Լագրանժի թեորեմը չորս քառակուսիների գումարի մասին

Լագրանժի չորս քառակուսիների գումարի մասին թեորեմը պնդում է, որ

Թեորեմի ապացույցը իրենից ներկայացնում է ալգորիթմ, որը թույլ է տալիս գտնել $N$ թվի համար նման ներկայացման ձև $O(N^{2}lo{g}_{2}N)$ թվաբանական գործողությամբ։

Թեորեմը հանդիսանում է Վարինգի խնդրի լուծումը $n=2$ աստիճանի համար։ Քանի որ այս տեսքի թվերը $4^m(8n+7),m,n=0,1,2,\dots$ չեն կարող ներկայացվել երեք քառակուսիների գումարով, ապա Լագրանժի թեորեմը տալիս է Հարդիի ֆունկցիայի երկու արժեքներից մեկը $G(2)=4$:

Օրինակներ

$\begin{array}{cc}3& =1^2+1^2+1^2+0^2\\ 31& =5^2+2^2+1^2+1^2\\ 310& =17^2+4^2+2^2+1^2.\end{array}$

Պատմություն

Թեորեմի պնդումն առաջին անգամ հայտնվել է Դիոֆանտի Թվաբանության մեջ, որը թարգմանվել էր լատիներեն Բաշեի կողմից 1621 թվականին։ Թեորեմի համար կարևոր լեմման այն մասին, որ չորս քառակուսիների գումարի արտադրյալը դա չորս քառակուսիների գումարն է ապացուցել է Էյլերը, ով մոտ էր հենց թեորեմի ապացույցին շատ բաներ է արել հատուկ Լագրանժի համար։ Սակայն Լագրանժը Էյլերից առաջ անցավ և ապացուցեց թեորեմը 1770 թվականին։