Հիպերերկրաչափական շարք

Հիպերերկրաչափական շարք՝

$F(\alpha ,\beta ,\gamma ,\chi )=1+\frac{\alpha .\beta }{1.\gamma }\chi +\frac{\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1.2\gamma (\gamma +1)}\chi +\frac{\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\beta (\beta +1)(\beta +2)}{1^{.}{2}^{.}{3}^{.}\gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}+....$

տեսքի շարք, երկրաչափական պրոգրեսիայի ընդհանրացումն է։ Հիպերերկրաչափական շարքը իմաստ ունի, երբ $\gamma$-ն զրո կամ բացասական ամբողջ թիվ չէ։ Հիպերերկրաչափական շարքը զուգամետ է $|\chi |<\iota$ դեպքում, իսկ եթե նաև՝

$\gamma >\alpha +\beta$, ապա զուգամետ է նաև $\chi =\iota$ դեպքում և տեղի ունի Գաուսի բանաձևը՝

$F(\alpha ,\beta ,\gamma ,\iota )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\gamma )\mathrm{\Gamma }(\gamma -\alpha -\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}$,

որտեղ $\mathrm{\Gamma }(x)$-ը գամմա ֆունկցիան է։ $|x|<\iota$ դեպքում հիպերերկրաչափական շարքով որոշվող անալիտիկ ֆունկցիան կոչվում է հիպերերկրաչափական ֆունկցիա, որը կարևոր դեր է խաղում դիֆերենցիալ հավասարումների տեսությունում։ Հիպերերկրաչափական շարք առաջին անգամ ուսումնասիրել է Լ. Էյլերը (1778 թվականին), ապա, ավելի հանգամանորեն, Կ. Գաուսը (1813 թվականին)։