Երեք խորանարդների խնդիր

Երեք խորանարդների խնդիր, խնդիր, որի նպատակը $x^3+y^3+z^3=w^3$ հավասարման լուծում հանդիսացող բոլոր ամբողջ թվերը գտնելն է։

Հատկանշական է, որ չնայած առաջարկվում է այս հավասարման մի քանի լուծում ռացիոնալ թվերի դեպքում, դրա լուծումն անհայտ է ամբողջ թվերի դեպքում։

Ամբողջ թվերով լուծման օրինակներ

Ամենափոքր բնական լուծումներ.

$3^3+4^3+5^3=6^3$

$1^3+6^3+8^3=9^3$

$3^3+10^3+18^3=19^3$

$7^3+14^3+17^3=20^3$

$4^3+17^3+22^3=25^3$

$18^3+19^3+21^3=28^3$

$11^3+15^3+27^3=29^3$

$2^3+17^3+40^3=41^3$

$6^3+32^3+33^3=41^3$

$16^3+23^3+41^3=44^3$

Բացասական թվերով լուծումներ.

$-1^3+9^3+10^3=12^3$

$-2^3+9^3+15^3=16^3$

$-2^3+15^3+33^3=34^3$

$-2^3+41^3+86^3=89^3$

$-3^3+22^3+59^3=60^3$

Լրիվ ռացիոնալ պարամետրեր

Գոդֆրի Հարոլդ Հարդիի և Ռայթի լուծումը.

• $x=-a(b-3c)(b^2+3c^2)+a^4$

  $y=a(b+3c)(b^2+3c^2)-a^4$

  $z=a^3(b-3c)-(b^2+3c^2{)}^2$

  $w=a^3(b+3c)-(b^2+3c^2{)}^2$

Ն. Էլկիես

$\{\begin{array}{c}x=d(-(s+r)t^2+(s^2+2r^2)t-s^3+r{s}^2-2r^{2}s-r^3),\\ y=d(t^3-(s+r)t^2+(s^2+2r^2)t+r{s}^2-2r^{2}s+r^3),\\ z=d(-t^3+(s+r)t^2-(s^2+2r^2)t+2r{s}^2-r^{2}s+2r^3),\\ w=d((s-2r)t^2+(r^2-s^2)t+s^3-r{s}^2+2r^{2}s-2r^3)\end{array}$

Գ. Ալեքսանդրով

$\{\begin{array}{c}x=x_0(x_0+y_0)a^2+(w_0^2-z_0^2)ab-y_0(w_0-z_0)b^2,\\ y=y_0(x_0+y_0)a^2-(w_0^2-z_0^2)ab-x_0(w_0-z_0)b^2,\\ z=z_0(x_0+y_0)a^2-(y_0^2-x_0^2)ab+w_0(w_0-z_0)b^2,\\ w=w_0(x_0+y_0)a^2-(y_0^2-x_0^2)ab+z_0(w_0-z_0)b^2\end{array}$

Լուծման այլ օրինակներ

Յուրի Լիննիկ, 1940

• $x=b(a^6-b^6)$

  $y=a(a^6-b^6)$

  $z=b(2a^6+3a^3{b}^3+b^6)$

  $w=a(a^6+3a^3{b}^3+2b^6)$

  $x=a^2(b^6-7)+9ac-3c^2$

  $y=a^2[b^3(2b^3+9)+7]-3ac(2b^3+3)+3c^2$

  $z=a^{2}b[b^3(b^3+3)+2]-3abc(b^3+2)+3b{c}^2$

  $w=a^{2}b[b^3(b^3+6)+11]-3abc(b^3+4)+3b{c}^2$

  $x=3a^2(b^6-7)-9ac-c^2$

  $y=3a^2[b^3(2b^3-9)+7]-3ac(2b^3-3)+c^2$

  $z=3a^{2}b[b^3(b^3-6)+11]-3abc(b^3-4)+b{c}^2$

  $w=3a^{2}b[b^3(b^3-3)+2]-3abc(b^3-2)+b{c}^2$

Ռոջեր Հեթ-Բրաուն [1], 1993 г.

• $x=9a^4$

  $y=3a-9a^4$

  $z=1-9a^3$

  $w=1$

Մորդել Լուիս Ջոուել, 1956 г.

