Մաթեմատիկական ճոճանակ

Ճոճանակի անիմացիան, որ ցույց է տալիս արագության և արագացման վեկտորները

Մաթեմատիկական ճոճանակ, փակ համակարգ, որի մեջ ընդգրկված են թելը, թելի երկարությունից մի քանի անգամ փոքր տրամագծով և ծանր գունդը։ Ճոճանակների մաթեմատիկան ընդհանուր առմամբ բավականին բարդ է։ Պայմանների պարզեցմամբ կարելի է դիտարկել պարզ ճոճանակ, որի դեպքում շարժման հավասարումները լուծելի են փոքր անկյան տատանումների համար։

Ընդհանուր դեպքում մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումները հարմոնիկ չեն․ տատանման պարբերությունը կախված է լայնույթից։ Եթե տատանումները փոքր են, ապա պարբերությունը կարելի է որոշել

$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

բանաձևով, որտեղ T-ն պարբերությունն է, L-ը՝ թելի երկարությունը, g-ն՝ ազատ անկման արագացումը։

Շարժման հավասարման լուծում

Ներդաշնակ տատանումներ

Ճոճանակի փոքր տատանումները հանդիսանում են ներդաշնակ տատանումներ։ Դա նշանակում է, որ հավասարակշռության վիճակից ճոճանակի շեղումը փոփոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքով։

$x=A\sin ({\theta }_0+\omega t),$

որտեղ $A$ — տատանման լայնույթն է, ${\theta }_0$ — տատանման սկզբնական փուլ, $\omega$ —շրջանային հաճախություն։

Ոչ գծային ճոճանակ

Ավելի մեծ լայնույթով տատանումների հավասարումն ավելի բարդ տեսք ունի։

$\sin \frac{x}{2}=\varkappa \cdot \mathrm{sn}(\omega t;\varkappa ),$

որտեղ $\mathrm{sn}$ — Յակոբի սինուսն է. $\varkappa <1$համար,նա պարբերական ֆունկցիա է,փոքր $\varkappa$-ի համարհամընկնում է սովորական սինուսի հետ։

$\varkappa$ պարամետրը որոշվում է

$\varkappa =\frac{\epsilon +{\omega }^2}{2{\omega }^2},$

որտեղ $\epsilon =\frac{E}{m{L}^2}$ — ճոճանակի էներգիան է t⁻²

Ոչ գծային ճոճանակի տատանման պարբերությունը որոշվում է․

$T=\frac{2\pi }{\mathrm{\Omega }},\mathrm{\Omega }=\frac{\pi }{2}\frac{\omega }{K(\varkappa )},$

$T=T_0\{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2{\sin }^4\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\dots +{\left[\frac{(2n-1)!!}{\left(2n\right)!!}\right]}^2{\sin }^{2n}\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\dots \}$,

որտեղ $T_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ — փոքր տատանումների պարբերությունն է, $\alpha$ — ճոճանակի առավելագույն շեղումն է ուղղահայացից։

Մինչև 1 ռադիան (≈60°) անկյունների դեպքում․

$T=T_0(1+\frac{1}{4}{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)).$

Տես նաև

• Ճոճանակներ
• Ֆուկոյի ճոճանակ
• Ֆիզիկական ճոճանակ

Աղբյուրներ

• Ազատ տատանումներ։ Մաթեմատիկական ճոճանակԿաղապար:Ref-ru
• Ֆիզիկական հանրագիտարանԿաղապար:Ref-ru