Կրոնեկերյան արտադրյալ

Մաթեմատիկայում Կրոնեկերյան արտադրյալը, որը նշանակվում է ⊗, կամայական երկու մատրիցների մաթեմաթիկական գործողություն է, որի արդյունքում ստանում ենք քառակուսի մատրից։ Դա վեկտորներից դեպի մատրիցներ կատարվող արտաքին արտադրյալի գործողության ընդհանրացումն է (որը ունի նույն նշանակումը)։ Կրոնեկերյան արտադրյալը տարբերվում է մատրիցների սովորական բազմապատկումից, որը հիմնովին այլ գործողություն է։ Կրոնեկերյան արտադրյալը երբեմն նաև կոչվում է մատրիցների ուղիղ արտադրյալ։

Կրոնեկերյան արտադրյալը անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Լեոպոլդ Կրոնեկերի (1823-1891) պատվին, չնայած քիչ փաստեր կան, որ առաջինը նա է սահմանել և օգտագործել այն։ Կրոնեկերյան արտադրյալը այլ կերպ կոչվում է նաև «Զեհֆուսի մատրից», Ջոհան Ջորջ Զեհֆուսի պատվին, ով 1858 թվականին նկարագրել է այս գործողությունը, բայց այժմ ամենալայն տարածված տերմինը Կրոնեկերյան արտադրյալն է։

Սահմանում

Եթե A֊ն Կաղապար:Nowrap մատրից է և B֊ն Կաղապար:Nowrap մատրից, ապա Կրոնեկերյան արտադրյալ Կաղապար:Nowrap մատրիցների համար կստացվի Կաղապար:Nowrap քառակուսային մատրից։

$𝐀\otimes 𝐁=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}𝐁& \cdots & a_{1n}𝐁\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}𝐁& \cdots & a_{mn}𝐁\end{array}\right],$

Բացահայտ տեսքով՝

$𝐀\otimes 𝐁=\left[\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right].$

Կարճ ասած, մենք ունենք $(A\otimes B{)}_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}{b}_{vw}$

Նմանապես $(A\otimes B{)}_{i,j}=a_{\lceil (i)/p\rceil ,\lceil (j)/q\rceil }{b}_{i-\lfloor (i-1)/p\rfloor p,j-\lfloor (j-1)/q\rfloor q}.$ Օգտագործելով $i\mathrm{\%}p=i-\lfloor i/p\rfloor p$, որտեղ $i\mathrm{\%}p$֊ն նշանակվում է որպես մնացորդ $i/p$, սա կարող է գրվել ավելի համաչափ տեսքով

$(A\otimes B{)}_{i,j}=a_{\lceil (i)/p\rceil ,\lceil (j)/q\rceil }{b}_{(i-1)\mathrm{\%}p+1,(j-1)\mathrm{\%}q+1}.$

Եթե A և B մատրիցները նեռկայացնում են գծային ձևափոխություններ Կաղապար:Nowrap և Կաղապար:Nowrap, ապա․ համապատասխանաբար Կաղապար:Nowrap ներկայացնում են տենզոռային արտադրյալ Կաղապար:Nowrap.

Օրինակներ

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]& 2\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]\\ 3\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]& 4\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1\times 0& 1\times 5& 2\times 0& 2\times 5\\ 1\times 6& 1\times 7& 2\times 6& 2\times 7\\ 3\times 0& 3\times 5& 4\times 0& 4\times 5\\ 3\times 6& 3\times 7& 4\times 6& 4\times 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 5& 0& 10\\ 6& 7& 12& 14\\ 0& 15& 0& 20\\ 18& 21& 24& 28\end{array}\right].$

Նմանապես

$\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 7\\ -2& 3& 3\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cccc}8& -9& -6& 5\\ 1& -3& -4& 7\\ 2& 8& -8& -3\\ 1& 2& -5& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccccccc}8& -9& -6& 5& -32& 36& 24& -20& 56& -63& -42& 35\\ 1& -3& -4& 7& -4& 12& 16& -28& 7& -21& -28& 49\\ 2& 8& -8& -3& -8& -32& 32& 12& 14& 56& -56& -21\\ 1& 2& -5& -1& -4& -8& 20& 4& 7& 14& -35& -7\\ -16& 18& 12& -10& 24& -27& -18& 15& 24& -27& -18& 15\\ -2& 6& 8& -14& 3& -9& -12& 21& 3& -9& -12& 21\\ -4& -16& 16& 6& 6& 24& -24& -9& 6& 24& -24& -9\\ -2& -4& 10& 2& 3& 6& -15& -3& 3& 6& -15& -3\end{array}\right]$

Աղբյուրներ

• Կաղապար:Citation.
• Կաղապար:Citation.
• Կաղապար:Citation
• Կաղապար:Citation

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:Springer
• Կաղապար:Planetmath reference
• MathWorld Kronecker Product
• New Kronecker product problems Կաղապար:Webarchive
• Earliest Uses: The entry on The Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices has historical information.
• Generic C++ and Fortran 90 codes for calculating Kronecker products of two matrices.
• RosettaCode Kronecker Product (in more than 30 languages).