Պյութագորասի եռյակ

Պյութագորասի եռյակ, կարգավորված 3 բնական թվերի հավաքածու $(x, y, z),$ որը բավարարում է հետևյալ համասեռ քառակուսի հավասարմանը։

x^{2} + y^{2} = z^{2} .

Պյութագորասի եռյակ կազմող թվերը կոչվում են Պյութագորասի թվեր։ Անվանվել են Պյութագորաս Սամոսացու պատվին՝ չնայած դրանք հայտնի էին նրանից շատ առաջ։

Քանի որ, $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ հավասարումը համասեռ է, ապա $x$ , $y$ և $z$ թվերը նույն թվով բազմապատկելիս ստացվում է մի ուրիշ Պյութագորասի եռյակ։ Պյութագորասի եռյակը կոչվում է պրիմիտիվ, եթե այն չի կարող ստացվել մի այլ եռյակից նույն ձևով։ $x, y, z$ փոխադարձ պարզ թվերով եռյակը պրիմիտիվ է։ Այլ բառերով՝ $(x, y, z)$ պրիմիտիվ եռյակի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 1-ն է։

$(x, y, z)$ պարզագույն եռյակում $x$ և $y$ թվերը տարբեր զույգություն ունեն, ընդ որում՝ զույգը բաժանվում է 4-ի, իսկ $z$ -ը միշտ կենտ է։

Ցանկացած պարզագույն $(x, y, z)$ Պյութագորասի եռյակ, որտեղ $x$ -ը կենտ է, իսկ $y$ -ը՝ զույգ, միանշանակ ունի $(m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2})$ տեսքը։

Որոշ փոխադարձ պարզ $m > n$ և տարբեր զույգության թվերի համար այդ թվերը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով․

{\begin{matrix} m = \sqrt{\frac{z + x}{2}} = \frac{\sqrt{z + y} + \sqrt{z - y}}{2} \\ n = \sqrt{\frac{z - x}{2}} = \frac{\sqrt{z + y} - \sqrt{z - y}}{2} \end{matrix}

Ցանկացած $(m, n)$ -ի նման թվերը կազմում են Պյութագորասի եռյակ $(m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2})$ ^[1].

Օրինակներ

Կա 16 պարզագույն Պյութագորասի եռյակ, որտեղ $z ⩽ 100$ :

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Ոչ բոլոր $z ⩽ 100$ եռյակներն են պարզագույն, օրինակ՝ (6, 8, 10) ստացվում է (3, 4, 5) եռյակը երկուսով բազմապատկելիս.

$100 < z ⩽ 300$ պարզագույն եռյակները։

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Պյութագորասի եռյակներում $z$ -ի հնարավոր արժեքները կազմում են հետևյալ շարքը^[2]։

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Ֆիբոնաչիի թվերի հատկությունների վրա հենվելով՝ կարելի է այդ թվերից կազմել Պյութագորասի եռյակներ․

x = F_{n} F_{n + 3}; y = 2 F_{n + 1} F_{n + 2}; z = F_{n + 1}^{2} + F_{n + 2}^{2}

.

Պատմություն

Զարգացած հնագույն մշակույթում ամենահայտնի եռյակն (3, 4, 5) է, որը հնարավորություն էր տալիս հին մարդուն ուղիղ անկյուններ կառուցել։ Վիտրուվիուսը համարում էր եռյակը մաթեմատիկայի բարձրագույն նվաճումը, իսկ Պլատոնը ամուսնության սիմվոլ էր համարում, ինչը խոսում է հնագույն մարդու կողմից (3, 4, 5) եռյակին մեծ նշանակություն տալու մասին։

Հին Միջագետքի տապանաքարերի ճարտարապետությունում գոյություն ունի կանոնավոր եռանկյուն՝ բաղկացած 9, 12 և 15 կանգուն երկարությամբ կողմերից։ Փարավոն Սինոֆրի բուրգերը (մ.թ.ա. 27-րդ դար) կառուցված են 20, 21 և 29 կանգուն կողմերով, ինչպես նաև 18, 24 և 30 տասնյակ եգիպտական կանգուն երկարությամբ կողմերով եռանկյունների միջոցով։

Բաբելոնյան մաթեմատիկոսները կարողացել են հաշվարկել Պյութագորասի եռյակները։ Բաբելոնյան կավե աղյուսակը, որը կոչվում է Plimpton 322, պարունակում է տասնհինգ Պյութագորասյան եռյակ (ավելի ճիշտ, տասնհինգ $a, c$ զույգ թվեր, այնպիսիք, ինչպիսին է՝ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ։ Ենթադրվում է, որ այդ աղյուսակը ստեղծվել է Ք․ա․ 1800 թվականին^[3]։

