Անալիտիկ ֆունկցիա

Կոնֆորմ արտապատկերում

Անալիտիկ ֆունկցիան Ժ. Լ. Լագրանժն անվանել է այն $f(z)$ ֆունկցիաները, որոնք ներկայացնելի են՝

$f(z)=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0{)}^2(1)$

(1) զուգամետ աստիճանային շարքի տեսքով, ուր $z_0$-ն մի որոշակի սևեռյալ արժեք է։

Ն. Աբելն ապացուցել է, որ եթե այդ շարքը զուգամետ Է $z_0$-ից տարբեր $z=z_1$ արժեքի համար, ապա այն զուգամետ է նաև յուրաքանչյուր կոմպլեքս $z=x+iy$ արժեքի համար, եթե $|z-z_0|<|z_1-z_0|$։

(1) շարքը զուգամետ է կամ միայն $z=z_0$ կետում, կամ էլ $z_0$ կենտրոնով շրջանում։ Այս երկրորդ դեպքում ասում են, որ $f(z)$ ֆունկցիան անալիտիկ է $z_0$ կետում։

Անջատելով (1) շարքի իրական և կեղծ մասերը՝ կստանանք.

$w=f(z)+\phi (x,y)+i\psi (x,y)$

ուր $\phi$-ն և $\psi$-ն բացահայտ կգրվեն $a_0,a_1,a_2,...$, գործակիցների և $x,y,z_0$ թվերի միջոցով։

$\phi$ և $\psi$ ֆունկցիաները բավարարում են Կոշու և Ռիմանի

$\frac{\partial \phi }{\partial x}=|\frac{\partial \psi }{\partial y}|$, $\frac{\partial \psi }{\partial x}=-|\frac{\partial \phi }{\partial y}|(2)$

հավասարումներին։ Ճիշտ է նաև հակադարձը. եթե $\phi$ և $\psi$ ֆունկցիաները բավարարում են (2) պայմաններին և գրված ածանցյալներն անընդհատ են, ապա

$f(z)=\phi (x,y)+i\psi (x,y)$

ֆունկցիան կլինի անալիտիկ ֆունկցիա այն տիրույթում, ուր բավարարվում են (2) պայմանները։

Երբ $f(z)$ անալիտիկ ֆունկցիան իրական է արգումենտի իրական արժեքի համար, այն կոչվում է իրական անալիտիկ ֆունկցիա։ Անալիտիկ ֆունկցիայի դասին են պատկանում տարրական ֆունկցիաների մեծամասնությունը (օրինակ $e^z,\sin z,z^n$), ինչպես նաև շատ ո՛չ տարրական ֆունկցիաներ։

Գրականություն

• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք