Եզակի կետ (դիֆերենցիալ հավասարումներ)

Եզակի կետեր

Դիֆերենցիալ հավասարման եզակի կետ, դիֆերենցիալ հավասարման եզակի կետում

$\frac{dy}{dx}=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}(1)$

հավասարման աջ մասի համարիչն ու հայտարարը միաժամանակ հավասարվում են զրոյի (P-ն և Q-ն անընդհատորեն դիֆերենցելի ֆունկցիաներ են)։

Ընդունելով, որ եզակի կետը համընկնում է կոորդինատների սկզբնակետի հետ և կիրառելով Թեյլորի բանաձևը՝ (1) հավասարումը կարելի է ներկայացնել

$\frac{dy}{dx}=\frac{cx+dy+P_1(x,y)}{ax+by+Q_1(x,y)}$

տեսքով, որտեղ $P_1$֊ը և $Q_1$֊ը $\sqrt{x^2+y^2}$֊ի համեմատ անվերջ փոքր են։ Եզակի կետի շրջակայքում ինտեգրալ կորերի (դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումները երկրաչափորեն պատկերող կորերի) վարքը կախված է

$\left(\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\ c& d-\lambda \end{array}\right)=0$

բնութագրիչ հավասարման ${\lambda }_1$ և ${\lambda }_2$ արմատներից։ ${\lambda }_1={\lambda }_2$ կամ ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ և ${\lambda }_1{\lambda }_2>0$ դեպքերում եզակի կետը կոչվում է հանգույց, ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ և ${\lambda }_1{\lambda }_2<0$ դեպքում՝ թամբ, ${\lambda }_1={\lambda }_2=\alpha +i\beta 0$, $\alpha ,\beta \ne 0$ դեպքում՝ կիզակետ (ֆոկուս)։ ${\lambda }_1={\lambda }_2=\pm +i\beta$, $\beta \ne 0$ դեպքում եզակի կետը կարող է լինել կենտրոն, կիզակետ կամ ավելի բարդ բնույթ ունենալ։ Օրինակ, կոորդինատների սկզբնակետը

$y^{\prime }=2\frac{y}{x},y^{\prime }=-\frac{y}{x},y^{\prime }=\frac{x+y}{x-y},y^{\prime }=-\frac{x}{y}$

դիֆերենցիալ հավասարումների համար համապատասխանաբար հանգույց է(նկ․ 3), թամբ (նկ․ 4), կիզակետ (նկ․ 5) և կենտրոն (նկ․ 6)։

Կաղապար:Անավարտ