Հենման հիպերհարթություն

$S$ Ուռուցիկ բազմություն (վարդագույն), $S$-ի հենման հիպերհարթությունը (կետագծերով ուղին) և հենման կիսահարթությունը սահմանազատված հենման հիպերհարթությամբ,որը պարունակում է $S$-ը (բաց կապույտ գույնով).

Երկրաչափությունում $S$ բազմության հենման հիպերհարթությունը (հենքային հիպերհարթություն) Էվկլիդյան տարածությունում հիպերհարթություն է, որը բավարարում է հետևյալ 2 հատկություններին։

• $S$-ը ամբողջապես ընկած է հիպերհարթությամբ սահմանազատված փակ կիսատարածությունների, որևէ մեկում
• Հիպերհարթության վրա $S$-ն ունի առնվազն մեկ սահմանային կետ

Այստեղ փակ կիսատարածությունը այն կիսատարածությունն է, որը պարունակում է հիպերհարթության կետերը։

Հենման հիպերհարթության թեորեմ

Տրված սահմանյին կետում ուռուցիկ բազմությունը կարող է ունենալ մեկից ավելի հիպերհարթություններ.

Թեորեմը պնդում է, որ եթե $S$-ը ուռուցիկ բազմություն է տոպոլոգիական վեկտորական տարածության մեջ $X={ℝ}^n,$ և $x_0$-ն կետ է $S$-սահմանային կետում, ապա գոյություն ունի հենման հիպերհարթություն՝ պարունակող $x_0.$ ։ Եթե $x^{*}\in X^{*}\mathrm{\setminus }\{0\}$ ( $X^{*}$-ը $X$-ի երկակի տարածություն է, $x^{*}$-ը ոչ զրոյական գծային ֆունկցիա է, այնպիսին որ $x^{*}\left(x_0\right)\ge x^{*}(x)$ բոլոր $x\in S$-ի համար, ապա

$H=\{x\in X:x^{*}(x)=x^{*}\left(x_0\right)\}$

նկարագրում է հենման հիպերհարթությունը։

Հակառակ դեպքում, եթե $S$-ը փակ ներքին կետ պարունակող կիսահարթություն է, այնպիսին որ յուրաքանչյուր սահմանային կետ ունի հենման հիպերհարթություն, ապա $S$-ը ուռուցիկ բազմություն է։ Թեորեմում հիպերհարթությունը կարող է չլինել միակը, ինչպես կտեսնենք 2-րդ նկարում։ Եթե $S$ բազմությունը ուռուցիկ չէ, թեորեմի պնդումը ճիշտ չէ $S$-ի բոլոր սահմանային կետերի համար։ Ինչպես նշված է 3-րդ նկարում։

Կապված արդյունք է բաժանող հիպերհարթության թեորեմը, որ յուրաքանչյուր երկու չկապակցված ուռուցիկ բազմություն կարող է բաժանվել հիպերհարթությամբ։

Տես նաև

$S$ ոչ ուռուցիկ բազմության համար կարող է գոյություն չունենալ հենման հիպերհարթություն, քանի որ $S$-ը ուռուցիկ չէ։

Հենման ֆունկցիա