Եռանկյունաչափական նույնություններ

Եռանկյունաչափական նույնությունները մաթեմատիկական արտահայտություներ են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար, որոնք կատարվում են արգումենտի բոլոր արժեքների համար (ընդհանուր որոշման տիրույթից)։

Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևեր

Բանաձևեր	Արգումենտի թույլատրելի արժեքներ	Համար
$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$	$\forall α$	(1)
${tg}^{2} α + 1 = \frac{1}{\cos^{2} α} = \sec^{2} α$	$α \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ$	(2)
${ctg}^{2} α + 1 = \frac{1}{\sin^{2} α} = {cosec}^{2} α$	$α \neq π n, n \in ℤ$	(3)

Բանաձև (1)-ը հետևանք է Պյութագորասի թեորեմայից։ (2)-րդ և (3)-րդ բանաձևերը ստացվում են (1)-ին բանաձևից բաժանելով համապատասխանաբար $\cos^{2} α$ -ի և $\sin^{2} α$ -ի։

Արգումենտի գումարի բանաձևերը

Արգումենտի գումարի բանաձևերը	Համարը
$\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β$	(4)
$\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β$	(5)
$tg (α \pm β) = \frac{tg α \pm tg β}{1 \mp tg α tg β}$	(6)
$ctg (α \pm β) = \frac{ctg α ctg β \mp 1}{ctg β \pm ctg α}$	(7)

Բանաձև (6)-ը ստացվում է (4)-ը (5)-ի վրա բաժանելիս, իսկ (7)-րդ բանաձևը՝ (5)-ը (4)-ի բաժանելիս։

Կրկնակի անկյան բանաձևերը

Կրկնակի անկյան բանաձևերը	Համարը
$\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$	(8)
$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$ $\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α$	(9)
$tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}$	(10)
$ctg 2 α = \frac{{ctg}^{2} α - 1}{2 ctg α}$	(11)

Կրկնակի անկյան բանաձևերը դուրս են բերվում (4), (5), (6) և (7) բանաձևերից, եթե հաշվի առնենեք, որ $β$ և $α$ անկյունները հավասար են։ Կաղապար:Hider

Եռակի անկյան բանաձևերը

Եռակի անկյան բանաձևերը	Համարը
$\sin 3 α = 3 \sin α - 4 \sin^{3} α$	(12)
$\cos 3 α = 4 \cos^{3} α - 3 \cos α$	(13)
$tg 3 α = \frac{3 tg α - {tg}^{3} α}{1 - 3 {tg}^{2} α}$	(14)
$ctg 3 α = \frac{3 ctg α - {ctg}^{3} α}{1 - 3 {ctg}^{2} α}$	(15)

Կաղապար:Hider

Աստիճանի իջեցման բանաձևերը

Աստիճանի իջեցման բանաձևերը դուրս են բերվում (9)-րդ բանաձևերից։

	Աստիճանի իջեցման բանաձևերը	Համարը
Սինուս	$\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}$	(16)
Կոսինուս	$\cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}$	(17)

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր	Համարը
$\sin α \sin β = \frac{\cos (α - β) - \cos (α + β)}{2}$	(18)
$\sin α \cos β = \frac{\sin (α - β) + \sin (α + β)}{2}$	(19)
$\cos α \cos β = \frac{\cos (α - β) + \cos (α + β)}{2}$	(20)

Կաղապար:Hider

Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր

Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր	Համարը
$\sin α \pm \sin β = 2 \sin \frac{α \pm β}{2} \cos \frac{α \mp β}{2}$	(21)
$\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$	(22)
$\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}$	(23)
$tg α \pm tg β = \frac{\sin (α \pm β)}{\cos α \cos β}$	(24)
$ctg α \pm ctg β = \frac{\sin (β \pm α)}{\sin α \sin β}$	(25)

Կաղապար:Hider

Պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում

$\sin x = a$

եթե

| a | > 1

— իրական լուծում չունի։

եթե

| a | ⩽ 1

— լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝

x = (- 1)^{n} \arcsin a + π n; n \in ℤ :

$\cos x = a$

եթե

| a | > 1

— իրական լուծում չունի։

եթե

| a | ⩽ 1

— լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝

x = \pm \arccos a + 2 π n; n \in ℤ :

$tg x = a$

լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝

x = arctg a + π n; n \in ℤ :

$ctg x = a$

լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝

x = arcctg a + π n; n \in ℤ :

