Աֆինական ձևափոխություն

Աֆինական ձևափոխություն (Կաղապար:Lang-la affinis – կից, հարևան), հարթության (տարածության) կետային փոխմիարժեք համապատասխանություն, երբ ուղղագիծ դասավորությամբ ցանկացած երեք կետերի համապատասխանում են ուղղագիծ դասավորված կետեր։ Աֆինական ձևափոխություն ուղիղը ձևափոխում է ուղղի, պահպանում ուղիղների գուգահեռությունը, ուղղի վրա գտնվող $A,B,C$ կետերի $AB=BC$ պարզ հարաբերությունը։ Բացի այդ, տարածության աֆինական ձևափոխություն հարթությունը ձևափոխում է հարթության՝ պահպանելով հարթությունների զուգահեռությունը։ Հարթության աֆինական ձևափոխություն անալիտիկորեն իրականացվում է $x^1=a+x+b_{1}y+c_1,y^1=a_{2}x+b_{2}y+c_2$ բանաձևերով, որտեղ ($x,y$) և ($x^1,y^1$)-ը համապատասխանաբար կետի և նրա աֆինական պատկերի կոորդինատներն են որևէ դեկարտյան կոորդինատական համակարգում, ընդ որում՝

$\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right)=a_1{b}_2-a_2{b}_1\ne 0$:

Իրար հաջորդող ցանկացած երկու աֆինական ձևափոխությունների արդյունքը նորից աֆինական ձևափոխություն է, որը կոչվում է նրանց արտադրյալ։ Աֆինական ձևափոխությունների բազմությունը այդպիսի «բազմապատկման» գործողության նկատմամբ կազմում է խումբ։ Հարթ (տարածական) պատկերի այն հատկությունը, որը չի փոխվում (ինվարիանտ է մնում) հարթության (տարածության) ցանկացած աֆինական ձևափոխությունյան ժամանակ, կոչվում է նրա աֆինական հատկություն (աֆինական ինվարիանտ)։ Հարթ (տարածական) պատկերների աֆինական հատկություններն ուսումնասիրող երկրաչափությունը կոչվում է հարթության (տարածության) աֆինական երկրաչափություն։ էվկլիդեսյան երկրաչափության «ուղիղ», «ուղիղների զուգահեռություն», «եռանկյուն», «մակերեսների, ծավալների հարաբերություն» և այլ գաղափարներ մնում են ինվարիանտ աֆինական ձևափոխությունների նկատմամբ։ Մինչդեռ, օրինակ, հատվածի, անկյան, մակերեսի, ծավալի և այլ մեծություններ փոփոխվում են որոշ աֆինական ձևափոխությունների դեպքում, հետևաբար աֆինական ինվարիանտներ չեն։