Բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցում

Շղթայական կանոն (բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցման կանոնը) հնարավորություն է տալիս հաշվել մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաների կոմպոզիցիայի ածանցյալը։ Եթե $f$ ֆունկցիան $x_0$ կետում ածանցելի է, իսկ $g$ ֆունկցիան $y_0=f(x_0)$ կետում ունի ածանցյալ, ապա $h(x)=g(f(x))$ ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ $x_0$ կետում։

Պատմություն

Շղթայական կանոնը առաջին անգամ օգտագործվել է Լայբնիցի կողմից։ Նա այն օգտագործել է $\sqrt{a+bz+c{z}^2}$ ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվելու համար՝ որպես քառակուսի արմատային ֆունկցիայի և $a+bz+c{z}^2$ ֆունկցիայի համադրույթ(կոմպազիցիա)։ Առաջին անգամ նշել է 1676 թվականին իր հուշագրություններում։ Շղթայական կանոնը չի երևում Լեոնարդ Էյլերի և ոչ մի գրքում, չնայած դրանք գրվել են Լայբնիցի հայտնագործությունից հարյուր տարի անց։

Միակողմանի դեպք

Դիցուք տրված են թվային ուղղի վրա որոշված $f:U(x_0)\to V(y_0)$ ֆունկցիաները, որտեղ $y_0=f(x_0),$ և $g:V(y_0)\to ℝ$։ Դիցուք այդ ֆունկցիաները նաև դիֆերենցելի են․ $f\in 𝒟(x_0),g\in 𝒟(y_0)$։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես կլինի դիֆերենցելի․ $h=g\circ f\in 𝒟(x_0),$ և նրա ածանցյալը կունենա հետևյալ տեսքը․

$h^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(f(x_0))\cdot f^{\prime }(x_0)$։

Դիտողություն

Լեյբնիցի նշանակումներում շղթայական կանոնը $y=y(x)$ ֆունկցիայի ածանցյալի համար, որտեղ $x=x(t)$ ընդունում է հետևյալ տեսքը

$h^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(f(x_0))\cdot f^{\prime }(x_0).$

Առաջին կարգի դիֆերենցիալի ինվարիանտությունը

$y_0$ կետում դիֆերենցելի $z=g(y)$ ֆունկցիան ունի

$dz=g^{\prime }(y_0)dy$ տեսքը, որտեղ

$dy$ —ը $y\to y_0$ ֆունկցիայի դիֆերենցիալ արտապատկերումն է

$dy(h)=h,h\in ℝ$։

Դիցուք այժմ $y=f(x),x\in U(x_0),f\in 𝒟(x_0)$։ Ապա $dy=f^{\prime }(x_0)dx$ և համաձայն շղթայական կանոնի

$dz=g^{\prime }(f(x_0))\cdot f^{\prime }(x_0)dx=g^{\prime }(y_0)dy$։

Այսինքն առաջին կարգի դիֆերենցիալի բանաձևը մնում է նույնը։

Օրինակ

Դիցուք $h(x)=(3x^2-5x{)}^7$ ։ Ապա $h$ ֆունկցիան կարելի է գրել $h=g\circ f,$ կոմպոզիցիայի տեսքով, որտեղ

$f(x)=3x^2-5x,$

$g(y)=y^7.$

Առանձին դիֆերենցելով այդ ֆունկցիան՝

$f^{\prime }(x)=6x-5,$

$g^{\prime }(y)=7y^6,$

կստանանք

$h^{\prime }(x)=7(3x^2-5x{)}^6\cdot (6x-5)$։

Բազմաստիճան դեպք

Դիզուք տրված են $f:U(x_0)\subset {ℝ}^m\to V(y_0)\subset {ℝ}^n,$ և $g:V(y_0)\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^p$ ֆունկցիաները, որտեղ $y_0=f(x_0)$։ Ենթադրենք նաև, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են․ $f\in 𝒟(x_0)$ և $g\in 𝒟(y_0)$։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես դիֆերենցելի է և այդ դիֆերենցիալը ունի

$dh(x_0)=dg(y_0)\circ df(x_0)$ տեսքը։

Մասնավոր դեպքում, Յակոբիի մատրից $h$ ֆունկցիան հանդիսանում է $g$ և $f$ ֆունկցիաների Յակոբիի մատրիցների արտադրյալը։

$\frac{\partial (h_1,\dots ,h_p)}{\partial (x_1,\dots ,x_m)}=\frac{\partial (h_1,\dots ,h_p)}{\partial (y_1,\dots ,y_n)}\cdot \frac{\partial (y_1,\dots ,y_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_m)}.$

Հետևանքներ

• Երկու ֆունկցիաների Յակոբյան կոմպոզիցիան դա անհատական ֆունկցիաների յակոբյանների արտադրայալն է․

  $\left|\frac{\partial (h_1,\dots ,h_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}\right|=\left|\frac{\partial (h_1,\dots ,h_n)}{\partial (y_1,\dots ,y_n)}\right|\cdot \left|\frac{\partial (y_1,\dots ,y_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}\right|.$

Բարդ ֆունկցիայի մասնավոր ածանցյալի համար ճշմարիտ է․

• $\frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i}\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_j},j=1,\dots m$։

Օրինակ

Դիցուք տրված է երեք փոփոխականներով $h(x,y,z)=\sin x+{\cos }^2(x+y+z)-\sqrt{2x^2+5y^3}$ ֆունկցիան և պահանջվում է գտնել նրա մասնական ածանցյալը ըստ $x$ փոփոխականի։ $h$ ֆունկցիան կարող է գրվել որպես $h(x,y,z)=f(u,v,w)$, որտեղ

$f(u,v,w)=u+v^2+w,$

$u(x,y,z)=\sin x,$

$v(x,y,z)=\cos (x+y+z),$

$w(x,y,z)=-\sqrt{2x^2+5y^3}.$

Ապա $h$ ֆունկցիայի մասնական ածանցյալը ըստ $x$ փոփոխականի կունենա հետևյալ տեսքը․

$\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}$

Հաշվենք ածանցյալները․

$\frac{\partial f}{\partial u}=1,\frac{\partial f}{\partial v}=2v,\frac{\partial f}{\partial w}=1,\frac{\partial u}{\partial x}=\cos x,\frac{\partial v}{\partial x}=-\sin (x+y+z),\frac{\partial w}{\partial x}=-\frac{2x}{\sqrt{2x^2+5y^3}}.$

Տեղադրելով գտնված ածանցյալները․

$\frac{\partial h}{\partial x}=1\cdot \cos x+2\cdot (\cos (x+y+z))\cdot (-\sin (x+y+z))+1\cdot (-\frac{2x}{\sqrt{2x^2+5y^3}})$

Արդյունքում

$\frac{\partial h}{\partial x}=\cos x-\sin (2x+2y+2z)-\frac{2x}{\sqrt{2x^2+5y^3}}.$

Գրականություն

• Կաղապար:Книга
• Գ․Մ․Ֆիխտենգոլց; Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ,6-րդ հրատ․, — Մ.: Նաուկա, 1966. — էջ 680։