Գծային համակարգ

Գծային համակարգերի շարժման ըստ կարևորության ղեկավարելիության մասին

Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը՝

${\dot{x}}_j(t)=\sum _{s=1}^n{a}_{js}(t)x_s+\sum _{i=1}^k{\alpha }_i\left(\sum _{s=1}^{r_i}{b}_{js}^{(i)}(t)u_s^{(i)}\right)(j=1,...,n)$(1.1)

Սահմանենք (1.1) համակարգի լրիվ ղեկավարելիությունը։

Սահմանում [1]։ (1.1) համակարգը կանվանենք լրիվ ղեկավարելի $\left[t_0,t_1\right]$ ժամանակահատվածի վրա, եթե $\{u^{(1)},\dots ,u^{(k)}\}$ ղեկավարումների համախմբությունից կարելի է գտնել այնպիսի ղեկավարումներ, որոնց ազդեցությամբ (1.1) համակարգը կամայական $x(t_0)$ սկզբնական դիրքից կարելի է տեղափոխել կամայական $x(t_1)$ վերջնական դիրք։

(1.1) համակարգի ղեկավարելիության ուսումնասիրության համար նպատակահարմար է կատարել հետևյալ նշանակումները [1]

$B(t,\alpha )=({\alpha }_1{B}^{(1)}(t),\dots ,{\alpha }_k{B}^{(k)}(t)),U=\left(\begin{array}{c}{u}^{(1)}\\ ⋮\\ u^{(k)}\end{array}\right)$(1.2)

Այստեղ $B(t,\alpha )$ մատրիցը ունի $(n\times r)$ չափողականություն, որտեղ $r=\underset{i=1}{\sum ^k}{r}_i,\alpha$ պարամեարերի համախմբությունը, իսկ U վեկտոր-սյան չափողականությունը հավասար է r։

Հաշվի առնելով (1.2) նշանակումները (1.1) համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով

$\dot{x}=A(t)x+B(t,\alpha )U$(1.3)

Ենթադրենք $A(t)$ և $B(t,\alpha )$ մատրիցների էլեմենտները համապատասխանաբար ունեն ընդհուպ մինչև $(n-2)$–րդ և $(n-1)$–րդ կարգի անընդհատ ածանցյալներ ըստ t-ի, $\left[t_0,t_1\right]$ հատվածի գոնե ինչ-որ $t=t_{*}$ կետի շրջակայքում։ Այդ $t=t_{*}$ կետի շրջակայքում ներմուծենք $L_k(t,\alpha )$ մատրիցները հետևյալ ռեկուրենտ (անդրադարձ) առնչություններով՝

$L_1(t,\alpha )=B(t,\alpha ),L_j(t,\alpha )=A(t)L_{j-1}(t,\alpha )-\frac{d{L}_{j-1}(t,\alpha )}{dt},(j=2,...,n)$(1.4)

Հետևաբար, համաձայն [2], (1.3) ոչ ստացիոնար համակարգի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեմը (լրիվ ղեկավարելիության բավարար պայմանը) [1]

Թեորեմ 1: Դիցուք $\left[t_0,t_1\right]$ հատվածում գոյություն ունի $t=t_{*}$ կետ, որում

$K(t,\alpha )=\{L_1(t,\alpha ),\dots ,L_n(t,\alpha )\}$(1.5)

մատրիցի ռանգը հավասար է n-ի։ Այդ դեպքում (1.3) համակարգը լրիվ ղեկավարելի է հատվածի վրա։

Եթե (1.3) համակարգը ստացիոնար է, այսինքն՝

$\dot{x}=Ax+B(\alpha )U$(1.6)

ապա $K(t,\alpha )=K(\alpha )$ մատրիցը, համաձայն (1.4)-ի կընդունի հետևյալ պարզ տեսքը

$K(\alpha )=\{B(\alpha ),AB(\alpha ),\dots ,A^{n-1}B(\alpha )\}$(1.7)

(1.5)-ը և (1.7)-ը Կալմանի մատրիցներն են համապատասխանաբար ոչ ստացիոնար՝ (1.3) և ստացիոնար՝ (1.6) համակարգերի համար։

Թեորեմ 2: Որպեսզի (1.6) ստացիոնար համակարգը լինի լրիվ ղեկավարելի կամայական $\left[t_0,t_1\right]$ հատվածի վրա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ղեկավարելիության $K(\alpha )$ (1.7) մատրիցի ռանգը հավասար լինի n-ի։

Այս թեորեմների ապացույցը կատարվում է [2]-ում բերված համանման թեորեմների ապացույցների ձևով։

Հարկ է նշել, որ մի քանի $u^{(i)}(i=1,...,k)$ ղեկավարող ազդեցություններով համակարգի ղեկավարման հնարավորության դեպքում, լրիվ ղեկավարելիության հատկությունը ընդունում է առանձնահատուկ տեսք։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ համակարգը

$\{\begin{array}{c}\dot{x_1}=x_1+2x_2+{\alpha }_1{u}_1-{\alpha }_2{u}_2\\ \dot{x_2}=2x_1+x_2+{\alpha }_1{u}_1-{\alpha }_2{u}_2\end{array}$(1.8)

Կազմենք այս համակարգի համար Կալմանի մատրիցները (երբ ${\alpha }_2=0,{\alpha }_1=0$ և միաժամանակ ${\alpha }_1\ne 0,{\alpha }_2\ne 0$ դեպքերում)։

$K_1({\alpha }_1)=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_1& 3{\alpha }_1\\ {\alpha }_1& 3{\alpha }_1\end{array}\right),$

$K_2({\alpha }_2)=\left(\begin{array}{cc}-{\alpha }_2& {\alpha }_2\\ {\alpha }_2& -{\alpha }_2\end{array}\right),$

$K({\alpha }_1,{\alpha }_2)=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& -{\alpha }_2& 3{\alpha }_1& {\alpha }_2\\ {\alpha }_1& {\alpha }_2& 3{\alpha }_1& {\alpha }_2\end{array}\right)$

Ղեկավարելիության մատրիցների տեսքերից երևում է, որ (1.8) համակարգը առանձին-առանձին ըստ $u_1$ ղեկավարման կամ $u_2$ ղեկավարման լրիվ ղեկավարելի չէ, քանի որ $K_1({\alpha }_1)$ և $K_2({\alpha }_2)$ մատրիցների ռանգերը հավասար չեն 2-ի։ Իսկ $u_1$ և $u_2$ ղեկավարումների միաժամանակ առկայության դեպքում $K({\alpha }_1,{\alpha }_2)$ մատրիցի ռանգը 2 է, այսինքն՝ (1.8) համակարգը $u_1$ և $u_2$ ղեկավարումների համախմբությամբ լրիվ ղեկավարելի է։

Արտաքին հղումներ

• Ֆեյնմանի դասախոսությունը գծային համակարգերի մասին