10-ի, թվերը չեն փոխվում, սակայն յուրաքանչյուր շարքը շարժվում է մեկ թվով ձախ։ Հետևաբար, 10 × 0,999… = 9,999…, ինչը 9 անգամ ավել է, քան հիմնական թիվը։ Տեսնելու համար 0,999… հանենք 9,999…-ից, յուրաքանչյուր թիվ ստորակետից հետո անհետանում է, քանի որ 9 — 9 = 0 յուրաքանչյուր շարքի համար։ Վերջին քայլն օգտագործում է հանրահաշվի կանոնները․  
: <math>
\begin{align}
x             &= 0{,}999\ldots; \\
10x           &= 9{,}999\ldots; \\
10x - x       &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots; \\
9x            &= 9; \\
x             &= 1; \\
0{,}999\ldots &= 1.
\end{align}
</math>

==== Տարբերության գտնելը ====
Երկու թվերը հավասար են, եթե նրանց տարբերությունը հավասար է զրոյի։ Այսպես, պետք է գտնել 1-0,(9 արտահայտության լուծումը։ Սկզբում դիտարկենք առավել հեշտ օրինակը։ Գտնենք 1 և 0,9 թվերի տարբերությունը (''առաջին [[իտերացիա]]''), ապա ավելացնենք շարքի վերջին թվին ևս մեկ 9 (''ստացվում է 0,99''), գտնենք 1 թվի և նոր հանելիի՝ 0,99-ի (''երկրորդ իտերացիա'') տարբերությունը։ Ինչից հետո նույն սխեմայով որոշում ենք 1 և 0,999 (''երրորդ իտերացիա'') թվերի տարբերությունը և այլն․ 
: <math>
\begin{align}
1-0{,}9         &= 0{,}1 \\
1-0{,}99        &= 0{,}01 \\
1-0{,}999       &= 0{,}001 \\
\ldots \\
\end{align}
</math>
Այսպես, իտերացիայի համարի բարձրացման համար հանելին ձգտում է 0,(9)-ի, իսկ տարբերությունը՝ զրոյի։ Եվ ընդհանուր դեպքում այս իրադրությունը կարելի է գրառել հետևյալ կերպ․ 
: <math>
\begin{align}
1-0{,}\underbrace{ 99\ldots9 }_{n}  &= 0{,}\underbrace{ 00\ldots0 }_{m=n-1}1, \\
\end{align}
</math>
որտեղ '''''n'''''՝ իտերացիայի համար (հանելիում ստորակետից հետո ինների քանակությունը),<br />
'''''m'''''՝ զրոյի և տարբերության միավորի միջև զրոների քանակությունը։<br />
1-0,(9) տարբերությունը գտնելու համար իտերացիայի համարը հավասարեցնենք անվերջության․ <math>n = \infty</math>։ Այդ դեպքում <math>m = n-1 =\infty</math>.<br />
Այդկերպ, որոնելի տարբերությունը ձևականորեն ունի զրոների անվերջ քանակություն ստորակետից հետո, որոնցից հետո գալիս է միավորը
: <math>1-0{,}(9) = [0{,}(0)1]</math><ref>Քառակուսի փակագծերը ցույց են տալիս իրենց ներսում գտնվող արտահայտության ձևականությունը։ Եվ միշտ չէ, որ ձևական արտահայտությունը հավասար է իրականին։ Այդ դեպքում հենց նրանք տարբերվում են<math>([x]\neq x)</math>.</ref>։
Իրականում, եթե ստորակետից հետո գտնվում են բազում թվեր (տվյալ դեպքում զրոները), ապա նրան հաջորդող շարքում անհնար է ավելացնել որևէ թիվ, քանի որ նման շարք գոյություն չունի։ Այս դեպքում որոնելի տարբերությունը ստորակետից հետո կլինի զրոների ամբողջություն, որը երբեք չի ավարտվի (զրոների անվերջություն), և հետևապես միավորները բոլոր զրոներից հետո չեն լինի։ Այսկերպ, տարբերությունը կներկայացվի ''մաքուր պարբերական կոտորակի'' տեսքով, որն ունի զրո ամբողջական մաս և պարբերություն՝ բաղկացած մեկ զրոյից․ 0,(0), ինչը 0 թվի ներկայացումն է ''պարբերական տասնորդական կոտորակի'' տեսքով․
: <math>0{,}(0) = 0.</math>
Այսպիսով,
: <math>1-0{,}(9) = 0,</math>
ինչը նշանակում է․
: <math>1 = 0{,}(9).</math>

=== Վերլուծականներ ===
Ընդհանուր տեսքով 0,999… թիվը կարելի է գրառել որպես <math>b_0.b_1b_2b_3b_4b_5\dots</math>

==== Անվերջ հաջորդականություններ ====
Տասնորդական համակարգի որոշմանը համապատասխան հաշվարկեք շարքի գումարը․ 
: <math>b_0 . b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .</math>