Օգտակար նույնություններ

Բանաձևերում $k$ և $n$ ամբողջ թվեր են։

$\sin (\frac{π}{4} + x) = \cos (\frac{π}{4} - x) .$

$\sin (\frac{π}{4} - x) = \cos (\frac{π}{4} + x) .$

$1 \pm \sin x = 2 \sin^{2} (\frac{π}{4} \pm \frac{x}{2}) .$

$1 + \cos x = 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) .$

$1 - \cos x = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) .$

$\sin^{2} x = \frac{1}{1 + {ctg}^{2} x} .$

$\cos^{2} x = \frac{1}{1 + {tg}^{2} x} .$

$\sin^{2} x - \sin^{2} y = \sin (x - y) \cdot \sin (x + y) .$

$\cos^{2} x - \cos^{2} y = - \sin (x - y) \cdot \sin (x + y) .$

$\cos^{2} x - \sin^{2} y = \cos (x - y) \cdot \cos (x + y) .$

$\sin 2 x + \sin 2 y = 2 \cos (x - y) \cdot \sin (x + y) .$

$\sin 2 x - \sin 2 y = 2 \sin (x - y) \cdot \cos (x + y) .$

$\cos 2 x + \cos 2 y = 2 \cos (x - y) \cdot \cos (x + y) .$

$\cos 2 x - \cos 2 y = - 2 \sin (x - y) \cdot \sin (x + y) .$

$\sin 2 x + \cos 2 y = 2 \sin (\frac{π}{4} + x - y) \cdot \sin (\frac{π}{4} + x + y) .$

$\sin 2 x - \cos 2 y = - 2 \sin (\frac{π}{4} - x - y) \cdot \sin (\frac{π}{4} - x + y) .$

$\sin^{3} x + \cos^{3} x = (\sin x + \cos x) (1 - \sin x \cos x) .$

$\sin^{4} x + \cos^{4} x = 1 - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos (4 x) .$

$\sin^{6} x + \cos^{6} x = 1 - 3 \sin^{2} x \cos^{2} x = 1 - 3 \sin^{2} x + 3 \sin^{4} x = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 x) = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} \cos (4 x) .$

$1 \pm tg x = \frac{\sqrt{2} \sin (\frac{π}{4} \pm x)}{\cos x} .$

$1 \pm ctg x = \frac{\sqrt{2} \sin (\frac{π}{4} \pm x)}{\sin x} .$

$tg x = \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x + 1} = \frac{1 - \cos 2 x}{\sin 2 x} .$

${ctg}^{2} x - {tg}^{2} x = \frac{4 \cos 2 x}{\sin^{2} 2 x} .$

$\sin 3 x = 4 \sin x \cdot \sin (\frac{π}{3} + x) \cdot \sin (\frac{π}{3} - x) .$

$tg 3 x = tg x \cdot tg (\frac{π}{3} + x) \cdot tg (\frac{π}{3} - x) .$

$\sin 5 x = 16 \sin x \cdot \sin (\frac{π}{5} + x) \cdot \sin (\frac{π}{5} - x) \cdot \sin (\frac{2 π}{5} + x) \cdot \sin (\frac{2 π}{5} - x) .$

$tg 5 x = tg x \cdot tg (\frac{π}{5} + x) \cdot tg (\frac{π}{5} - x) \cdot tg (\frac{2 π}{5} + x) \cdot tg (\frac{2 π}{5} - x) .$

$\sin 7 x = 64 \sin x \cdot \sin (\frac{π}{7} + x) \cdot \sin (\frac{π}{7} - x) \cdot \sin (\frac{2 π}{7} + x) \cdot \sin (\frac{2 π}{7} - x) \cdot \sin (\frac{3 π}{7} + x) \cdot \sin (\frac{3 π}{7} - x) .$

$tg 7 x = tg x \cdot tg (\frac{π}{7} + x) \cdot tg (\frac{π}{7} - x) \cdot tg (\frac{2 π}{7} + x) \cdot tg (\frac{2 π}{7} - x) \cdot tg (\frac{3 π}{7} + x) \cdot tg (\frac{3 π}{7} - x) .$

$\sin n x = 2^{n - 1} \prod_{k = 0}^{n - 1} \sin (x + \frac{π k}{n}) .$

$tg [(2 n + 1) x] = (- 1)^{n} \prod_{k = 0}^{2 n} tg (x + \frac{π k}{2 n + 1}) .$

$\sum_{k = 1}^{n} \sin (k x) = \sin (\frac{n + 1}{2} x) \frac{\sin (\frac{n x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})} .$

$\sum_{k = 1}^{n} \cos (k x) = \cos (\frac{n + 1}{2} x) \frac{\sin (\frac{n x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})} .$

$\sum_{k = 1}^{n} \sin [(2 k - 1) x] = \frac{\sin^{2} n x}{\sin x} .$

$\sum_{k = 1}^{n} \cos [(2 k - 1) x] = \frac{\sin 2 n x}{2 \sin x} .$

$\sum_{k = 1}^{n} \cos \frac{2 π k}{2 n + 1} = - \frac{1}{2} .$

$\prod_{k = 1}^{n - 1} \sin \frac{k π}{n} = \frac{n}{2^{n - 1}} .$

$\prod_{k = 1}^{n} \sin \frac{k π}{2 (n + 1)} = \frac{\sqrt{n + 1}}{2^{n}} .$

$\prod_{k = 1}^{n} \sin \frac{k π}{2 n + 1} = \frac{\sqrt{2 n + 1}}{2^{n}} .$

$\prod_{k = 1}^{2 n - 1} \cos \frac{k π}{n} = \frac{(- 1)^{n} - 1}{2^{2 n - 1}} .$

