Գրինի բանաձևեր

Գրինի բանաձևեր, տիրույթով և նրա եզրագծով տարածված ինտեգրալների միջև կապ հաստատող բանաձևեր։ Անվանվել է ի պատիվ Ջորջ Գրինի։ Սա որոշ թեորեմների հատուկ բանալի է, որոնք կապված են երկչափ տարածությունների հետ։

$\underset{L}{\int }Pdx+Qdy=\underset{G}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

բանաևով (հայտնի էր դեռևս Լեոնարդ Էյլերին) կապվում են կրկնակի ինտեգրալն ըստ $G$ տիրույթի և կորագիծ ինտեգրալն ըստ $G$-ի $L$ եզրագծի։ Մյուս երկու բանաձևերը Ջորջ Գրինը հրատարակել է 1828 թվականին՝ կապված պոտենցիալների տեսության հետազոտությունների հետ։ Դրանք են.

$\iiint (\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial z})dxdydz=\underset{S}{\iint }v\frac{\partial u}{\partial n}\partial \sigma -\underset{G}{\iiint }v\mathrm{\Delta }udxdydz$ (առաջին կամ նախնական Գրինի բանաձև)

և

$\underset{G}{\iiint }(u\mathrm{\Delta }v-v\mathrm{\Delta }u)dxdydz=\underset{S}{\iint }(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n})d\sigma$

որտեղ $u,v$ ֆունկցիաները $G$ տիրույթում որոշված ողորկ ֆունկցիաներ են, իսկ $S$-ը՝ $G$-ն սահմանափակող կտոր առ կտոր ողորկ մակերևույթ,

$\mathrm{\Delta }u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$ (հանգուներեն $\mathrm{\Delta }v$-ն), $\frac{\partial u}{\partial n},\frac{\partial v}{\partial n}$-երը ածանցյալներ են $S$-ի արտաքին նորմալների ուղղությամբ։

Աղբյուրներ

• Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
• Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.