Հերմիտի բազմանդամներ

Սահմանում

Հերմիտի բազմանդամների գրաֆիկը $n=0,1,...,5$ դասավորությամբ

Հերմիտի բազմանդամների թեորեմը ընդհանրապես որոշվում է արտահայտությամբ

$H_n^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}}(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2/2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2/2}$;

Ֆիզիկայում ընդհանրապես օգտագործվում են այլ արտահայտություններ

$H_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}$.

Առաջին տասնմեկ գլխավոր արտահայտությունները բազմանդամների ($n=0,1,...,10$) համար։

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=x$

$H_2(x)=x^2-1$

$H_3(x)=x^3-3x$

$H_4(x)=x^4-6x^2+3$

$H_5(x)=x^5-10x^3+15x$

$H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15$

$H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x$

$H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105$

$H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x$

$H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945$ ։

Անալոգիական եղանակով որոշվում է առաջին տասնմեկ ($n=0,1,...,10$) բազմանդամների ֆիզիկակական սահմանման համար։

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=2x$

$H_2(x)=4x^2-2$

$H_3(x)=8x^3-12x$

$H_4(x)=16x^4-48x^2+12$

$H_5(x)=32x^5-160x^3+120x$

$H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120$

$H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x$

$H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680$

$H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x$

$H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240$

Ընդհանուր հավասարումը Հերմիտի բազմանդամների համար ունի հետևյալ տեսքը՝

$H_n(x)=\sum _{j=0}^{[n/2]}(-1{)}^j\frac{n!}{j!(n-2j)!}(2x{)}^{n-2j}=x^n-\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}+\frac{1}{4}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}{x}^{n-4}-\dots ,$

Հատկություն

$H_n(x)$ բազմանդամը պարունակում է անդամներ այնպիսի պարզությամբ, ինչպես որ $n$ թիվը։ $H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),n=0,1,2,\dots$:

$x=0$-ի դեպքում ճշմարիտ են այսպիսի հարաբերակցությունները։

$H_{2n}(0)=\frac{(-1{)}^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!},H_{2n+1}=0,n=0,1,2,$,

$H_{2n}(0)=\frac{(-1{)}^n(2n)!}{n!},H_{2n+1}=0,n=0,1,2,$. (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)

$H_n(x)$ բազմանդամը կարելի է պատկերասնել $n\times n$ մատրիցի որոշչի տեսքով։

$H_n(x)=\left|\begin{array}{cccccc}x& n-1& 0& 0& \cdots & 0\\ 1& x& n-2& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& x& n-3& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& 0& 0& \cdots & x\end{array}\right|$

Գումարման բանաձև

Հերմիտի բազմանդամների համար կա բազմապատկման հետևյալ բանաձևը։

$\frac{(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2{)}^{\frac{\mu }{2}}}{\mu !}{H}_{\mu }\left[\frac{a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots a_n{x}_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}}\right]=\sum _{m_1+\cdots +m_n=\mu }\frac{a_1^{m_1}}{m_1!}\cdots \frac{a_n^{m_n}}{m_n!}{H}_{m_1}(x_1)\cdots H_{m_n}(x_n).$

Հեշտությամբ կարողենք տեսնել, որ հաջորդ բանաձևերը հանդիսանում են նրա մասնավոր դեպքերը։

• $a_1=a_2=\cdots =a_n=1$, $x_1=x_2=\cdots =x_n$. ապա

$n^{\frac{\mu }{2}}{H}_{\mu }(\sqrt{n}x)=\sum _{m_1+\cdots +m_n=\mu }\frac{\mu !}{m_1!\cdots m_n!}{H}_{m_1}(x)\cdots H_{m_n}(x)$.

• $n=2$, $a_1=a_2=1$, $x_1=\sqrt{2}x,x_2=\sqrt{2}y$. ապա

$2^{\mu }{H}_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }\frac{\mu !}{p!q!r!s!}{H}_p(x)H_q(x)H_p(y)H_q(y)$.

• $a_1=a_2=\cdots =a_n=1$, $x_1=x_2=\cdots =x_n$. ապա

$n^{\frac{\mu }{2}}{H}_{\mu }(\sqrt{n}x)=\sum _{m_1+\cdots +m_n=\mu }\frac{\mu !}{m_1!\cdots m_n!}{H}_{m_1}(x)\cdots H_{m_n}(x)$.

• $n=2$, $a_1=a_2=1$, $x_1=\sqrt{2}x,x_2=\sqrt{2}y$. ապա

$2^{\mu }{H}_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }\frac{\mu !}{p!q!r!s!}{H}_p(x)H_q(x)H_p(y)H_q(y)$.