$\prod_{k = 0}^{n} \cos (2^{k} x) = \frac{\sin (2^{n + 1} x)}{2^{n + 1} \sin x} .$

$\prod_{k = 0}^{n} \cos \frac{x}{2^{k}} = \frac{\sin 2 x}{2^{n + 1} \sin (\frac{x}{2^{n}})} .$

$\prod_{k = 1}^{n} \cos \frac{x}{2^{k}} = \frac{\sin x}{2^{n} \sin (\frac{x}{2^{n}})} .$

$\prod_{k = 0}^{\infty} \cos \frac{x}{2^{k}} = \frac{\sin 2 x}{2 x} .$

$\prod_{k = 1}^{\infty} \cos \frac{x}{2^{k}} = \frac{\sin x}{x} .$

$\cos 2 0^{\circ} \cdot \cos 4 0^{\circ} \cdot \cos 8 0^{\circ} = \frac{1}{8} .$

$\cos \frac{π}{7} \cdot \cos \frac{4 π}{7} \cdot \cos \frac{5 π}{7} = \frac{1}{8} .$

$\cos \frac{π}{7} \cdot \cos \frac{2 π}{7} \cdot \cos \frac{4 π}{7} = - \frac{1}{8} .$

$\cos \frac{π}{9} \cdot \cos \frac{2 π}{9} \cdot \cos \frac{4 π}{9} = \frac{1}{8} .$

$\cos \frac{π}{9} \cdot \cos \frac{5 π}{9} \cdot \cos \frac{7 π}{9} = \frac{1}{8} .$

$\cos 2 4^{\circ} + \cos 4 8^{\circ} + \cos 9 6^{\circ} + \cos 16 8^{\circ} = \frac{1}{2} .$

$\begin{matrix} \cos (\frac{2 π}{21}) + \cos (2 \cdot \frac{2 π}{21}) + \cos (4 \cdot \frac{2 π}{21}) \\ + \cos (5 \cdot \frac{2 π}{21}) + \cos (8 \cdot \frac{2 π}{21}) + \cos (10 \cdot \frac{2 π}{21}) = \frac{1}{2} . \end{matrix}$

Следующая формула приводится в двух вариантах для угла $α$ заданного в градусах и радианах:

$tg α = \frac{36 0^{\circ} \cdot α}{π} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(18 0^{\circ} k - 9 0^{\circ} + α) (18 0^{\circ} k - 9 0^{\circ} - α)} = 2 α \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(k - 1 / 2)^{2} π^{2} - α^{2}} .$

$arctg \frac{1}{2} + arctg \frac{1}{3} = \frac{π}{4} .$

Երկրաչափական հավասարումներ

Եռանկյունաչափության հավասարումներ, հանրահաշվական հավասարումներ անհայտ արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նկատմամբ։

Ընդհանուր բնութագիր

Վերջինների միջև տարբեր առնչությունների օգնությամբ եռանկունաչափության հավասարումները միշտ բերվում են միևնույն ֆունկցիայի հանրահաշվական հավասարման։ Եռանկյունաչափության հավասարումները լուծվում են ավելի պարզ, եթե հնարավոր է հավասարման ձախ մասը վերածել տարբեր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալի։ Օրինակ, sinx+sin2x+sin3x=0 հավասարումը կարելի է բերել և sin2x(2cosx+1) = 0 տեսքի և sinx-ի նկատմամբ խորանարդ հավասարման։ Եռանկյունաչափական հավասարումների տեսքը երբեմն հնարավոր է պարզեցնել օժանդակ արգումենտ մուծելով։ Կաղապար:ՀՍՀ

Եռանկյունաչափական նույնություններ

Բովանդակություն

Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևեր

Արգումենտի գումարի բանաձևերը

Կրկնակի անկյան բանաձևերը

Եռակի անկյան բանաձևերը

Աստիճանի իջեցման բանաձևերը

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր

Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր

Պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում

Օգտակար նույնություններ

Երկրաչափական հավասարումներ

Ընդհանուր բնութագիր

Նավարկման ցանկ

Եռանկյունաչափական նույնություններ

Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևեր

Արգումենտի գումարի բանաձևերը

Կրկնակի անկյան բանաձևերը

Եռակի անկյան բանաձևերը

Աստիճանի իջեցման բանաձևերը

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր

Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր

Պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում

Օգտակար նույնություններ

Երկրաչափական հավասարումներ

Ընդհանուր բնութագիր

Նավարկման ցանկ

Որոնում