Ֆունկցիայի էքստրեմում

Ֆունկցիայի էքստրեմում, մաթեմատիկայում տրված բազմության ֆունկցիայի ամենամեծ կամ ամենափոքր կետն է։ Կետը, որին էքստրեմումը հասնում է, կոչվում է էքստրեմումի կետ։ Ըստ այդմ, եթե հասնում է ամենափոքր կետին, էքստրեմումի կետը կոչվում է մինիմումի կետ, իսկ եթե ամենամեծին՝ մաքսիմումի կետ։ Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ առանձնանում է «տեղական էքստրեմում» հասկացությունը։

Սահմանումներ

Եթե $f:M\subset ℝ\to ℝ,$ и $x_0\in M^0$, ապա $f.$-ի որոշման տիրույթի ներքին կետը կոչվում է ֆունկցիայի տեղական մաքսիմում։ Եթե $\dot{U}(x_0)$, ապա $\mathrm{\forall }x\in \dot{U}(x_0)f(x)\ge f(x_0).$։

• ։ $x_0$ է կոչվում $f,$ ֆունկցիայի տեղական մինիմումը, եթե գոյություն ունի $\dot{U}(x_0)$ հարթություն, որի համար
• ։ $\mathrm{\forall }x\in \dot{U}(x_0)f(x)\ge f(x_0).$։ Եթե տարբերությունը չափազանց մեծ է, ապա $x_0$-ն կոչվում է խիստ սահմանափակ տարածության համապատասխանաբար մինիմում կամ մաքսիմում կետը։
• $x_0$ է կոչվում հիմնական մաքսիմում կետ, եթե
• ։ $\mathrm{\forall }x\in Mf(x)\le f(x_0);$
• $x_0$ է կոչվում հիմնական մինիմում կոտ, եթե
• ։ $\mathrm{\forall }x\in Mf(x)\ge f(x_0).$

$f(x_0)$ ֆունկցիայի նշանակությունը անվանում են հիմնական մաքսիմում կամ մինիմում՝ կախված իրավիճակից։ Մինիմում կամ մաքսիմում համարվող կետերը կոչվում են հիմնական էքստրեմումի կետեր։

Նշում

$M,$ տարածությունում բաժանված $f,$ ֆունկցիան կարող է ունենալ և մեկից ավել հիմնական և բացարձակ էքստրեմումներ։ Օրինակ՝ $f(x)=x,x\in (-1,1).$

Հիմնական էքստրեմումների գոյության անհրաժեշտ պայմաններ

• Ֆերմայի թեորեմից հետևում է՝

Օրինակ, եթե $x_0$-ը $f$ ֆունկցիայի էքստրեմումի կետն է $x_0$ տարածքում, ապա

կա՛մ $f^{\prime }(x_0)$ գոյություն չունի, կա՛մ $f^{\prime }(x_0)=0$.

Բավարար պայմաններ հիմնական էքստրեմումների գոյության համար

• Օրինակ, եթե $f\in C(x_0)$-ն շարունակական է $x_0\in M^0,$ տիրույթում և եթե գոյություն ունեն վերջավոր կամ անվերջ միակողմանի ածանցյալներ՝ $f{\text{'}}_{+}(x_0),f{\text{'}}_{-}(x_0)$, ապա

$f{\text{'}}_{+}(x_0)<0,f{\text{'}}_{-}(x_0)>0$

պայմանում $x_0$-ն հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մաքսիմումի կետ։ Իսկ եթե

$f{\text{'}}_{+}(x_0)>0,f{\text{'}}_{-}(x_0)<0,$

ապա $x_0$ հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մինիմումի կետ։

Նկատենք, որ այս ֆունկցիայի դեպքում ոչ դիֆերենցելի $x_0$ կետը

• ։ $f^{\prime }(x_0)=0$ и $f^{″}(x_0)<0$

պայմանում $x_0$-ը հանդիսանում է հիմնական մաքսիմումի կետը, իսկ

$f^{\prime }(x_0)=0$ и $f^{″}(x_0)>0$

պայմանում $x_0$-ը հանդիսանում է հիմնական մինիմումի կետը։

• ։ $f$ ֆունկցիան $x_0$ կետում դիֆերենցելի է $n$ անգամ և $f^{\prime }(x_0)=f^{″}(x_0)=\dots =f^{(n-1)}(x_0)=0$, իսկ $f^{(n)}(x_0)\ne 0$։

Եթե $n$-ն հաշվելի է և $f^{(n)}(x_0)<0$, ապա $x_0$ հիմնական մաքսիմումի կետն է։ Եթե $n$-ն հաշվելի է և $f^{(n)}(x_0)>0$, ապա $x_0$-ն հիմնական մինիմումի կետն է։ Եթե $n$-ն անհաշիվ է, ապա էքստրեմում գոյություն չունի։