0,999…-ի համար կիրառենք հատվող [[երկարաչափական պրոգրեսիա]]յի գումարի մասին տեսությունը<ref>Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706</ref>․
: Եթե <math>|r| < 1</math> , ապա <math>ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}.</math>

[[Զուգամիտության շառավիղ]] (պրոգրեսիայի հայտարար) <math>r=\textstyle\frac{1}{10}</math>, և այդկերպ․
: <math>0.999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.</math>
Նման ապացույցը (10-ի և 9,999…-ի էկվիվալենտության մասին) հրապարակվել է 1770 թվականին [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի կողմից «Հանրահաշվի տարրեր» գրքում<ref>Euler p.170</ref>։

[[Պատկեր:base4 333.svg|left|thumb|200px|Միավոր ինտերվալներ, (0.3, 0.33, 0.333, …)՝ համամիտող 1-ի (հաշվարկման չորսական համակարգում)։]]
Համամիտվող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը հայտնի էր մինչ Էյլերը։ 1811 թվականին թողարկված ''An Introduction to Algebra'' դասագիրքը ևս կիրառում է երկարաչափական պրոգրեսիան 0,(9) թվի համար<ref>Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177</ref>։ [[XIX դար]]ում գումարման նման կանոնի արձագանքը դարձավ փաստ․ շարքի գումարը ''պետք է'' հաջորդականության մասնակի գումարների սահմանը<ref>For example, J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31</ref>։

[[Հաջորդականություն]]ը (''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …) ունի ''x'' սահման այն և միայն այն ժամանակ, երբ |''x'' − ''x''<sub>''n''</sub>| անվերջ փոքր է ''n'' աճով։ 0.999… = 1 հաստատումը կարող է փոփոխվել որպես սահման<ref>The limit follows, for example, from Rudin p. 57, Theorem 3.20e. For a more direct approach, see also Finney, Weir, Giordano (2001) ''Thomas' Calculus: Early Transcendentals'' 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).</ref>․
: <math>0.999\ldots = \lim_{n\to\infty}0.\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k}  = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.</math>
Վերջին <math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{10^n} = 0</math> քայլն արվում է այն հիմքով, որ իրական թվերը բավարարում են Արքիմեդի աքսիոմը։

== Կիրառություն ==
Կան բազում կիրառություններ, օրինակ՝ թվերի տարրական տեսության մեջ։ [[1802]] թվականին H. Goodwin-ը հրապարակեց ուսումնասիրություն, որ նա հայտնաբերել էր պարզ թվերը բաժանելիս, օրինակ․ 
* <sup>1</sup>/<sub>7</sub> = 0,142857142857… և 142 + 857 = 999.
* <sup>1</sup>/<sub>73</sub> = 0,0136986301369863… և 0136 + 9863 = 9999.
1836 թվականին Միդին ընդհանրացրեց հետազոտության արդյունքները մինչ Միդիի թեորեմը։

== Մշակույթում ==
''[[The Straight Dope]]'' նորությունների սյունակում ապացուցվում է 0,999… <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> և սահմանների օգնությամբ՝ խոսելով չհասկանալու մասին․ 
<blockquote>
Ասվում է․ ,999~-ը իրականում ներկայացնում է ոչ թե ''թիվ'', այլ ''գործողություն''։ Թիվը գտնելու համար մենք պետք է կանգենցնենք այդ գործողությունը։ Եվ այդ պահին ,999~ = 1 հավասարությունը պարզապես քանդվում է։

Հիմարություն.<ref>{{cite web|url=http://www.straightdope.com/columns/030711.html|title=An infinite question: Why doesn't  .999~ = 1?|date=2003 թ․ հուլիսի 11|author=[[Cecil Adams]]|work=[[The Straight Dope]]|publisher=[[Chicago Reader]]|accessdate=2006 թ․ սեպտեմբերի 6|archiveurl=https://www.webcitation.org/65XB1ys1B?url=http://www.straightdope.com/columns/read/2459/an-infinite-question-why-doesnt-999-1|archivedate=2012 թ․ փետրվարի 18|url-status=live}}</ref>
</blockquote>

0,999…-ի մասին հարցը դարձել է այնքան տարածված թեմա, որ թողարկել է հետևյալը․
<blockquote>
Մենք շատ ուրախ ենք փակել այս թեմայի մասին գիրքը հավերժ։ Մենք վկա ենք եղել տանջանքների և անհանգստության՝ կապված այն բանի հետ, թե 0,999~ հավասարվում է 1-ի կամ ոչ, և մենք հպարտությամբ ներկայացնում ենք հետևյալ ապացույցը, որը որոշում է մեր գնորդների համար այդ խնդիրը<ref>[http://us.blizzard.com/en-us/company/press/pressreleases.html?id=2843583 Blizzard Entertainment:Press Releases]</ref>։
</blockquote>
Ապա հաջորդում են ապացույցներ՝ հիմնված 10-ի վրա բազմապատկման և սահմանների մասին։

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|colwidth=30em}}

[[Կատեգորիա:Թվեր]]
[[Կատեգորիա:Կոտորակներ]]