Ընդլայնված թվային ուղիղ

Ընդլայնված թվային ուղիղ, իրական թվերի $ℝ$ բազմություն , համալրված երկու անվերջ հեռու կետերով՝ $+\mathrm{\infty }$ (դրական անվերջություն) և $-\mathrm{\infty }$ (բացասական անվերջոթյուն), այսինքն, $\overline{ℝ}=ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}\cup \{-\mathrm{\infty }\}$։

Ընդվորում, ցանկացած իրական թվերի համար $x\in ℝ$ , ըստ սահմանման ենթադրվում է $-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$ անհավասարության տեղի ունենալը։ Որոշ դիդակտիկ նյութերում օգտագործվում է անվերջ հեռու $\pm \mathrm{\infty }$ կետը, որը կապված չէ իրական թվերի շարքի հերթական համարով։

Իրական թվերի $ℝ$ բազմությունը գծային համարակալված են $⩽$-ի նկատմամբ, սակայն $ℝ$ -ում չկան նվազագույն կամ առավելագույն տարրեր։ Եթե իրական թվերի համակարգը դիտարկենք որպես գծային համարակալված բազմություն, ապա դրա ընդլայնումը մինչև $\overline{ℝ}$համակարգ հենց կայանում է $+\mathrm{\infty }$(առավելագույն) և $-\mathrm{\infty }$(նվազագույն) տարրերի ավելացման մեջ։

Դրա շնորհիվ համակարգում ցանկացած ոչ դատարկ բազմություն ունի հստակ վերին սահման (եթե բազմությունը վերևից սահմանափակ է, և $+\mathrm{\infty }$, եթե վերևից սահմանափակ չէ)։ Հանգունորեն, պնդում ճիշտ է նաև, հստակ ներքին սահմանի համար։ Դրանով է բացատրվում $+\mathrm{\infty }$ և $-\mathrm{\infty }$ ներմուծման հարմարավետությունը։

Ընդլայնված թվային ուղղի տոպոլոգիա

Բաց բազմություններ և շրջակայքեր

Կարգավորման առընչությունը $<$ առաջ է բերում $\tau$ տոպոլոգիան $\overline{ℝ}$-ի վրա։ $\tau$-ի տոպոլոգիայում բաց բազմություններ են հանդիսանում ամենատարբեր միջակայքերի միությունը ․

$(\alpha ,\beta )=\{x\in \overline{ℝ}:\alpha <x<\beta \},(\alpha ,+\mathrm{\infty }]=\{x\in \overline{ℝ}:x>\alpha \},[-\mathrm{\infty },\beta )=\{x\in \overline{ℝ}:x<\beta \},$,

որտեղ $\alpha ,\beta \in \overline{ℝ}$.

$a\in \overline{ℝ}$ կետի $U(a)$ շրջակայք է կոչվում ցանկացած բաց բազմություն, որը պարունակում է այդ կետը։ $\tau$ տոպոլոգիայի բաց բազմությունների սահմանման համաձայն՝ ցանկացած $a$ կետի շրջակայք ներառում է տրված տեսակի միջակայքերից մեկը, որը պարունակում է $a$ կետը։

Մաթեմատիկական անալիզի ծրագրում սովորաբար ներմուծում են $U_{\epsilon }(a)$ կետի $\epsilon$շրջակայքի մասնավոր հասկացությունը, որտեղ($\epsilon >0$)։

$a\in ℝ$դեպքում, այսինքն, երբ, $a$-ն թիվ է, $a$-ի $\epsilon$- շրջակայք կոչվում է

$U_{\epsilon }(a)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(a-\epsilon ,a+\epsilon ).$բազմությունը։

Եթե $a=+\mathrm{\infty }$, ապա։

$U_{\epsilon }(+\mathrm{\infty })\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(\frac{1}{\epsilon },+\mathrm{\infty }],$,

իսկ եթե $a=-\mathrm{\infty }$, ապա։

$U_{\epsilon }(-\mathrm{\infty })\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}[-\mathrm{\infty },-\frac{1}{\epsilon }).$։

$\epsilon$-շրջակայքի հասկացությունը անվերջ թվերի համար սահմանվում է այնպես, որ բոլոր դեպքերում, երբ $a$-ն իրական թիվ է կամ անվերջություններից մեկն է, ապա $\epsilon$ թվի փոքրացման հետ փոքրանում է նաև նրա շրջակայքը․ $0<{\epsilon }_1<{\epsilon }_2\Rightarrow U_{{\epsilon }_1}(a)\subset U_{{\epsilon }_2}(a)$.

Սահմաններ

$\overline{ℝ}$ -ում բոլոր սահմանների տեսակները տեղավորվում են նույն սահմանման մեջ։

Դիցուք՝ $f:X\to \overline{ℝ}$, որտեղ $X\subset \overline{ℝ}$. Մասնավորապես $f$ կարող է լինել իրական ֆունկցիա, իրական փոփոխականով։

Դիցուք՝ $x_0,a\in \overline{ℝ}$. Այդ դեպքում․

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{⟺}\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in X(x\in U_{\delta }(x_0)\Rightarrow f(x)\in U_{\epsilon }(a))$

Գրականություն

• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга