Որակական տեսություն

Որակական տեսություն, դիֆերենցիալ հավասարումների, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումների հատկությունները՝ առանց այդ լուծումները գտնելու։

Որակական տեսության հիմքը դրել են Ա․ Պուանկարեն և Ա․ Լյապունովը՝ 19-րդ դարում։ Պուանկարեն լայնորեն օգտագործել է երկրաչափական մեթոդներ, որոնք հետագայում զարգացրել է Ջ․ Բիրկհոֆը։ Լյապունովն ուսումնասիրել է լուծույթների հատկությունները հավասարակշռության դիրքի շրջակայքում։

Որակական տեսության մեջ դիտարկվող հարցերից մեկը

$\frac{d{y}_1}{dx}=\sum _{k=1}^n{P}_{jk}(x)y_k(x),(k=1,2,3,....,n)(1)$

գծային համակարգի լուծումների ասիմպտոտիկայի (երբ $x\to \mathrm{\infty }$) ուսումնասիրությունն է։ Եթե $P_{jk}$ ֆունկցիաները սահմանավում են՝ $|P_{jk}<b$ (այդ դեպքն առավել ուսումնասիրվածն է), ապա (1)-ի $y_1(x),y_2(x),....,y_n(x)$ լուծումը բավարարում է

$A\cdot e^{-2nbx}=\sum _{k=1}^{n}y{k}^{2}x⩽B\cdot e^{2nbx}$

անհավասարությանը: Որակական տեսությունը ուսումնասիրում է նաև դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումների զրոները (այն կետերը, որտեղ լուծումները զրո են դառնում)։ Օրինակ՝ $y^{″}+p(x)y=0$ հավասարման լուծումն ունի միայն մեկ զրո, եթե $p(x)<0$, և անվերջ շատ զրոներ՝ եթե $p(x)⩾\alpha >0$, ընդ որում երկու գծորեն անկախ լուծումների զրոները հաջորդում են միմյանց։

Դիտարկվում են նաև $\frac{dy}{dx}=A(x,y)(y\in R^2)(2)$ տեսքի ոչ գծային համակարգեր։ Առավել ուսումնասիրված են ավտոնոմ համակարգերը` $\frac{dy}{dx}=B(y)$։ Այս դեպքում կարևոր են լուծումների կայունության (ըստ Լյապունովի) և պարբերականության ուսումնասիրությունները։

Եթե (2)-ի աջ մասը կախված է նաև պարամետրից՝ $A(x,y)=A(x,y,\lambda )$, ապա որակական տեսության խնդիրներից մեկը (2)-ի լուծումների՝ պարամետրից կախվածության ուսումնասիրությունն է։