Պյութագորասի եռյակների տարրական հատկություններ

Պյութագորասի Կաղապար:Math պարզագույն եռյակի հատկությունները, որտեղ Կաղապար:Math չի նշվում Կաղապար:Math կամ Կաղապար:Math թվերի զույգությունը։

$\frac{(c - a) \cdot (c - b)}{2}$ միշտ լրիվ քառակուսի էԿաղապար:Sfn.
Առավելագույնը միայն մեկն է Կաղապար:Math, Կաղապար:Math և Կաղապար:Math հանդիսանում թվերից քառակուսի^[4]։
Պյութագորասի եռանկյան մակերեսը չի կարող հավասար լինել թվի քառակուսուԿաղապար:Sfn կամ բնական թվի կրկնակի քառակուսունԿաղապար:Sfn։
Կաղապար:Math-ն և Կաղապար:Math-ն միշտ զույգ են, իսկ Կաղապար:Math-ն միշտ կենտ է Կաղապար:Sfn։
Կաղապար:Math-ն կամ Կաղապար:Math-ն միշտ բաժանվում է 3-իԿաղապար:Sfn։
Կաղապար:Math-ն կամ Կաղապար:Math-ն միշտ բաժանվում է 4-իԿաղապար:Sfn։
Կաղապար:Math, Կաղապար:Math կամ Կաղապար:Math բաժանվում է 5-իԿաղապար:Sfn։
Ամենամեծ թիվը, որին բաժանվում է Կաղապար:Math-ն, հավասար է 60-իԿաղապար:Sfn։
Կաղապար:Math-ի բոլոր պարզ բաժանարարները Կաղապար:Nobr Կաղապար:Sfn տեսքի են։ Այսպիսով՝ նա ունի Կաղապար:Nobr տեսքը։
(Կաղապար:Math) մակերեսը զույգ համընկնող թիվ է^[5]։
Ցանկացած 2-ից մեծ ամբողջ թիվ մտնում է պարզագույն կամ ոչ պարզագույն եռյակի մեջ։ Օրինակ՝ 6-ը, 10-ը, 14-ը և 18-ը չեն մտնում ոչ մի պարզագույն եռյակի մեջ, բայց «6, 8, 10», «14, 48, 50» և «18, 80, 82» եռյակների անդամ են։
Գոյություն ունի անվերջ մեծ թվով եռյակներ, որտեղ էջերը տարբերվում են մեկով։ Օրինակ՝ Կաղապար:Nobr։
Ցանկացած բնական Կաղապար:Math թվի համար գոյություն ունի Կաղապար:Math Պյութագորասի եռյակ՝ տարբեր ներգնաձիգներով, բայց նույն մակերեսներով։
Ցանկացած բնական Կաղապար:Math թվի համար գոյություն ունի առնվազն Կաղապար:Math տարբեր Պյութագորասի եռյակներ, նույն Կաղապար:Math էջով, որտեղ Կաղապար:Math-ն բնական թիվ է։
Ցանկացած բնական Կաղապար:Math թվի համար գոյություն ունի առնվազն Կաղապար:Math տարբեր Պյութագորասի եռյակներ, նույն ներգնաձիգովԿաղապար:Sfn։

Հատուկ դեպքեր

Յակոբի-Մադենի հավասարում․

Հավասարում

a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} = (a + b + c + d)^{4}

Համարժեք է հատուկ դիոֆոնտի եռյակին․

(a^{2} + a b + b^{2})^{2} + (c^{2} + c d + d^{2})^{2} = ((a + b)^{2} + (a + b) (c + d) + (c + d)^{2})^{2}

Այս հավասարման համար գոյություն ունեն անսահման քանակի լուծումներ, որոնք կարելի է գտնել էլիպսաձև կորի միջոցով։

Դրանցից են՝

a, b, c, d = - 2634, 955, 1770, 5400

a, b, c, d = - 31764, 7590, 27385, 48150

Երկու քառակուսիների հավասար գումարներ

$a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$ հավասարումը լուծելու համար a, b, c, d պետք է պարամետրել m, n, p, q թվերով հետևյալ կերպ^[6]՝

(m^{2} + n^{2}) (p^{2} + q^{2}) = (m p - n q)^{2} + (n p + m q)^{2} = (m p + n q)^{2} + (n p - m q)^{2} .