• $x=9a^{3}b+b^4$

  $y=9a^4$

  $z=-b^4$

  $w=9a^4+3a{b}^3$

  $x=9a^{3}b-b^4$

  $y=9a^4-3a{b}^3$

  $z=b^4$

  $w=9a^4$

  $x=9a^{3}b+b^4$

  $y=9a^{3}b-b^4$

  $z=9a^4-3a{b}^3$

  $w=9a^4+3a{b}^3$

Հանրահաշվական երկրաչափության մեթոդով ստացած լուծումներ

• $x=3a(a^2+ab+b^2)-9$

  $y={(a^2+ab+b^2)}^2-9a$

  $z=3(a^2+ab+b^2)(a+b)+9$

  $w={(a^2+ab+b^2)}^2+9(a+b)$

Ռամանուջան

• $x=3a^2+5ab-5b^2$

  $y=4a^2-4ab+6b^2$

  $z=5a^2-5ab-3b^2$

  $w=6a^2-4ab+4b^2$

  $x=a^7-3a^4(1+b)+a(2+6b+3b^2)$

  $y=2a^6-3a^3(1+2b)+1+3b+3b^2$

  $z=a^6-1-3b-3b^2$

  $w=a^7-3a^{4}b+a(3b^2-1)$

  $x=-a^2+9ab+b^2$

  $y=a^2+7ab-9b^2$

  $z=2a^2-4ab+12b^2$

  $w=2a^2+10b^2$

Անհայտ հեղինակ, 1825

• $x=a^9-3^6$

  $y=-a^9+3^5{a}^3+3^6$

  $z=3^3{a}^6+3^5{a}^3$

  $w=3^2{a}^7+3^4{a}^4+3^{6}a$

Դ. Լեմեր 1955

• $x=3888a^{10}-135a^4$

  $y=-3888a^{10}-1296a^7-81a^4+3a$

  $z=3888a^9+648a^6-9a^3+1$

  $w=1$

Վ. Բ. Լաբկովսկի

• $x=4b^2-11b-21$

  $y=3b^2+11b-28$

  $z=5b^2-7b+42$

  $w=6b^2-7b+35$

Էյլեր և Բինե

• $x=1-(a-3b)(a^2+3b^2)$

  $y=-1+(a+3b)(a^2+3b^2)$

  $z=-a-3b+(a^2+3b^2{)}^2$

  $w=-a+3b+(a^2+3b^2{)}^2$

Հարդի և Ռայթ

• $x=a(a^3-2b^3)$

  $y=b(2a^3-b^3)$

  $z=b(a^3+b^3)$

  $w=a(a^3+b^3)$

  $x=a(a^3-b^3)$

  $y=b(a^3-b^3)$

  $z=b(2a^3+b^3)$

  $w=a(a^3+2b^3)$

Գ. Ալեքսանդրով 1972

• $x=7a^2+17ab-6b^2$

  $y=42a^2-17ab-b^2$

  $z=56a^2-35ab+9b^2$

  $w=63a^2-35ab+8b^2$

  $x=7a^2+17ab-17b^2$

  $y=17a^2-17ab-7b^2$

  $z=14a^2-20ab+20b^2$

  $w=20a^2-20ab+14b^2$

  $x=21a^2+23ab-19b^2$

  $y=19a^2-23ab-21b^2$

  $z=18a^2+4ab+28b^2$

  $w=28a^2+4ab+18b^2$

  $x=3a^2+41ab-37b^2$

  $y=37a^2-41ab-3b^2$

  $z=36a^2-68ab+46b^2$

  $w=46a^2-68ab+36b^2$

  $x=-4a^2+22ab-9b^2$

  $y=36a^2-22ab+b^2$

  $z=40a^2-40ab+12b^2$

  $w=48a^2-40ab+10b^2$

Կորովև, 2012

• $x=-(2a^2-2ab-b^2)c{d}^3-(a^2-ab+b^2{)}^2{c}^4$

  $y=(2a^2-2ab-b^2)c^{3}d+(a^2-ab+b^2{)}^2{d}^4$

  $z=(a^2+2ab-2b^2)c^{3}d-(a^2-ab+b^2{)}^2{d}^4$

  $w=(a^2+2ab-2b^2)c{d}^3-(a^2-ab+b^2{)}^2{c}^4$

որտեղ $a$, $b,c$ և $d$ — ցանկացած ամբողջ թիվ են։