Ձևեր (մաթեմատիկա)

Ձևեր մաթեմատիկայում, մի քանի փոփոխականի բազմանդամներ որոնց բոլոր անդամներն ունեն միևնույն աստիճանը։

$x_1^{{\alpha }_1}\cdot x_2^{{\alpha }_2}\cdot ...\cdot x_n^{{\alpha }_n}$ տեսքի միանդամի աստիճան ասելով հասկանում ենք ${\alpha }_1+{\alpha }_2+...+{\alpha }_n$ թիվը։ Այդ աստիճանը կոչվում է ձևի աստիճան։

Կիրառություն

Ձևերը կիրառություն ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բաժիններում, ինչպես նաև մեխանիկայում։ ($x_1,x_2,...,x_n$-ից $n$-փոփոխականի գծային (առաջին աստիճանի) ձևի ընդհանուր տեսքն է $L(x_1,x_2,...,x_n)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+...+a_n{x}_n$, որտեղ $a_1,a_2,...,a_n$ գործակիցները թվեր են։

Կիրառություններում առավել կարևոր դեր են խաղում քառակուսային (երկրորդ աստիճանի) ձևերը։ Օրինակ, եթե շարժվող մեխանիկական համակարգի վիճակը մնում է մոտ կայունին, ապա նրա կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաները (եթե նրանք բացահայտորեն կախված չեն ժամանակից) համապատասխանաբար ներկայացվում են). $$T=\sum _{i,k=1}^n{a}_{ik}{q}_i{q}_k\text{ և }U=\sum _{i,k=1}^n{b}_{ik}{q}_i{q}_k$$ $q_k$-երը կամ $q_k$-երի բկատմամբ քառակուսային ձևերով։

Տարբեր աստիճանի ձևերը կիրառություններ ունեն հանրահաշվական երկրաչափության (հատկապես ինվարիանտների տեսության) և թվերի տեսության մեջ։

Դիֆերենցիալ երկրաչափության և Ռիմանյան երկրաչափություն

Դիֆերենցիալ երկրաչափության և Ռիմանյան երկրաչափության մեջ, ինչպես նաև մաթեմատիկայի մի շարք այլ բաժիններում օգտագործվում են դիֆերենցիալ ձևեր։ Դիֆերենցիալ ձևը $x_1,x_2,...,x_n$ փոփոխականների $d{x}_1,d{x}_2,...,d{x}_n$ դիֆերենցիալների նկատմամբ բազմանդամ է, որի յուրաքանչյուր անդամ ունի միևնույն $k(k\le n)$ աստիճանը, իսկ այդ բազմանդամի գործակիցները $x_1,x_2,...,x_n$ փոփոխականների ֆունկցիաներ են (հաճախ որոշակի դասի պատկանող)։

Դիֆերենցիալ ձևի օրինակներ են մակերևույթների տեսության առաջին և երկրորդ քառակուսային ձև։ Ինտեգրալ հաշվի շատ արդյունքներ, օրինակ Գրինի բանաձևը, Ստոքսի բանաձևը, Գաուս-Օստոգրադսկու թեորեմը ըստ էության կարող են դիտվել որպես տարբեր աստիճանի դիֆերենցիալ ձևի միջև կապ հաստատող բանաձևեր։

Ընդհանրացնելով այդ առնչությունները, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Է. Կարտանը կառուցեց արտաքին դիֆերենցման տեսությունը, որը կարևոր դեր է խաղում ժամանակակից մաթեմատիկայում։