Երկու քառորդ աստիճանների գումարների հավասարություն

Եթե տրված են երկու խումբ պյութագորասյան եռյակներ,

(a^{2} - b^{2})^{2} + (2 a b)^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2}

(c^{2} - d^{2})^{2} + (2 c d)^{2} = (c^{2} + d^{2})^{2}

խնդիրը, էջի և ներգնաձիքի հավասար արտադրյալների գտնելն է։

(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) = (c^{2} - d^{2}) (c^{2} + d^{2})

,

Հեշտ է նկատել, որ այն համարժեք է

a^{4} - b^{4} = c^{4} - d^{4}

:

Սրա ահամար Էյլերը գտել է $a, b, c, d = 133, 59, 158, 134$ լուծումը։

Դեկարտի թեորեմը շրջանագծերի մասին

Դեկարտի թեորեմի դեպքում, երբ բոլոր փոփոխականները քառակուսիներ են՝

2 (a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}) = (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})^{2}

Էյլերն ապացուցեց, որ դա համարժեք է երեք պյութագորասյան եռյակների․

(2 a b)^{2} + (2 c d)^{2} = (a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2})^{2}

(2 a c)^{2} + (2 b d)^{2} = (a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2})^{2}

(2 a d)^{2} + (2 b c)^{2} = (a^{2} - b^{2} - c^{2} + d^{2})^{2}

Գոյություն ունեն անվերջ թվով լուծումներ, իսկ հատուկ $a + b = c$ դեպքում, հավասարումը պարզեցվում է մինչև

4 (a^{2} + a b + b^{2}) = d^{2}

,

որը ունի հետևյալ լուծումները $a, b, c, d = 3, 5, 8, 14$ ։

Ծանոթագրություններ

Կաղապար:Ծանցանկ

Գրականություն

Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
Կաղապար:Ռուսերեն հոդված
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք.
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2-3, in «A Friendly Introduction to Number Theory» by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
Կաղապար:Ռուսերեն գիրք

Արտաքին հղումներ

↑ Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
↑ Կաղապար:OEIS
↑ Կաղապար:Citation
↑ Несуществование решения, в котором и Կաղապար:Math, и Կաղապար:Math являются квадратами, первоначально доказано Пьером Ферма. Для других случаев, в которых Կաղապար:Math является одним из квадратов, см. в книге Стиллвела
↑ Это следует из факта, что одно из чисел Կաղապար:Math или Կաղապար:Math делится на четыре, и из определения конгруэнтных чисел как площадей прямоугольных треугольников с рациональными сторонами
↑ Nahin, Paul. An Imaginary Tale: The Story of $\sqrt{- 1},$ pp. 25-26.

[1] Կաղապար:Ռուսերեն գիրք

[2] Կաղապար:OEIS

[3] Կաղապար:Citation

[4] Несуществование решения, в котором и Կաղապար:Math, и Կաղապար:Math являются квадратами, первоначально доказано Пьером Ферма. Для других случаев, в которых Կաղապար:Math является одним из квадратов, см. в книге Стиллвела

[5] Это следует из факта, что одно из чисел Կաղապար:Math или Կաղապար:Math делится на четыре, и из определения конгруэнтных чисел как площадей прямоугольных треугольников с рациональными сторонами

[6] Nahin, Paul. An Imaginary Tale: The Story of $\sqrt{- 1},$ pp. 25-26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Պյութագորասի եռյակ

Բովանդակություն

Օրինակներ

Պատմություն

Պյութագորասի եռյակների տարրական հատկություններ

Հատուկ դեպքեր

Երկու քառակուսիների հավասար գումարներ

Երկու քառորդ աստիճանների գումարների հավասարություն

Դեկարտի թեորեմը շրջանագծերի մասին

Ծանոթագրություններ

Գրականություն

Արտաքին հղումներ

Նավարկման ցանկ

Պյութագորասի եռյակ

Օրինակներ

Պատմություն

Պյութագորասի եռյակների տարրական հատկություններ

Հատուկ դեպքեր

Երկու քառակուսիների հավասար գումարներ

Երկու քառորդ աստիճանների գումարների հավասարություն

Դեկարտի թեորեմը շրջանագծերի մասին

Ծանոթագրություններ

Գրականություն

Արտաքին հղումներ

Նավարկման ցանկ

Որոնում