Կրամերի մեթոդ

Կրամերի մեթոդը գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման մեթոդ է, որում հավասարումների թիվը համընկնում է ոչզրոյական մատրիցի գործակիցների համակարգի գլխավոր որոշիչին, ընդ որում այդպիսի հավասարումների լուծումը գոյություն ունի և միակն է։

Մեթոդի նկարագրությունը

$n$ անհայտով $n$ գծային հավասարումների համակարգի համար

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\dots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$

լուծումը (համակարգի ոչզրոյական $\mathrm{\Delta }$ մատրիցի որոշիչով) գրվում է հետևյալ տեսքով՝

$x_i=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n-1,1}& \dots & a_{n-1,i-1}& b_{n-1}& a_{n-1,i+1}& \dots & a_{n-1,n}\\ a_{n1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$

(համակարգի մատրիցի $i$-րդ սյունը փոխարինվում է ազատ անդամների սյունով)։

Մեկ այլ ձևով Կրամերի կանոնը ձևակերպվում է հետևյալ տեսքով՝ ցանկացած c₁, c₂, …, c_n գործակիցների համար իրավացի է հետևյալ հավասարությունը՝

$(c_1{x}_1+c_2{x}_2+\dots +c_n{x}_n)\cdot \mathrm{\Delta }=-\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}& b_2\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}& b_n\\ c_1& c_2& \dots & c_n& 0\end{array}\right|$

Այս ձևով Կրամերի մեթոդը իրավացի է առանց ենթադրության, որ $\mathrm{\Delta }$ զրոյից տարբեր է, նույնիսկ անհրաժեշտ չէ, որ համակարգի գործակիցները լինեն ամբողջական օղակի էլեմենտներ (համակարգի որոշիչը կարող է լինել նույնիսկ գործակիցների օղակում զրոյի բաժանարար)։ Կարելի է նույնիսկ ընդունել, որ $b_1,b_2,...,b_n$ և $x_1,x_2,...,x_n$, կամ $c_1,c_2,...,c_n$ կազմված են ոչ թե համակարգի գործակիցների օղակի էլեմենտներից, այլ այդ օղակի ինչ որ մոդուլը։ Այս տեսքով Կրամերի բանաձևը օգտագործվում է, օրինակ, Գրամի որոշիչի և Նակայամայի լեմմայի բանաձևերի ապացուցման համար։

Օրինակ

Իրական գործակիցներով հավասարումների համակարգ՝

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3=b_3\end{array}$

Որոշիչներ՝

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|,{\mathrm{\Delta }}_1=\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& a_{12}& a_{13}\\ b_2& a_{22}& a_{23}\\ b_3& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|,$

${\mathrm{\Delta }}_2=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& b_1& a_{13}\\ a_{21}& b_2& a_{23}\\ a_{31}& b_3& a_{33}\end{array}\right|,{\mathrm{\Delta }}_3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& b_2\\ a_{31}& a_{32}& b_3\end{array}\right|$

Որոշիչներում համապատասխան անհայտով գործակիցների սյունը փոխարինվում է համակարգի ազատ անդամների սյունով։

Լուծում՝

$x_1=\frac{{\mathrm{\Delta }}_1}{\mathrm{\Delta }},x_2=\frac{{\mathrm{\Delta }}_2}{\mathrm{\Delta }},x_3=\frac{{\mathrm{\Delta }}_3}{\mathrm{\Delta }}$

Օրինակ՝

$\{\begin{array}{c}2x_1+5x_2+4x_3=30\\ x_1+3x_2+2x_3=150\\ 2x_1+10x_2+9x_3=110\end{array}$

Որոշիչներ՝

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}2& 5& 4\\ 1& 3& 2\\ 2& 10& 9\end{array}\right|=5,{\mathrm{\Delta }}_1=\left|\begin{array}{ccc}30& 5& 4\\ 150& 3& 2\\ 110& 10& 9\end{array}\right|=-760,$

${\mathrm{\Delta }}_2=\left|\begin{array}{ccc}2& 30& 4\\ 1& 150& 2\\ 2& 110& 9\end{array}\right|=1350,{\mathrm{\Delta }}_3=\left|\begin{array}{ccc}2& 5& 30\\ 1& 3& 150\\ 2& 10& 110\end{array}\right|=-1270.$

$x_1=-\frac{760}{5}=-152,x_2=\frac{1350}{5}=270,x_3=-\frac{1270}{5}=-254$

Հաշվարկային բարդություն

Կրամերի մեթոդը պահանջում է $n\times n$ չափի $n+1$-րդ որոշիչի հաշվում։ Գաուսի մեթոդի կիրառման դեպքում որոշիչների հաշվարկի համար գումարման և բազմապատկման գործողությունների պարզ էլեմենտար բարդության մեթոդը ունի $O(n^4)$ կարգ, որը ավելի բարդ է, քան Գաուսի մեթոդով համակարգի ուղիղ լուծման դեպքում։ Այդ իսկ պատճառով, հաշվարկի համար ժամանակի ծախսատարության տեսանկյունից, համարվում է ոչնպատակահարմար։ Սակայն 2010 թվականին ցույց է տրվել, որ Կրամերի մեթոդը կարող է իրականացվել $O(n^3)$ բարդությամբ, որը համեմատելի է Գաուսի մեթոդի բարդությանը։

Գրականություն

• Ի․Ա․ Մացև։ Գծային հանրահաշվի հիմունքները։ 3-րդ հրատ․, վերամշակված, Մոսկվա, «Նաուկա», 1970 թվական — 400 էջ

Տես նաև

• Գաուսի մեթոդ