Օրթոգոնալություն

Հերմիտի բազմանդամը ստեղծում է լիքը օրթոգոնալ սիստեմ $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ ինտերվալում $e^{-x^2/2}$ կամ $e^{-x^2}$ զանգվածով, կախված սահմանումից։

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_n(x)H_m(x)e^{-x^2/2}dx=n!\sqrt{2\pi }{\delta }_{𝑛𝑚}$,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^{n}n!\sqrt{\pi }{\delta }_{𝑛𝑚}$, (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)

որտեղ ${\delta }_{mn}$-ը Կրոնեկերայի դելտա-սիմվոլն է։ Էրմիտի բազմանդամների օրթոգոնալության կարևոր հետևանք է հանդիսանում Հերմիտի բազմանդամների շարքում տարբեր ֆունկցիաների վերլուծման հնարավորությունը։ Յուրաքանչյուր ոչ բացասական $p$ ամբողջ թվի համար ճշմարիտ է արտահայտությունը։

$\frac{x^p}{p!}=\sum _{k=0}^{k\le p/2}\frac{1}{2^k}\frac{1}{k!(p-2k)!}{H}_{p-2k}(x).$

Դրանից բխում է կապ $f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև և $f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n{H}_n(x)$ ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև, որը անվանում են Նիլս Նիլսոնի կապ։

$A_n=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}{a}_{n+2k},a_n=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}{A}_{n+2k}$

Օրինակ Կումերիկ տարալուծված ֆունկցիան կունենա հետևյալ տեսքը՝

${}_1{F}_1(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}{}_2{F}_2(\frac{\alpha +n}{2},\frac{\alpha +n+1}{2};\frac{\gamma +n}{2},\frac{\gamma +n+1}{2};\frac{1}{2})H_n(x),(a,b)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)},$ Որտեղ ${}_2{F}_2(a_1,a_2;b_1,b_2;x)$ -ը գեր-երկրաչափական ֆունկցիայի երկրորդական դասավորության ընթանրացումն է, իսկ $\mathrm{\Gamma }(x)$-ը գամմա ֆունկցիան է։

Տարալուծված ֆունկցիաներ, որոնց մեջ բացակայում է աստիճանացույց

Ցանկացած ֆունկցիայի համար, որը գրվում է որպես $f(x)=\sum _{k=1}^p{c}_k{e}^{{\alpha }_{k}x},$-ի աստիճանացույցի վերդիրք, կարելի է գրել հաջորդ տարալուծվածները Հերմիտի բազմանդամներով։

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n{H}_n(x),A_n=\frac{1}{n!}\sum _{k=1}^p{c}_k{\alpha }_k^n{e}^{\frac{{\alpha }_k^2}{2}}.$ Տարալուծված հիպերբոլական ֆունկցիաները և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ունեն հետևյալ տեսքը՝

$\mathrm{c}\mathrm{h}tx=e^{\frac{t^2}{2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{2n}}{(2n)!}{H}_{2n}(x),\mathrm{s}\mathrm{h}tx=e^{\frac{t^2}{2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}{H}_{2n+1}(x),$

$\cos tx=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}{H}_{2n}(x),\sin tx=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}{H}_{2n+1}(x),$

Դիֆերենցիալ հավասարումները

$H_n(x)$ Հերմիտի բազմանդամները հանդիսանում են գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ

$y^{″}(x)-2x{y}^{\prime }(x)+ny(x)=0$

Եթե $n$ հանդիսանում է բնական թիվը, ապա վերոհիշյալ հավասարում ամբողջ լուծումը գրվում է ինչպես

$y(x)=A{H}_n(x)+B{h}_n(x)$,

որտեղ $A,B$ կամայական հաստատուններ են, իսկ $h_n(x)$ ֆունկցիան կոչվում է Էրմիտի ֆունկցիայի երկրորդ տիպ։ Այս ֆունկցիաները չեն հանգում բազմանդամներին և դրանց կարելի է արտահայտել միայն տրանսցենդենտ ֆունկցիաների՝ $e^{x^2/2}$ և $\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{z^2/2}dz$ միջոցով։

Արտահայտում

Հերմիտի բազմանդամները առաջարկում են այսպիսի արտահայտություններ։

$H_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{e^{zx-z^2/2}}{z^{n+1}}dz$

Որտեղ $\mathrm{\Gamma }$ ուրվագիծն է, որը ներառում է կոորդինատի սկիզբը

$H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x+iy{)}^n{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy$.

Կապ այլ հատուկ ֆունկցիաների հետ

• Կապ Կումմերի ֆունկցիայի հետ.

$H_{2n}(x)=\frac{(-1{)}^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!}{}_1{F}_1(-n;\frac{1}{2};\frac{x^2}{2}),H_{2n+1}(x)=\frac{(-1{)}^n}{2^n}\frac{(2n+1)!}{n!}x{}_1{F}_1(-n;\frac{3}{2};\frac{x^2}{2})$

• Կապ Լագերրի բազմանդամների հետ.

$H_{2n}(x)=(-2{)}^{n}n!L_n^{(-1/2)}(x^2/2),H_{2n+1}(x)=(-2{)}^{n}n!x{L}_n^{(1/2)}(x^2/2)$